1、2021-2022 学年度第一学期八年级期中考试学年度第一学期八年级期中考试数学数学试题试题 第第卷卷 一、选择题一、选择题(24 分分) 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 12、15、18 B. 0.3、0.4、0.5 C. 12、16、20 D. 1.5、3、2.5 3. 下列说法中，错误的是 （ ） A. 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B 等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴 C. 成轴对称的两个三角形一定全等 D. 全等的两个三角形一定成轴对称 4. 一个角的平分线的尺规作图的理论依据是（ ）
2、A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 5. 如图，点 D 在ABC的边 AC上，将ABC沿 BD翻折后，点 A 恰好与点 C重合，若 BC=5，AC=6，则BD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图， 在 Rt ABC中， B=90 ，DE是 AC 的垂直平分线， 交 AC于点 D， 交 BC于点 E 已知BAE=20 ，则C的度数为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 7. 如图,在 ABC中,ACB=90 , ABC=60 , BD 平分ABC ,P 点是 BD 的中点,若 AD=6, 则 CP 的长为( ) A. 3.5 B
3、. 3 C. 4 D. 4.5 8. 如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积和为 10，2号、3 号两个正方形的面积和为 8，则 a，b，c 三个正方形的面积和为（ ） A. 18 B. 26 C. 28 D. 34 二、填空题（二、填空题（30 分）分） 9. 如图，AB=AC，要使VABEVACD，应添加的条件是_（添加一个条件即可） 10. 小强站在镜前,从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是_. 11. 如图，在 RtABC中，C90 ，AD平分BAC交 BC于点 D，若 CD5，则点 D到斜边 AB的距离为_ 12. 若直角三角形的两条直角边分
4、别 5和 12，则斜边上的中线长为 _ 13. 等腰三角形的两边长为 4，9，则它的周长为_ 14. 如图，已知 P、Q是VABC 的边 BC上的两点，且 BP=QC=PQ=AP=AQ，则BAC=_ 15. 如图，已知 OB、OC为ABC角平分线，过点 O作 DEBC交 AB、AC于 D、E，若 AB7，AC5，则ADE的周长为_ 16. 如图， 我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为 1、13，则直角三角形两直角边的和ab_ 17. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm， 高为5cm.若一只蚂蚁从P点
5、开始经过 4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是_cm. 18. 如图，在等腰直角三角形 ABC中，C=90，AC=BC=6，点 D是 AB中点，E、F 在射线 AC与射线CB 上运动，且满足 AE=CF；则在运动过程中DEF 面积的最小值为_ 第第卷卷 三、解答题三、解答题(96 分分) 19 如图， 在 ABC 中， D是 BC边上的点 （不与 B， C重合） ， F， E 分别是 AD及其延长线上的点， CFBE 请你添加一个条件，使 BDECDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明 （1）你添加的条件是：_； （2）证明： 20. 如图，在长度为
6、 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC关于直线 l成轴对称ABC； （2）在直线 l上找一点 Q，使得 BQ=AQ； （3）在直线 l上找一点 P，使 PB+PA 的长最短 21. 已知，如图， ABC和 ECD 都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90 ，D 为 AB 边上一点求证：BD=AE 22. 如图所示，在 ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，把 ABC 折叠，使 AB落在直线 AC 上 （1）判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）求重叠部分(阴影部分)的面积 23. 如图，ABC 中，AB=AC=5，AB的垂直平分
7、线 DE 交 AB、 AC于 E、D （1） 若BCD的周长为 8，求 BC 的长； （2）若 BD平分ABC，求BDC的度数 24. 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE=DF 25. 如图，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求证： （1）AEFCEB； （2）AF=2CD 26. 如图，ABC 中，AD是高，CE是中线，点 G是 CE的中点，DGCE，点 G 为垂足 （1）说明 DC=BE； （2）若AEC=63，求BCE 的度数 27. 如图，长方形 ABCD中，10AB，4ADE为 CD 边上一点，7CE （1）求 AE
8、的长； （2）点 P从点 B出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着边 BA向终点 A 运动，连接 PE设点 P运动的时间为 t秒 当 t为何值时，PAE是等腰三角形； 当 t=_时，PEAE 28. （1）问题背景： 如图 1，在四边形 ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，EF分别是 BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段 BE，EF，FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G，使 DGBE，连结 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_； （2）探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD中，ABAD，BD180，E，
