1、2020-2021 学年度九年级上期末教学质量检测数学试卷学年度九年级上期末教学质量检测数学试卷 一、单项选择题一、单项选择题(每小题每小题 2 分，共分，共 12 分分) 1. 一元二次方程2310 xx 的根的情况为（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线2yx=向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. 23yx B. 23yx C. 23yx D. 23yx 4. 在一个不透明盒子中装有n个小球，它们除了颜色不
2、同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 40 5. 如图， 点 A是反比例函数4yx 图象上的一个动点， 过点 A 作 ABx轴， ACy轴， 垂足分别为 B， C，则矩形 ABOC 的面积为（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图，AB 是O的弦（AB不是直径） ，以点 A为圆心，以 AB长为半径画弧交O 于点 C，连结AC、BC、OB、OC若ABC=65 ，则BOC的度数是（ ） A. 5
3、0 B. 65 C. 100 D. 130 二、填空题二、填空题(每小题每小题 3分，共分，共 24 分分) 7. 在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_ 8. 已知1x是方程0 xa解，则a_ 9. 已知一个反比例函数的图象经过点 P（3，4） ，请你写出该反比例函数图象上异于点 P的另外一个点的坐标_(写出一个即可） 10. 如图，点（1，0） ， （0，3）在抛物线 y=-x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为 x=-1，若 y0，则 x的取值范围是_ 11. 如图， 一个可以自由转动的转盘被等分成 8 个扇形区域， 并涂上了相应的颜色， 转动转盘， 转盘停止后，指针指
4、向黄色区域的概率是_ 12. 如图，将一个直角三角板 ACB（C=90）绕 60角的顶点 B顺时针旋转，使得点 C 旋转到 AB的延长线上的点 E 处，则三角板旋转了_度 13. 如图，O的半径 OC=10cm，直线 lOC，垂足为 H，且 l交O于 A，B两点，AB=16cm，则 l沿 OC所在直线向下平移_cm 时与O相切 14. 如图，点 A（m，2） ，B（5，n）在函数kyx（k0，x0）的图象上，将该函数图象向上平移 2个单位长度得到一条新的曲线， 点 A、 B 的对应点分别为 A、 B 图中阴影部分的面积为 8， 则 k 的值为_ 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共
5、分，共 20 分）分） 15. 解方程：x23x+10 16. 如图，在4 8的网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C，P 都在格点上，按图的程序移动点 P （1）请在图中画出点 P所经过的路径 （2）点 P 经过的路径的总长为 （结果保留） 17. 如图，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2)在反比例函数5yx（x0）的图象上，且 x1x2 （1）请比较 y1，y2的大小：y1 y2（填“”，“”或“=”） （2）若点 A关于 y 轴对称的对称点A在反比例函数kyx（k0）的图象上，则 k的值为 18. 如图，O交 x轴于 A，B两点，交 y轴的正半轴于点 C，点 D为第一象限
6、内O 上的一点，连接 AD，OD，CD，已知DAB = 15，CD=2 （1）OCD = 度 （2）OCDS扇形= 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度为 20 米） ，用 34米长的篱笆围成两个鸡场中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 1 米宽的门，若两个鸡场总面积为 96平方米，求 AB的长 20. 某中学食堂在某天早餐提供了 A（猪肉包） ，B（鸡蛋） ，C（油饼）三样食品，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐每人一份，每份含有两样不同的食品各一个，食堂师傅在窗口随机发放 （1） 按约定， “小李同学在该天早餐得到两个
7、油饼” 事件 （填“可能”“必然”或“不可能”） （2）请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到 A（猪肉包）和 C（油饼）的概率 21. 如图，在 ABC中，AB=AC，以 AB为直径的O交 BC于点 D，过点 D作 DEAC于点 E （1）求证：DE是O的切线 （2）若B=30，AB=8，求 BD 的长 22. 如图，在矩形 OABC中，OA=3，OC=2，点 F 在 AB 上（点 F 不与点 A，B 重合） ，OA，OC 分别在 x 轴，y 轴上，过点 F的反比例函数kyx（k0）的图象与 BC边交于点 E （1）点 E 的坐标为 ，点 F 的坐标为 （用含 k 的式子表示
8、） （2）求 k为何值时，EFA 的面积最大，最大面积是多少？ 五、解答题五、解答题(每小题每小题 8分，共分，共 16 分分) 23. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米，则水面 CD 的宽是 10 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物（货物与货船同宽） 问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 24. 如图， 点 O 为正方形 ABCD 的中心， 分别延长 OA， OD 到点 F， E， 使 OF=2OA， OE=2OD， 连
