1、2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A x2+0B. （x1）（x+2）1C. ax2+bx+c0D. x22x32. 已知二次函数y（x4）2+1，下列说法正确的是（）A. 开口向上，顶点坐标(4，1)B. 开口向下，顶点坐标(4，1)C. 开口向上，顶点坐标(4，1)D. 开口向下，顶点坐标(4，1)3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. 3x23x+20B. x22x+10C. 2x24x10D. 2x24x+104. 正方形网格中，如图放置，则=（）A. B. C. D. 5. 一元二次方程x
2、2+kx3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）A. 3B. 1C. 3D. 26. 在中，都是锐角，且，则此三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不能确定7. 已知，在函数的图象上，则，的大小关系是（ ）A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y1>y2D. y2>y1>y38. 城市书房是A市从2019起打造的新生事物，已知2019年底A市共有18家城市书房，至2021年底A市已建成36家城市书房据调查，目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读若2020、2021这两年城市书房数量平均每年增
3、长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（）A. 36（1x）218B. 18（1+x）236C. 10（1+x）218D. 2019（1x）220219. 如图，直线l1l2l3，且l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为5，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A B. C. D. 10. 设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当axb时，总有2y1y22恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数y2x
4、5，y3x1在6x2上是“逼近函数”函数yx5，yx24x在3x5上是“逼近函数”0x1是函数yx22，y2x2x的“逼近区间”2x3是函数y2x4，yx23x的“逼近区间”其中，正确的结论有多少个（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题11. 已知关于x的函数y（a1）x23x+6是二次函数，则a满足的条件是_12. 计算：_13. 当x_时，二次函数yx24x+6取得最小值14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_15. 如图，RtABC中，C90°，点D在AC上，DBCA若AC4，cosA，则BD的长度为_16. 已知m，n是方程x2x40的两个根
5、，则mnmn_17. 如图，在中，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，_18. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1，3与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：2ab=0；c=3a；当m1时，a+bam2+bm；若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1x2，则x1+x2=2；使ACB为等腰三角形的a值可以有三个其中正确的结论是_（只填序号）三、解答题19. 计算：3sin30°cos60°tan230°20. 解方程：（1）（x+2）24
6、；（2）x23x+1021. 已知1是方程x22x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值22. 如图，已知RtABC中，BAC90°，B60°，AD14，CD12，30，求BD的长23. 已知抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）求抛物线顶点坐标24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要
7、将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.25. 已知关于x的方程kx2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得x12x220？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由26. 水果店张阿姨以每斤2元价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需
8、将每斤售价降低多少元？27. 如图所示，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得ACP的周长最小，请求出点P的坐标；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求BCN面积的最大值及此时点N的坐标28. 如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过
9、点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+0B. （x1）（x+2）1C. ax2+bx+c0D. x22x3【答案】B【解析】【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【详解】解：A、原方程为分式方程，故A选项不符合题意；B、由原方程，得x2+x30，符合一元二次方程的要求，故B选项符合题意；C、
10、当a0时，方程ax2+bx+c0不是一元二次方程，故C选项不符合题意；D、x22x3不是方程，故D选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程2. 已知二次函数y（x4）2+1，下列说法正确的是（）A. 开口向上，顶点坐标(4，1)B. 开口向下，顶点坐标(4，1)C. 开口向上，顶点坐标(4，1)D. 开口向下，顶点坐标(4，1)【答案】A【解析】【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向及顶点坐标，可得出答案【详解】，抛物线开口向上，顶点坐标为，故选：A【点睛
11、】本题主要考查二次函数性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式，即在中，顶点坐标为3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. 3x23x+20B. x22x+10C. 2x24x10D. 2x24x+10【答案】A【解析】【分析】分别求出各选项中方程的根的判别式b24ac的值，取b24ac0的选项即可求得答案【详解】解：Aa3，b3，c2，b24ac（3）24×3×2150，方程3x23x+20没有实数根，故A选项符合题意；Ba1，b2，c1，b24ac（2）24×1×10，方程x22x+10有两个相等的实数根，故B选项不符合题意；Ca2，b4，c1
12、，b24ac（4）24×2×（1）240，方程2x24x10有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；Da2，b4，c1，b24ac（4）24×2×180，方程2x24x+10有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意，故选：A【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，方程无实数根”是解题的关键4. 正方形网格中，如图放置，则=（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先在AOB的两边上找出两点C、D，使DOC构成直角三角形，再根据正方形网格的特点
13、及勾股定理求出OC的长，由锐角三角函数的定义即可求出sinAOB的值【详解】由图可知连接C、D两点，此时DOC恰好构成直角三角形，如图：设正方形网格的边长为1，则CD2，OD1，OC，由锐角三角函数的定义可知：sinAOB故选：B【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知正方形网格的特点，能在AOB的边上找出两点使DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键5. 一元二次方程x2+kx3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）A. 3B. 1C. 3D. 2【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根设m、n是方程x2+kx3=0的两个实数
