1、20212022 学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3分，满分分，满分 24 分）分） 1. 下列方程中，一元二次方程是（ ） A. 10 xx B. x210 C. ax2bxc0 D. xy10 2. 在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有 16 名学生参加比赛，规定前 8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这 16名学生成绩的（ ） A. 中位数 B. 方差 C. 平均数 D. 众数 3. 根据下面表格中的对应值判断关于 x的方程 ax2bxc0（
2、a0）的一个解 x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 ax2bxc 0.02 0 01 0.03 A. x3.24 B. 3.24x3.25 C 3.25x3.26 D. x3.26 4. 已知线段 a2，b4，如果线段 b 是线段 a和 c的比例中项，那么线段 c的长度是（ ） A. 22 B. 6 C. 8 D. 2 5. 如图，已知 CD为O的直径，过点 D的弦 DE平行于半径 OA，若弧 CE的度数是 92，则C 的度数是（ ） A. 46 B. 88 C. 24 D. 23 6. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，若1S表示以PA为一边的正方形的面积，2S表示
3、长为AB，宽为PB的矩形的面积，则1S与2S的大小关系是（ ） A. 12SS B. 12SS C. 12SS D. 无法确定 7. 下列说法中： （1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧； （2）半圆是弧； （3）长度相等的弧是等弧； （4）平分弦的直径垂直于这条弦；正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x满足的方程是（ ） A
4、. （1+x）21110 B. （1+x）2109 C. 1+2x1110 D. 1+2x109 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共计分，共计 30 分） 分） 9. 方程 x22x解是_ 10. 已知关于 x 的一元二次方程（m2）x2+2x+10有实数根，则 m的取值范围是_ 11. 在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数_ 12. 一组数据 2，3，x，6 的极差是 6，则 x=_ 13. 如图，AOBV三个顶点的坐标分别为(5,0),
5、(0,0), (3,6)AOB，以点O为位似中心，相似比为23，将AOBV缩小，则点B的对应点B的坐标是_ 14. 如图，四边形 ABCD是O内接四边形，O的半径为 5，B135，则弦 AC 的长为_ 15. 如图，在O中，弦 AB2，点 C在 AB上移动，连结 OC，过点 C 作 CDOC交O于点 D，则 CD的最大值为_ 16. AB为O的弦，OAB40，则弦 AB所对的弧的度数为_ 17. 在同一平面内，点 P到圆上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，则此圆的半径为_ 18. 已知关于 x 的方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1，那么关于 x的方程a（
6、x+c2）2+b0 的两根分别为_ 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）x22x6 （2） （2x3）2x20 20. 已知关于 x 的方程 x2+mx+m-2=0. (1)若此方程的一个根为 1,求 m的值； (2)求证：不论 m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 21. 省射击队为从甲、 乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛， 对他们进行了六次测试， 测试成绩如下表 （单位：环） ： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10
7、8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由 22. （1）如图，将 A、B、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是 A、B、C 的概率； （2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将 A、B、C、D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的概率为 23. 图中是圆弧拱桥，某天测得水
8、面 AB宽 20m，此时圆弧最高点距水面 5m （1）确定圆弧所在圆的圆心 O （尺规作图，保留作图痕迹） （2）求圆弧所在圆的半径 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 25. 如图，Rt ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 的中点，CEAD，垂足为 E. （1）求证：CD2=DE AD； （2）求证：BED=ABC. 26. 如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B当他走到点 P时，
9、发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 A 的底部；当他向前再步行 12m到达点 Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B的底部已知小华的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m，且 APQB （1）求两个路灯之间的距离 （2）当小华走到路灯 B 的底部时，他在路灯 A下的影长是多少？ 27. 如图在 ABC中AB4，D是 AB上的一点（不与点 A、B重合） ，DEBC交于点 E设 ABC的面积为 S DEC 的面积为 S （1）当 D是 AB中点时求SS的值 （2）若 ADx，SSy，求 y 关于 x的函数关系式以及自变量 x的取值范围 （3）根据 y 的取值范围，探索 S 与 S之间