9、F分别是 BC，CD 上的点，且EAF12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图 3，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，点 M，N在边 BC上，且MAN45若 BM12，CN16，则 MN 的长为_ 2021-2022 学年度第一学期八年级期中考试数学试题学年度第一学期八年级期中考试数学试题 第第卷卷 一、选择题一、选择题(24 分分) 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【详解】解：选
10、项 A 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项 B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 12、15、18 B. 0.3、0.4、0.5 C. 12、16、20 D. 1.5、3、2.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理与勾股数为正整数的特征对各选项进行一一判定即可 【详解】解：122+152=144+225=
11、369182，故选项 A不是勾股数； 0.3、0.4、0.5 不是整数，故选项 B不是勾股数； 122+162=144+256=400=202，故选项 C是勾股数； 1.5、3、2.5不是整数，故选项 D 不是勾股数； 故选 C 【点睛】本题考查勾股数，掌握勾股数是正整数，勾股定理逆定理是解题关键 3. 下列说法中，错误的是 （ ） A. 任意两条相交直线都组成一个轴对称图形 B. 等腰三角形最少有 1 条对称轴，最多有 3 条对称轴 C. 成轴对称的两个三角形一定全等 D. 全等的两个三角形一定成轴对称 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为任意两条相交直线的夹角平分线是其对称轴，都能
12、组成一个轴对称图形，所以 A正确；因为等腰三角形有 1 条对称轴，等腰三角形三条边都相等时有 3 条对称轴，所以 B 正确，因为根据成轴对称的性质可知；成轴对称的两个三角形一定全等，所以 C 正确；因为全等的两个三角形不一定成轴对称，所以 D 错误，故选 D 考点：命题与定理. 4. 一个角平分线的尺规作图的理论依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【详解】连接 NC，MC， 在ONC 和OMC中， ON=OM ，NC=MC，OC=OC ， ONCOMC（SSS）， AOC=BOC， 故选 B. 5. 如图，点 D 在ABC的边 AC上，将
13、ABC沿 BD翻折后，点 A 恰好与点 C重合，若 BC=5，AC=6，则BD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折的性质可得：ABDCBD，得出ADB=CDB=90 ，进一步在 RtBCD 中利用勾股定理求得 BD的长即可 【详解】解：将ABC沿 BD 翻折后，点 A 恰好与点 C重合， ABDCBD， ADB=CDB=90 ，AD=CD=132AC ， 在 RtBCD 中， BD=22BCCD=2253=4 故选 D 【点睛】本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化
14、，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用 6. 如图， 在 Rt ABC中， B=90 ，DE是 AC 的垂直平分线， 交 AC于点 D， 交 BC于点 E 已知BAE=20 ，则C的度数为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】B 【解析】 【详解】解：ED是 AC的垂直平分线，AE=CE，C=EACB=90 ，BAE=20 ， AEB=2C=90 20 =70 ，C=35 故选 B 点睛：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解答此题的关键是推出C=CAE 7. 如图,在 ABC中,ACB=90 , ABC=60 , BD 平分AB
15、C ,P 点是 BD 的中点,若 AD=6, 则 CP 的长为( ) A. 3.5 B. 3 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【详解】解：ACB90 ，ABC60 ， A30 ， BD平分ABC， ABD12ABC30 ， AABD， BDAD6， 在 Rt BCD中，P点是 BD 的中点， CP12BD3 故选 B 8. 如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积和为 10，2号、3 号两个正方形的面积和为 8，则 a，b，c 三个正方形的面积和为（ ） A. 18 B. 26 C. 28 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】由图可以得到 a、b、c 三个正方形的面积与
16、1 号、2 号、3 号、4 号正方形的面积之间的关系，再根据 1 号、4 号两个正方形的面积和为 10，2 号、3 号两个正方形的面积和为 8，可以求得 a，b，c 三个正方形的面积的和 【详解】解：解：如下图所示， 90ACBDCE，90ACBCAB， BACECD， 在ABCV和CEDV中90ABCCEDBACECDACCD ， ()ABCCED AAS， BCDE， 222ABBCAC， 12aSSS， 同理可证，23bSSS，34cSSS， 122334+abcSSSSSSSSS， 1410SS，238SS， 122334142323+()()()108 826abcSSSSSSSSS
17、SSSSSS ， 故选 B 【点睛】本题考查了学生对勾股定理的理解，解题的关键是把握图形面积之间的关系 二、填空题（二、填空题（30 分）分） 9. 如图，AB=AC，要使VABEVACD，应添加的条件是_（添加一个条件即可） 【答案】AE=AD 【解析】 【详解】要使 ABEACD，已知 AB=AC，A=A，则可以添加 AE=AD，利用 SAS 来判定其全等；或添加B=C，利用 ASA 来判定其全等；或添加AEB=ADC，利用 AAS 来判定其全等等（答案不唯一） 10. 小强站在镜前,从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表,其读数如图所示,则电子表的实际时刻是_. 【答案】10:21 【解析
18、】 【分析】根据镜面对称，左右颠倒，上下不变即可推出结果. 【详解】根据镜面对称原理可知 15:01 对称后为 10:21 故答案为 10:21 【点睛】本题考查镜面对称原理，注意镜子里的 5实际是 2. 11. 如图，在 RtABC中，C90 ，AD平分BAC交 BC于点 D，若 CD5，则点 D到斜边 AB的距离为_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可； 【详解】如右图，过 D 点作 DEAB于点 E，则 DE即为所求， C=90 ，AD平分BAC交 BC于点 D， CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， CD=5， DE=5. 故答案为 5.
