1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第九章第九章 圆圆 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第3 30 0课时课时 实数的有关概念实数的有关概念 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 关关 系：系：设设O 的半径为的半径为 r，圆心，圆心 O 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d. 直线直线 l 和和O dr. 相交相交 相切相切 相离相离 首 页 末 页 2圆的切线圆的切线 判定定理：判定定理：经过半径的经过半径的 并且并且 这条半径的直线是圆的切线这条半径的直线是圆
2、的切线 其他方法：其他方法：(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线是这个圆的切线圆心到直线的距离等于该圆的半径，则这条直线是这个圆的切线 性质定理：性质定理：圆的切线垂直于圆的切线垂直于 的半径的半径 外端外端 垂直于垂直于 过切点过切点 首 页 末 页 性质推论性质推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 性质推论性质推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 规规 律：律：(1)当直线与圆的公共点已知时，连半径，证垂直；当直
3、线与圆的公共点已知时，连半径，证垂直； (2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直，证半径；当直线与圆的公共点未知时，作垂直，证半径； (3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题连接圆心和切点，构造直角三角形解题 首 页 末 页 3切线长切线长 定定 义：义：经过圆外一点作圆的切线，经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的长，叫做这点到圆的切线长的切线长 注注 意：意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，而切线长切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不可度量，而切线长是切线上一条线段的长，可以度量是切线上一条线段的长，可以度量 定定 理：理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它
4、们的切线长从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点与圆，这一点与圆心的连线平分两条切线的心的连线平分两条切线的 这点与切点之间线段这点与切点之间线段 相等相等 夹角夹角 首 页 末 页 基本图形：基本图形：如图，点如图，点 P 是是O 外一点，外一点，PA，PB 分别切分别切O 于点于点 A，B，弦，弦 AB 交交PO 于点于点 C. (1)PAPB； (2)APOBPOOACOBC， AOPBOPCAPCBP； (3)ABOP 且且 ACBC. 首 页 末 页 4三角形的内切圆三角形的内切圆 定定 义：义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角与三角形各边都
5、相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条形三条 的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形形 角平分线角平分线 首 页 末 页 易混点：易混点：三角形的外心和内心三角形的外心和内心. 定义定义 确定方法确定方法 图形图形 性质性质 外心外心(三角形三角形外接圆的圆外接圆的圆心心) 三角形三边三角形三边垂直平分线垂直平分线的交点的交点 (1)OAOBOC； (2)外心不一定在三角形的内外心不一定在三角形的内部部 内心内心(三角形三角形内切圆的圆内切圆的圆心心) 三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点 (1)ID
6、IEIF； (2)IA，IB，IC 分别平分分别平分BAC，ABC，ACB； (3)内心在三角形的内部内心在三角形的内部 首 页 末 页 常用公式：常用公式：如图，如图，I 内切于内切于ABC，切点分别为，切点分别为 D，E，F.ABC 的三边长为的三边长为BCa，ACb，ABc，I 的半径为的半径为 r. (1)BIC90 12A； (2)SABC12(abc)r； (3)AEAF12(bca)； BDBF12(cab)； CDCE12(abc) 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 益阳益阳平面内，平面内，O 的半径为的半径为 1，点，点 P 到到 O 的距离为的距离为 2，