10、的大小关系并说明理由 28. 如图，在 Rt ABC中，C=90 ，AC=BC=8，点 P 为 AB 的中点，E为 BC上一动点，过 P 点作 FPPE交 AC于 F点，经过 P、E、F三点确定O （1）试说明：点 C 也一定在O 上 （2）点 E 在运动过程中，PEF的度数是否变化？若不变，求出PEF的度数；若变化，说明理由 （3）求线段 EF的取值范围，并说明理由 20212022 学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3分，满分分，满分 24 分）分） 1. 下列方程中
11、，一元二次方程是（ ） A. 10 xx B. x210 C. ax2bxc0 D. xy10 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可 【详解】解：A10 xx分式方程，故此选项不符合题意 Bx2+10是一元二次方程，故此选项符合题意； C当 a0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意； Dxy10是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念， 判断一个方程是否是一元二次方程， 首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最
12、高次数是 2 2. 在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有 16 名学生参加比赛，规定前 8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这 16名学生成绩的（ ） A. 中位数 B. 方差 C. 平均数 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的意义进行求解即可 【详解】解：16 位学生参加比赛，取得前 8名的学生进入决赛，中位数就是第 8、第 9 个数的平均数， 因而要判断自己能否晋级，只需要知道这 16 名学生成绩的中位数就可以 故选：A 【点睛】本题考查了中位数的意义，掌握中位数的意义是解题的关键 3. 根据下面表格中的对应值判断关于 x的方程 ax2bxc0（a0
13、）的一个解 x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 ax2bxc 0.02 0.01 0.03 A. x3.24 B. 3.24x3.25 C. 3.25x3.26 D. x3.26 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据得到 x3.24 时，ax2+bx+c0.02；x3.25 时，ax2+bx+c0.01，则 x取 2.24到 2.25之间的某一个数时， 使 ax2+bx+c0， 于是可判断关于 x的方程 ax2+bx+c0 （a0） 的一个解 x 的范围是 3.24x3.25 【详解】解：x3.24时，ax2+bx+c0.020， 关于 x的方程 ax2+bx+c0（a0
14、）的一个解 x 的范围是 3.24x3.25 故选：B 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，掌握估算一元二次方程的近似解是解题关键 4. 已知线段 a2，b4，如果线段 b 是线段 a和 c的比例中项，那么线段 c的长度是（ ） A. 22 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据比例线段的定义列式求解即可， 在同一单位下， 四条线段长度为 a、 b、 c、 d， 其关系为 ab=cd，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线
15、段；如果三个数 a，b，c 满足比例式 ab=bc，则 b就叫做 a，c 的比例中项 【详解】解：由题意，2bac， 242c， 8c ， 故选：C 【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键 5. 如图，已知 CD为O的直径，过点 D的弦 DE平行于半径 OA，若弧 CE的度数是 92，则C 的度数是（ ） A. 46 B. 88 C. 24 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】连接 OE，利用圆周角定理求出CDE46 ，再利用平行线的性质求出AOD46 ，最后再利用圆周角定理可得结论 【详解】解：如图，连接 OE， 弧 CE 的度数是 92 ， COE92
16、， CDE12COE46 ， OADE， AODCDE46 ， C12AOD23 ， 故选：D 【点睛】 本题考查了圆的对称性、 圆周角定理以及平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键 6. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，若1S表示以PA为一边的正方形的面积，2S表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则1S与2S的大小关系是（ ） A. 12SS B. 12SS C. 12SS D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到 PA2=PBAB，再利用正方形和矩形的面积公式有 S1=PA2，S2=PBAB，即可得到 S1=S2 【详解】解：P 是线段 A
17、B 的黄金分割点，且 PAPB， PA2=PBAB， 又S1表示 PA为一边的正方形的面积，S2表示长是 AB，宽是 PB的矩形的面积， S1=PA2，S2=PBAB， 又PA2=PBAB， S2= PA2 S1=S2 故选 B 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点 7. 下列说法中： （1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧； （2）半圆是弧； （3）长度相等的弧是等弧； （4）平分弦的直径垂直于这条弦；正确的个数有（ ） A. 0个
18、 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论逐一判断即可得答案. 【详解】 （1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意， （2）半圆是弧，故符合题意， （3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意， （4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意， 其中真命题的个数有 2个. 故选 C 【点睛】本题考查垂径定理、半圆的定义、等弧的定义及垂径定理的推论，熟练掌握定理及定义是解题关键. 8. 股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当