19、【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于作辅助线 12. 若直角三角形的两条直角边分别 5和 12，则斜边上的中线长为 _ 【答案】6.5 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出斜边，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】解：因为直角三角形的两条直角边分别 5和 12， 由勾股定理可得：斜边=2251216913， 因为斜边上的中线等于斜边的一半， 所以斜边中线=13 2=6.5， 故答案为：6.5. 【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 13. 等腰三角
20、形的两边长为 4，9，则它的周长为_ 【答案】22 【解析】 【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是 4，4，9 或 4，9，9 4+49，故 4，4，9 不能构成三角形，应舍去 4+99，故 4，9，9能构成三角形 它的周长是 4+9+9=22 故答案为：22 14. 如图，已知 P、Q是VABC 的边 BC上的两点，且 BP=QC=PQ=AP=AQ，则BAC=_ 【答案】120 【解析】 【详解】 识记三角形中的角边转换 因为 PQ=AP=AQ APQ 为等边三角形 APQ=60 它互补角APB=120 BP=AP APB 为等腰三角形PAB=30 同理 CAQ=30 所以 BAC
21、=CAQ+PAB+PAQ=30 +30 +60 =120 15. 如图，已知 OB、OC为ABC 的角平分线，过点 O作 DEBC交 AB、AC于 D、E，若 AB7，AC5，则ADE的周长为_ 【答案】12 【解析】 【分析】 根据 DEBC， 可得DOB=OBC， 再由角平分线的定义， 可得DBO=OBC， 从而DBO=DOB，得到 DO=BD，同理可得 EO=EC，则有 DE=DO+OE=BD+EC，再根据三角形的周长等于三边长度之和，即可求解 【详解】解：DEBC， DOB=OBC， BO平分ABC， DBO=OBC， DBO=DOB， DO=BD， 同理可得 EO=EC， DE=DO
22、+OE=BD+EC， AD+AE+DE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=7+5=12， 即ADE的周长为 12 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键 16. 如图， 我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为 1、13，则直角三角形两直角边的和ab_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意得：小正方形的边长为ba ，大正方形的边长为22ab ，四个直角三角形的面积和为1422abab ，再由四个直角三角形的面积和等于大正方形的面积减去小
23、正方形的面积，可得212ab，再由完全平方公式，即可求解 【详解】解：小正方形与大正方形的面积分别是为 1、13， 21ba ，2213ab ， 四个直角三角形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 213112ab ， 222213 1225ababab ， 5ab 或5 （舍去） 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，准确得到直角三角形的面积是解题的关键 17. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm， 高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径的长度是_cm. 【答案】13 【解析】 【分析】该题主要考查曲面（
24、或折面）上的最短路径的求解，这在我们平时做题时会经常遇到，对于这类涉及到空间图形的问题，我们一般的解法就是作出立体图形的侧面展开图，然后进行分析，利用平面知识解决曲面问题，这也是一种很好的转化思想 【详解】解： 根据题意，画出侧面展开图. 242125PAQAQ， 225 +12 =13PQcm 故答案为：13. 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键在于把侧面展开后根据两点之间线段最短去求解. 18. 如图，在等腰直角三角形 ABC中，C=90，AC=BC=6，点 D是 AB 的中点，E、F在射线 AC与射线CB 上运动，且满足 AE=CF；则在运动过程中DEF 面积的最小值为_ 【答案】92
25、 【解析】 【分析】连结 DC，过 D作 DHAC于 H，DGBC与 G，连结 HG，根据ABC为等腰直角三角形，可得AC=BC，A=B=45，由点 D 是 AB 的中点，AC=BC，根据等腰三角形三线合一性质可得 CDAB，ACD=BCD=1452ACB，可得 CD=BD，利用等线段之差可得 CE=AC-AE=CB-CF=BF，可证CEDBFD （SAS） ， 得出EDF 为等腰直角三角形， SEDF=21122ED FDED， 在运动过程中要使DEF面积的最小必需满足 ED最短，求出最短距离 HD=AH=3 即可 【详解】解：连结 DC，过 D 作 DHAC于 H，DGBC与 G，连结 H
