1、武汉市东西湖区武汉市东西湖区 2021-2022 学年八年级上学期期中数学试题学年八年级上学期期中数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，7cm，4cm B. 2cm，3cm，6cm C. 5cm，6cm，7cm D. 1cm，2cm，3cm 2. 下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使钉上（ ）根木条 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图是
2、两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（ ） A. 60 B. 54 C. 56 D. 66 5. 已知一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 6. 如图，在ABC中，C90 ，AC4，AD3CD，BD 平分ABC，则点 D到 AB的距离为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图， 在 33 的正方形网格中， 每个小正方形的顶点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中ABC 是一个格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与ABC 成轴对称 A. 4 B. 5 C. 6 D.
3、7 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. 105 B. 75 C. 65 D. 55 9. 如图，在ABCV中，己知点 D，E，F分别为边 BC，AD，CE 的中点，且216cmABCS，则 S阴影等于（ ） A. 28cm B. 24cm C. 22cm D. 21cm 10. 如图，等腰 RtVABC中，ABAC，BAC90 ，ADBC于点 D，ABC的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为 EF的中点，AM的延长线交 BC于点 N，连接 DM，下列结论：DFDN；VDMN为等腰三角形；DM 平分BMN；AE23EC；AENC，其中正确结论有（ ） A. 2
4、 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 18 分）分） 11. 等腰三角形一个角是 70，则它的底角是_ 12. 点1,2M 关于x轴对称的点的坐标为_ 13. 如图，在ABC 中，CABC2A，BD是边 AC上的高，则DBC的大小等于_度 14. 如图的三角形纸片中，AB8，BC6，AC5，沿过点 B的直线折叠这个三角形，使得点 C落在 AB边上的点 E处，折痕为 BD，则AED 的周长_ 15. 如图，RtABC 中，ABC90，AB6，BC8，BD为ABC 的角平分线，则点 D到边 AB 的距离为_ 16
5、. ABC中，ACB60，AC4，BC13，以 AB 为边作等边ABD，过 D作 DEBC于 E，则 BE长为_ 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17. 如图，CD CA，1 2，ECBC 求证：DEAB 18. 在ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，BAC50，C70，求DAE和AOB的度数 19. 用一条长为 20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是 6cm的等腰三角形吗？为什么？ 20. 如图，AD与 BC 相交于点 O，OA=OC，A=C，BE=DE 求证：OE垂直平分 BD 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，
6、ABC 的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上，A（3，3） ，B（4，2） ，C（0，1） （1）直接写出ABC 的面积为 （2）画出ABC 关于 y 轴的对称的DEC（点 D 与点 A 对应） ，点 E 的坐标为 （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出ABC的高线 BF（保留作图痕迹） 22. 如图，四边形 ABCD中，CA 平分BAD，CBCD，CFAD 于 F （1）求证：ABCADC180； （2）若 AF：CF3：4，CF8，求四边形 ABCD的面积 23. 如图 1，B，C，E 三点在一条直线上，ABC和DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于点 M，AE与CD 交于点 N
7、 （1）求证：AEBD； （2）如图 2，连接 MN，求证：MN/BE； （3）如图 3所示，在等边ABC 中，ADBD，BAD58，ACD28，CD1，求 BD的长 24. 在平面直角坐标系中，点 A 在 x轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上， ABC= 90 ， BC=AB （1）如图 1， A （5，0） ， B （0，2） ，点 C在第一象限，请直接写出 C 的坐标； （2）如图 1， B （0，2） ， BFy 轴，D在 y轴上， BD = 12AO，连接 CD 并延长交 BF 于点 E ，请求出 BE 的长度； （3）如图 2，A （n， 0） ，H在 AC 延长线上，过 H