19、跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x满足的方程是（ ） A. （1+x）21110 B. （1+x）2109 C. 1+2x1110 D. 1+2x109 【答案】B 【解析】 【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能10%，所以至少要经过两天的上涨才可以设平均每天涨 x，每天相对于前一天就上涨到 1x 【详解】解：假设股票的原价是 1，平均增长率为x 则 90%（1x）21， 即（1x）2109， 故选 B 【点睛】此题考查增长率的定义及由实际问题
20、抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨 x 后是原来价格的（1x）倍 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共计分，共计 30 分） 分） 9. 方程 x22x的解是_ 【答案】x10，x22 【解析】 分析】先移项得到 x22x0，再把方程左边进行因式分解得到 x（x2）0，方程转化为两个一元一次方程：x0 或 x20，即可得到原方程的解为 x10，x22 【详解】解：x22x0， x（x2）0， x0 或 x20， x10，x22 故答案为：x10，x22 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解
21、题的关键 10. 已知关于 x 的一元二次方程（m2）x2+2x+10有实数根，则 m的取值范围是_ 【答案】m3且 m2 【解析】 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac的意义得到 m20 且0，即224 （m2）10，然后解不等式组即可得到 m的取值范围 【详解】解：关于 x的一元二次方程（m2）x2+2x+10 有实数根， m20 且0，即 224 （m2）10，解得 m3， m 的取值范围是 m3且 m2 故答案为 m3且 m2 【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程有实数根可得0 11. 在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级
22、第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数_ 【答案】50和 25 【解析】 【详解】解：50、25 出现了 2次，出现的次数最多，则众数是 50 和 25， 故答案为 50和 25 12. 一组数据 2，3，x，6 的极差是 6，则 x=_ 【答案】8 或 0 【解析】 【详解】（1）若 x 是最大的数，则 x=8 （2）若 x 是最小的数，则 x=0 13. 如图，AOBV三个顶点的坐标分别为(5,0),(0,0), (3,6)AOB，以点O为位似中心，相似比为23，将AOBV缩小，则点B
23、的对应点B的坐标是_ 【答案】(2,4)或( 2, 4) 【解析】 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为 k，位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k，把 B点的横纵坐标分别乘以23或23即可得到点 B的坐标 【详解】解：以点O为位似中心，相似比为23，将AOBV缩小， 点(3,6)B的对应点 B的坐标是（2，4）或（-2，-4） 故答案为： （2，4）或（-2，-4） 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k 14. 如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，O的半径为 5，B135，则弦 AC
24、 的长为_ 【答案】5 2 【解析】 【分析】 连接OA、OC， 根据圆内接四边形的性质和已知条件求出D的度数， 根据圆周角定理求出AOC，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可 【详解】 如图所示，连接OA、OC、AC， Q四边形ABCD是Oe的内接四边形， 180BD ， 135B Q， 45D， 290AOCD ， OQe的半径为 5， 22555 2AC， 故答案为：5 2 【点睛】本题考查了圆的性质，掌握圆内接四边形对角互补与同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系是解题的关键. 15. 如图，在O中，弦 AB2，点 C在 AB上移动，连结 OC，过点 C 作 CDOC交O于点 D，则 C
25、D的最大值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】连接 OD，根据勾股定理求出 CD，利用垂线段最短得到当 OCAB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可 【详解】连接 OD，如图， CDOC， DCO90 ， CD22ODOC22rOC， 当 OC的值最小时，CD的值最大， 而 OCAB时，OC最小，此时 D、B 两点重合， CDCB12AB12 21， 即 CD的最大值为 1， 故答案为 1 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键 16. AB为O的弦，OAB40，则弦 AB所对的弧的度数为_ 【答案】100 或 260 #26
26、0 或 100 【解析】 【分析】根据半径相等求得40OBA，再根据三角形内角和定理求出AOB，再求出劣弧，优弧的度数即可 【详解】解：如图， OAOB， OABOBA40 ， AOB180 40 40 100 ， 弦 AB 所对的弧的度数为 100 或 260 ， 故答案为：100 或 260 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆心角与弧的度数的关系，求得圆心角的度数是解题的关键 17. 在同一平面内，点 P到圆上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，则此圆的半径为_ 【答案】3 或 4#4或3 【解析】 【分析】由于点 P 与O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论 【详解】设O的半
27、径为 r， 当点 P在圆外时，7 132r； 当点 P在O内时，7 142r 综上可知，此圆的半径为 3 或 4 故答案为：3或 4 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键 18. 已知关于 x 的方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1，那么关于 x的方程a（x+c2）2+b0 的两根分别为_ 【答案】3,0 【解析】 【分析】方法一：根据方程 a（x+c）2+b0（a，b，c 为常数，a0）的两根分别为2，1，代入进行转化，即可得到 c 的值，再进行代入方程 a（x+c2）2+b0，得到其两根；方法二：将 x+c 看