26、G， ABC为等腰直角三角形， AC=BC， A=B=1180452ACB， 点 D是 AB的中点，AC=BC， CDAB，ACD=BCD=1452ACB， DCB=DBC=45 =ACD， CD=BD， AC=BC，AE=CF， CE=AC-AE=CB-CF=BF， 在CED 和BFD中， ECFBECDFBDCDBD， CEDBFD（SAS） ， ED=FD， CDF+FDB=CDF+EDC=90 ， EDF为等腰直角三角形， SEDF=21122ED FDED， 在运动过程中要使DEF面积的最小必需满足 ED最短， 点 E在射线 AC上，DE是直线上的点 E与直线外一点 D 连线，点 D
27、到直线 AC 的距离最短， A=ACD=45 ， AD=CD, DH平分ADC，AH=CH=3， ADH=CDH=45 =A， HD=AH=3， 219=22DEFSDH最小 故答案为92 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积，掌握等腰直角三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，点到直线的最短距离，三角形面积是解题关键 第第卷卷 三、解答题三、解答题(96 分分) 19 如图， 在 ABC 中， D是 BC边上的点 （不与 B， C重合） ， F， E 分别是 AD及其延长线上的点， CFBE 请你添加一个条件，使 BDECDF (不再
28、添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明 （1）你添加的条件是：_； （2）证明： 【答案】 （1）BD =DC(或点 D 是线段 BC的中点)，FD =ED，CF =BE中任选一个即可； （2）见解析 【解析】 【详解】解： （1）BD =DC(或点 D是线段 BC的中点)，FD =ED，CF =BE 中任选一个即可； （2）以 BD =DC 为例进行证明： CFBE， FCDEBD 又BD =DC，FDCEDB， BDECDF 20. 如图，在长度为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC关于直线 l成轴对称的ABC； （2
29、）在直线 l上找一点 Q，使得 BQ=AQ； （3）在直线 l上找一点 P，使 PB+PA 的长最短 【答案】 （1）见详解； （2）见详解； （3）见详解 【解析】 【分析】 （1） 根据网格结构找出点 A、 B、 C关于直线 l的对称点 A、 B、 C的位置， 然后顺次连接 AB， BC，CA即可； （2）根据 AB 是边长为 2 的正方形的一条对角线，画出此正方形的另一条对角线所在直线，与直线 l的交点为 Q，利用线段垂直平分线性质即可得解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接 AB与直线 l的交点即为所求点 P 【详解】解： （1）C 与直线 l垂直的网格上，找到点 C 的对称点
30、C，A与直线 l垂直的网格上，找到点 A 的对称点 A，B与直线 l垂直的网格上，找到点 B的对称点 B，顺次连接 AB，BC，CA，则ABC为所求如图所示； （2）AB 是边长为 2 的正方形的一条对角线，画出此正方形的另一条对角线所在直线，与直线 l的交点为Q，根据线段垂直平分线性质，则 QA=QB， （3）连结 AB， 点 B与点 B关于直线 l对称，点 P在直线 l上， PB=PB， PA+PB=PA+PBAB， 当点 P为 AB与直线 l的交点时，PB+PA的长最短=AB的长， 点 P 如图所示 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，垂直平分线，利用轴对称变换作图，熟练掌握网
31、格结构准确找出对应点的位置是解题的关键 21. 已知，如图， ABC和 ECD 都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90 ，D 为 AB 边上一点求证：BD=AE 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出ACE=BCD，然后利用“SAS”证明 ACE和 BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明 【详解】证明：ABC和 ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE ACD=DCE=90 ，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD 在 ACE和 BCD 中，ACBCACEBCDCECD， ACEBCD（S
32、AS） BD=AE 22. 如图所示，在 ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，把 ABC 折叠，使 AB落在直线 AC 上 （1）判断 ABC形状，并说明理由； （2）求重叠部分(阴影部分)的面积 【答案】 （1）ABCV是直角三角形，理由见解析； （2）9 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）首先根据对称的性质得到10ABAB，然后求出BC的长度，在BCD中根据勾股定理列方程求出 CD 的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可 【详解】解： （1）AB=10，AC=6，BC=8， 222268100ACBC，2210100AB ， 222ACBCAB， AB