8、（m，n ）作 HG x 轴于 G，探究线段 BH、AG、BO 之间数量关系，并证明你的结论 武汉市东西湖区武汉市东西湖区 2021-2022 学年八年级上学期期中数学试题学年八年级上学期期中数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，7cm，4cm B. 2cm，3cm，6cm C. 5cm，6cm，7cm D. 1cm，2cm，3cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，进行分析 【详解】解：根据三角形
9、的三边关系，得 A、3 cm+ 4 cm =7 cm，不能组成三角形； B、2 cm +3 cm6 cm，不能够组成三角形； C、5 cm +6cm7cm，能组成三角形； D、1cm+2cm=3cm，不能组成三角形 故选：C 【点睛】此题考查了三角形的三边关系判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否第三个数 2. 下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高可判断. 【详解】解：根据三角形高的画法知，过点 B作 AC边上的高，垂足为 E，其中线段 BE 是A
10、BC 的高， 符合线段 BE是ABC的高的图是选项 D 故选 D 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段熟记定义是解题的关键 3. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使钉上（ ）根木条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条 【详解】过五边形的一个顶点作对角线，有 5-3=2条对角线，所以至少要钉上 2根木条 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的稳定
11、性，规律：过 n边形的一个顶点作对角线，可以做（n-3）条 4. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（ ） A. 60 B. 54 C. 56 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等，右图 b和 c 的夹角1等于左图 b和 c 的夹角. 【详解】解：已知图中为两个全等三角形, 图中的字母表示三角形的边长，则右图 b 和 c 的夹角1 等于左图 b和 c 的夹角即是1=180o-54o-60o=66o， 故选 D. 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质. 5. 已知一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C.
12、七边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】n 边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数 【详解】根据 n 边形的内角和公式，得 （n2）180=1080， 解得 n=8， 这个多边形的边数是 8， 故选 B 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决 6. 如图，在ABC中，C90 ，AC4，AD3CD，BD 平分ABC，则点 D到 AB距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案
13、】A 【解析】 【分析】过点 D作 DEAB 于点 E，由 AC=4，AD=3CD可求出 CD的长，由 BD 平分ABC，利用角平分线的性质可求出 DE的长 【详解】解：过点 D作 DEAB 于点 E，如图所示 AC=4，AD=3CD， 111 3CDAC， 又BD 平分ABC， DE=DC=1 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质，牢记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 7. 如图， 在 33 的正方形网格中， 每个小正方形的顶点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中ABC 是一个格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与ABC 成轴对称 A. 4 B
14、. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解 【详解】解：如图，最多能画出 6个格点三角形与ABC成轴对称 故选：C 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴 8. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. 105 B. 75 C. 65 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可 【详解】解：由三角形外角性质可知：30 +45 75 ， 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角
