1、2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常系数分别是A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D. 3，-6，-12. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）A. PAB. PBC. PCD. PD3. 抛物线y（x3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，1）C. （3，1）D. （3，1）4. 如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果ACD36°，那么BAD等于（ ）A. 36°B
2、. 44°C. 54°D. 56°5. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等6. 如图，在中，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）A. B. C. D. 7. 关于x的方程x2+2kx+k1=0的根的情况描述正确的是（）A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相
3、等的实数根和有两个相等的实数根三种8. 随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（）A. B. C. D. 二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，2）的抛物线表达式为 _10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n_11. 如图，在ABC中，B=70°，BAC=30
4、76;，将ABC绕点C顺时针旋转得到EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，CAE的度数为_.12. 如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，若ABC30°，OE，则OD长为 _13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数成活数量成活频率估计树苗移植成活的概率是_（结果保留小数点后一位）14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 _.15. 已知：如图，半圆O直径AB1
5、2cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 _.16. 如图，在RtABC中，ACB90°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN，若BC4，ABC60°，则线段MN的最大值为 _.三、解答题：17. 解一元二次方程：2x22x1018. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程已知：O及O外一点P求作：直线PA和直线PB，使PA切O于点A，PB切O于点B作法：如图，作射线PO，与O交于点M和点N；以点P为圆心，以PO为半径作P；以点O为圆心，以O的直径MN为半径作圆，
6、与P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与O交于点A和点B；作直线PA和直线PB所以直线PA和PB就是所求作的直线（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PE和PF，OEMN，OAOMMN，点A是OE的中点POPE，PAOA于点A （ ）（填推理的依据）同理PBOB于点BOA，OB为O的半径， PA，PB是O的切线（ ）（填推理的依据）19. 已知关于的方程（1）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）若，求该方程的根20. 二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过（3，0）点，当x1时，函数的最小值为4（1）求该二次函数解析式并画出它的图象
7、；（2）直线xm与抛物线yax2+bx+c（a0）和直线yx3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围21. 如图，四边形内接于，(1)求点到的距离；(2)求度数22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：ABCD漫步世园会爱家乡，爱园艺清新园艺之旅车览之旅小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率23. 如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为（
8、1）边的长为_，矩形的面积为_（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由24. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是（1）求的值；（2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点若，求的值；若，结合图象，直接写出的值25. 如图，四边形ABCD内接于O，BAD90°，AC是对角线点E在BC的延长线上，且CEDBAC（1）判断DE与O位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若，AB4，AD2，求AF的长26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线
9、上（1）直接写出抛物线的对称轴是_；用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点若抛物线与轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围27. 在ABC中，AB2，CDAB于点D，CD（1）如图1，当点D线段AB中点时，AC的长为 ；延长AC至点E，使得CEAC，此时CE与CB的数量关系为 ，BCE与A的数量关系为 （2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使BCE2A，CECB，连接AE按要求补全图形；求AE的长28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定
10、义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1d2，则称d2为点P的“引力值”特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0例如，点P（2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为23，所以点P的“引力值”为2（1）点A（1，4）的“引力值”为 ；若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；（2）若点C在直线y2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（下列各题均