9、接 EF 将EOF 绕点 O逆时针旋转得到E1OF1（如图） ，连接 AE1，BF1 （1）探究 AE1与 BF1的数量关系，并给予证明 （2）当 OAAE1时，= 度 六、解答题六、解答题(每小题每小题 10分，共分，共 20 分分) 25. 如图，在 Rt ABC 中，C=90，A=45，AC=2 2动点 P从点 A出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B运动.过点 P作 PDAC于点 D（点 P不与点 A，B 重合） ，作DPQ=45，边 PQ交射线 DC 于点 Q设点 P的运动时间为 t秒 （1）线段 DC长为 （用含 t的式子表示） （2）当点 Q与点 C 重合时，求
10、t的值 （3）设 PDQ 与 ABC重叠部分的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式 26. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，过点 C作 CDx轴交抛物线于点 D，连接 BC，BD （1）a= ，b= （2）点 D的坐标为 ；直线 BC 的函数解析式为 ；直线 BD 的函数解析式为 （3）将BOC 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，当点 O 与点 B 重合时，BOC停止运动，记平移后的三角形为BOC在平移过程中，BOC 与BCD重叠的面积记为 S，设平移的时间为t秒，试求 S 与 t之间的函
11、数关系式 2020-2021 学年度九年级上期末教学质量检测数学试卷学年度九年级上期末教学质量检测数学试卷 一、单项选择题一、单项选择题(每小题每小题 2 分，共分，共 12 分分) 1. 一元二次方程2310 xx 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况 【详解】a=1，b=3，c=1 224( 3)4 1 ( 1)130bac 一元二次方程2310 xx 有两个不相等的实数根 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判
12、别式，利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，因此掌握判别式是关键. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，
13、中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3. 将抛物线2yx=向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. 23yx B. 23yx C. 23yx D. 23yx 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可 【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数 yx2向下平移 3 个单位可得到函数23yx， 故选 A 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键 4. 在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前
14、，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 40 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.4， 40.4n， 解得：n=10 故选 A 5. 如图， 点 A是反比例函数4yx 图象上的一个动点， 过点 A 作 ABx轴， ACy轴， 垂足分别为 B， C，则矩形 ABOC 的面积为（ ） A. -4 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形 ABOC的面积等于
15、比例系数的绝对值，即可求解 【详解】解：点 A是反比例函数4yx 图象上的一个动点，过点 A作 ABx 轴，ACy轴， 矩形 ABOC 的面积44 故选：C 【点睛】 本题主要考查了反比函数的几何意义， 熟练掌握本题主要考查了反比例函数0kykx 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积等于k 是解题的关键 6. 如图，AB 是O的弦（AB不是直径） ，以点 A为圆心，以 AB长为半径画弧交O 于点 C，连结AC、BC、OB、OC若ABC=65 ，则BOC的度数是（ ） A. 50 B. 65 C. 100 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据题
