福建省福州市连江县2021-2022学年九年级上期中数学试题(含答案解析)

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1、2021-2022 学年福建省福州市连江县九年级(上)期中数学试卷学年福建省福州市连江县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 4分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)是符合题目要求的) 1. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列图形中的角是圆周角的是( ) A. B. C. D. 3. 抛物线 yx2+3的对称轴是( ) A. x 轴 B. y轴 C. 直线 yx D. 直线 yx 4. 如图,O 是ABC外接圆,

2、BOC100,则A 的度数为( ) A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 5. 在下列方程中,有一个方程有两个实数根,且它们互为相反数,这个方程是( ) A. 10 x B. 20 xx C. 210 x D. 210 x 6. 若二次函数 yax2+bx+a23(a、b 为常数)的图象如图所示,则 a的值为( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 7. 参加一次聚会每两人都握了一次手,所有人共握手 10 次,若共有 x 人参加聚会,则根据题意,可列方程( ) A. (1)10 x x B. (1)10 x x C. 1(1)102x x D. 1(1)102x x 8. 已

3、知(1,y1) ,B(2,y2) , (4,y3)是抛物线 y2x2+8x1 上的点,则下列结论正确的是( ) A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y1y3 9. 在平面直角坐标系中,将抛物线 ymx2+mx(m0)向下平移 1 个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A. 第一象限 B. 第二象 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知两直角重合两块直角三角板,其中DCEACB90,ABC30,DEC45,ACDC2 若将DEC绕着点 C顺时针旋转 60后, 点 D 恰好落在 AB边上, DE 与 BC 交于 F, 如图所示,则CEF的面积为(

4、) A. 33 B. 3 C. 2 D. 32 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4分,满分分,满分 24 分请在答题卡的相应位置作答)分请在答题卡的相应位置作答) 11. 平面直角坐标系中,点 P(1,3)关于原点对称的点的坐标是_ 12. 点 A(0,3),点 B(4,0),则点 O(0,0)在以 AB为直径圆_(填内、上或外) 13. 若一元二次方程(x3)216 可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是 x34,则另一个一元一次方程是 _ 14. 某校图书馆利用节假日面向社会开放据统计,第一个月进馆 500人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆 720人

5、次,设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为 x,则可列方程为 _ 15. 如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加_m. 16. 下列关于二次函数22()1yxmm (m为常数)的结论,该函数的图象与函数2yx 的图象形状相同;该函数的图象一定经过点(0,1);当0 x时,y随 x 的增大而减小;该函数的图象的顶点在函数21yx的图像上,其中所有正确的结论序号是_ 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 9 小题,共小题,共 86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 解方程:x26x+5

6、0 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m1)xm0求证:方程总有两个实数根 19. 二次函数 yax2+bx+c(a0)的图像如图所示,根据图像回答下列问题: (1)观察图像,当 y随 x的增大而减小时,自变量 x 的取值范围为 ; (2)一元二次方程 ax2+bx+c0的两个根为 ; (3)观察图像,当函数值小于 0 时,自变量 x 的取值范围为 20. 如图,O 与矩形 ABCD 的 BC边相切于 M 点,与 AD 边相交于点 E,F,若 EFCD4cm,求O的半径 21. 如图,在ABC中,ACB90,AC4,BC6 (1)尺规作图:将ABC绕 BC中点 O旋转 180,得到

7、ABC; (保留作图痕迹,不写作法) (2)求点 A与点 A之间的距离 22. 如图,AB 是O 的直径,点 F是ABC 的内心,连接 CF并延长交O于 D,连接 BD并延长至 E,使得 BDDE,连接 AE (1)求证:FDBD; (2)求证:AE是O的切线 23. 某校九年级一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况, 下面是调査后小阳与其他两位同学交流的情况: 小阳:据调查,该商品的进价为 12 元/件 小佳:该商品定价为 20 元时,每天可售 240件 小欣:在定价为 20 元的基础上,每涨价 1 元,每天少售 10件 根据他们的对话,解决下列问题: (1)若销售该商