7、过点，过点 P 可作可作O的切线条数为的切线条数为( ) A0 条条 B.1 条条 C2 条条 D.无数条无数条 C 【解析】【解析】 O 的半径为的半径为 1，点，点 P 到圆心到圆心 O 的距离为的距离为 2，dr，点点 P 与与O的位置关系是点的位置关系是点 P 在在O 外外过圆外一点可以作圆的过圆外一点可以作圆的 2 条切线条切线故选故选 C. 首 页 末 页 22019 益阳益阳如图，如图，PA，PB 为圆为圆 O 的切线，切点分别为的切线，切点分别为 A，B，PO 交交 AB 于点于点C，PO 的延长线交圆的延长线交圆 O 于点于点 D，下列结论不一定成立的是，下列结论不一定成立的
8、是( ) APAPB B.BPDAPD CABPD D.AB 平分平分 PD D 首 页 末 页 【解析】【解析】 PA，PB 为圆为圆 O 的切线，切点分别为的切线，切点分别为 A，B，PO 交交 AB 于点于点 C，PO的延长线交圆的延长线交圆 O 于点于点 D，PAPB，BPDAPD，故，故 A，B 正确；正确； PAPB，BPDAPD，PDAB，PD 平分平分 AB，但，但 AB 不一定平分不一定平分 PD，故故 C 正确，正确，D 错误故选错误故选 D. 首 页 末 页 32018 长沙长沙如图，点如图，点 A，B，D 在在O 上，上，A20 ，BC 是是O 的切线，的切线，B 为为
9、切点，切点，OD 的延长线交的延长线交 BC 于点于点 C，则，则OCB . 50 【解析】【解析】 由圆周角定理，得由圆周角定理，得O2A40 . BC 与与O 相切，相切，OBBC，OBC90 . OCB90 O50 . 首 页 末 页 42018 益阳益阳如图，在如图，在O 中，中，AB 为直径，为直径，AD 为弦，过点为弦，过点 B 的切线与的切线与 AD 的延的延长线交于点长线交于点 C，ADDC，则，则C . 45 首 页 末 页 【解析】【解析】 AB 是是O 的直径，的直径， ADB90 . BC 是是O 的切线，的切线，AB 是是O 的直径，的直径， ABC90 . ADDC
10、， BD 垂直平分垂直平分 AC. ABBC. ABC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 C45 . 首 页 末 页 52018 益阳益阳如图，在如图，在ABC 中，中，AB5，AC4，BC3.按以下步骤作图：按以下步骤作图：以以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，AC 于点于点 M，N；分别以分别以 M，N为圆心，以大于为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点的长为半径作弧，两弧相交于点 E；作射线作射线 AE；以同以同样的方法作射线样的方法作射线 BF，AE 交交 BF 于点于点 O，连接，连接 OC，则，则 OC . 2 首 页 末
11、页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 O 作作 ODAC，垂足为点，垂足为点 D. 由作图可知由作图可知 AE，BF 分别是分别是BAC 和和ABC 的平分线，的平分线， 点点 O 为为ABC 的内心，的内心，OC 平分平分ACB. AB5，AC4，BC3， 324252， ABC 为直角三角形，且为直角三角形，且ACB90 . 首 页 末 页 OD 为内切圆半径，为内切圆半径， OD34521. OCD12ACB45 ， OCD 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 OC 2OD 2. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 20
12、18 湘西州湘西州已知已知O 的半径为的半径为 5 cm，圆心，圆心 O 到直线到直线 l 的距离为的距离为 5 cm，则，则直线直线 l 与与O 的位置关系为的位置关系为 ( ) A相交相交 B.相切相切 C相离相离 D.无法确定无法确定 B 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，常根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径与圆的半径 r的大小关系确定：的大小关系确定：(1)若若 dr，则直线与圆相离，则直线与圆相离 首 页 末 页 类型之二类型之二 切线的性质切线的性质 2019 毕节毕节如图，点如图，点 P 在在O 外，外，PC
13、 是是O 的切线，的切线，C 为切点，直线为切点，直线 PO与与O 相交于点相交于点 A，B. (1)若若A30 ，求证：，求证：PA3PB； (2)小明小明发现，发现，A 在一定范围内变化时，始终有在一定范围内变化时，始终有 BCP12(90 P)成立请你写出推理过程成立请你写出推理过程 首 页 末 页 【解析】【解析】 (1)由由 PC 为圆为圆 O 的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到的切线，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到BCPA， 由， 由A 的度数求出的度数求出BCP 的度数， 进而确定出的度数， 进而确定出P 的度数， 再由的度数， 再由 PBBC，AB2BC，等量代换确