16、意得出 AB=AC，进而得出A=50 ，再利用圆周角定理得出BOC=100 【详解】解：由题意可得：AB=AC， ABC=65 ， ACB=65 ， A=50 ， BOC=100 ， 故选：C 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系 二、填空题二、填空题(每小题每小题 3分，共分，共 24 分分) 7. 在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_ 【答案】 （3，2） 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案 【详解】解：平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数， 点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） ， 故答案为
17、（3，2） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标位置关系，难度较小 8. 已知1x是方程0 xa的解，则a_ 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的根的定义把1x代入方程，计算即可 【详解】解：1x是方程20 xa的解， 210a， 解得，1a ， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入原方程即可求解 9. 已知一个反比例函数的图象经过点 P（3，4） ，请你写出该反比例函数图象上异于点 P的另外一个点的坐标_(写出一个即可） 【答案】 （-3，-4） 【解析】 【分析】根据待定系数法求得该反比例函数的解析式，然后假设当3x ，即可求
18、得y的值，进而即可得到点P的坐标 【详解】设该反比例函数的解析式为kyx， 点 P（3，4）在其图像上， 43k， 12k ， 12yx， 当3x 时，1243y ， 点 （-3，-4）在该反比例函数图像上， 故答案为： （-3，-4） 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数以及反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的定义 10. 如图，点（1，0） ， （0，3）在抛物线 y=-x2+bx+c上，且抛物线的对称轴为 x=-1，若 y0，则 x的取值范围是_ 【答案】-3x1 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴的性质以及该抛物线与x轴的交点，可得到该抛物线与x轴的另一个交点，即
19、可求得当 y0， x的取值范围 【详解】抛物线的对称轴为 x=-1，点（1，0）在抛物线上， 该抛物线与x轴的另一个交点与点（1，0）关于 x=-1 对称， 另一个交点为（-3，0） ， 当 y0时，x的取值范围为-3x1， 故答案为：-3x1 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴的性质，抛物线与x轴的交点等性质，解答本题的关键是熟练掌握并运用抛物线的性质进行求解 11. 如图， 一个可以自由转动的转盘被等分成 8 个扇形区域， 并涂上了相应的颜色， 转动转盘， 转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是_ 【答案】38 【解析】 【分析】首先确定在图中黄色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即
20、可求出指针指向黄色区域的概率 【详解】解：圆被等分成 8份，其中黄色部分占 3 份， 指针指向黄色区域的概率是38； 故答案为：38 【点睛】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键 12. 如图，将一个直角三角板 ACB（C=90）绕 60角的顶点 B顺时针旋转，使得点 C 旋转到 AB的延长线上的点 E 处，则三角板旋转了_度 【答案】120 【解析】 【分析】先利用邻补角计算得出CBE=180 -ABC=120 ，再根号旋转的性质得到CBE 等于旋转角，即可得出结论 【详解】解：ABC=60 ， CBE=180 -ABC=120 ， 直角三角板
21、ACB绕顶点 B 顺时针旋转得到DEB， CBE等于旋转角， 三角板旋转了 120 故答案为 120 【点睛】本题考查了旋转的性质，邻补角旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线的夹角等于旋转角 13. 如图，O的半径 OC=10cm，直线 lOC，垂足为 H，且 l交O于 A，B两点，AB=16cm，则 l沿 OC所在直线向下平移_cm 时与O相切 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂径定理可求出182AHABcm，再利用勾股定理可得6OHcm，从而4CHcm，再由 l 与O 相切，则点O 到直线 l 的距离等于 OC=10cm，从而得到 l 沿 OC 所在直线向下平移
22、的距离等于4CHcm，即可求解 【详解】解：直线 lOC，AB=16cm， 182AHABcm ，90AHO ， 10OAOCcm ， 在Rt AOHV 中，由勾股定理得 22221086OHAOAHcm ， 4CHOCOHcm ， 若 l与O 相切， 则点O 到直线 l的距离等于 OC=10cm， l沿 OC所在直线向下平移的距离等于4CHcm 即 l沿 OC所在直线向下平移4cm时与O相切 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键 14. 如图，点 A（m，2） ，B（5，n）在函数kyx（k0，x0）的图象上，将该函数图象
