1、20212022 学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 24 分，在每个小题给出的四个选项中，只分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x20 B. 3x2y7 C. x22x10 D. 1xx2 2. 已知方程 3x2（k1）xk70的一个根为 0，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 7 D. 7 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A.
2、对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 4. 为绿化、 美化环境， 某园林部门计划在某地修建一个面积为 100平方米的矩形花园， 它的长比宽多 10米，设宽为 x米，可列方程为（ ） A. x（x10）100 B. x（x10）100 C. 2x2（x10）100 D. 2x2（x10）100 5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0 30 0.50 0.36
3、 0.42 0.38 0.41 0 39 0.40 0.40 A. 掷一枚质地均匀骰子，向上面的点数是“5” B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 不透明的袋子里有 2个红球和 3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 三张扑克牌，分别是 3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是 5 6. 一元二次方程2610 xx 配方后可变形为（ ） A. 238x B. 238x C. 2310 x D. 2310 x 7. 将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球两次摸出的球
4、上的汉字能组成“加油”的概率是（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 8. 如图，点 P 是 RtABC中斜边 AC (不与 A，C重合)上一动点，分别作 PMAB于点 M，作 PNBC于点 N，连接 BP、MN，若 AB=6，BC=8，当点 P 在斜边 AC上运动时，则 MN的最小值是( ) A. 1.5 B. 2 C. 4.8 D. 2.4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 15 分）分） 9. 在 RtABCV中，C90 ，点 D 是 AB边的中点，若 AB8，则 CD_ 10. 小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”
5、的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是_ 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）xm230 有实数根，则实数 m的取值范围是_ 12. 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，AOB60，对角线 AC所在的直线绕点 O顺时针旋转 角度（0 120 ） ，所得的直线 l分别交 AD，BC 于点 E，F当旋转角 为_时，四边形 AFCE为菱形 13. 如图， 在正方形 ABCD中， E 是对角线 BD 上的一点， F是 CB延长线上一点， 连接 CE， EF， AF， AE 若DEDC，EFEC，则AFE的度数为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 13 个
6、小题，共个小题，共 81 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 用因式分解法解方程：2（x3）3x（x3） 15. 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE，AF.求证：BE=AF. 16. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌电动自行车经销商 1至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1月份销售 150 辆，3月份销售 216 辆求该品牌电动自行车销售量的月均增长率. 17. 如图，在ABC中，ABBC，请用尺规作图法，在平面内求作一点 D，使四边形 ABCD为矩形 （保留作图
7、痕迹，不写作法） 18. 桌面上放有不透明的四张卡片，每张卡片正面都写有一个数字，分别是 1，2，3，4，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为 4 的概率 19. 如图，点 F 在ABC的边 AC 上，且 ABAF，过点 F、B分别作 AB、AC的平行线相交于点 E，连接BF求证：四边形 ABEF是菱形 20. 某景区检票口有 A、B、C、D共 4个检票通道甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从 4个检票通道中随机选择一个检票 （1）甲选择 A 检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择
8、检票通道恰好相同的概率 21. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，问几秒钟时PBQ 的面积等于 8cm 22. 甲乙两人在玩转盘游戏时， 把转盘 A、B 分别分成 4等份、 3 等份，并在每一份内标上数字， 如图所示 游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜 （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要
9、说明理由 23. 将一根长为 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 （1）要使这两个正方形面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由 24. 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD相交于点 O， E是 AD 的中点， 点 F， G在 AB上， EFAB， OGEF （1）求证：四边形 OEFG是矩形 （2）若 AD12，EF42，求 OE 和 BG的长 25. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 30 元的小商品进行直
10、播销售，如果按每件 40 元销售，每月可卖出 600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨 1元，销售件数减少 10件 （1）设每件商品售价定为 x元（x40） ，请用含 x 的式子表示每月的销售量 （2）为了实现平均每月 10000元的销售利润，并使消费者得到实惠， （1）中的售价 x应定为多少元？ 26. 在菱形 ABCD中，ABC60，P是射线 BD上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE，点 E的位置随着点 P 的位置变化而变化 问题提出 （1）如图 1，当点 E在菱形 ABCD 内部或边上时，连接 CE，BP与 CE 的数量关系是 ，CE与 CB的位置关系是 （2）如图 2，当