14、定出，等量代换确定出 PB 与与 PA 的关系即可；的关系即可； (2)由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系由三角形内角和定理及圆周角定理即可确定出两角的关系 首 页 末 页 (1)证明：证明：AB 是直径，是直径，ACB90 . A30 ，AB2BC，ABC60 . PC 是是O 切线，切线， BCPA30 ，P30 ， PBBC，PA3PB. 首 页 末 页 (2)解：解：点点 P 在在O 外，外，PC 是是O 的切线，的切线，C 为切点，直线为切点，直线 PO 与与O 相交于点相交于点A，B，BCPA. APACBBCP180 ， 且且ACB90 ， 2BCP90 P，BC
15、P12(90 P) 首 页 末 页 12019 嘉兴嘉兴如图，已知如图，已知O 上三点上三点 A，B，C，半径，半径 OC1，ABC30 ，切，切线线 PA 交交 OC 的延长线于点的延长线于点 P，则，则 PA 的长为的长为( ) A2 B. 3 C 2 D.12 B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OA. ABC30 ，AOC60 . 又又PA 为切线，为切线，OAP90 . OCOA1，PA 3.故选故选 B. 首 页 末 页 22019 贺州贺州如图，如图，BD 是是O 的直径，弦的直径，弦 BC 与与 OA 相交于点相交于点 E，AF 与与O 相相切于点切
16、于点 A，交，交 DB 的延长线于点的延长线于点 F，F30 ，BAC120 ，BC8. (1)求求ADB 的度数；的度数； (2)求求 AC 的长度的长度 首 页 末 页 解：解：(1)AF 与与O 相切于点相切于点 A， FAO90 . F30 ， AOB60 . ADB30 . 首 页 末 页 (2)CD30 ，BAC120 ， ABCC30 . 由由(1)得得OAB 为等边三角形为等边三角形 BAE60 ， BEA90 ， AOBC. BC8， BE12BC4. ACABBEsin 608 33. 首 页 末 页 类型之三类型之三 切线的判定切线的判定 2019 淮安淮安如图，如图，A
17、B 是是O 的直径，的直径，AC 与与O 交于点交于点 F，弦，弦 AD 平分平分BAC，DEAC，垂足为点，垂足为点 E. (1)试判断直线试判断直线 DE 与与O 的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由； (2)若若O 的半径为的半径为 2，BAC60 ，求线段，求线段 EF 的长的长 首 页 末 页 解：解：(1)直线直线 DE 与与O 相切理由如下：相切理由如下： 如答图，连接如答图，连接 OD， 则则 OAOD，ODABAD. 弦弦 AD 平分平分BAC， FADBAD. FADODA， ODAF. 首 页 末 页 又又DEAC， DEOD， 直线直线 DE 与与O 相切相切
18、 (2)如答图，连接如答图，连接 BD. AB 是是O 的直径，的直径， ADB90 . 首 页 末 页 AD 平分平分BAC，BAC60 ， FADBAD30 ，B60 ， DFEB60 . O 的半径为的半径为 2， AB4， 首 页 末 页 ADAB cos 30 4322 3， DEAD sin 30 2 312 3， EFDEtan 60331. 首 页 末 页 32019 常德常德如图，如图，O 与与ABC 的的 AC 边相切于点边相切于点 C，与，与 AB，BC 边分别交于边分别交于点点 D，E，DEOA，CE 是是O 的直径的直径 (1)求证：求证：AB 是是O 的切线；的切线
19、； (2)若若 BD4，CE6，求，求 AC 的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 OD. DEOA， AOCOED，AODODE. ODOE， OEDODE，AOCAOD. 又又OAOA，OCOD， AOCAOD(SAS)， ADOACO. 首 页 末 页 CE 是是O 的直径，的直径，AC 为为O 的切线，的切线， OCAC，OCA90 ， ADO90 ，ODAB. OD 为为O 的半径，的半径， AB 是是O 的切线的切线 首 页 末 页 (2)解：解：CE6，ODOC3. BDO90 ，BO2BD2OD2. BD4， OB 42325，BC8. BDOB
20、CA90 ，BB， BDOBCA， BDBCODAC，即，即483AC， AC6. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直作半径，证垂直”；如果不能确定某；如果不能确定某直直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂足到圆心的距离等于半线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂足到圆心的距离等于半径，即径，即“作垂直，证半径作垂直，证半径” 首 页 末 页 类型之四类型之四 切线长
