1、江苏省苏州市高新区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若ABCAB'C，相似比为1：2，则ABC与A'BC'的周长的比为（）A 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：42. 已知，则的值为（ ）A. B. 2C. 3D. 3. 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）A. 30°B.
2、45°C. 60°D. 90°5. 如图，AB为O的直径，CD为O的弦，CDAB，垂足为E，OE3，CD8，AB（）A. B. 10C. D. 56. 如图，BAC36°，点O在边AB上，O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则AFD等于（ ）A. 27°B. 29°C. 35°D. 37°7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A、B的读数分别为86°、30°，则ACB的大小为( )A. 15B. 28C. 29D. 348. 如图，在中，点为边上的一点
3、，且，过点作，交于点，若，则的面积为( )A. B. C. D. 9. 如图，AB为O的直径，弦CD与AB交于点E若ACAE，CE4，DE6，则的值为（）A. B. C. D. 10. 如图，等边边长为3，点在边上，线段在边上运动，有下列结论：与可能相等；与可能相似；四边形面积的最大值为；四边形周长的最小值为其中，正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11. 已知扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，则此扇形的弧长是_cm12. 相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，从外形看最具美感现在想要制作一张“黄金矩
4、形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于_厘米（精确到0.01）13. 在比例尺为的地图上，测得、两地间的图上距离为厘米，则其实际距离为_米14. 若圆锥的侧面积为18，底面半径为3，则该圆锥的母线长是_15. 如图，MA、MB是O的切线，切点分别为A、B，若ACB=65°，则AMB =_°16. 如图，是五边形的外接圆的切线，则_17. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与A相切于点B若APB30°，则点P的坐标为 _18. 在中，若，则面积的最大值为_三、解答题（本大题共1
5、0小题，共76分请在指定区域内作答）19. 如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，2个单位长度为半径的A交x轴于点B、C解答下列问题：（1）将A向左平移 个单位长度与y轴首次相切，得到A1此时点A1的坐标为 ，阴影部分的面积S ；（2）求BC的长20. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=32，水最深处的地方高度为8，求这个圆形截面的半径21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的
6、网格图中有ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）（1）以O为位似中心，作ABCABC，相似比为1：2，且保证ABC在第三象限；（2）点B的坐标为（ ， ）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D的坐标为（ ， ）22. 如图，点D、E分别AB、AC边上两点，且AD=4，BD= 2 ，AE=2，CE=10试说明：（1）ADEACB ；（2）若BC=9，求DE的长23. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70°，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长24. 如图，为O的直径
7、，点在O 外，的平分线与O交于点，（1）与O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若，求CD的长25. 如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PAx轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰RtAPQ，已知直角顶点Q的纵坐标为2，连结OQ交AP于B，BQ2OB（1）求点P的坐标；（2）连结OP，求OPQ的面积与OAQ的面积之比26. 某种规格小纸杯的侧面是由一半径为、圆心角是 的扇形剪去一半径 的同心圆扇形所围成的（不计接缝）（如图1）（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在
8、一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？27. 如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CDBC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF（1）当BAC30º时，求ABC的面积；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由28. 如图，在RtABC中，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1c
9、m/s，同时点Q由A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（s），其中0t2，解答下列问题：（1）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，线段PQ将ABC的面积分成1：2两部分？若存在，求出此时的t，若不存在，请说明理由；（3）点P、Q在运动的过程中，CPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由江苏省苏州市高新区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 若ABCAB'C，相似比为1：