23、向上平移 2个单位长度得到一条新的曲线， 点 A、 B 的对应点分别为 A、 B 图中阴影部分的面积为 8， 则 k 的值为_ 【答案】2 【解析】 【详解】 试题分析： 将该函数图象向上平移 2 个单位长度得到一条新的曲线， 点 A、 B 的对应点分别为 A、B，图中阴影部分的面积为 8，5m=4，m=1，A（1，2） ，k=1 2=2故答案为 2 考点：1反比例函数系数 k 的几何意义；2平移的性质；3综合题 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15. 解方程：x23x+10 【答案】123535,22xx 【解析】 【分析】找出方程中二次项系数 a，一
24、次项系数 b 及常数项 c，计算出根的判别式，由根的判别式大于 0，得到方程有解，将 a，b及 c 的值代入求根公式即可求出原方程的解 【详解】解：a1，b3，c1 b24ac5 x325 故123535,22xx 【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则. 16. 如图，在4 8的网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C，P 都在格点上，按图的程序移动点 P （1）请在图中画出点 P所经过的路径 （2）点 P 经过的路径的总长为 （结果保留） 【答案】 （1）见解析； （2）8 【解析】 分析】 （1）根据旋转度数和旋转方向分别作出弧即可； （2）根据弧长的
25、计算公式分别计算，相加即可 【详解】解： （1）如图所示： （2）根据所画图形可知，三段路程均为半径为 4的圆弧， 且总的旋转度数为：9090180360， 点 P经过的路径的总长为：360 28360rg， 故答案为：8 【点睛】本题考查了旋转作图，弧长公式，根据题意画出旋转后的图形是解题的关键 17. 如图，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2)在反比例函数5yx（x0）的图象上，且 x1x2 （1）请比较 y1，y2的大小：y1 y2（填“”，“”或“=”） （2）若点 A关于 y 轴对称的对称点A在反比例函数kyx（k0）的图象上，则 k的值为 【答案】 （1）； （2）5 【解析】
26、 【分析】 （1）根据反比例函数性质即可完成； （2）根据对称性可得点A的坐标，把此点的坐标代入kyx中即可求得 k的值. 【详解】 （1） 反比例函数5yx（x0）中 k=50 函数值 y 随 x 的增大而减小 x1x2 y1y2 故答案为： （2）点 A（x1，y1）在反比例函数5yx（x0）的图象上 115x y g 点 A关于 y 轴对称的对称点为A 11,Ax y 点A在反比例函数kyx（k0）的图象上 115kx y g 故答案为：5. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关于 y 轴对称的点的坐标，双曲线上点的坐标特征等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键. 18. 如图，O交
27、 x轴于 A，B两点，交 y轴的正半轴于点 C，点 D为第一象限内O 上的一点，连接 AD，OD，CD，已知DAB = 15，CD=2 （1）OCD = 度 （2）OCDS扇形= 【答案】 （1）60； （2）23 【解析】 【分析】 （1）根据圆周角和圆心角的关系，可得30DOB，得到OCDV为等边三角形，即可求解； （2）求得60COD，2ODCD，根据扇形面积公式，即可求解 【详解】解： （1）DAB = 15 230DOBDAB 60CODBOCDOB 又ODOC OCDV为等边三角形 2ODOCCD，60OCDCOD （2）由（1）得60COD，2ODOCCD 由扇形面积公式得260
28、23603OCDODS扇形 【点睛】 此题考查了圆心角与圆周角的关系，扇形面积的计算公式， 熟练掌握相关基本知识是解题的关键 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19. 如图，利用一面墙（墙的长度为 20 米） ，用 34米长的篱笆围成两个鸡场中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道 1 米宽的门，若两个鸡场总面积为 96平方米，求 AB的长 【答案】AB的长为 8 米 【解析】 【分析】设 AB的长为 x米，则边 BC的长为34 32x米，根据题意可列出方程，即可求解 【详解】解：设 AB的长为 x米，则边 BC 的长为34 32x米， 由题意，得34 329
29、6xx， 解得：x1=4，x2=8， 当 x=4 时，34 32x=2420， x1=4 不符合题意，舍去， 当 x=8 时，34 32x=1220， x2=8 符合题意， 答：AB的长为 8 米 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，准确得到等量关系是解题的关键 20. 某中学食堂在某天早餐提供了 A（猪肉包） ，B（鸡蛋） ，C（油饼）三样食品，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐每人一份，每份含有两样不同的食品各一个，食堂师傅在窗口随机发放 （1） 按约定， “小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件 （填“可能”“必然”或“不可能”） （2）请用列表或画树状图的方法，求出