21、定理切线长定理 2019 甘肃甘肃如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90 ，以，以 BC 为直径的为直径的O 交交 AB于点于点 D，切线，切线 DE 交交 AC 于点于点 E. (1)求证：求证：AADE； (2)若若 AD8，DE5，求，求 BC 的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 OD. DE 是是O 的切线，的切线， ODE90 ，ADEBDO90 . ACB90 ，AB90 . ODOB， BBDO，ADEA. 首 页 末 页 (2)解：解：如答图，连接如答图，连接 CD. ADEA，AEDE. BC 是是O 的直径，的直径，ACB90 ， E
22、C 是是O 的切线，的切线，EDEC， AEEC. 首 页 末 页 DE5，AC2DE10， 在在 RtADC 中，中，DC6. 在在 RtBDC 中，设中，设 BDx， BC2x262， 在在 RtABC 中，中，BC2(x8)2102， x262(x8)2102， 解得解得 x92，BC62 922152. 首 页 末 页 42019 台州台州如图，等边三角形如图，等边三角形 ABC 的边长为的边长为 8，以，以 BC 边上点边上点 O 为圆心的圆分为圆心的圆分别与边别与边 AB，AC 相切，则相切，则O 的半径为的半径为( ) A2 3 B.3 C4 D.4 3 A 首 页 末 页 【解
23、析】【解析】 如答图，如答图，AB，AC 分别与分别与O 相切于点相切于点 D，E，连接，连接 OD，OE，OA， O 与与 AB，AC 相切，相切， ODAB，OEAC. 又又ODOE，DAOEAO. 又又ABAC， BOCO，BO4， ODBO sin B4322 3.故选故选 A. 首 页 末 页 52019 资阳资阳如图，如图，AC 是是O 的直径，的直径，PA 切切O 于点于点 A，PB 切切O 于点于点 B，且，且APB60 . (1)求求BAC 的度数；的度数； (2)若若 PA1，求点，求点 O 到弦到弦 AB 的距离的距离 首 页 末 页 解：解：(1)PA 切切O 于点于点
24、 A，PB 切切O 于点于点 B， PAPB，PAC90 . APB60 ， APB 是等边三角形，是等边三角形， BAP60 ， BAC90 BAP30 . 首 页 末 页 (2)如答图，作如答图，作 ODAB 于点于点 D. 则则 ADBD12AB， 由由(1)，得，得APB 是等边三角形，是等边三角形， ABPA1，AD12. BAC30 ， AD 3OD12，OD36. 即点即点 O 到弦到弦 AB 的距离为的距离为36. 首 页 末 页 类型之五类型之五 三角形的内切圆三角形的内切圆 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有下列问题：九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名
25、著 书中有下列问题： “今今有勾八步， 股十五步， 问勾中容圆径几何？有勾八步， 股十五步， 问勾中容圆径几何？”其意思是：其意思是： “今有直角三角形， 勾今有直角三角形， 勾(短短直角边直角边)长为长为 8 步，股步，股(长直角边长直角边)长为长为 15 步，问该直角三角形能容纳圆形步，问该直角三角形能容纳圆形(内切圆内切圆)的直径是多少？的直径是多少？”该问题的答案是该问题的答案是( ) A3 步步 B.5 步步 C6 步步 D.8 步步 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 方法一：如答图方法一：如答图 BC8，AC15， AB 8215217. 由由 SABC12AC BC 12AB
26、 r12AC r12BC r 12(ABACBC)r， 首 页 末 页 得得 rAC BCABACBC158171583. 直径为直径为 6 步故选步故选 C. 方法二： 对于方法二： 对于 RtABC， 若其三边长为， 若其三边长为 a， b， c(斜边斜边)， 则其内切圆半径为， 则其内切圆半径为 rabc2. 根据勾股定理得，斜边根据勾股定理得，斜边 c 8215217， rabc28151723. 故直径为故直径为 6 步步 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)在解决与三角形内切圆有关的问题时，常用到面积法：在解决与三角形内切圆有关的问题时，常用到面积法：SABC12(abc)r，