11、点 E在菱形 ABCD 外部时， （1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 问题解决 （3）如图 3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为 20m 的菱形 ABCD，其中ABC60，对角线 BD是一条花间小径，现计划在 BD延长线上（包括 D点）取点 P，以 AP 为边长修建一个等边APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点 E 再修一条直直的小路 BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在 BE中点处设置一个直饮水点 F，求饮水点 F 到 C点的最短距离 20212022 学年陕西省西安市莲湖区九年级（上）期中数学试卷学年陕西省西安市莲湖区九年
12、级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 24 分，在每个小题给出的四个选项中，只分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x20 B. 3x2y7 C. x22x10 D. 1xx2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念“等号两边是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的做高次是2（二次）的方程，叫做一元二次方程”进行解答即可得 【详解】解：A、20 x ，是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； B、327xy，不
13、是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C、2210 xx ，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； D、12xx，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； 故选 A 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的概念 2. 已知方程 3x2（k1）xk70的一个根为 0，则 k 的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 7 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将方程的根代入该方程计算，即可求出 k 的值 【详解】将方程的根代入该方程，得：70k ， 解得：7k 故选 C 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义熟知一元二次方程的
14、解就是使方程左右两边相等的未知数的值是解答本题的关键 3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案 【详解】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意； B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意； C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意； D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查正方形
15、的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形 4. 为绿化、 美化环境， 某园林部门计划在某地修建一个面积为 100平方米的矩形花园， 它的长比宽多 10米，设宽为 x米，可列方程为（ ） A. x（x10）100 B. x（x10）100 C. 2x2（x10）100 D. 2x2（x10）100 【答案】B 【解析】 【分析】设宽为 x米，则长为（x+10）米，根据题意列方程即可得 【详解】解：设宽x 米，则长为（x+10）米， (10)100 x x， 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程 5. 某小组做“
16、当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率表格如下，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.30 0.50 0.36 0.42 0.38 0.41 0.39 0.40 0.40 A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上面的点数是“5” B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 不透明的袋子里有 2 个红球和 3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D. 三张扑克牌，分别是 3、5、5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用频率估计
17、概率得到实验的概率在0.4左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可 【详解】解：A、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“5”的概率为：16，不符合题意； B、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，不符合题意； C、不透明的袋子里有 2 个红球和 3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是20.45，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3、5、5，背面朝上洗均后，随机抽出一张是 5的概率为23，不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大数次重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右波动，并且波动的幅度越来越小，根据这个稳定的频率的值，可以用估计概率，
18、这个固定的近似值就是这个事件的概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率 6. 一元二次方程2610 xx 配方后可变形为（ ） A. 238x B. 238x C. 2310 x D. 2310 x 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项 【详解】2610 xx ， 261xx， 2691 9xx ， 2310 x， 故选：D 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键 7. 将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字