11、有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常系数分别是A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D. 3，-6，-1【答案】D【解析】【详解】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故方程3x2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1.故选D.2. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答【详解】以点P为圆心，所得的圆与直线l相切
12、，直线l垂直于过点P的半径，PBl，PB的长是圆的半径，故选：B【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键3. 抛物线y（x3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，1）C. （3，1）D. （3，1）【答案】A【解析】【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标【详解】解：，此函数的顶点坐标为，故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线4. 如图，AB是O的直径，CD是O的弦，如果ACD36°，那么BAD等于（ ）A. 36°B. 44°C. 54°
13、D. 56°【答案】C【解析】【分析】根据题意由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得ADB=90°，又由ACD=36°，可求得ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案【详解】解：AB是O的直径，ADB=90°，ACD=36°，ABD=36°BAD=90°-ABD=54°，故选：C【点睛】本题考查圆周角定理注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用5. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时
14、，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【解析】【详解】A、频率只能估计概率；B、正确；C、概率是定值；D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同故选B6. 如图，在中，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：中，故选：【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键7. 关于x的方程x2+2kx+k1=0的根的情
15、况描述正确的是（）A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】【详解】关于x的方程x2+2kx+k1=0中=（2k）24×（k1）=4k24k+4=（2k1）2+30k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B8. 随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时P
16、M2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据极差的定义，分别从、及时，极差随的变化而变化的情况，从而得出答案【详解】解：当时，极差，当时，极差随的增大而增大，最大值为43；当时，极差随的增大保持43不变；当时，极差随的增大而增大，最大值为98；故选：B【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是能从函数图象获取相应信息二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，2）的抛物线表达式为 _【答案】【解析】【分析】令抛物线的对称轴为轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为，然后把已知点的坐标代
17、入求出即可【详解】解：设抛物线的解析式为，把代入得，所以满足条件的抛物线解析式为故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n_【答案】1【解析】【分析】根据随机摸出一个球，它是白球的概率为，结合概率公式得出关于的方程，解之可得的值，继而得出答案【详解】解：根据题意，得：，解得，经检验：是分式方程的解，所以，故答案是：1【点睛】本题主要
18、考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数及解分式方程的步骤11. 如图，在ABC中，B=70°，BAC=30°，将ABC绕点C顺时针旋转得到EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，CAE的度数为_.【答案】50°【解析】【分析】由旋转可得CDE=B=70°，CED=BAC=30°，CA=CE，则CAE=CEA，再由三角形的外角性质可得CDE=CAE+AED可求出CAE的度数【详解】ABC绕点C顺时针旋转得到EDCCDE=B=70°，CED=BAC=30°，CA=CE，CA
19、E=CEA，则AED=CEA-30°又CDE=CAE+AED即CAE+CAE-30°=70°解得CAE=50°故答案为：50°【点睛】本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系12. 如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，若ABC30°，OE，则OD长为 _【答案】【解析】【分析】先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长【详解】解：，则EDO=30°在中，故答案是：【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，解题的关键
20、是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数成活数量成活频率估计树苗移植成活的概率是_（结果保留小数点后一位）【答案】0.9【解析】【分析】用频率估计概率即可【详解】解：大量实验时成活的频率稳定在0.902，估计树苗移植成活的概率是0.9故答案为：0.9【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，
21、这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是 _.【答案】#【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算【详解】解：扇形的弧长是：，圆的半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，即：，与之间的关系是故答案是：【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2
22、）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长15. 已知：如图，半圆O的直径AB12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和围成的图形（图中阴影部分）的面积S是 _.【答案】【解析】【分析】如图，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，由点C，D是这个半圆的三等分点可得，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出，再根据得，都是等边三角形，所以，可证，故，由扇形的面积公式计算即可【详解】如图所示，连接OC、OD、CD，OC交AD于点E，点C，D是这个半圆的三等分点，都是等边三角形，在与中，故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，证明，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解