15、形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键 9. 如图，在ABCV中，己知点 D，E，F分别为边 BC，AD，CE 的中点，且216cmABCS，则 S阴影等于（ ） A. 28cm B. 24cm C. 22cm D. 21cm 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三角形中线的性质进行求解即可 【详解】解：D为 BC 的中点， 12ABDACDABCSSS， E为 AD 的中点， 1124ABEDBEABDABCSSSSVVVV，1124ACEDCEACDABCSSSSVVVV， 12BECDBEDCEABCSSSSVVVV， F为 EC 的中点， 111164244BEFBCF
16、BECABCSSSSVVVV， 故选：B 【点睛】 本题考查三角形中线的性质， 掌握中线的基本性质，熟练推理三角形面积之间的关系是解题关键 10. 如图，等腰 RtVABC中，ABAC，BAC90 ，ADBC于点 D，ABC的平分线分别交 AC、AD于E、F 两点，M为 EF的中点，AM的延长线交 BC于点 N，连接 DM，下列结论：DFDN；VDMN为等腰三角形；DM 平分BMN；AE23EC；AENC，其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出BDAD，DBFDAN，BDFADN，进而证DFBDAN，即
17、可判断，再证ABFCAN，推出CNAFAE，即可判断；根据全等三角形的判定与性质可得 M为 AN的中点，进而可证得12DMAMNMAN，由次可判断，再根据等腰三角形的性质及外角性质可判断，最后再根据垂直平分线的判定与性质以及直角三角形的勾股定理可判断 【详解】解：90BACQ，ACAB，ADBC， 45ABCC ，ADBDCD，90ADNADB， 45BADCAD ， BEQ平分ABC， 122.52ABECBEABC ， 9022.567.5BFDAEB ， 67.5AFEBFDAEB， AFAE， 又M 为 EF 的中点， AMBE， 90AMFAME ， 9067.522.5DANCAN
18、MBN ， 在FBDV和NADV中， FBDDANBDADBDFADN FBDNAD（ASA） ， DFDN，故正确； 在AFB和CNAV中 4522.5BAFCABACABFCAN AFBCAN（ASA） ， AFCN， AFAEQ， AECN，故正确； 在ABMV和NBMV中 ABMNBMBMBMAMBNMB ABMNBM（ASA） ， AMNM， 点 M 是 AN 的中点， 又90ADN， 12DMAMNMAN， DMNMQ， DMN V是等腰三角形，故正确； DMAMQ， 22.5DAMADM ， 45DMNDAMADM ， 9045DMBDMNDMN ， DM平分BMN，故正确； 如
19、图，连接 EN， AMNM，AMBE， BE 垂直平分 AN， EAEN， 22.5ENAEAN ， 45CENENAEAN ， 又45C， 90ENC，且ENCN， 在Rt ENCV中，22222ECENCNEN， 22ECENAE， 22AEEC，故错误， 即正确的有 4个， 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理等相关知识的应用，能熟练运用相关图形的判定与性质是解此题的关键，主要考查学生的推理能力 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题
20、3分，共分，共 18 分）分） 11. 等腰三角形的一个角是 70，则它的底角是_ 【答案】55 或 70 【解析】 【分析】由等腰三角形的一个内角为 70 ，可分别从 70的角为底角与 70的角为顶角去分析求解，即可求得答案 【详解】等腰三角形的一个内角为 70 ，若这个角为顶角，则底角为： （180 70 ） 255 ； 若这个角为底角，则另一个底角也为 70 ，它的底角为 55或 70 故答案为 55或 70 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质此题比较简单，注意分类讨论思想的应用 12. 点1,2M 关于x轴对称的点的坐标为_ 【答案】 （-1，-2） 【解析】 【分析】根据关于 x 轴
21、对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解 【详解】解：点1,2M 关于x轴对称的点的坐标为（-1，-2） ， 故答案为： （-1，-2） 【点睛】此题主要考查了关于 x 轴，y轴对称点的坐标特点，关键是熟练掌握坐标的变化规律，关于 x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数 13. 如图，在ABC 中，CABC2A，BD是边 AC上的高，则DBC的大小等于_度 【答案】18 【解析】 【分析】设A=x，根据三角形内角和定理构造方程，求出C=2x=72，再根据 BD 是边 AC 上的高，即可求出DBC 【详解】解：设A=