8、品每天能获利 2470 元,则该商品的定价应为多少? (2)设每天销售该商品的利润为 W元,且每件商品销售单价不高于 26 元,求该商品的销售单价定为多少元时,每天销售获得的利润最大,最大利润是多少? 24. 如图 1,在平面直角坐标系中,A(3,0) ,B(0,3) ,将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 (0360)得到 RtDCB (1)求 AB的长; (2)当旋转角 20时,如图 1,AB 与 CD交于点 F,求BFC 的度数; (3)当旋转角 60时,如图 2,连接 OD,求 OD的长 25. 在平面直角坐标系中,抛物线 yax24ax+2a1(a0)与平行于 x轴的一条直线交与 A

9、,B 两点 (1)若抛物线的图象过(0,1) ,求 a的值; (2)若点 A的坐标为(1,3) ,求点 B的坐标; (3)若直线 AB与抛物线的对称轴交于点 N,与 y 轴交点的纵坐标为1,且抛物线的顶点 M到点 N的距离为 3,求抛物线的解析式 2021-2022 学年福建省福州市连江县九年级(上)期中数学试卷学年福建省福州市连江县九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 小题,每小题小题,每小题 4分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)是符合题目要求的) 1. 下列图形中,是中心对称图形但不

10、是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义,即一个图形的一部分沿某条直线对折能与另一部分重合,及中心对称图形的定义,即一个图形绕某点旋转 180 后能与原图形重合,进行判断即可 【详解】A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故该选项符合题意; B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故该选项不符合题意; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意; D、不轴对称图形,也不是中心对称图形,故该选项不符合题意 故选:A 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别,明确轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键 2. 下列图形中的角

11、是圆周角的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角的定义(角的顶点在圆上,并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角)判断即可 【详解】解:根据圆周角的定义可知,选项A中的角是圆周角 故选:A 【点睛】本题考查圆周角的定义,解题的关键是理解圆周角的定义,属于中考基础题 3. 抛物线 yx2+3的对称轴是( ) A. x轴 B. y轴 C. 直线 yx D. 直线 yx 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数2yaxk的性质,其对称轴为y轴即可求解 【详解】Q2yaxk 抛物线的对称轴为y轴 故选:B 【点睛】本题考查了二次函数2yaxk的图像和性质,熟练掌握二次函

12、数的图像和性质是解题关键 4. 如图,O 是ABC的外接圆,BOC100,则A的度数为( ) A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,得BOC2A,进而可得答案 【详解】解:O是ABC 的外接圆,BOC100, A12BOC50 故选:B 【点睛】本题考查了圆周角定理,解题的关键是掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 5. 在下列方程中,有一个方程有两个实数根,且它们互为相反数,这个方程是( ) A. 10 x B. 20

13、 xx C. 210 x D. 210 x 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意一次项系数为 0且0 判断即可 【详解】解:A、x-1=0 是一次方程,方程有一个实数根,故选项不合题意; B、方程两根互为相反数和为 0,一次项的系数为 1,故选项不合题意; C、=0-4 1 (-1)=40,且一次项系数为 0,故此选项符合题意; D、=0-4 1 1=-40,故此选项不合题意 故选:C 【点睛】 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 根与系数的关系: 若方程的两根为 x1, x2, 则 x1+x2=-ba,x1x2=ca,也考查了一元二次方程的根的判别式 6. 若二次函数

14、yax2+bx+a23(a、b 为常数)的图象如图所示,则 a的值为( ) A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可得二次函数过原点,则230a ,又因为开口向下,所以0a ,即可求解 【详解】解:由图像可得开口向下,二次函数过原点,0a 将(0,0)代入得230a 解得3a 3a 故选 B 【点睛】此题考查了二次函数图像的性质,解题的关键是掌握二次函数图像的有关性质 7. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 10 次,若共有 x 人参加聚会,则根据题意,可列方程( ) A. (1)10 x x B. (1)10 x x C. 1(1)102x

15、 x D. 1(1)102x x 【答案】C 【解析】 【分析】如果x人参加了这次聚会,则每个人需握手1x 次,x人共需握手1x x次;而每两个人都握了一次手,因此一共握手11102x x次. 【详解】设x人参加了这次聚会,则每个人需握手1x 次, 依题意,可列方程11102x x. 故选 C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用. 8. 已知(1,y1) ,B(2,y2) , (4,y3)是抛物线 y2x2+8x1 上的点,则下列结论正确的是( ) A. y1y2y3 B. y3y2y1 C. y3y1y2 D. y2y1y3 【答案】D 【解析】 【分析】把点A,B,C的横坐标代入抛物