19、外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“加油”的情况数，再利用概率公式计算即可 【详解】解：根据题意可列表如下： 中 国 加 油 中 中、国 中、加 中、油 国 国、中 国、加 国、油 加 加、中 加、国 加、油 油 油、中 油、国 油、加 一共有 4 3=12种可能，其中能组成“加油”的有 2种， 两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是21126 故选：B 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求
20、概率，根据题意列出所有等可能结果是解题关键 8. 如图，点 P 是 RtABC中斜边 AC (不与 A，C重合)上一动点，分别作 PMAB于点 M，作 PNBC于点 N，连接 BP、MN，若 AB=6，BC=8，当点 P 在斜边 AC上运动时，则 MN的最小值是( ) A. 1.5 B. 2 C. 4.8 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得出四边形 PMBN是矩形， 得出 MN=BP， 求 MN的最小值即求 BP 的最小值， 当 BPAC时，BP 的值最小，利用等积法求出 BP 的长，即可求出 MN 的最小值 【详解】解：PMAB，PNBC， PMB=PNB=ABC=90
21、 ， 四边形 PMBN是矩形， MN=BP， 当 BPAC时，BP 的值最小，即 MN的值最小， 在 Rt ABC中，AB=6，BC=8， AC=10， 12ABBC=12AC BP， 12 6 8=12 10 BP， BP=4.8， MN 的最小值是 4.8 故选：C 【点睛】本题考查三角形内接矩形的对角线最短问题，运用等面积法，理解“BP 作为 AC 边上的高时，就是 MN的最小值”是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 15 分）分） 9. 在 RtABCV中，C90 ，点 D 是 AB边的中点，若 AB8，则 CD_ 【答
22、案】4 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2ABCD 【详解】90C，D 是 AB 的中点， 2ABCD， 118422CDAB 故答案为：4 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键 10. 小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是_ 【答案】19 【解析】 【详解】解：画树状图得： 共有 9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有 1种情况， 两同学同时出“剪刀”的概率是：19 故答案：19 【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x
23、m230 有实数根，则实数 m的取值范围是_ 【答案】m134#3.25m 【解析】 【分析】先计算，根据方程有实数根得出关于 m的不等式，求解即可 【详解】解：关于 x的一元二次方程 x2（2m1）xm230 有实数根， =（2m-1）24（m23）=4m2-4m+14m2+12=-4m+13. -4m+130， m134 故答案为 m134 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式解决本题的关键是根据解得情况列出不等式 12. 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，AOB60，对角线 AC所在的直线绕点 O顺时针旋转 角度（0 120 ） ，所得的直线 l分别交 A
24、D，BC 于点 E，F当旋转角 为_时，四边形 AFCE为菱形 【答案】90 【解析】 【分析】通过“ASA”得到AOECOF，由全等三角形的性质可得AECF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由菱形的判定即可求解 【详解】解：四边形ABCD是矩形 ADBC，AOOC CAEACF 在AOE和COFV中 AOECOFAOOCOAEOCF ()AOECOF ASA AECF 又AECF 四边形AFCE为平行四边形 当90AOE时，平行四边形AFCE为菱形 由旋转的性质可得，AOE为旋转角，即90AOE 故答案为90 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的性质等知
25、识，证明AOECOF是解题的关键 13. 如图， 在正方形 ABCD中， E 是对角线 BD 上的一点， F是 CB延长线上一点， 连接 CE， EF， AF， AE 若DEDC，EFEC，则AFE的度数为_ 【答案】45 【解析】 【分析】由正方形的性质可知45ADECDECBEABE，AD=DE=CD，即可求出67.5DAEDCE， 从而求出22.5BCEBAE， 进而可求出112.5BEABEC 根据 EF=EC，可推出22.5EFCECF，从而可利用三角形内角和定理求出135CEF，进而可求出22.5BEFCEFCEB，最后可求出90BEFAEFAEBBEF在DAE和DEC 中， 利用
26、“SAS”可证明DAEDEC， 即可间接证明 AE=EF， 最后推出AEF为等腰直角三角形，即得出45AFE 【详解】BD是正方形 ABCD 的对角线， 45ADECDECBEABE， DECD， AD=DE=CD， 11804567.52DAEDEADECDCE ， 9067.522.5BCEBAE， 18018022.545112.5BEABECBCECBE 又EF=EC， 22.5EFCECF， 18018022.522.5 =135CEFEFCECF， 135112.522.5BEFCEFCEB， 112.522.590BEFAEFAEBBEF 在DAE和DEC中，DADEADEEDC
27、DEDC ， DAEDEC(SAS)， AE=EC， AE=EF， AEF为等腰直角三角形， 45AFE， 故答案为：45 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理利用数形结合的思想是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 13 个小题，共个小题，共 81 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 用因式分解法解方程：2（x3）3x（x3） 【答案】123x ，23x 【解析】 【分析】移项，再提取公因式即可解出方程 【详解】解：2(3)3 (3)xx x
28、 2(3)3 (3)0 xx x (23x)(x 3)0 2 30 x或30 x 123x ，23x 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键 15. 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF，连接 BE，AF.求证：BE=AF. 【答案】见解析. 【解析】 【详解】 试题分析： 根据正方形的性质得出 AD=AB， D=EAB=90 ， 然后结合 AE=DF 得出 ADF 和 BAE全等，得到 BE=AF. 试题解析：四边形 ABCD 是正方形 AD=AB D=EAB=90 在 EAB 和 FDA 中，AE=DF E