30、小张同学该天早餐刚好得到 A（猪肉包）和 C（油饼）的概率 【答案】 （1）不可能 （2）P（A和C）=13 【解析】 【分析】 （1） 根据题意中的约定，即可分析事件“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是否为确定性事件； （2）用画树状图的方法求出小张同学该天早餐刚好得到 A（猪肉包）和 C（油饼）的概率； 【详解】 （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； 故答案为：不可能； （2）画树状图如图， 共有 6 个等可能的结果，小张同学该天早餐刚好得到 A（猪肉包）和 C（油饼）的结果有 2 个，故 P（A和C）=2163 【点睛】本题考查了随机事件的定义，用列表法或画树状
31、图法求概率，理解题意是解题的关键列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比 21. 如图，在 ABC中，AB=AC，以 AB为直径的O交 BC于点 D，过点 D作 DEAC于点 E （1）求证：DE是O的切线 （2）若B=30，AB=8，求 BD 的长 【答案】 （1）详见解析； （2）4 3 【解析】 【分析】 （1）要想证 DE是 O的切线，只要连接 OD，求证ODE=90即可 （2）利用直角三角形和等边三角形的性质来求 BD的长 【详解】 （1）证明：连接 OD. AB=AC，OB=OD，B=C，B=ODB. C=ODB. ODAC. DEA
32、C，DEOD. DE是O的切线 （2）解：连接 AD. AB 是O的直径，ADB=90 . B=30 ，AB=8， 142ADAB. 2222844 3BDABAD. 【点睛】考核知识点：切线判定理解切线判定定理是关键 22. 如图，在矩形 OABC中，OA=3，OC=2，点 F 在 AB 上（点 F 不与点 A，B 重合） ，OA，OC 分别在 x 轴，y 轴上，过点 F的反比例函数kyx（k0）的图象与 BC边交于点 E （1）点 E坐标为 ，点 F 的坐标为 （用含 k的式子表示） （2）求 k为何值时，EFA 的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】 （1） （2k，2） ， （3，3k
33、） ； （2）k=3时，最大面积34 【解析】 【分析】 （1）由于点 E 是矩形 OABC 的边 BC 上的一点，可得点 E 的纵坐标，再把点 E 的纵坐标代入反比例函数关系式中即可得到点 E 的坐标；根据点 F 在 AB 上可得点 F 的横坐标，再把点 F 的横坐标代入反比例函数关系式中即可得到点 F 的坐标 （2）根据 E、F的坐标得到 AF，BE 的长，利用 SEFA=12AFBE 可得到关于 k的二次函数，将二次函数配方即可得解 【详解】解： （1）四边形 OABC 是矩形，OA=3，OC=2， AB=2，BC=2， 点 E是反比例函数kyx（k0）的图象与 BC边的交点， 点 E的
34、纵坐标为 2， 将 y=2代入kyx，得2kx， 解得 x=2k， 点 E坐标为（2k，2） ， 点 F在 AB上， 点 F的横坐标为 3， 将 x=3代入kyx，得3ky ， 点 F的坐标为（3，3k） （2）点 E坐标为（2k，2） ，点 F的坐标为（3，3k） ， CE=2k，AF=3k， BE=BC-CE=3-2k， SEFA=12AFBE=123k(3-2k)=2122kk=112(k-3)2+34 当 k=3 时，S有最大值，S最大值=34 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题等知识用 k 表示出EFA的面积时解（2）题的关键 五、解答题五
35、、解答题(每小题每小题 8分，共分，共 16 分分) 23. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米，则水面 CD 的宽是 10 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物（货物与货船同宽） 问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】 （1）2125yx （2）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【解析】 【详解】解： （1）设抛物线解析式为2yax 设点(10, )Bn，点5,3Dn 由题意： 100325nana 解得4125
36、na 2125yx （2）方法一： 当3x 时，1925 y 9( 4)325 .6 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 方法二： 当23.645 y时，221525 x 10 x |10 | 3 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 24. 如图， 点 O 为正方形 ABCD 的中心， 分别延长 OA， OD 到点 F， E， 使 OF=2OA， OE=2OD， 连接 EF 将EOF 绕点 O逆时针旋转得到E1OF1（如图） ，连接 AE1，BF1 （1）探究 AE1与 BF1的数量关系，并给予证明 （2）当 OAAE1时，= 度 【答案】 （1）AE1=BF1，见解析； （2）30 【解
37、析】 【分析】 （1）利用旋转的性质得到 OE1=OF1， F1OE1=FOE，求得E1AOF1BO，即可求解； （2）取1OE 中点G，连接AG，得到AGOV为等边三角形，即可求解 【详解】解： （1）AE1=BF1 点 O为正方形 ABCD中心， OA=OD OF=2OA，OE=2OD，OE=OF 将EOF 绕点 O逆时针旋转 得到E1OF1， OE1=OF1， F1OE1=FOE=90 E1OA+=F1OB+=90 F1OB=E1OA 又OA=OB， E1AOF1BO AE1=BF1 （2）取1OE 中点G，连接AG OAAE1 190OAE 112AGOGOE 由（1）得112OAOE