16、线解析式,分别求出对应的函数值,即可求解 【详解】1x时,22281218117yxx 2x时,22281228219yxx 4x时,22281248411yxx 971 Q 213yyy 故选:D 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征,分别求出各函数值是解题关键 9. 在平面直角坐标系中,将抛物线 ymx2+mx(m0)向下平移 1 个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A. 第一象限 B. 第二象 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线转为顶点式,根据平移规则求得平移后的解析式,判断顶点坐标的符号,即可求解 【详解】解:222111()()

17、4424mymxmxm xxm x 向下平移 1 个单位后,解析式为21124mym x 则顶点坐标为:1(,1)24m 0m 04m 104m 又因为102 所以顶点坐标在第三象限 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识;熟练掌握二次函数的图象和性质,求出抛物线的顶点坐标是解题的关键 10. 已知两直角重合的两块直角三角板,其中DCEACB90,ABC30,DEC45,ACDC2 若将DEC绕着点 C顺时针旋转 60后, 点 D 恰好落在 AB边上, DE 与 BC 交于 F, 如图所示,则CEF的面积为( ) A. 33 B. 3 C. 2 D

18、. 32 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DHCB,交CB于点H,过点E作EGCB,根据三角形中位线的性质求出DH的长, 利用解直角三角形求出EG的长, 再根据111222CDESCF GECF DHCD CEggggg求出CF的长,即可求解 【详解】解:如图:过点D作DHCB,交CB于点H,过点E作EGCB,交CB于点G 30B Q,2AC 4AB 2CD Q,4AB D为AB的中点 QDHCB,ACCB,D为AB的中点 112DHAC 2DC Q 30DCH 90DCEQ 60ECGDCEDCH 2CECDQ sin2 sin603GECEECG g 111113122222CDES

19、CF GECF DHCFCFCD CE Qggggg 即11312 222CF 2 32CF 112 3233322CEFSCFGE 故选:A 【点睛】本题考查了直角三角形的性质,三角形中位线,解直角三角形,利用三角形面积的不同求法,求出线段CF的长是解题关键 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4分,满分分,满分 24 分请在答题卡的相应位置作答)分请在答题卡的相应位置作答) 11. 平面直角坐标系中,点 P(1,3)关于原点对称的点的坐标是_ 【答案】 (1,3) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可直接得到答

20、案 【详解】解:点 P(1,3)关于原点对称的点的坐标是(1,3) , 故答案为: (1,3) 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中,关于原点的两个点的坐标变化规律,掌握两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,是解题的关键. 12. 点 A(0,3),点 B(4,0),则点 O(0,0)在以 AB为直径的圆_(填内、上或外) 【答案】上 【解析】 【分析】先得出圆的圆心坐标 C,进而得出 OC的长与半径的长进行比较解答即可 【详解】解:点 A(O,3),点 B(4,0), AB=2243=5,圆心坐标为(2,1.5) , 半径=2.5,点 O到圆心的距离=2221.5=2.5=半径 故点 O

21、在圆上 故答案为:上 【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题 13. 若一元二次方程(x3)216 可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是 x34,则另一个一元一次方程是 _ 【答案】x-34 【解析】 【分析】把方程(x3)216两边开方即可得到答案 【详解】解:(x3)216, x-34或 x-34 故答案为 x-34 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法:形如 x2p或(nxm)2p(p0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 14. 某校图书馆利用节假日面向社会开放据统计,第一个月进馆 500人次,进馆人次逐月增加,第三个月进

22、馆 720人次,设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为 x,则可列方程为 _ 【答案】2500 1720 x 【解析】 【分析】根据第一个月的进馆人次21x等于第三个月的进馆人次,代入数据解答即可 【详解】解:设进馆人次的月增长率为,依题意可列方程为:2500 1720 x 故答案为:2500 1720 x 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题,属于常考题型,一般的,若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化率为 x,则经过两次变化后的数量关系为: 15. 如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加_m. 【答案】2 64; 【