22、x，则CABC2x， 根据三角形内角和为 180得 x+2x+2x=180， 解得 x=36， C=2x=72， BD是边 AC 上的高， BDAC， DBC=90-C=90-72=18 故答案为：18 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知两个定理是解题关键 14. 如图的三角形纸片中，AB8，BC6，AC5，沿过点 B的直线折叠这个三角形，使得点 C落在 AB边上的点 E处，折痕为 BD，则AED 的周长_ 【答案】7 【解析】 【分析】 根据折叠的性质， 可得 BE=BC=6， CD=DE， 从而 AE=AB-BE=2， 再由AED 的周长AD+DE+AE，即可
23、求解 【详解】解：沿过点 B的直线折叠这个三角形，使得点 C 落在 AB边上的点 E 处， BE=BC=6，CD=DE， AB8， AE=AB-BE=2， AED的周长AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+DE=5+2=7 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键 15. 如图，RtABC 中，ABC90，AB6，BC8，BD为ABC 的角平分线，则点 D到边 AB 的距离为_ 【答案】247#337 【解析】 【分析】过 D 作 DEAB 于 E，DFBC 于 F，根据角平分线的性质得出 DE=DF，求出ABC 的面积，再根据三
24、角形的面积公式求出即可 【详解】解：过 D 作 DEAB于 E，DFBC于 F， BD为ABC 的角平分线， DE=DF， 设 DE=DF=R， ABC=90 ，AB=6，BC=8， SABC=12 AB BC=12 6 8=24， SABD+SDBC=24， AB=6，BC=8， 12 6 R+12 8 R=24， 解得：R=247， 即 DF=247， 点 D到边 AB 的距离是247， 故答案为：247 【点睛】 本题考查了角平分线的性质和三角形的面积， 能根据角平分线的性质得出 DE=DF是解此题的关键 16. ABC中，ACB60，AC4，BC13，以 AB 为边作等边ABD，过 D
25、作 DEBC于 E，则 BE的长为_ 【答案】2.5或 8.5 【解析】 【分析】作辅助线，构建全等三角形，如图 1，证明ABCDAG，则HGC=C=60 ，DG=AC=4，再证明GHC是等边三角形，计算 DH=13，BH=4；在 RtDHE 中，HDE=30 ， 根据直角三角形 30 角的性质求16.52EHDH ，从而得 EC 的长；延长 AC 至 G，使 AG=BC=13，连接 GD，CD，设 AD，BC交于 F，根据等边三角形的性质得到 AD=BD，ABD=C=60 ，根据全等三角形的性质得到ADG=BDC，DG=CC，推出CDG是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到答案 【详解】
26、解：如图 1，延长 CA至 G，使 AG=BC=13，连接 GD并延长，交 CB延长线于 H， ADB是等边三角形， AD=AB，DAB=60 ， DAG+BAC=120 ， C=60 ， ABC+BAC=120 ， DAG=ABC， 在ABC和DAG 中， BC=AG，ABC=DAC，AB=AD ABCDAG（SAS） ， HGC=C=60 ，DG=AC=4， GHC 是等边三角形， GH=GC=HC=13+4=17，DHC=60 ， DH=13，BH=4， DEBC， DEH=90 ， 在 RtDHE 中，HDE=30 ， 16.52EHDH ， BE=EH-BH=6.5-4=2.5； 如
27、图 2，延长 AC 至 G，使 AG=BC=13，连接 GD，CD，设 AD，BC 交于 F， ADB是等边三角形， AD=BD，ABD=C=60 ， AFC=BFD， CAD=CBD， 在ADG和BDC 中， AD=BD，DAG=DBC，AG=BC， ADGBDC（SAS） ， ADG=BDC，DG=CC， BDC-ADC=ADG-ADC，即ADB=CDG=60 ， CDG是等边三角形， DCG=60 ， BCD=60 ， DEBC， DEC=90 ， EDC=30 ， CD=CG=AG-AC=BC-AC=9 14.52CECD ， BE=BC-CE=8.5， 综上所述，BE 的长为 2.5
28、或 8.5 故答案为：2.5 或 8.5 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、直角三角形 30 角的性质、等边三角形的性质和判定，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键，证明GHC是等边三角形是突破口 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 72 分）分） 17. 如图，CD CA，1 2，ECBC 求证：DEAB 【答案】详见解析 【解析】 【分析】由已知证得ACB=DCE，从而根据三角形全等 SAS 的判定，证明ABCDEC，继而可得出结论 【详解】证明：1=2，1+ECA=2+ACE，即ACB=DCE 在ABC 和DEC中，CD=CA，ACB=DCE，BC=EC， ABCDE
29、C（SAS） DE=AB 18. 在ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，BAC50，C70，求DAE和AOB的度数 【答案】DAE 的度数为 5；AOB的度数为 125 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求得ABC， 根据角平分线性质求得1252CAEBAEBAC ，1302ABFCBFABC ，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得DAC，根据DAECAECAD ，即可求得DAE，根据180AOBBAOABO即可求得AOB 【详解】解：QBAC50 ，C70 ， 18060ABCBACC Q AE、BF 是ABC的角平分线，BAC50 ， 1252CA