33、CV是直角三角形； （2）把 ABC 折叠，使 AB落直线 AC上， 10ABAB，BDB D， 10 64BCABAC ， 设CDx， 8BDBDx ， 90ACB， 90BCD， 在RtBCD中，222B CCDB D，即22248xx， 解得：3x ，即3CD， 116 3922ACDSACCD ， 重叠部分(阴影部分)的面积为 9 【点睛】此题考查了三角形折叠的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握三角形折叠的性质，勾股定理的逆定理 23. 如图，ABC 中，AB=AC=5，AB的垂直平分线 DE 交 AB、 AC于 E、D （1） 若BCD的周长为 8，求 BC 的长； （2）
34、若 BD平分ABC，求BDC的度数 【答案】 （1）3； （2）72 【解析】 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质求出 ADBD，求出 BDDCBCBCAC8，即可得出答案； （2）设Aa，根据等腰三角形的性质求出AABDa，ABCACB2a，根据三角形内角和定理得出方程 5a180，求出后根据三角形的外角性质求出即可 【详解】解： （1）DE是线段 AB 的垂直平分线， ADBD， BCD的周长为 8， BDDCBCBCADDCBCAC8， ABAC5， BC3； （2）设Aa， ADBD， AABDa， BD平分ABC， ABDCBDa， ABAC， ABCACB2a， AABCAC
35、B180， 5a180， a36， AABD36， BDCAABD72 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含 30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出 ABAEEC，AE2DE，综合性比较强，难度适中 24. 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DEAB于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE=DF 【答案】详见解析 【解析】 【分析】连接 AD，利用“边边边”证明ABD 和ACD 全等，然后根据全等三角形对应角相等可得BAD=CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可 【详解】证明：连结AD， 在ABD和ACD中，
36、ABACBDCDADAD， ABDACD SSS ， BADCAD， 又DEAB，DFAC， DEDF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键 25. 如图，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求证： （1）AEFCEB； （2）AF=2CD 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由 ADBC，CEAB，易得AFE=B，利用全等三角形的判定得AEFCEB；（2）由全等三角形的性质得 AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得 BC=2CD，等量代换得出结论 【详解】（
37、1）证明：由于 AB=AC，故ABC为等腰三角形，ABC=ACB； ADBC，CEAB， AEC=BEC=90 ，ADB=90 ； BAD+ABC=90 ，ECB+ABC=90 ， BAD=ECB， 在 RtAEF和 RtCEB 中 AEF=CEB，AE=CE，EAF=ECB， 所以AEFCEB（ASA） （2）ABC 为等腰三角形，ADBC， 故 BD=CD， 即 CB=2CD， 又AEFCEB， AF=CB=2CD 26. 如图，ABC 中，AD是高，CE是中线，点 G是 CE的中点，DGCE，点 G 为垂足 （1）说明 DC=BE； （2）若AEC=63，求BCE 的度数 【答案】 （1
38、）证明见详解； （2）BCE21 【解析】 【分析】 （1）利用直角三角形斜边中线的性质以及线段的垂直平分线的性质即可解决问题； （2）设BCEx，利用等腰三角形外角得出EBDBDE2x，利用AEC外角性质构建方程即可解决问题； 【详解】 （1）证明：AD是高， ADBC， ADB90 ， CE是中线， AEEB， DEEBEA， DGEC，点 G是 CE的中点即 EGGC， DECD， DCBE （2）解：设BCEx EBDEDC， DCEDECx， EBDBDEDECDCE2x， AECEBDECD， 63 3x， x21 ， BCE21 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、线段的垂