23、题的关键16. 如图，在RtABC中，ACB90°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，N是AB的中点，连接MN，若BC4，ABC60°，则线段MN的最大值为 _.【答案】6【解析】【分析】连接，根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可得出结果【详解】解：连接，如图所示：在中，的最大值为6，故选：6【点睛】本题考查旋转的性质、含角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系三、解答题：17. 解一元二次方程：2x22x10【答案】，【解析】【分析】先计算，然后利用求根公式【详解】
24、解：2x22x10， ， ，【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并能灵活应用是关键18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程已知：O及O外一点P求作：直线PA和直线PB，使PA切O于点A，PB切O于点B作法：如图，作射线PO，与O交于点M和点N；以点P为圆心，以PO为半径作P；以点O为圆心，以O的直径MN为半径作圆，与P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与O交于点A和点B；作直线PA和直线PB所以直线PA和PB就是所求作的直线（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PE和PF，OE
25、MN，OAOMMN，点A是OE的中点POPE，PAOA于点A （ ）（填推理的依据）同理PBOB于点BOA，OB为O的半径， PA，PB是O的切线（ ）（填推理的依据）【答案】（1）答案见解析；（2）三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】(1)根据直线的定义，线段的定义，圆的定义作图即可；(2) 连接PE和PF，根据OE=MN，OA=OM=MN，得到点A是OE的中点，利用PO=PE，证得PAOA于点A，同理PBOB于点B，即可得到结论【详解】（1）补全图形如图：（2）证明：连接PE和PF，OE=MN，OA=OM=MN，点A是OE的中点，PO=PE，PAOA于
26、点A （ 三线合一 ）同理PBOB于点B，OA，OB为O的半径， PA，PB是O的切线（ 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线 ）故答案为：三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】此题考查尺规作图-圆，根据语句描述画射线，等腰三角形的三线合一的性质，圆的切线的判定定理，正确理解语句作出图形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键19. 已知关于的方程（1）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）若，求该方程的根【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）将k1代入方程
27、x2+2xk40，解方程即可求出方程的解；【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，解得；（2）当时，原方程化为解得，【点睛】本题考查了一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根20. 二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过（3，0）点，当x1时，函数的最小值为4（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线xm与抛物线yax2+bx+c（a0）和直线yx3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设顶点式
28、，再把代入求出得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；（2）先画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，然后写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可【详解】解：（1）当时，二次函数的最小值为，二次函数的图象的顶点为，二次函数的解析式可设为，二次函数的图象经过点，解得该二次函数的解析式为；如图，（2）画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，由上图象可得或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解21. 如图，四边形内接于，(1)求点到的距离；(2
29、)求的度数【答案】(1)2；(2)135°【解析】【分析】（1）作OMAC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到MOC=MCO=45°，求得AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论【详解】(1)作于，；(2)连接，【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：ABCD漫步世园会爱家乡，爱园艺清新园艺之旅车览之旅小美和小红都计划去世园会游玩，她们
30、各自在这4条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率【答案】（）；（2）【解析】【分析】（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比；（2）根据列表法即可求得概率【详解】（1）依题意，共4条路线，每条线路被选择的可能性相同小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是；（2）依题意，列表可得小美小红ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD由列表可得，共有16种等可能性结果，其中相同线路的可能结果有4种，小美和小红恰好选择同一
31、条路线的概率为【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数23. 如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为（1）边的长为_，矩形的面积为_（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由【答案】（1）；（2）不可以，见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边BC的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD的面积；（2）根据矩形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得答案【详解】解：（1）根据题意，知边BC的长为：（