30、EBAEBAC , 1302ABFCBFABC 1801802530125AOBBAOABO Q AD 是高线， 90ADC， 18020DACADCC， 25205DAECAECAD ， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键 19. 用一条长为 20cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一边长是 6cm的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】能，见解析 【解析】 【分析】题中没有指明 6cm 所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验 【详解】解：能构成有一边长为 6cm的等腰三角形，理由如下： 当 6cm为底时，腰长7
31、cm； 当 6cm为腰时，底边8cm； 故能构成有一边长为 6cm的等腰三角形 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是分情况进行分析解答 20. 如图，AD与 BC 相交于点 O，OA=OC，A=C，BE=DE 求证：OE垂直平分 BD 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析：先利用 ASA证明AOBCOD，得出 OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点 O在线段 BD 的垂直平分线上，再由 BE=DE，得出点 E 在线段 BD 的垂直平分线上，即 O，E 两点都在线段BD 的垂直平分线上，从而可证明 OE垂直平分 BD 试题解析：在AOB 与COD
32、中， AC，OAOC，AOBCOD， AOBCOD（ASA） ， OB=OD， 点 O在线段 BD的垂直平分线上， BE=DE， 点 E在线段 BD的垂直平分线上， OE垂直平分 BD 点睛：本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，ABC 的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上，A（3，3） ，B（4，2） ，C（0，1） （1）直接写出ABC 的面积为 （2）画出ABC 关于 y 轴的对称的DEC（点 D 与点 A 对应） ，点 E 的坐标为 （3）用无刻度的直尺，运用所学的
33、知识作出ABC的高线 BF（保留作图痕迹） 【答案】 （1）192 ； （2） （4，2） ； （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可； （2）利用轴对称的性质分别作出 A，B 的对应点 D，E，即可求解； （3）取点 P（0,1） ，连接 BP 交 AC 于点 F，则线段 BF 即为所求的ABC 的高线 BF；然后取点 N（-3,0） ，点 M（0，-2） ，则 AN=4，CN=3，BM=4，PM=3，ANC=BMP=90，可证得CANPBM，即可求解 【详解】 （1）111194 53 45 14 12222ABCS V ； （2）A
34、（3，3） ，B（4，2） ， 点3,3 ,4, 2DE ， 如图所示，画出DEC如下图： （3）取点 P（0,1） ，连接 BP 交 AC 于点 F，则线段 BF 即为所求的ABC 的高线 BF； 取点 N（-3,0） ，点 M（0，-2） ，则 AN=4，CN=3，BM=4，PM=3，ANC=BMP=90， CANPBM， ACN=BPM， PCF+ACN=PCN=90， PCF+BPM=90， PFC=90， BFAC，即 BF 是ABC的高线 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 22
35、. 如图，四边形 ABCD中，CA 平分BAD，CBCD，CFAD 于 F （1）求证：ABCADC180； （2）若 AF：CF3：4，CF8，求四边形 ABCD的面积 【答案】 （1）见解析； （2）48 【解析】 【分析】 （1）过点 C 作 CEAB，交 AB 的延长线于 E，根据角平分线定义和全等三角形的判定证明ACEACF（AAS） ，进而可证明 RtCBERtCDF（HL） ，根据全等三角形的性质和平角为 180 即可证得结论； （2）先求出 AF和 SACF，再根据全等三角形的性质知 SCBESCDF，SACESACF，进而由四边形 ABCD的面积2SACF求解即可 【详解】证
36、明： （1）如图，过点 C 作 CEAB，交 AB 的延长线于 E， CA平分BAD， EACFAC， 在ACE和ACF 中，CAECAFCEACFAACAC， ACEACF（AAS） ， AFAE，CECF， 在 RtCBE 和 RtCDF 中，CECFBCCD， RtCBERtCDF（HL） ， ADCCBE， ABCCBE180 ， ADCABC180 ； （2）AF：CF3：4，CF8， AF6， SACF 12AF CF24， RtCBERtCDF，ACEACF， SCBESCDF，SACESACF， 四边形 ABCD的面积SACESACF2SACF48 【点睛】本题考查全等三角形的