39、直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定等，三角形外角性质， 简单一元一次方程知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 27. 如图，长方形 ABCD中，10AB，4ADE为 CD 边上一点，7CE （1）求 AE的长； （2）点 P从点 B出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着边 BA向终点 A 运动，连接 PE设点 P运动的时间为 t秒 当 t为何值时，PAE是等腰三角形； 当 t=_时，PEAE 【答案】 （1）5； （2）2或52或3512； （3）56 【解析】 【分析】 （1）求出3DE ，4AD，利用勾股定理即可求出 AE的长； （2）根据若PAE是等腰三角形
40、，分三种情况讨论：EPEA，APAE和PEPA时分别进行求解即可；过点 E作EMAB，利用勾股定理可以表示出在RtPEA和Rt PEMV中，222PEAPAE，222PEPMEM，联立方程即可求解 【详解】解： （1）四边形 ABCD 是长方形， 90D，=10CDAB， 10 73DECD CE ， 在RtADE中，2222345AEDEAD， （2）若PAE为等腰三角形，则有三种可能. 当EPEA时，6AP，10 64BPBAAP 422( )ts， 当5APAE时，10 55BPBAAP ， 552( )2ts， 当PEPA时，过点 E 作EMAB， 在Rt EPMV中，222EMPMP
41、E， 2224(3)PAPE， 即2224(3)PAPA， 解得：256PA ， 25351066BPBAAP， 35352( )612ts 综上所述，符合要求的 t值为 2 或52或3512； 当PEAE时， 在RtPEA中，222PEAPAE， 即222(3)5PEPM， 在Rt PEMV中，222PEPMEM， 即2224PEPM， 2222(3)54PMPM， 解得：163PM ， 16510333BPBAPMAM， 552( )36ts， 当56t 时，PEAE 【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解 28. （1）问题背景： 如图 1，在四边形
42、 ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，EF分别是 BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段 BE，EF，FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G，使 DGBE，连结 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_； （2）探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD中，ABAD，BD180，E，F分别是 BC，CD 上的点，且EAF12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图 3，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，点 M，N在边 BC上，且MAN45若 BM12，CN16，则 MN 的
43、长为_ 【答案】 （1）EF=BE+FD；（2）仍然成立，说明见详解； （3）20 【解析】 【分析】 （1）延长 DC 作辅助线 DG=BE，再证明ADGABE，再由ADGABE 得到条件 AG=AE，GAF=EAF 证明GAFEAF，进而得出 EF=GF=GD+DF=BE+DF （2）延长 DC作辅助线 DH=BE，再证明ADHABE，再由ADHABE 得到条件 AH=AE，BAE=DAH 证明HAF=EAF，进而得出 EF=HF=HD+DF=BE+DF （3）过点 C作 CEBC，垂足为点 C，截取 CE=BM连接 AE、EN先证明ABMACE，再证明AMNAEN，再根据勾股定理求出 N
44、E，再根据全等，MN=NE求出 MN 【详解】解： （1） 在ADG和ABE 中 ABADBADGBEDG ADGABE（SAS） BE=DG BAD120 ，EAF60 60BAEFAD BAEDAGQ 60 =GADFADFAE 在AGF和AEF中 AGAEGAFFAEAFAF AGFAEF（SAS） GF=EF=GD+DF=BE+DF； （2）在 CD的延长线上取 DH=BE，连接 AH 如下图： B+ADC=180；ADH+ADC=180 B=ADH 在ABE与ADH中 ADABBADHBEHD ADHABE（SAS） HAD=BAE，AH=AE BAE+FAD=HAD+FAD=EAF
45、=12BAD 在 AHF 和 AEF 中 AHAEEAFHAFAFAF AHF和AEF（SAS） HF=EF=HD+DF=BE+DF （3）如下图，过点 C作 CEBC，垂足为点 C，截取 CE=BM连接 AE、EN AB=AC，BAC=90 B=ACB=45 CEBC ACE=B=45 在ABM 和ACE 中 ABACBACEBMCE ABMACE（SAS） MAB=EAC；AM=AE MAB+CAN=EAC+CAN=45 MAN=EAN=45 在MAN 和EAN 中 AMAEMANEANANAN MANEAN（SAS） CE=BM=12 又NC=16，NEC 为 Rt， MN=NE=22CENC=221216=20 【点睛】本题考查 SAS 全等三角形的判定与性质利用，同时也考查了勾股定理，熟练掌握这些知识点，并知道正确地添加辅助线是本题解题关键