10、2，则ABC与A'BC'的周长的比为（）A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：4【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论【详解】解：，相似比为1：2，与周长的比为1：2故选：B【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键2. 已知，则的值为（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用已知条件变形得出答案【详解】解：2a-3b=0，2a=3b，则的值为：故选：D【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确化简已知条件是解题关键3. 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三
11、角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【详解】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断解答：解：经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；当三点共线的时候，不能作圆，故错误；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确故选B4. 与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答
12、案】C【解析】【分析】画出符合题意的几何图形，证明OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数【详解】如图，OA=OB=AB，OAB是等边三角形，AOB=60°与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°故选：C【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键5. 如图，AB为O的直径，CD为O的弦，CDAB，垂足为E，OE3，CD8，AB（）A. B. 10C. D. 5【答案】B【解析】【分析】【详解】解：连接OC，直径AB=10，OC=AB=5，CDAB，OE=3，CD=8CE=CD=4，在RtOCE中,
13、CE²+OE²=OC²,即4²+3²=OC²，解得OC=5，AB=2OC=2×5=10故选B6. 如图，BAC36°，点O在边AB上，O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则AFD等于（ ）A. 27°B. 29°C. 35°D. 37°【答案】A【解析】【分析】连接OD，根据切线的性质得到ADO90°，根据直角三角形的性质得到AOD90°36°54°，根据圆周角定理即可得到结论【详解】解：连接OD，O与边AC相切于点D，
14、ADO90°，BAC36°，AOD90°36°54°，故选：A【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A、B的读数分别为86°、30°，则ACB的大小为( )A. 15B. 28C. 29D. 34【答案】B【解析】【分析】先由题意求出圆心角AOB的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.【详解】由题意得AOB=86°-30°=56°则ACBAOB=28°故选B.【点睛】圆周角定理
15、：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半8. 如图，在中，点为边上的一点，且，过点作，交于点，若，则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可【详解】易证即由题得解得的高易得：故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度9. 如图，AB为O的直径，弦CD与AB交于点E若ACAE，CE4，DE6，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A
16、【解析】【分析】过点O作OHCD于点H，过点A作AMCD于点M，通过过圆心且垂直于弦的直线垂直平分弦以及等腰三角形的三线合一可以得到HE、EM，根据平行线的性质，进而得出AE、EO的比例，表示出AE、BE即可得出结论【详解】如图，过点O作OHCD于点H，过点A作AMCD于点MDE=6，CE=4CD=10OHCDDH=CH=CD=5HE=1AE=AC，AMCEEM=CM=CE=2OHCD，AMCDOHAM设OE=x,则AE=2xOB=OA=3xBE=OE+OB=3x+x=4x故选：A【点睛】本题考查了圆的垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握并综合运用是解题的关键10. 如
17、图，等边的边长为3，点在边上，线段在边上运动，有下列结论：与可能相等；与可能相似；四边形面积的最大值为；四边形周长的最小值为其中，正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；过P作PEBC于E，过F作DFAB于F，利用函数求四边形面积最大值，设，可表示出，可用函数表示出，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；作点D关于直线的对称点D1，作D1D2PQ，连接CD2交AB于点P，在射线PA上取PQ=PQ，此时四边
18、形PCDQ的周长为：，其值最小，再由D1Q=DQ=D2 P，且AD1D2=120°，D2AC=90°，可得的最小值，即可得解【详解】解：线段在边上运动，,与不可能相等，则错误；设，即，假设与相似，A=B=60°，即，从而得到，解得或（经检验是原方程的根），又，解得的或符合题意，即与可能相似，则正确；如图，过P作PEBC于E，过D作DFAB于F，设，由，得，即，B=60°，A =60°，,则，四边形面积为：,又，当时，四边形面积最大，最大值为：，即四边形面积最大值为，则正确；如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2PQ，连接CD2交AB于点P
19、，在射线PA上取PQ=PQ，此时四边形PCDQ的周长为：，其值最小，D1Q=DQ=D2 P，且AD1D2=180D1AB=180DAB =120°，D1AD2=D2AD1=30°，D2AC=90°，在D1AD2中，D1AD2=30°，在RtAD2C中，由勾股定理可得，四边形PCDQ的周长为：，则错误，所以可得正确，故选：D【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.