28、成一个整体，由方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1，可以得到方程 a（x+c2）2+b0的两根 【详解】解：方法一：方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1， a（2+c）2+b0或 a（1+c）2+b0， （2+c）2ba或（1+c）2ba， 2+c+1+c0， 解得，c0.5， （2+0.5）2ba， ba94， a（x+c2）2+b0， （x+0.52）294， 解得，x13，x20， 故答案为：3，0 方法二：方程 a（x+c）2+b0（a，b，c为常数，a0）的两根分别为2，1， 方程 a（x+c2）2+b0 的两根分别
29、为：2+20 或 1+23， 故答案为：3，0 【点睛】考查含有参数的一元二次方程的解法，学生根据已知条件既可以直接求出参数的值，继而求出另一个含有相同参数的方程的根或者将含参整式看成一个整体，由此得到另一个方程的根 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 96分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）x22x6 （2） （2x3）2x20 【答案】 （1）117 x或217 x； （2）11x 或23x 【解析】 【分析】 （1）方程两边同时加上 1，利用配方法解方程即可； （2）利用分解因式求出
30、即可 【详解】 （1）226xx， 22161xx ，即2(1)7x， 17x ， 117x 或217 x； （2）22(023)xx， (23)(23)0 xxxx ， 330 x 或30 x ， 11x或23x 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关解法是关键 20. 已知关于 x 的方程 x2+mx+m-2=0. (1)若此方程的一个根为 1,求 m的值； (2)求证：不论 m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 （1）12；（2）证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当 0，方程有两
31、个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 （1）直接把 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0 求出 m 的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可 解： （1）根据题意，将 x=1 代入方程 x2+mx+m2=0， 得：1+m+m2=0， 解得：m=12； （2）=m24 1 （m2）=m24m+8=（m2）2+40， 不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 考点：根的判别式；一元二次方程的解 21. 省射击队为从甲、 乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛， 对他们进行了六次测试， 测试成绩如下表 （单位：环） ： 第
32、一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙 10 7 10 10 9 8 （1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由 【答案】 （1）9；9； （2）甲的方差为23，乙的方差为43，甲，见解析 【解析】 【分析】 （1）根据表格中的数据可以算出甲和乙的平均环数； （2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题 【详解】解： （1）甲的平均成绩是： （10+8+9+8+10+9） 69（环） ， 乙的平均成绩是
33、： （10+7+10+10+9+8） 69（环） ， （2）推荐甲参加全国比赛更合适，理由： 甲的方差是：16 2 （109）2+2 （89）2+2 （99）223 ， 乙的方差是：16 3 （109）2+（79）2+（89）2+（99）243， 2433 ， 推荐甲参加全国比赛更合适 【点睛】本题主要考查了求方差和平均数，理解一组数据方差越小，波动越小，越稳定是解题的关键 22. （1）如图，将 A、B、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是 A、B、C 的概率； （2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，
34、将 A、B、C、D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复） ，从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的概率为 【答案】 （1）16； （2）124 【解析】 【分析】（1）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是 A、B、C 的种数即可求出其概率； （2）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的种数即可求出其概率； 【详解】解： （1） 如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是 A、B、C（记为事件 A）的结果有一种，所以 P(A)16； （2）由（1）可知从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D
35、 的概率为：124 23. 图中是圆弧拱桥，某天测得水面 AB宽 20m，此时圆弧最高点距水面 5m （1）确定圆弧所在圆的圆心 O （尺规作图，保留作图痕迹） （2）求圆弧所在圆的半径 【答案】 （1）见解析； （2）12.5m 【解析】 【分析】 （1）利用垂径定理得出垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径； （2）利用垂径定理以及勾股定理，即可得出答案 【详解】 （1）如图，圆心O即为所求； （2）设圆弧拱桥最高点为C，连接OA、OC交AB于D， 则OCAB，5mCD，110m2ADAB， 设mODx，则(5)mOAOCx， 在RtAOD中，222OAODAD，即222(5)1