32、20x）m，矩形ABCD的面积为：（20x）x（x220x）m2；故答案是：（20x）；（x220x）；（2）若矩形ABCD的面积是120m2，则x220x120b24ac800，这个方程无解矩形ABCD的面积不可以是120m2【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解24. 在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的一个交点是（1）求的值；（2）设点是双曲线上不同于的一点，直线与轴交于点若，求的值；若，结合图象，直接写出的值【答案】（1）（2）；或.【解析】【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲
33、线y=中，即可求得k的值；（2）根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；分两种情况讨论求得即可【详解】（1）直线y=x与双曲线y=的一个交点是A（2，a），a=×2=1，A（2，1），k=2×1=2；（2）若m=1，则P（1，n），点P（1，n）是双曲线y=上不同于A的一点，n=k=2，P（1，2），A（2，1），则直线PA的解析式为y=-x+3，直线PA与x轴交于点B（b，0），0=-b+3，b=3；如图1，当P在第一象限时，PB=2AB，A（2，1），P点的纵坐标时2，代入y=求得x=1，P（1，2），
34、由可知，此时b=3；如图2，当P在第，三象限时，PB=2AB，A（2，1），P点的纵坐标时-2，代入y=求得x=-1，P（-1，-2），A（2，1）则直线PA的解析式为y=x-1，b=1，综上，b的值为3或1【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键25. 如图，四边形ABCD内接于O，BAD90°，AC是对角线点E在BC延长线上，且CEDBAC（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若，AB4，AD2，求AF的长【答案】（1）相切，理由解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理证明是的直径，得，再由三
35、角形外角的性质和圆周角定理可得，可得是的切线；（2）先根据平行线的性质得：由垂径定理得，由垂直平分线的性质得，证明，列比例式得，设，则，根据勾股定理列方程可解答【详解】解：（1）相切理由是：连接，如图1四边形内接于，是的直径，即点在上又，即于点是的切线（2）如图2，与交于点，设，则在中，解得：，（舍【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是求出26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）直接写出抛物线的对称轴是_；用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做
36、整点若抛物线与轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】（1）x1；b2a；（2）-1a或10a11【解析】【分析】(1) 根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；利用对称轴公式进一步求解即可；(2)如图，分两种情况：a>0，a<0，据此依次讨论即可【详解】解：（1）抛物线与轴交于点A，A（0,3），将点A向右平移2个单位长度，得到点B，B（23），点A和点B关于对称轴对称，对称轴是：x1；对称轴为直线=1b2a；（2）由题可知：A（0，3），B（2，3），若a0时，如图1所示，有七个
37、整点，当x=1时，y=a+b+3=a-2a+3=-a+3，恰有7个整数点（不包括边界），-8-a+3-7，10a11； 若a0时，如图2所示，有七个整点，当x=-1时，y=a-b+3=3a+3，当x=1时，y=-a+3，恰有7个整数点（不包括边界），-1a综上所述，-1a或10a11【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和一元一次不等式组的综合运用，属于综合题型，熟练二次函数的性质、灵活应用数形结合的数学思想是解题关键27. 在ABC中，AB2，CDAB于点D，CD（1）如图1，当点D是线段AB中点时，AC的长为 ；延长AC至点E，使得CEAC，此时CE与CB的数量关系为 ，BCE与A的数量关系为
38、 （2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使BCE2A，CECB，连接AE按要求补全图形；求AE的长【答案】（1），；（2）作图见解析部分，【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；利用线段的垂直平分线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可；（2）根据要求作出图形即可；如图2中，在的上方作，使得，过点作于证明，推出，可得结论【详解】解：（1）如图1中，故答案为：连接，故答案为：，（2）图形如图2所示：如图2中，在的上方作，使得，过点作于，四边形是矩形，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分
39、线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常常考题型28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1d2，则称d2为点P的“引力值”特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0例如，点P（2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为23，所以点P的“引力值”为2（1）点A（1，4）的“引力值”为 ；若点B（a，3）“引力值”为2，则a的值为 ；（2）若点C在直线y2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）
40、为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 【答案】（1）1；（2）点的坐标为或；（3）【解析】【分析】（1）直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；点到轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以；（2）根据点的“引力值”为2，可得或，代入可得结果；（3）在点处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出的值【详解】解：（1）点到轴的距离为4，到轴的距离为1，点的“引力值”为1点的“引力值”为2，；（2）设点的坐标，点的“引力值”为2，或，当时，此时点的“引力值”为0，不符合题意，舍去，当时，此时点的坐标为，当时，此时点的“引力值”为1，不符合题意，舍去，当时，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为或；（3）如图，过分别作、轴的垂线，分别交于和，交轴于，点的“引力值”最小为1，设，过作于，当时，点的“引力值”最大，由勾股定理得：，或，点的“引力值”的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查一次函数综合题、“引力值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题
