1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第十一章第十一章 解直角三角形解直角三角形 思思 维维 导导 图图 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第3434课时课时 锐角三角函数锐角三角函数 首 页 末 页 思思 维维 导导 图图 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 定定 义：如图所示，在义：如图所示，在 RtABC 中，中，C90 . 首 页 末 页 (1)锐角锐角 A 的的 的比叫做的比叫做A 的正弦，记作的正弦，记作 sin A，即，即 sin AA的对边的对边斜边斜边
2、ac； (2)锐角锐角 A 的的 的比叫做的比叫做A 的余弦，记作的余弦，记作 cos A，即，即 cos AA的邻边的邻边斜边斜边bc； 对边与斜边对边与斜边 邻边与斜边邻边与斜边 首 页 末 页 (3)锐角锐角 A 的的 的比叫做的比叫做A 的正切，记作的正切，记作 tan A，即，即 tan AA的对边的对边A的邻边的邻边ab； (4)锐角锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫做A 的的 对边与邻边对边与邻边 锐角三角函数锐角三角函数 首 页 末 页 注注 意：意：(1)上面上面ac，bc，ab三个比值的大小与三个比值的大小与 RtABC 的三边的的三边的大小无关，只与
3、大小无关，只与锐角锐角 A 的大小有关，即当锐角的大小有关，即当锐角 A 取固定值时，它的三个三角函数值也是固定的，取固定值时，它的三个三角函数值也是固定的，且不可能取负值；且不可能取负值； (2)sin A 是一个整体，它是三角函数的书写符号，而不是是一个整体，它是三角函数的书写符号，而不是 sin 与与 A 的乘积，的乘积，cos A，tan A 也是如此也是如此 首 页 末 页 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 函数值：函数值： 锐角锐角 A 三角函数三角函数 30 45 60 sin A 12 22 32 cos A 32 22 12 tan A 33 1 3 首 页 末 页 规
4、规 律：律： 30 ， 45 ， 60 角的正弦值的规律是： 分母为角的正弦值的规律是： 分母为 2， 分子分别为， 分子分别为 1， 2， 3，即即12，22，32；它们的余弦值的规律是：分母是；它们的余弦值的规律是：分母是 2，分子分别为，分子分别为 3， 2， 1，即，即32，22，12；它们的正切值的规律是：分母是；它们的正切值的规律是：分母是 3，分子分别为，分子分别为( 3)1，( 3)2，( 3)3，即，即33，1， 3. 首 页 末 页 3锐角三角函数值的变化规律锐角三角函数值的变化规律 规规 律：律：(1)当当A 为锐角时，为锐角时，0sin A1,0cos A0； (2)一
5、个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦值随着一个锐角的正弦、正切值均随着角度的增大而增大，而一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小；角度的增大而减小； (3)对于非特殊角的三角函数值，可利用计算器求得；反之，已知锐角的某种三角对于非特殊角的三角函数值，可利用计算器求得；反之，已知锐角的某种三角函函数值，也可以利用计算器求出此锐角的度数数值，也可以利用计算器求出此锐角的度数 首 页 末 页 4锐角三角函数间的关系锐角三角函数间的关系 互余关系：互余关系：(1)sin Acos (90 A)； (2)cos Asin (90 A) 同角关系：同角关系：(1)sin 2Acos
6、2A1； (2)tan Asin Acos A. 首 页 末 页 规规 律：律：(1)互余关系的主要作用就是改变锐角三角函数的名称，把不同名的三互余关系的主要作用就是改变锐角三角函数的名称，把不同名的三角函数化为同名的三角函数；角函数化为同名的三角函数； (2)同角关系的主要作用就是已知锐角的某个三角函数值去求这个锐角其他的三角同角关系的主要作用就是已知锐角的某个三角函数值去求这个锐角其他的三角函数值，同时常用来求证某些有关的数量关系函数值，同时常用来求证某些有关的数量关系 首 页 末 页 中中 考考 再再 现现 12019 怀化怀化已知已知 为锐角，且为锐角，且 sin 12，则，则( )
7、A30 B.45 C60 D.90 【解析】【解析】 为锐角，且为锐角，且 sin 12， 30 .故选故选 A. A 首 页 末 页 22017 怀化怀化如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为的坐标为(3,4)，那么，那么 sin 的值的值是是( ) A.35 B.34 C45 D. 43 C 首 页 末 页 32018 益阳益阳如图，小刚从山脚如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为出发，沿坡角为 的山坡向上走了的山坡向上走了 300 m 到达到达B 点，则小刚上升的高度为点，则小刚上升的高度为( ) A300sin m B.300cos m C300tan m