36、0 xx， 解得:7.5x， 7.5512.5(m)OA， 圆半径为12.5m 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键 24. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】衬衫的单价降了 15 元 【解析】 【详解】试题分析：设衬衫的单价降了 x 元根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可 试题解析：设衬衫的单价降了 x 元根据题意，得
37、 （20+2x） （40 x）=1250， 解得：x1=x2=15， 答：衬衫的单价降了 15 元 25. 如图，Rt ABC 中，ACB=90 ，D 是 BC 的中点，CEAD，垂足为 E. （1）求证：CD2=DE AD； （2）求证：BED=ABC 【答案】 （1）证明见试题解析； （2）证明见试题解析 【解析】 【分析】 （1）证明 CDEADC 即可； （2）证明 BDEADB即可得到结论 【详解】 （1）CEAD CED=ACB=90 CDE=ADC CDEADC CDDEADCD CD2=DE AD； （2）D是 BC的中点 BD=CD CD2=DE AD； BD2=DE AD
38、BDDEADBD 又ADB=BDE BDEADB BED=ABC 考点：相似三角形的判定与性质 26. 如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B当他走到点 P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 A 的底部；当他向前再步行 12m到达点 Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B的底部已知小华的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m，且 APQB （1）求两个路灯之间的距离 （2）当小华走到路灯 B 的底部时，他在路灯 A下的影长是多少？ 【答案】 （1）18 米； （2）3.6米 【解析】 【分析】 （1）如图 1，先证明APMABD，利用相似比可得 AP16AB，即得 BQ16
39、AB，则16AB+12+16ABAB，解得 AB18（m） ； （2） 如图 2， 他在路灯 A下的影子为 BN， 证明NBMNAC， 利用相似三角形的性质得1.6189.6BNBN，然后利用比例性质求出 BN即可 【详解】解： （1）如图 1，PMBD， APMABD， APPMABBD，即1.69.6APAB， AP16AB， QB=AP， BQ16AB， 而 AP+PQ+BQAB， 16AB+12+16ABAB， AB18 答：两路灯距离为 18m； （2）如图 2，他在路灯 A下的影子为 BN， BMAC， NBMNAC， BNBMANAC，即1.6189.6BNBN，解得 BN3.6
40、 答：当他走到路灯 B时，他在路灯 A下的影长是 3.6m 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质， 要求学生能根据题意画出对应图形， 能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法 27. 如图在 ABC中AB4，D是 AB上的一点（不与点 A、B重合） ，DEBC交于点 E设 ABC的面积为 S DEC 的面积为 S （1）当 D是 AB的中点时求SS的值 （2）若 ADx，SSy，求 y 关于 x的函数关系式以及自变量 x的取值范围 （3）根据 y 的取值范围，探索 S 与 S之间的大小关系并说明理由 【
41、答案】 （1）1：4； （2）y116x2+14x，0 x4； （3）S14S 【解析】 【分析】（1） 先求出 E 点是 AC 中点， 再得到 ADE和 CDE 的面积相等， 根据平行线得出 ADEABC，推出ADEABCSS（ADAB）2，把 AB2AD代入求出即可； （2）求出ADEABCSS116x2，ADEDECSSAEEC4xx， 即可得出答案； （3）由（2）知 x的取值范围是 0 x4，于是得到 ySS116x2+14x116（x2）2+1414，即可得到结论 【详解】解： （1）D为 AB 中点， AB2AD， DEBC， 12ADAEABAC 12AEAC AEEC， AD
42、E的边 AE 上的高和 CED 的边 CE上的高相等， S ADES CDES， DEBC， ADEABC， ADEABCSS（ADAB）2（12）214， S：S1：4； （2）AB4，ADx， ADEABCSS（ADAB）2（4x）2， ADEABCSS116x2， DEBC， ADEABC， ADABAEAC， AB4，ADx， AEAC4x， AEEC4xx ADE的边 AE 上的高和 CED 的边 CE上的高相等， ADEDECSSAEEC4xx， 得： ySS116x2+14x， AB4， x的取值范围是 0 x4； （3）由（2）知 x的取值范围是 0 x4， ySS116x2+
43、14x116（x2）2+1414， S14S 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键 28. 如图，在 Rt ABC中，C=90 ，AC=BC=8，点 P 为 AB 的中点，E为 BC上一动点，过 P 点作 FPPE交 AC于 F点，经过 P、E、F三点确定O （1）试说明：点 C 也一定在O 上 （2）点 E 在运动过程中，PEF的度数是否变化？若不变，求出PEF的度数；若变化，说明理由 （3）求线段 EF的取值范围，并说明理由 【答案】 （1）证明见解析（2）PEF 的度数不变，是 45 （3
44、）E 【解析】 【分析】 （1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得 EF 是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点 C 在圆上即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得 PE=PF，得到 PEF是等腰直角三角形； （3）根据 E点的移动，可知当 E与 C 重合时，EF最长，而当 EF 为 ABC 的中位线时，EF 最短，求出即可. 【详解】解： （1）FPPE， FPE=90 ， EF 为直径， OP=OE=OF， C=90 ， OC=OE=OF， 点 C在O上， （2）连接 PC AC=BC， ABC是等腰直角三角形， 点 P是 AB的中点， CP平分ACB， ACP=45 ， FPFP， ACP=PEF=45 ， 由于ACP度数不变， PEF的度数不会发生变化 （3）当 E 与 C重合时，EF 最长，此时 EF=AC=8； 当 EF为 ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得 AB=82， 根据三角形的中位线可得 EF=42， 所以4 2EF8