29、AB=D AB=AD EABFDA BE=AF. 考点：正方形的性质、三角形全等. 16. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌电动自行车经销商 1至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1月份销售 150 辆，3月份销售 216 辆求该品牌电动自行车销售量的月均增长率. 【答案】20% 【解析】 【分析】设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x等量关系为：1 月份的销售量（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可 【详解】解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x， 根据题意列方程：150（1+x）2=216， 解得 x1=220%（不合题意，舍去） ，x2=2
30、0% 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20% 【点睛】考查了一元二次方程的应用判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 17. 如图，在ABC中，ABBC，请用尺规作图法，在平面内求作一点 D，使四边形 ABCD为矩形 （保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形的性质进行尺规作图即可得 【详解】解：如图，四边形 ABCD 即为所求， 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是掌握尺规作图的方法 18. 桌面上放有不透明的四张卡片，每张卡片正面都写有一个数字，分别是 1，2，3，4，它们除数字外其余全部相
31、同，现将它们背面朝上洗均匀随机抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出两次数字和为 4 的概率 【答案】316 【解析】 【分析】根据题意列出图标得出所有等可能的情况数，找出两次数字之和为 4 的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【详解】解：根据题意画图图下： 共有16种等可能的情况数，其中两次数字之和为4的有3种， 则两次数字之和为4的概率是：316 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 19
32、. 如图，点 F 在ABC的边 AC 上，且 ABAF，过点 F、B分别作 AB、AC的平行线相交于点 E，连接BF求证：四边形 ABEF是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】先由已知条件证得四边形ABEF是平行四边形，再由ABAF可得ABEFY是菱形 【详解】EFABQ，BEAF， 四边形ABEF是平行四边形， ABAF， ABEFY是菱形 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解决问题的关键 20. 某景区检票口有 A、B、C、D共 4个检票通道甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从 4个检票通道中随机选择一个检票 （1）甲选择 A 检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选
33、择的检票通道恰好相同的概率 【答案】 （1）14； （2）14. 【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式求解； （2）通过列表展示所有 9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】 （1）解：一名游客经过此检票口时，选择 A通道通过的概率=14， 故答案为:14； （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有 16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两
34、人选择相同检票通道”记为事件 E，它的发生有 4种可能： （A，A） 、 （B，B） 、 （C，C） 、 （D，D） P（E）41614 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A或 B的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率 21. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，问几秒钟时PBQ 的面积等于 8cm 【答
35、案】2s 或 4s 时PBQ的面积等于 8cm2 【解析】 【分析】设 t 秒钟后，SPBQ=8，则 AP=t，PB=AB-AP=6-t，QB=2t，而 SPBQ=12PB QB，由此可以列出方程求解 【详解】设 t秒钟后，SPBQ=8，则12 2t（6-t）=8，t2-6t+8=0，t1=2，t2=4， 故 2s或 4s 时PBQ的面积等于 8cm2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解. 22. 甲乙两人在玩转盘游戏时， 把转盘 A、B分别分成 4等份、 3等份，并在每一份内标上数字， 如图所示 游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇
36、数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜 （1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由 【答案】(1) 12；（2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可 【详解】方法一画树状图： 由上图可知，所有等可能的结果共有 12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有 6 种P（和为奇数）= 12 方法二列表如下： 由上表可知，所有等可能的结果共有 12 种，指针所指的两个数字之和为奇数的结 果有 6 种P（和为奇数）= 12； （2）P（和为奇数）= 12，P（和为偶数）
37、= 12，这个游戏规则对双方是公平的 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23. 将一根长为 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 10cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由 【答案】 （1）4cm和 16cm； （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1） 设剪后其中一段长为 xcm， 则另一段为 （
38、20 x） cm， 根据这两个正方形的面积之和等于 17cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设剪后其中一段长为 ycm，则另一段为（20y）cm，根据这两个正方形的面积之和等于 10cm2，即可得出关于 y 的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出800，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为 10cm2 【详解】解： （1）设剪后其中一段长为 xcm，则另一段为（20 x）cm， 依题意，得（4x）2+（204x）217， 整理，得 x220 x+640， 解得 x116，x24 当 x16时，20 x4；当 x4 时，2