27、其中，其中 r 为为ABC 的内切圆半径，的内切圆半径，a，b，c 为为ABC 的三条边的长度的三条边的长度 (2)已知直角三角形的三边长为已知直角三角形的三边长为 a，b，c(其中其中 c 为斜边为斜边)，则其内切圆半径为，则其内切圆半径为 rabc2. (3)解三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程解三角形与圆相切的问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组组)来求来求半径的长半径的长 首 页 末 页 62019 荆门荆门如图，如图，ABC 的内心为的内心为 I，连接，连接 AI 并延长交并延长交ABC 的外接圆于点的外接圆于点D，则线段，则线段 DI 与与 DB
28、的关系是的关系是( ) ADIDB B.DIDB CDIDB D.不确定不确定 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 BI. ABC 的内心为的内心为 I， 12，56. 31，32. 42635， 即即4DBI. DIDB.故选故选 A. 首 页 末 页 72017 武汉武汉已知一个三角形的三边长分别为已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8，则其内切圆的半径为，则其内切圆的半径为( ) A.32 B.32 C 3 D.2 3 C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，如答图，AB7，BC5，AC8，内切圆的半径为，内切圆的半径为 r，切点为，切点为 G，E，F
29、，过点，过点 A 作作 ADBC 于点于点 D，设，设 BDx，则，则 CD5x. 变式跟进变式跟进 7 答图答图 由勾股定理，得由勾股定理，得 AD2AB2BD2AC2CD2， 即即 72x282(5x)2. 解得解得 x1.AD4 3. 12BC AD12(ABBCAC)r， 1254 31220r.r 3.故选故选 C. 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (70 分分) 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 25 分分) 12019 苏州苏州如图，如图，AB 为为O 的切线切点为的切线切点为 A，连接，连接 AO，BO，BO 与与O 交交于点于点 C，延长，延长 BO
30、与与O 交于点交于点 D，连接，连接 AD.若若B36 ，则，则D 的度数为的度数为( ) D A54 B.36 C32 D.27 首 页 末 页 【解析】【解析】 AB 为为O 的切线，的切线，OAB90 . B36 ， AOB90 B54 . D12AOB27 .故选故选 D. 首 页 末 页 22019 福建福建如图，如图，PA，PB 是是O 的切线，的切线，A，B 为切点，点为切点，点 C 在在O 上，且上，且ACB55 ，则，则APB 等于等于( ) B A55 B.70 C110 D.125 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OA，OB. PA，PB 是是
31、O 的切线，的切线，A，B 为切点，为切点， OAPA，OBPB，OAPOBP90 . ACB55 ，AOB2ACB110 ， APB360 110 90 90 70 .故选故选 B. 首 页 末 页 32019 泰安泰安如图，如图，ABC 是是O 的内接三角形，的内接三角形，A119 ，过点，过点 C 的圆的切的圆的切线交线交 BO 的延长线于点的延长线于点 P，则，则P 的度数为的度数为( ) A32 B.31 C29 D.61 A 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 CO，CF. A119 ， BFC61 ，BOC122 ， COP58 . CP 与与O 相切于点
32、相切于点 C， OCCP. 在在 RtOCP 中，中， P90 COP32 .故选故选 A. 首 页 末 页 4如图，如图，AB 是是O 的直径，的直径，CD 是是O 的切线，切点为的切线，切点为 D，CD 与与 AB 的延长线的延长线交于点交于点 C，A30 .给出下列结论：给出下列结论：ADCD；BDBC；AB2BC.其中其中正确结论的个数是正确结论的个数是 ( A ) A3 B.2 C1 D.0 首 页 末 页 【解析】【解析】 连接连接 OD(图略图略)由由 CD 是是O 的切线，可得的切线，可得 CDOD.由由A30 ，可，可以得出以得出ABD60 ，ODB 是等边三角形，是等边三角
33、形，CBDC30 .再结合在直角三再结合在直角三角形中角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半，继而可以得到结论所对的直角边等于斜边的一半，继而可以得到结论成立成立 首 页 末 页 52019 贺州贺州如图，在如图，在ABC 中，中，O 是是 AB 边上的点，以点边上的点，以点 O 为圆心，为圆心，OB 为半为半径的径的O 与与 AC 相切于点相切于点 D，BD 平分平分ABC，AD 3OD，AB12，CD 的长是的长是 ( ) A A2 3 B.2 C3 3 D.4 3 首 页 末 页 【解析】【解析】 O 与与 AC 相切于点相切于点 D， ACOD，ADO90 . AD 3OD， tan