23、解析】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,设出抛物线的解析式,从而可以求得水面的宽度增加了多少,本题得以解决 【详解】如右图建立平面直角坐标系, 设抛物线的解析式为 y=ax2, 由已知可得,点(2,-2)在此抛物线上, 则-2=a22,解得12a , 212yx , 当 y=-3 时,2132x , 解得,6x , 此时水面的宽度为:6(6)2 6 , 水面的宽度增加2 64, 故答案为2 64 【点睛】本题考查二次函数应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,建立合适的平面直角坐标系 16. 下列关于二次函数22()1yxmm (m为常数)的结论,该函数的图象与函数2yx

24、 的图象形状相同;该函数的图象一定经过点(0,1);当0 x时,y随 x 的增大而减小;该函数的图象的顶点在函数21yx的图像上,其中所有正确的结论序号是_ 【答案】 【解析】 【分析】两个二次函数可以通过平移得到,由此即可得两个函数的图象形状相同;求出当0 x时,y的值即可得;根据二次函数的增减性即可得;先求出二次函数22()1yxmm 的顶点坐标,再代入函数21yx进行验证即可得 【详解】Q当0m时,将二次函数2yx 的图象先向右平移 m 个单位长度,再向上平移21m 个单位长度即可得到二次函数22()1yxmm 的图象;当0m时,将二次函数2yx 的图象先向左平移m个单位长度,再向上平移

25、21m 个单位长度即可得到二次函数22()1yxmm 的图象 该函数的图象与函数2yx 的图象形状相同,结论正确 对于22()1yxmm 当0 x时,22(0)1 1ymm 即该函数的图象一定经过点(0,1),结论正确 由二次函数的性质可知,当xm时,y随 x 的增大而增大;当xm时,y随 x 的增大而减小 则结论错误 22()1yxmm 的顶点坐标为2(),1m m 对于二次函数21yx 当xm时,21ym 即该函数的图象的顶点2(),1m m 在函数21yx的图象上,结论正确 综上,所有正确的结论序号是 故答案为: 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点,熟练掌握二次函数的图象与性

26、质是解题关键 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 9 小题,共小题,共 86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 解方程:x26x+50 【答案】11x ,25x 【解析】 【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可 【详解】解:2650 xx (1)(5)0 xx 10 x 或50 x 11x ,25x 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程,解题的关键是掌握因式分解方法 18. 已知关于 x一元二次方程 x2+(m1)xm0求证:方程总有两个实数根 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明方程有两个实数根,只要证明一元二次

27、方程的判别式240bac 即可 【详解】由题可知:1a ,1bm,cm, 2224(1)4 1 ()(1)0bacmmm , 方程有两个实数根 【点睛】本题考查了一元二次方程20(a0)axbxc的根的判别式24bac :当0 时,方程有两个不相等的实数根;当0 时,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根 19. 二次函数 yax2+bx+c(a0)的图像如图所示,根据图像回答下列问题: (1)观察图像,当 y随 x的增大而减小时,自变量 x 的取值范围为 ; (2)一元二次方程 ax2+bx+c0的两个根为 ; (3)观察图像,当函数值小于 0 时,自变量 x 的取值范围为 【答案】 (

28、1)1x ; (2)11x ,23x ; (3)3x 或11x 【解析】 【分析】 (1)观察函数图像可得,在对称轴的右侧,y随 x的增大而减小,即可求解; (2)由二次函数与一元二次方程的关系可得,AB、两点的横坐标为一元二次方程的两个根,根据对称性求解即可; (3)函数值小于 0,可得函数图像在x轴的下方,即可求解 【详解】解: (1)观察函数图像可得,在对称轴的右侧,y随 x的增大而减小, 此时 x 的范围为1x ; 故答案为1x ; (2)由二次函数与一元二次方程的关系可得, AB、两点的横坐标为一元二次方程20axbxc的两个根, 由图像可得A点的横标为1,且AB、两点关于1x 对称

29、 所以B点的横坐标为3x 一元二次方程20axbxc的两个根为11x ,23x 故答案为11x ,23x ; (3)当函数值小于 0时,函数图像在x轴的下方,即在点A的左侧或点B的右侧 此时 x 的范围为3x 或11x 故答案为3x 或11x 【点睛】此题考查了二次函数的图像的性质,二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系,解题的关键是掌握它们之间的关系,利用数形结合的思想进行求解 20. 如图,O 与矩形 ABCD 的 BC边相切于 M 点,与 AD 边相交于点 E,F,若 EFCD4cm,求O的半径 【答案】52cm 【解析】 【分析】连接并延长MO,交EF于点G,交Oe于点H,连