8、 D.300tan m A 【解析】【解析】 sin BCAB， BCAB sin 300sin (m)故选故选 A. 首 页 末 页 42019 张家界张家界如图：正方形如图：正方形 ABCD 的边长为的边长为 1，点，点 E，F 分别为分别为 BC，CD 边的边的中点，连接中点，连接 AE，BF 交于点交于点 P，连接，连接 PD，则，则 tanAPD . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 由正方形由正方形 ABCD 和点和点 E，F 分别为分别为 BC，CD 边的中点，易证边的中点，易证ABEBCF，证得，证得 AEBF，延长，延长 BF 交交 AD 的延长线于点的延长线于点 G，可
9、证，可证BCFGDF，DGCBAD，根据直角三角形的性质，得，根据直角三角形的性质，得 ADDP12AG，APDDAEAEB，tanAPDtanAEB2. 首 页 末 页 52019 怀化怀化计算：计算： 2 01904sin 60 12|3. 解：解：原式原式14322 3312 32 334. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 2019 宜昌宜昌如图，在如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 s
10、inBAC 的值为的值为( ) A.43 B.34 C35 D.45 D 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 C 作作 CDAB 于点于点 D， 则则ADC90 ， AC AD2CD2 32425. sinBACCDAC45.故选故选 D. 首 页 末 页 12018 孝感孝感如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90 ，AB10，AC8，则，则 sin A 等等于于( ) A A.35 B.45 C34 D.43 首 页 末 页 【解析】【解析】 根据勾股定理， 可得根据勾股定理， 可得 BC AB2AC2 102826.根据三角函数的定根据三角函数的定义，可得义，
11、可得 sin ABCAB61035.故选故选 A. 首 页 末 页 22019 凉山凉山如图，在如图，在ABC 中，中，CACB4，cos C14，则，则 sin B 的值为的值为( ) D A.102 B.153 C64 D.104 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 A 作作 ADBC 于点于点 D. cos C14，AC4， CD1，BD3，AD 4212 15. 在在 RtABD 中，中，AB 15 2322 6， sin BADAB152 6104.故选故选 D. 首 页 末 页 32018 天水天水已知在已知在 RtABC 中，中，C90 ，sin A121
12、3，则，则 tan B 的值为的值为 . 512 【解析】【解析】 在在 RtABC 中，中， 由由 sin A1213，设，设 a12k，c13k(k0) 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 b 13k 2 12k 25k. tan Bba512. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 一般地，已知一个锐角三一般地，已知一个锐角三角函数的值，求同角或余角的另一个三角函角函数的值，求同角或余角的另一个三角函数值，根据三角函数的定义和勾股定理，用一个字母表示直角三角形的三边长即数值，根据三角函数的定义和勾股定理，用一个字母表示直角三角形的三边长即可求出所有三角函数值可求出所有三角函数值 首 页 末 页
13、 类型之二类型之二 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 2019 原创原创计算计算 2cos 30 tan 45 1tan 60 2的值是的值是( ) A2 32 B.0 C2 3 D.2 B 【解析】【解析】 原式原式2321( 31) 31 310.故选故选 B. 首 页 末 页 42019 盐城盐城计算：计算：|2| sin 36 120 4tan 45 . 解：解：原式原式21212. 首 页 末 页 52019 原创原创计算：计算：24sin 45 cos230 12tan 602sin 60 . 解：解：原式原式2422 32212 3232 143436 3 15 36. 【点
14、悟】【点悟】 解决此类问题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，另外，若是计算解决此类问题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，另外，若是计算题，则常与整数次幂、绝对值、倒数、开平方等知识点结合起来考查题，则常与整数次幂、绝对值、倒数、开平方等知识点结合起来考查 首 页 末 页 类型之三类型之三 解直角三角形解直角三角形 2019 绵阳绵阳在在ABC 中，若中，若B45 ，AB10 2，AC5 5，则，则ABC的面积是的面积是 . 75或或25 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 A 作作 ADBC，垂足为点，垂足为点 D. 例例 3 答图答图 首 页 末 页 在在 RtABD 中，中，ADA