20、 已知扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，则此扇形的弧长是_cm【答案】2 【解析】【详解】分析：先把圆心角化为弧度，再由弧长公式求出弧长，扇形的面积等于弧长与半径乘积的一半详解：扇形中，半径r=8cm，圆心角=45°，弧长l=2cm故答案为2点睛：本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般.12. 相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，从外形看最具美感现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于_厘米（精确到0.01）【答案】【解析】【分析】由黄金矩形的定义，可知
21、黄金矩形的宽与长之比为，设所求边长为x，代入已知数据即可得出答案【详解】解：设所求边长为x，由题意，得，解得x=cm故答案为【点睛】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值13. 在比例尺为的地图上，测得、两地间的图上距离为厘米，则其实际距离为_米【答案】【解析】【详解】解：设A，B两地间的实际距离为xcm，1：200=4.5：x，x=900cm，900cm=9m，A，B两地间的实际距离为9m考点：比例线段14. 若圆锥的侧面积为18，底面半径为3，则该圆锥的母线长是_【答案】6【解析】【分析】根据圆锥的侧面积rl，列出方程求解即可【详解】解：圆锥的侧面积为18，底面半径为3，3l1
22、8解得：l6，故答案为：6【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解15. 如图，MA、MB是O的切线，切点分别为A、B，若ACB=65°，则AMB =_°【答案】50【解析】【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据四边形内角和为360°，即可求得的度数【详解】如图，连接，ACB=65°， MA、MB是O的切线，故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和为360°，掌握以上知识是解题的关键16. 如图，是五边形的外接圆的切线，则_【答案】【解析】【分析】由切线的性质可
23、知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半【详解】如图：过圆心连接五边形的各顶点，则 故答案为：【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式（n为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键17. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与A相切于点B若APB30°，则点P的坐标为 _【答案】【解析】【分析】连接AB，作ADx轴，ACy轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P
24、的坐标【详解】如下图所示，连接AB，作ADx轴，ACy轴，PB与A相切于点BABPB，APB30°，ABPB，PA=2AB=四边形ACOD是矩形，点A的坐标为（8，5），所以AC=OD=8，CO=AD=5，在中，如图，当点P在C点上方时，点P的坐标为【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线18. 在中，若，则的面积的最大值为_【答案】9+9【解析】【分析】首先过C作CMAB于M，由弦AB已确定，可得要使ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得AOB是等腰直角三角
25、形，则可求得CM的长，继而求得答案【详解】作ABC的外接圆O，过C作CMAB于M，弦AB已确定，要使ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，CMAB，CM过O，AMBM（垂径定理），ACBC，AOB2ACB2×45°90°，OMAMAB×63，OA，CMOCOM3，SABCABCM×6×（3）9+9故答案为：9+9【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键三、解答题（本大题共10小题，共76分请在指定区域内作答）19. 如图，在平面直角坐标系中，以A
26、（5，1）为圆心，2个单位长度为半径的A交x轴于点B、C解答下列问题：（1）将A向左平移 个单位长度与y轴首次相切，得到A1此时点A1的坐标为 ，阴影部分的面积S ；（2）求BC的长【答案】（1）3 、（2、1），6；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由半径为2可知平移圆心到（2，1）时A与y轴首次相切，即可得出平移的距离；阴影部分通过平移后可得一个矩形，利用面积公式计算即可； （2）利用垂径定理即可求出BC的长；试题解析：（1）将A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，得到A1此时点A1的坐标为（2，1），阴影部分的面积S 6；（2）连接AC，则AC=2，ADC=90°，AD=1
27、，CD，BC2CD考点：1平移；2垂径定理；3阴影部分面积20. 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=32，水最深处的地方高度为8，求这个圆形截面的半径【答案】（1）作图见解析；（2）圆形截面的半径为20【解析】【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径ODAB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在RtAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径
28、【详解】（1）作图如下： （2）作ODAB于D，并延长交O 于C，则D为AB的中点 AD=AB=16.又由已知CD=8 设这个圆形截面的半径为x，则OD=x-8，在RtODA中, ( x8)2 162 =x2 解得：x=20 圆形截面的半径为20点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）（1）以O为位似中心，作ABCABC，相似比为1：2，且保证ABC在第三象限；（2）点B的坐标为（ ， ）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对