34、 AODAD33， A30 . 首 页 末 页 BD 平分平分ABC， OBDCBD. OBOD， OBDODB， ODBCBD， ODBC， 首 页 末 页 CADO90 ， ABC60 ，BC12AB6， CBD30 ， CD33BC3362 3.故选故选 A. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题 5 分，共分，共 25 分分) 6 2019 宿迁宿迁直角三角形的两条直角边分别是直角三角形的两条直角边分别是 5 和和 12， 则它的内切圆半径为， 则它的内切圆半径为 . 【解析】【解析】 直角三角形的斜边直角三角形的斜边 5212213，它的内切圆半径为它的内切圆半径为5121
35、322. 2 首 页 末 页 72019 海南海南如图，如图，O 与正五边形与正五边形 ABCDE 的边的边 AB，DE 分别相切于点分别相切于点 B，D，则劣弧则劣弧BD所对的圆心角所对的圆心角BOD 的大小为的大小为 度度 144 首 页 末 页 【解析】【解析】 O 与正五边形与正五边形 ABCDE 的边的边 AB，DE 分别相切于点分别相切于点 B，D， OBAB，ODDE. 正五边形每个内角为正五边形每个内角为 108 ， OCOBCODC108 390 2144 . 首 页 末 页 82019 南京南京如图，如图，PA，PB 是是O 的切线，的切线，A，B 为切点，点为切点，点 C
36、，D 在在O 上若上若P102 ，则，则AC . 219 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 AB. PA，PB 是是O 的切线，的切线， PAPB. P102 ， PABPBA12(180 102 )39 . DABC180 ， PADCPABDABC180 39 219 . 首 页 末 页 92018 安徽安徽如图，菱形如图，菱形 ABOC 的边的边 AB，AC 分别与分别与O 相切于点相切于点 D，E.若若 D是是 AB 的中点，则的中点，则DOE . 60 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OA. 四边形四边形 ABOC 是菱形，是菱形
37、， BABO. AB，AC 分别与分别与O 相切于点相切于点 D，E， ABOD，OEAC. D 为为 AB 的中点，的中点， 易证易证 OAOB， 首 页 末 页 AOB 是等边三角形是等边三角形 AOD12AOB30 ， 同理，同理，AOE30 ， DOEAODAOE60 . 首 页 末 页 102019 温州温州如图，如图，O 分别切分别切BAC 的两边的两边 AB，AC 于点于点 E，F，点，点 P 在优在优弧弧EDF上若上若BAC66 ，则，则EPF 等于等于 度度 57 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，连接如答图，连接 OE，OF. O 分别切分别切BAC 的两边的两边
38、AB，AC 于点于点 E，F， OFAC，OEAB， BACEOF180 . BAC66 ，EOF114 . 点点 P 在优弧在优弧EDF上，上， EPF12EOF57 . 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共 20 分分) 11(10 分分)2018 沈阳沈阳如图，如图，BE 是是O 的直径，点的直径，点 A 和点和点 D 是是O 上的两点，过上的两点，过点点 A 作作O 的切线，交的切线，交 BE 的延长线于点的延长线于点 C. (1)若若ADE25 ，求，求C 的度数；的度数； (2)若若 ABAC，CE2，求，求O 半径的长半径的长 首 页 末 页 解：解：(1)如答图，连接如答
39、图，连接 OA. AC 为为O 的切线，的切线，OA 是是O 的半径，的半径， OAAC. OAC90 . ADE25 ， AOE2ADE50 . C90 AOE90 50 40 . 首 页 末 页 (2)ABAC，BC. AOC2B，AOC2C. OAC90 ， AOCC3C90 .C30 . OAC90 ，OA12OC. 设设O 的半径为的半径为 r. CE2，r12(r2)r2. O 的半径为的半径为 2. 首 页 末 页 12(10 分分)2018 济宁济宁在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所如图所示示)面积的方法现有以下工具
40、：卷尺、直棒面积的方法现有以下工具：卷尺、直棒 EF、T 型尺型尺(CD 所在的直线垂直平分所在的直线垂直平分线段线段 AB) 首 页 末 页 (1)在图在图中，请你画出用中，请你画出用 T 型尺找大圆圆心的示意图型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写画法保留画图痕迹，不写画法)； (2)如图如图，小华说：，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切的位置，用卷尺量出此时直棒与大圆两体做法如下：将直棒放置到与小圆相切的位置，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点交点 M，N 之间的距离，就可求