15、B sin B10，BDAB cos B10. 在在 RtACD 中，中，AD10，AC5 5， CD AC2AD25， BCBDCD15 或或 BCBDCD5， SABC12BC AD75 或或 25. 首 页 末 页 62019 盐城盐城如图，在如图，在ABC 中，中，BC 6 2，C45 ，AB 2AC，则，则 AC的长为的长为 . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 A 作作 ADBC 于点于点 D. C45 ，sin CADAC22，tan CADCD1. 设设 ADx， 则则 AC 2AD 2x，CDx，AB 2AC2x. 在在 RtABD 中，中，AD
16、B90 ， 由勾股定理，可得由勾股定理，可得 AD2BD2AB2，得，得 BD 3x， BCBDCD( 31)x 6 2， 解得解得 x 2，故故 AC2. 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 (1)利用锐角三角函数解直角三角形的常见类型有：已知斜边和一个锐利用锐角三角函数解直角三角形的常见类型有：已知斜边和一个锐角；已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一条直角边；已知两条直角边角；已知一条直角边和一个锐角；已知斜边和一条直角边；已知两条直角边 (2)作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的方法作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是常用的方法 首 页 末 页 课课 时时 作作
17、 业业 (60 分分) 一、选择题一、选择题(每题每题 3 分，共分，共 18 分分) 12018 柳州柳州如图所示，在如图所示，在 RtABC 中，中，C90 ，BC4，AC3，则，则 sin B的值为的值为( ) A.35 B.45 C.37 D.34 A 首 页 末 页 22019 天津天津2sin 60 的值等于的值等于( ) A1 B. 2 C 3 D.2 C 首 页 末 页 32018 宜昌宜昌如图，要测量小河两岸相对的两点如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取的距离，可以在小河边取PA 的垂线的垂线 PB 上的一点上的一点 C，测得，测得 PC100 m，
18、PCA35 ，则小河宽，则小河宽 PA 等于等于 ( ) C A100sin 35 m B.100sin 55 m C100tan 35 m D.100tan 55 m 首 页 末 页 42019 杭州杭州如图，一块矩形木板如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边斜靠在墙边(OCOB，点，点 A，B，C，D，O 在同一平面内在同一平面内)，已知，已知 ABa，ADb，BCOx，则点，则点 A 到到 OC 的距离等于的距离等于 ( ) Aasin xbsin x B.acos xbcos x Casin xbcos x D.acos xbsin x D 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，
19、过点如答图，过点 A 作作 AEOC 于点于点 E，作，作 AFOB 于点于点 F. 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，ABC90 . ABCAEC，BCOx， EABx，FBAx. ABa，ADb， FOFBBOacos xbsin x故选故选 D. 首 页 末 页 52019 金华金华如图，矩形如图，矩形 ABCD 的对角线交于点的对角线交于点 O，已知，已知 ABm，BAC，下列结论错误的是下列结论错误的是( ) ABDC B.BCmtan CAOm2sin D.BDmcos C 【解析】【解析】 由锐角三角函数的定义，得由锐角三角函数的定义，得 sin BC2OA， AOBC2s
20、in .故选故选 C. 首 页 末 页 62018 葫芦岛葫芦岛如图，如图，AB 是是O 的直径，的直径，C，D 是是O 上上 AB 两侧的点若两侧的点若D30 ，则，则 tanABC 的值为的值为( ) A.12 B.32 C 3 D.33 C 【解析】【解析】 AB 是是O 的直径，的直径，ACB90 . AD30 ，ABC60 . tanABCtan 60 3.故选故选 C. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题 4 分，共分，共 24 分分) 72019 雅安雅安在在 RtABC 中，中，C90 ，AB5，BC4，则，则 sin A . 45 【解析】【解析】 根据根据正弦的
21、定义直接求解，正弦的定义直接求解，sin ABCAB45. 首 页 末 页 82019 甘肃甘肃在在ABC 中，中，C90 ，tan A33，则，则 cos B . 12 【解析】【解析】 在在 RtABC 中，中，C90 ，tan A33， 设设 a 3x，b3x，则，则 c2 3x， cos Bac12. 首 页 末 页 92018 湖州湖州如图，已知四边形如图，已知四边形 ABCD 是菱形，对角线是菱形，对角线 AC，BD 相交于点相交于点 O.若若tanBAC13，AC6，则，则 BD 的长是的长是 . 2 首 页 末 页 【解析】【解析】 菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂
22、直平分， ACBD. tanBAC13，BOAO13. AC6，AO3. BO1.BD2BO2. 首 页 末 页 10 2018 青海青海在在ABC 中， 若中， 若|sin A12 cos B1220， 则， 则C 的度数是的度数是 . 【解析】【解析】 |sin A12 cos B1220， sin A12，cos B12. A30 ，B60 . C180 30 60 90 . 90 首 页 末 页 112019 乐山乐山如图，在如图，在ABC 中，中，B30 ，AC2，cos C35.则则 AB 边的长边的长 为为 . 165 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点
23、A 作作 ADBC 于点于点 D， ADBADC90 . 在在 RtADC 中，中， ADC90 ，cos C35，AC2， DCAC cos C23565， 首 页 末 页 AD AC2CD222 65285. 在在 RtADB 中，中，ADB90 ，B30 . sin BADAB12，AB2AD165. 首 页 末 页 122019 眉山眉山如图，在如图，在 RtABC 中，中，B90 ，AB5，BC12，将，将ABC 绕点绕点 A 逆时针旋转得到逆时针旋转得到ADE， 使得点， 使得点 D 落在落在 AC 上， 则上， 则 tanECD 的值为的值为 . 32 首 页 末 页 【解析】【
24、解析】 在在 RtABC 中，中， B90 ，AB5，BC12， AC AB2BC2 5212213. ABC 绕点绕点 A 旋转到旋转到ADE， EDBC12，ADAB5，ADE90 ， CDACAD1358， tanECDEDDC12832. 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共 18 分分) 13(8 分分)如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90 ，AB10，sin A25，求，求 BC 的长和的长和tan B 的值的值 首 页 末 页 解：解：sin ABCAB25，AB10， BC25AB25104. AC AB2BC22 21. tan BACBC212. 首 页 末
25、页 14(10 分分)计算：计算： (1)2019 眉山眉山 132 4 306sin 45 18. 解：解：原式原式916223 283 23 28. (2)2019 广安广安(1)4|1 3|6tan 30 (3 27)0. 解：解：原式原式1( 31)6331 1 312 311 3. 首 页 末 页 (25 分分) 15(12 分分)2019 梧州梧州如图，在如图，在 RtABC 中，中，C90 ，D 为为 BC 上一点，上一点，AB5，BD1，tan B34. (1)求求 AD 的长；的长； (2)求求 sin 的值的值 首 页 末 页 解：解：(1)tan B34，可设，可设 AC
26、3x，则，则 BC4x. AC2BC2AB2，(3x)2(4x)252， 解得解得 x1(舍去舍去)或或 x1. AC3，BC4. BD1，CD3， AD CD2AC23 2. 首 页 末 页 (2)如答图，过点如答图，过点 D 作作 DEAB 于点于点 E， tan B34，可设，可设 DE3y，则，则 BE4y. BE2DE2BD2，(3y)2(4y)212， 解得解得 y15(舍去舍去)或或 y15， DE35，sin DEAD210. 首 页 末 页 16(13 分分)2018 无锡改编无锡改编已知：在已知：在ABC 中，中，AB10，AC2 7，B30 ，求求ABC 的面积的面积 解
27、：解：分两种情况求解：分两种情况求解： (1)如答图如答图，过点，过点 A 作作 ADBC 于点于点 D. AB10，B30 ， AD12AB12105， BD AB2AD2 102525 3. 第第 16 题答图题答图 首 页 末 页 又又AC2 7， CD AC2AD2 2 7 252 3. BCBDCD5 3 36 3. SABC12BC AD126 3515 3. 首 页 末 页 (2)如答图如答图，过点，过点 A 作作 ADBC 交延长线于点交延长线于点 D. AB10，B30 ， AD12AB12105， BD AB2AD2 102525 3. 又又AC2 7， 第第 16 题答图
28、题答图 首 页 末 页 CD AC2AD2 2 7 252 3. BCBDCD5 3 34 3. SABC12BC AD124 3510 3. 综上所述综上所述，ABC 的面积等于的面积等于 15 3或或 10 3. 首 页 末 页 (15 分分) 17(15 分分)2019 淄博淄博如图，以如图，以 A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中，将中，将角角 B 折起，使点折起，使点 B 落在落在 AC 边上的点边上的点 D(不与点不与点 A，C 重合重合)处，折痕是处，折痕是 EF. 如图如图，当，当 CD12AC 时，时，tan 134； 如图如图，当，当 CD13AC 时，时，tan 2512； 如图如图，当，当 CD14AC 时，时，tan 3724； 首 页 末 页 依次类推，当依次类推，当 CD1n1AC(n 为正整数为正整数)时，时，tan n . 2n12n n1 首 页 末 页 【解析】【解析】 当当 n1 时，时，tan 134314； 当当 n2 时，时，tan 2512526； 当当 n3 时，时，tan 3724738； tan n2n1n 2n2 2n12n n1 . 首 页 末 页 谢谢观看！谢谢观看！