39、0 x16 答：这段铁丝剪成两段后长度分别为 4cm和 16cm （2）不能，理由如下： 设剪后其中一段长为 ycm，则另一段为（20y）cm， 依题意，得（4y）2+（204y）210， 整理，得 y220y+1200 b24ac（20）241120800， 此方程无解， 即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为 10cm2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意建立一元二次方程是解题的关键 24. 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC， BD相交于点 O， E是 AD 的中点， 点 F， G在 AB上， EFAB， OGEF （1）求证：四边形 OEFG
40、是矩形 （2）若 AD12，EF42，求 OE 和 BG的长 【答案】 （1）见解析； （2）6,4OEBG 【解析】 【分析】 （1）根据菱形的对角线平分对角，可得EAOBAO,又E是AD的中点，ACDB，则AEEO， 可得EOAEAO， 即可得EOABAO， 进而可得OEAB， 进而可得四边形EFGO是矩形； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得OE，根据勾股定理在Rt AEFV中求得AF，根据四边形EFGO是矩形进而求得FGOE，根据ABAFFG即可求得BG的长 【详解】 （1）Q四边形ABCD是菱形， ,DAOBAO BDAC ， 在RtAOD中，E是AD的中点， 1
41、2OEADAE， EOAEAO， EOABAO， EOFG Q OGEF 四边形EFGO是平行四边形， Q EFAB， 四边形EFGO是矩形 （2）12AD,E是AD的中点， 162AEAD 在RtAOD中,E是AD的中点， 162OEAD QEFAB， 在Rt AEFV中，4 2EF 222AFAEEF Q四边形ABCD是菱形， 12ABAD Q四边形EFGO是矩形 6FGEO 12 2 64BGABAFAG 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握特殊四边形的性质和判定是解题的关键 25. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 30 元的小
42、商品进行直播销售，如果按每件 40 元销售，每月可卖出 600件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨 1元，销售件数减少 10件 （1）设每件商品售价定为 x元（x40） ，请用含 x 的式子表示每月的销售量 （2）为了实现平均每月 10000元的销售利润，并使消费者得到实惠， （1）中的售价 x应定为多少元？ 【答案】 （1）1000 10 x； （2）50元 【解析】 【分析】 （1）根据题意即可直接用含 x的式子表示出每月的销售量，再整理即可； （2）根据题意可列出关于 x的方程，解出方程，再结合使消费者得到实惠，确定出最后的售价即可 【详解】 （1）根据题意可用含 x 的式子表示每
43、月的销售量为：600 10(40)(1000 10 )xx件 （2）根据题意可列方程：(1000 10 )(30)10000 x x， 整理得：(50)(80)0 xx 解得：150 x ，280 x 要使消费者得到实惠，即售价低， 50 x 故为了实现平均每月 10000 元的销售利润，并使消费者得到实惠，售价应定为 50 元 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键 26. 在菱形 ABCD中，ABC60，P是射线 BD上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE，点 E的位置随着点 P 的位置变化而变化 问题提出 （1）如图 1，当点 E在菱形 A
44、BCD 内部或边上时，连接 CE，BP与 CE 的数量关系是 ，CE与 CB的位置关系是 （2）如图 2，当点 E在菱形 ABCD 外部时， （1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 问题解决 （3）如图 3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为 20m 的菱形 ABCD，其中ABC60，对角线 BD是一条花间小径，现计划在 BD延长线上（包括 D点）取点 P，以 AP 为边长修建一个等边APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点 E 再修一条直直的小路 BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在 BE中点处设置一个直饮水点 F，求饮水点 F 到
45、 C点的最短距离 【答案】 （1）PBEC；CECB； （2）结论成立，证明过程见详解； （3）20m 【解析】 【分析】（1） 连接AC， 根据菱形的性质和等边三角形的性质得出BAPCAEVV， 再延长CE交AD于H， 根据全等三角形的性质即可得出； （2）结论仍然成立证明方法同（1） ； （3）根据题目，为了使F到C点的距离最短，在BC固定的情况下，CBE越小，CF越短，CBE越小，点E距离点P越小，即APEV边长越小，即当点P位于点D时，CF最小 【详解】 （1）如图 1 中，结论：PBEC，CECB. 理由：连接. 四边形ABCD是菱形，60ABC， ADCB ABCV，ACD都是等边
46、三角形，30ABDCBD， ABAC，60BAC， APEV是等边三角形， APAE，60PAE， BACPAE， BAPCAE， ABACBAPCAEAPAE ， BAPCAEVV， BPCE，30ABPACE， 延长CE交AD于H， 60CAH， 90CAHACH， 90AHC，即CEAD ADCBQ. CECB 故答案为PEEC，CECB. （2）结论仍然成立. 理由：如图 2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H. 四边形ABCD菱形，60ABC， ABCV，ACD都是等边三角形，30ABDCBD， ABAC，60BAC， APEV是等边三角形， APAE，60PAE， BACPAE，
47、 BAPCAE， ABACBAPCAEAPAE ， BAPCAEVV， BPCE，30BAPCAE， 60CAH， 90CAHACH， 90AHC，即CEAD ADCBQ CECB， （3）根据题目，为了使F到C点的距离最短，在BC固定的情况下，CBE越小，CF越短，CBE越小，点E距离点P越小，即APEV边长越小，即当点P位于点D时，CF最小,如图所示： 60ABCQ且四边形ABCD为菱形 120BAD，60DAE 180BADDAEQ 点A位于线段BE上 20ABQ，20AE ，则点 A为BE的中点 点F与点A重合 FCAC= ABBCQ，60ABC ABC V为等边三角形 20FCACAB 点F到C点的最短距离为20m 【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题