37、判定与性质、角平分线、平角、三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键 23. 如图 1，B，C，E 三点在一条直线上，ABC和DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于点 M，AE与CD 交于点 N （1）求证：AEBD； （2）如图 2，连接 MN，求证：MN/BE； （3）如图 3所示，在等边ABC 中，ADBD，BAD58，ACD28，CD1，求 BD的长 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）2 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为 60的性质可证得BCDACE（SAS） ，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得 AEBD （2）C
38、MN是等边三角形，由BCDACE可知CBMCAN，根据 ASA 可证明BCMACN，得到 CMCN，又MCN60，可知CMN 是等边三角形，得到CMN60，由ACB60，得到CMNACB，所以 MN/BC （3）由等边三角形的性质及三角形内角和定理求出ADE90，将 CD 绕点 C 顺时针旋转 60得 CE，边接 DE， AE， 则CDE 是等边三角形， 可证明BCDACE （SAS） ， 由全等三角形的性质得出 AEBD，由直角三角形的性质可得出答案 【详解】 （1）证明：ABC 与DCE 都是等边三角形， ACBC，CDCE，ACBDCE60 ， ACBACDDCE180， ACD60 ，
39、ACBACDACDDCE， 即BCDACE 在BCD和ACE 中，BCACBCDACECDCE， BCDACE（SAS） BDAE （2）证明：BCDACE， CBMCAN 在BCM 和ACN 中，CBMCANCBACACBACD， BCMACN（ASA） ， CMCN， CMN 是等边三角形， CMN60 ， ACB60 ， CMNACB， MN/BC （3）解：ABC是等边三角形， BACACBABC60 ， ADBD， ADB90 ， BAD58 ， ABD90 BAD32 ，DACBAC58 2 ， DBCABCABD28 ， ACD28 ， DCBACBACD32 ， BDC180
40、DBCDCB120 ， ADE360 ADBBDCEDC360 90 120 60 90 ， 将 CD绕点 C 顺时针旋转 60 得 CE，边接 DE，AE，则CDE 是等边三角形， BCAC，CDCE，BCDACE60 ACD， BCDACE（SAS） ， AEBD， EACCBD60 32 28 ， DAE2 28 30 ， 在 RtADE 中，DE1，DAE30 ， AEBD2 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 24. 在平面直角坐标系中，点 A 在 x轴负半轴上，点
41、B 在 y 轴负半轴上， ABC= 90 ， BC=AB （1）如图 1， A （5，0） ， B （0，2） ，点 C在第一象限，请直接写出 C 的坐标； （2）如图 1， B （0，2） ， BFy 轴，D在 y轴上， BD = 12AO，连接 CD 并延长交 BF 于点 E ，请求出 BE 的长度； （3）如图 2，A （n， 0） ，H在 AC 延长线上，过 H （m，n ）作 HG x 轴于 G，探究线段 BH、AG、BO 之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1） 点 C 的坐标（2，3） ； （2）BE= 2； （3）AG=BH+BO证明见解析 【解析】 【分析】 （1）过
42、点 C作 CRy轴于 R证明AOBBRC（AAS） ，即可解决问题； （2）再证BDERDC，得 BE=CR=BO=2； （3）在 OG 上取点 M 使得 MG=OB，连接 HM并延长交 AB延长线于点 N，先证ABOHMG（SAS） ，再证AHN 为等腰 RT，再证ABHHMA（SAS）得 AM=BH，进一步可得结论 【详解】解： （1）如图 1过点 C作 CRy轴于 R 点 A（-5，0） ，点 B（0，-2） ， OA=5，OB=2， AOB=ABC=CHB=90 ， ABO+CBR=90 ，CBR+BCR=90 ， ABO=BCR， AB=BC， AOBBRC（AAS） ， BR=AO
43、=5，CR=OB=2， OR=BR-OB=3， C（2，3） 故答案为： （2，3） （2）由（1）得 CR=BO=2，BR=AO BD=12AO BD=12BR BD=RD BFy 轴， 90FBDCRD 又CDREDB BDERDC BE=OB=2 （3）AG=BH+BO 证明：在 OG上取点 M使得 MG=OB，连接 HM并延长交 AB延长线于点 N AOHGn，90HGMAOB,MG=OB， ABOHMG（SAS） ABOHMG，ABHM 又AMNHMG 90ANMAOB ABC=90 ，BC=AB 45BACABN AHN等腰直角三角形 ,45 ,ABHMBAHABMAHHA ABHHMA（SAS） AM=BH AG=AM+MG=BH+BO 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