30、接OF,设Oe的半径为r,先根据垂径定理求出FG的长,再证明四边形GMCD是矩形,在RtOGF中,根据勾股定理列方程即可求出Oe的半径 【详解】 如图所示,连接并延长MO,交EF于点G,交Oe于点H,连接OF, 设Oe的半径为r, OQe与BC相切于点M, BCOM, Q四边形ABCD是矩形, ADBC, 90OGFOMB, MHQ是Oe的直径,且MHEF,4EFCD, 122FGEGEF, 90OMCCDQ, 四边形GMCD是矩形, 4GMCD,4OGr , 在RtOGF中,由勾股定理得:222(4)2rr, 解得:52r , Oe的半径为52cm 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理

31、,矩形的判定与性质和勾股定理,解题关键是作出适当的辅助线,以便于应用垂径定理和勾股定理解题 21. 如图,在ABC中,ACB90,AC4,BC6 (1)尺规作图:将ABC绕 BC的中点 O旋转 180,得到ABC; (保留作图痕迹,不写作法) (2)求点 A与点 A之间的距离 【答案】 (1)见解析(2)10 【解析】 【分析】 (1)连接 AO,延长 AO,截取 OAOA,连接 AC,AB,ABC即为所求; (2)利用勾股定理求出 AO,可得结论 【详解】解: (1)如图,ABC即为所求; (2)在 RtACO 中,ACO90,AC4,OCOB12BC3, AO225ACCO, AA2OA1

32、0 【点睛】本题考查作图旋转变换,解题的关键是掌握旋转的性质与勾股定理,属于中考常考题型 22. 如图,AB 是O 的直径,点 F是ABC 的内心,连接 CF并延长交O于 D,连接 BD并延长至 E,使得 BDDE,连接 AE (1)求证:FDBD; (2)求证:AE是O的切线 【答案】 (1)见解析(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)连接 BF,欲证明 FDBD,只要证明DBFDFB; (2)连接 AD,欲证明直线 AE为O的切线,只要证明 ABAE即可 【详解】 (1)证明:连接 BF 点 F是ABC的内心, ACDBCD,FBCFBA, DFBBCDCBF,FBDFBAABD,ABD

33、ACD, DBFDFB, FDBD (2)连接 AD CD平分BAC, ACDBCD, ADBD, ADBD, BDDE, ADDBDE, ABDBAD,EEAD, 2E2ABD180, EABD90, EAB90, AEAB, A点在圆上 AE 是O的切线 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型 23. 某校九年级一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况, 下面是调査后小阳与其他两位同学交流的情况: 小阳:据调查,该商品的进价为 12 元/件 小

34、佳:该商品定价为 20 元时,每天可售 240件 小欣:在定价为 20 元的基础上,每涨价 1 元,每天少售 10件 根据他们的对话,解决下列问题: (1)若销售该商品每天能获利 2470 元,则该商品的定价应为多少? (2)设每天销售该商品的利润为 W元,且每件商品销售单价不高于 26 元,求该商品的销售单价定为多少元时,每天销售获得的利润最大,最大利润是多少? 【答案】 (1)该商品的定价应为 25 元或 31 元(2)该商品的销售单价定为 26元时,每天销售获得的利润最大,最大利润是 2520元 【解析】 【分析】 (1)设每件商品定价为 x元,根据销售总利润2470 列出方程,解方程即

35、可; (2)根据总利润每件的利润销量列出函数解析式,根据函数的性质求函数最值即可 【详解】解: (1)设每件商品定价为 x元,则每件商品的销售利润为(x12)元, 根据题意得: (x12)24010(x20)2470, 整理得:x256x7750, 解得 x125,x231, 该商品的定价应为 25 元或 31 元; (2)设每件商品定价为 x元,由题意得: W(x12)24010(x20)10 x2560 x528010(x28)22560, 100, 当 x28 时,W随 x的增大而增大, 每件商品销售单价不高于 26 元, x26, 当 x26 时,W最大,最大值为 2520, 该商品的