29、应点D的坐标为（ ， ）【答案】（1）画图见解析；（ 2）2，1；（3），【解析】【详解】试题分析：（1）用ABC各顶点横纵坐标除以2，然后在第三象限找到对应点，连结起来即可； （2）直接写出坐标；（3）直接写出坐标试题解析：（1）如图：即为所求三角形；（2）（-2，-1）；（3）D（a，b），相似比=1：2，那么它的对应点的（ ）考点：1作图相似变换；2网格型22. 如图，点D、E分别为AB、AC边上两点，且AD=4，BD= 2 ，AE=2，CE=10试说明：（1）ADEACB ；（2）若BC=9，求DE的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法求解即可；
30、（2）利用相似三角形的性质，即可求解【详解】解：（1），又（2）由（1）得又【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法与性质23. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70°，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长【答案】（1）35°；（2）2【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得ACB=90°，则CAB的度数即可求得，在等腰AOD中，根据等边对等角求得DAO的度数，则CAD即可求得.（2）易证OE是ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长
31、，则DE即可求得试题解析：解：（1）AB是半圆O的直径，ACB=90°.又ODBC，AEO=90°，即OEAC.B=70°，CAB=90°B=90°70°=20°OA=OD，DAO=ADO=55°.CAD=DAOCAB=55°20°=35°.（2）在RtABC中，BC=OEAC，AE=EC.又OA=OB，OE=BC=又OD=AB=2，DE=ODOE=2考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.三角形内角和定理；4.平行线的性质；5.勾股定理；6.垂径定理；7.三角形中位线定理.2
32、4. 如图，为O的直径，点在O 外，的平分线与O交于点，（1）与O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若，求CD的长【答案】（1）相切，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义可得，即可得，进而可得，由，可得，即可证明是的切线；（2）根据已知条件以及角平分线的定义可得，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，,勾股定理求得，即可的长【详解】（1）如图，连接，平分是半径是的切线；（2）平分，是直径在中【点睛】本题考查了圆的切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键25. 如图，P是平面直角
33、坐标系中第四象限内一点，过点P作PAx轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰RtAPQ，已知直角顶点Q的纵坐标为2，连结OQ交AP于B，BQ2OB（1）求点P的坐标；（2）连结OP，求OPQ的面积与OAQ的面积之比【答案】（1）点P的坐标（1，4）；（2）OPQ的面积与OAQ的面积之比为5【解析】【分析】（1）过Q作QCx轴于C，先求得ACQC2、AQ2、AP4，然后再由ABCQ，运营平行线等分线段定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；（2）先说明OABOCQ，再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出OPQ和OAQ的面积，最后作比即可【详解】解：（1）过Q作QCx轴于C，APQ是
34、等腰直角三角形，PAQCAQ45°，ACQC2，AQ2，AP4，ABCQ，OAAC1，点P的坐标（1，4）；（2）ABCQ，OABOCQ，ABCQ，PB，SOAQOACQ×1×21，SOPQPBOA+PBAC5，OPQ的面积与OAQ的面积之比5【点睛】本题考查了一次函数的图像、相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理以及三角形的面积，掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键26. 某种规格小纸杯的侧面是由一半径为、圆心角是 的扇形剪去一半径 的同心圆扇形所围成的（不计接缝）（如图1）（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按
35、照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在一张半径为的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面（不允许有拼接），最多能裁出多少个？【答案】（1）底面半径为，侧面积为；（2）需要长为，宽为的矩形纸片；（3）9个【解析】【分析】（1）要求底面半径，需先求底面周长，而底面周长为图（1）中的弧长，相关数据代入弧长公式即可.而侧面积即为图（1）中的扇环，将大扇形面积减去小扇形面积即得；（2）联结，可证得 即为长方形的长，而所在的 为正三角形，故易求.再过作 ，交于 ，交于，根据垂径定理可证得即为长方形的宽，求出长，再求即得长；（3）本小题容易想到的是直接在圆环上能裁出6个，此时
36、中间还有一个以为半径的小圆，考虑到圆环的半径为，正好为小圆半径的一半，故可先在小圆中构造一个边长为的正六边形，再取三条互不相邻的边的中点，故在此正六边形中裁出3个扇环，故总共9个.【详解】（1），底面周长为 底面半径为侧面积为扇环的面积，故 答：纸杯的底面半径为，侧面积为 .（2）连接，过 作，交于，交于， 是等边三角形又也是等边三角形即为长方形的长，由垂径定理知，即为长方形的宽 所需长方形的两边长分别为 和.（3）扇形 的圆心角为在以 为圆心，为半径的大圆和以 为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面）剩下的一个半径的圆中可按照如下方法剪圆环.作六边形 ，显然边长为，将 、 两