41、出环形花坛的面积之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得如果测得 MN10 m，请，请你求出这个环形花坛的面积你求出这个环形花坛的面积 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图，点，点 O 即为所求即为所求 第第 12 题答图题答图 首 页 末 页 (2)如答图如答图，设切点为，设切点为 C，连接，连接 OM，OC. MN 是切线，是切线，OCMN.CMCN5 m， S圆环圆环OM2OC2(OM2OC2)CM225(m2) 第第 12 题答图题答图 首 页 末 页 (20 分分) 13(10 分分)2019 陇南陇南如图，在如图，在ABC 中，中，ABAC，BAC120 ，点，点 D 在
42、在 BC边上，边上，D 经过点经过点 A 和点和点 B 且与且与 BC 边相交于点边相交于点 E. (1)求证：求证：AC 是是D 的切线；的切线； (2)若若 CE2 3，求，求D 的半径的半径 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 AD. ABAC，BAC120 ， BC30 . ADC2B60 ， DAC180 60 30 90 ， AC 是是D 的切线的切线 首 页 末 页 (2)解：解：如答图，连接如答图，连接 AE. AC 是是O 的切线，的切线， EACBC. AECE2 3， 由由(1)易知易知ADE 为正三角形，为正三角形， D 的半径的半径 AD2 3
43、. 首 页 末 页 14(10 分分)2019 金华金华如图，在如图，在 OABC 中，以中，以 O 为圆心，为圆心，OA 为半径的圆与为半径的圆与 BC相切于点相切于点 B，与，与 OC 相交于点相交于点 D. (1)求求BD的度数；的度数； (2)如如图， 点图， 点 E 在在O 上， 连接上， 连接 CE 与与O 交于点交于点 F.若若 EFAB， 求， 求OCE 的度数的度数 首 页 末 页 解：解：(1)如答图，连接如答图，连接 OB. BC 是是O 的切线，的切线， OBBC. 四边形四边形 OABC 是平行四边形，是平行四边形， OABC，OBOA. AOB 是等腰直角三角形是等
44、腰直角三角形 首 页 末 页 ABO45 . OCAB， BOCABO45 . BD的度数为的度数为 45 . 首 页 末 页 (2)如答图，连接如答图，连接 OE，过，过点点 O 作作 OHEC 于点于点 H. 设设 EHt. OHEC， EF2HE2t. 四边形四边形 OABC 是平行四边形，是平行四边形， ABCOEF2t. 首 页 末 页 AOB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 O 的半径的半径 OA 2t. 在在 RtEHO 中，中， OH OE2EH2 2t2t2t. 在在 RtOCH 中中 OC2OH，OCE30 . 首 页 末 页 (10 分分) 15(10 分分)2018
45、成都成都如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90 ，AD 平分平分BAC，交，交 BC于点于点 D，O 为为 AB 上一点，经过点上一点，经过点 A，D 的的O 分别交分别交 AB，AC 于点于点 E，F，连接，连接OF，交，交 AD 于点于点 G. (1)求证：求证：BC 是是O 的切线；的切线； (2)设设 ABx，AFy，试用含，试用含 x，y 的代数式表示线段的代数式表示线段 AD 的长；的长； (3)若若 BE8，sin B513，求，求 DG 的长的长 首 页 末 页 (1)证明：证明：如答图，连接如答图，连接 OD. OAOD，OADODA. AD 平分平分BAC， OADD
46、AC. DACODA. ODAC. 首 页 末 页 ODBC90 . ODBC. OD 为为O 的半径，的半径， BC 是是O 的切线的切线 首 页 末 页 (2)解：解：如答图，连接如答图，连接 EF，DF. AE 为为O 的直径，的直径， AFE90 . AFEC90 . EFBC. BAEF. 首 页 末 页 又又ADFAEF，BADF. 又又BADDAF， ABDADF.ABADADAF. AD2AB AF.AD xy. 首 页 末 页 (3)解：解：设设O 的半径为的半径为 r. 在在 RtDOB 中，中， sin BODOB513， rr8513.解得解得 r5. 首 页 末 页 AE10. 在在 RtAFE 中，中， sinAEFsin BAFAE， AF105135013. 首 页 末 页 AD AB AF18501330 1313. ODGFAG，DGOAGF， OGDFGA. DGAGODFA1310. DG1310AG，DG1323AD. DG132330 1313302313. 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