36、销售单价定为 26 元时,每天销售获得的利润最大,最大利润是 2520 元 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用,关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程 24. 如图 1,在平面直角坐标系中,A(3,0) ,B(0,3) ,将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 (0360)得到 RtDCB (1)求 AB的长; (2)当旋转角 20时,如图 1,AB 与 CD交于点 F,求BFC 的度数; (3)当旋转角 60时,如图 2,连接 OD,求 OD的长 【答案】 (1)3 2 ; (2)65; (3)3 23 62 【解析】 【分析】 (1)利用勾股定理,即可求解; (2)根据旋

37、转的性质,可得D=OAB=45,ABD=20,即可求解; (3)连接 AD,OC,设 AB与 OD交于点 M,根据旋转的性质,可得ABD是等边三角形,从而得到3 2ADBDAB ,然后设 D(x,y) ,可得 x=y,从而得到AOD=45,进而得到 ABOD,从而12OMAB,再由勾股定理,可求出 DM,即可求解 【详解】解: (1)A(3,0) ,B(0,3) , OA=OB=3, 在Rt AOBV 中,由勾股定理得: 223 2ABOAOB ; (2)OA=OB,AOB=90, OAB=ABO=45, 将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 得到 RtDCB,20, D=OAB=45,ABD

38、=20, BFC=D+ABD=45 +20 =65 ; (3)如图,过点 D作 DNx轴于点 N,连接 AD,OC,设 AB与 OD交于点 M, 将 RtAOB绕点 B逆时针方向旋转 60得到 RtDCB, OBC=ABD=60,AB=BD,BC=OB, ABD是等边三角形, 3 2ADBDAB , 设 D(x,y) , 2223ADxy ,2223BDxy , 222233xyxy,解得:x=y, D(x,x) , DNON , AOD=45, OAB=45, AMO=90,即 ABOD, OA=OB, AM=BM=13 222AB , 113 23 2222OMAB , 在RtADM 中,

39、由勾股定理得: 223 62DMADAM , 3 23 63 23 6222ODOMDM 【点睛】本题主要考查了图形的变换旋转,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握旋转的性质,等边三角形的性质和判定定理,等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键 25. 在平面直角坐标系中,抛物线 yax24ax+2a1(a0)与平行于 x轴的一条直线交与 A,B 两点 (1)若抛物线的图象过(0,1) ,求 a的值; (2)若点 A的坐标为(1,3) ,求点 B的坐标; (3)若直线 AB与抛物线对称轴交于点 N,与 y轴交点的纵坐标为1,且抛物线的顶点 M 到点 N 的距离为 3

40、,求抛物线的解析式 【答案】 (1)1; (2)(5, 3)(3)26322yxx或23642yxx 【解析】 【分析】 (1)将点(0,1)代入抛物线解析式求解即可; (2)求得抛物线的对称轴,根据题意可得AB、关于对称轴对称,即可求解; (3)根据题意可得A BN、 、的纵坐标为1,根据题意可求得顶点M的坐标,求解即可 【详解】解: (1)将点(0,1)代入抛物线解析式2421yaxaxa得 21 1a ,解得1a 故答案为1; (2)由抛物线解析式2421yaxaxa,可得 抛物线的对称轴为2x 由题意可得:AB、关于对称轴2x对称 点 A的坐标为(1,3) 点B的坐标为(5, 3) 故

41、答案为(5, 3); (3)根据题意可得A BN、 、的纵坐标为1, 点MN、都在对称轴2x上,(2, 1)N 当点M在点N的上方时,顶点 M 到点 N 的距离为 3,则(2,2)M 将(2,2)M代入抛物线解析式得,48212aaa ,解得32a 此时抛物线解析是为23642yxx 当点M在点N的下方时,顶点 M 到点 N 的距离为 3,则(2, 4)M 将(2, 4)M代入抛物线解析式得,48214aaa ,解得32a 此时抛物线解析式为26322yxx 所以抛物线解析式为26322yxx或23642yxx 【点睛】此题考查了二次函数的性质,待定系数法求解析式,解题的关键是掌握二次函数的性质,根据题意正确求出顶点的坐标

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