37、边延长，分别相交于点、，则以、为圆心为半径画弧，三条弧相切于、的中点，显然又可剪3个最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）考点：1.扇形（扇环）的面积计算；2.弧、弦的长度计算；3.图形的综合处理能力.27. 如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CDBC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF（1）当BAC30º时，求ABC的面积；（2）当DE8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；
38、若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）3；（3）存在，点E坐标为(，0) ；（，0）；（，0）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得ACB=90°，根据30°的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD，由垂直平分线的性质得AD=AB=10，又DE=8，在RtODE中，由勾股定理求AE，依题意证明AEFDEB，利用相似比求EF；（3）当以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似时，分为两种情况：当交点E在O，B之间时；当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标【详解】(1)AB是O的直径，ACB=90°，在Rt
39、ABC中，AB=10，BAC=30°， BC=AB=5，AC=，SABC=ACBC=；(2)连接AD，ACB=90°，CD=BC， AD=AB=10， DEAB， AE=6，BE=ABAE=4， DE=2BE， AFE+FAE=90°， DBE+FAE=90°，AFE=DBE， AEF=DEB=90°， AEFDEB，=2， EF=AE=×6=3；(3)连接EC，设E(x，0)，当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；0°<的度数<60°时，点E在O、B之间，EOF>BAC=D，又OE
40、F=ACB=90°，由相似知EOF=EBD，此时有EOFEBD，EC是RtBDE斜边的中线，CE=CB，CEB=CBE，EOF=CEB，OFCE，AOFAEC，即，解得x=，因为x>0，x=；60°<的度数<90°时，点E在O点的左侧，若EOF=B，则OFBD，OF=BC=BD，即解得x=，若EOF=BAC，则x=，综上点E的坐标为(，0) ；（，0）；（，0）.【点睛】本题是对圆综合知识的考查，熟练掌握圆，相似三角形的性质是解决本题的关键，难度较大，属于压轴题28. 如图，在RtABC中，AC4cm，BC3cm，点P由B出发沿BA的方向向点A匀
41、速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC的方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（s），其中0t2，解答下列问题：（1）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，线段PQ将ABC的面积分成1：2两部分？若存在，求出此时的t，若不存在，请说明理由；（3）点P、Q在运动的过程中，CPQ能否成为等腰三角形？若能，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）t或；（2）存在，t；（3）能，t或t【解析】【分析】（1）分两种情况讨论：当PQA=C=90º时，PQABCA，由题意得：AB=5，PB=t，PA=5-t
42、，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，求出t值；当QPA=C=90º时，PQACBA，由题意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，求出t值；（2）先把三角形ABC面积求出来，过点P作PHCA，垂足为点H，利用三角形相似把高PH用含有t的式子表示出来，再把三角形APQ的面积用含有t的式子表示出来，若线段PQ将ABC的面积能分成1：2两部分，则三角形APQ的面积等于ABC面积的三分之一，或者三分之二，建立方程求解；（3）当CPQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：当PCPQ时，过点P作PHCA，垂足为点H，利用PHABCA，建立对应边成比例求出t值；当CPCQ
43、时，过点P作PMCB，垂足为点M，由BMPBCA可得：BMt，MPt，从而得CM3t在RtPMC 中，由勾股定理建立关于t的一元二次方程，求得t值，并讨论t值是否符合题意；当QPQC时，过点Q作PNAB，垂足为点N，由AQNABC可得：NQt，NAt， 从而得PN5tt5t在RtQNP 中，由勾股定理建立关于t的一元二次方程，看是否存在t值且符合题意【详解】（1）先由勾股定理算得AB=5，分两种情况讨论：如图1，当PQABCA时，PQA=C=90º，PQBC，AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，有 ， t；如图2，当QPA=C=90º时，PQACBA，由题意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形对应边成比例，即，有 ，t又0t2，t或都符合题意，所以当t或时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似（2）过点P作PHCA，垂足为点H，如图3：则有PHABCA， 对应边成比例：即 ，PH（5t）SAPQ×2t×（5t）t23t而SABC=3×4÷2=6，若线段PQ将ABC的面积分成1：2两部分，则SAPQSABC×62或SAPQSABC×64，即：t23t2或t23t4当t2