38、 AGOGOA AGOV为等边三角形 60AOG 在正方形 ABCD中，90AOD 30 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质以及直角三角形的有关性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键 六、解答题六、解答题(每小题每小题 10分，共分，共 20 分分) 25. 如图，在 Rt ABC 中，C=90，A=45，AC=2 2动点 P从点 A出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B运动.过点 P作 PDAC于点 D（点 P不与点 A，B 重合） ，作DPQ=45，边 PQ交射线 DC 于点 Q设点 P的运动时间为 t秒 （1）线段 DC的长为 （用含 t的式子表示） （2）当点
39、Q与点 C 重合时，求 t的值 （3）设 PDQ 与 ABC重叠部分的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式 【答案】 （1）2 22t； （2）1t ； （3）当 0t1 时，2St，当 1t2 时，2384Stt . 【解析】 【分析】 （1）先证明ADDP ，再由勾股定理，即可求解； （2）由点 Q与点 C 重合，可得 2AD=AC，从而2 22 2t ，即可求解； （3）分两种情况讨论：当 0t1时；当 1t2时，即可求解 【详解】解： （1）PDAC， 90ADP ， A=45， 45APD ， ADDP ， 在RtADP 中，由勾股定理得： 22222APADDPAD ， 点
40、P的运动时间为 t秒，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动， 2APt ， 2222tAD ，解得：2ADt ， AC=2 2， 2 22DCACADt； （2）PDAC，A=DPQ=45， A=PQD=45， PA=PQ， AD=DQ ， 点 Q与点 C重合， AD+DQ=AC， 2AD=AC， 即2 22 2t ， 解得1t ； （3）当 0t1 时， 2112222PDQPDASSSAD DPtttVV， 当 1t2 时，如图，设 PQ 交 BC 于点 E，则2AQAD ， 2 22 2QCAQACt， 22112 22 24122()()VQ
41、CESQC CEtt 22241384()VVPQDQCESSStttt 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点问题，理解题意，利用方程思想解答问题是解题的关键 26. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，过点 C作 CDx轴交抛物线于点 D，连接 BC，BD （1）a= ，b= （2）点 D的坐标为 ；直线 BC 的函数解析式为 ；直线 BD 的函数解析式为 （3）将BOC 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，当点 O 与点 B 重合时，BOC停止运动，记平移后的三角形为BOC在平移过程
42、中，BOC 与BCD重叠的面积记为 S，设平移的时间为t秒，试求 S 与 t之间的函数关系式 【答案】 （1）1，2； （2） （2，3） ；y=-x+3；y=-3x+9； （3）2253 (02)469(23)tttSttt 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2） 先求出0,3C ， 再根据 CDx轴，D 在抛物线上， 用待定系数法即可求出直线 BC 的函数解析式，直线 BD 的函数解析式； （3）分两种情况讨论：0t2和 2t3，即可求解 【详解】解： （1）抛物线 y=ax2+bx+3（a0）与 x轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 309330abab ，
43、解得：12ab ， 抛物线解析式为2yx2x3 ； （2）当0 x 时，3y ， 0,3C ， CDx 轴， 点D 的纵坐标为3 ， 当3y 时，有2323xx ， 解得：2x 或0 （舍去） ， D（2，3） ； 设直线 BC的函数解析式为1110yk xb k ， 把 B（3，0） ，0 , 3C ，代入得： 111303kbb ，解得：1113kb ， 直线 BC的函数解析式为 y=-x+3； 设直线 BD的函数解析式为2220yk xbk， 把点 B（3，0） ，D（2，3）代入，得： 22223023kbkb，解得：2239kb ， 直线 BD的函数解析式为 y=-3x+9； （3）
44、当 0t2时，设OC 交 BC于点 E，CB 交 BD 于点 F， 由题意得，可设直线CB 的解析式为 y=33 xtxt， 联立直线BD ，可得： 339xtyxy ，解得：6232ttyx ， F63()22tt， BCDCC EC DFSSSSVVV =11132 3(2)(3)2222tt tt ， 整理得： S=-54t2+3t， 当 2t3时， 设OC 与 BD，BC 分别交于点 G，H，则 G（t，-3t+9） ，H（t，-t+3）. 0 SGHB= 139332 ttt. 整理得 S=t2-6t+9. 综上所述，2253 (02)469(23)tttSttt 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x 轴的交点，动态问题和二次函数的结合，利用分类讨论的思想是解题的关键