14、根，且m=x=1；则有：mn=3，即n=3；故选C【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解6. 在中，都是锐角，且，则此三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C 钝角三角形D. 形状不能确定【答案】C【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值求出A、B的度数，再根据三角形内角和定理求出C即可作出判断【详解】解：ABC中，A、B都是锐角，sinA=，cosB=，A=30°，B=45°C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°故选C7. 已知，在函数的图象上，则，的大小关系是（ ）A. y1>y2>
15、;y3B. y1>y3>y2C. y3>y1>y2D. y2>y1>y3【答案】B【解析】【分析】利用函数的对称性将A、B、C三个点放在对称轴同侧，利用函数增减性进行比较.【详解】解：由题可知抛物线对称轴为x=-1，则A点关于对称轴的对称点为（-3，），由于抛物线开口向上，则当x-1时，函数值y随x的增大而减小，故y1>y3>y2.故选择B.【点睛】本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小.8. 城市书房是A市从2019起打造的新生事物，已知2019年底A市共有18家城市书房，至2021年底A市已建成36家城市书房据调查，目前平均每月有10万人
16、次走进城市书房阅读若2020、2021这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（）A. 36（1x）218B. 18（1+x）236C. 10（1+x）218D. 2019（1x）22021【答案】B【解析】【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果平均每年增长的百分率为x，根据“2019年底A市共有18家城市书房，至2021年底A市已建成36家城市书房”即可得出方程【详解】解：根据题意可得出：18（1+x）236故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2
17、c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率9. 如图，直线l1l2l3，且l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为5，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别过点、作于点，于点，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出及的长，在中根据勾股定理求出的长，进而可求得的面积，再根据即可求出的长【详解】解：如图，分别过点、作于点，于点，是等腰直角三角形，在与中，与的距离为2，与的距离为5，在中，解得：，故选：D【点睛】本题主要考
18、查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明以及利用求BD的长是解题的关键10. 设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当axb时，总有2y1y22恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数y2x5，y3x1在6x2上是“逼近函数”函数yx5，yx24x在3x5上是“逼近函数”0x1是函数yx22，y2x2x的“逼近区间”2x3是函数y2x4，yx23x的“逼近区间”其中，正确的结论有多少个（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区
19、间”，逐项进行求解判断即可【详解】解：设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y2x5，y3x1图像上的点，则，的值随着x的增大而减小，当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，当时，函数y2x5，y3x1在6x2上是“逼近函数”，故正确；设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数yx5，yx24x图像上的点，则，对称轴为直线x，当x时，的值随着x的增大而减小，又3x5，当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为，当3x5时，函数yx5，yx24x在3x5上不是“逼近函数”，故错误；设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数yx22，y2x2x图像上的点，则，对称轴为直线x，在上，当时，取得最大
20、值为，当或时，取得最小值为，当时，满足，是函数yx22，y2x2x的“逼近区间”，故正确；设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y2x4，yx23x图像上的点，则，对称轴为直线x，在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，当时，不满足，不是函数y2x4，yx23x的“逼近区间”，故错误，正确的有，共2个，故选：B【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值二、填空题11. 已知关于x的函数y（a1）x23x+6是二次函数，则a满足的条件是_【答案】a1【解析】【分析】根据二次函数的定义求解即可【详解
21、】解：根据二次函数的定义，得：a10，解得：a1，故答案为：a1【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次项系数不为0是解题的关键12. 计算：_【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案【详解】解：2cos45°= =，故答案为：【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键13. 当x_时，二次函数yx24x+6取得最小值【答案】2【解析】【分析】把化成，即可求出二次函数的最小值是多少【详解】解：，当时，二次函数有最小值2故答案为：2【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取
22、值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值14. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可【详解】根据题意得，解得故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根15. 如图，RtABC中，C90°，点D在AC上，DBCA若AC4，cosA，则BD的长度为_【答案】【解析】【
23、分析】在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD【详解】解：，故BD的长度为【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题关键是解直角三角形16. 已知m，n是方程x2x40的两个根，则mnmn_【答案】【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入计算即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键17. 如图，在中，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，_【答案】【解析】【分析】过点F作FMAC于点
24、M，由折叠的性质得FG=，EFG=，EF=AE=1，再证明，得，进而即可求解【详解】解：过点F作FMAC于点M，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，FG=，EFG=，EF=AE=1，EG=，FEM=GEF，FME=GFE=90°，=，AM=AE+EM=，故答案是：【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键18. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1，3与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：2ab=0；c=3a；当m1时，a+bam2+b
25、m；若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1x2，则x1+x2=2；使ACB为等腰三角形的a值可以有三个其中正确的结论是_（只填序号）【答案】#【解析】【详解】（1）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1，3，该二次函数图象对称轴为：直线，即，故错误；（2）由题意可知：y=ax2+bx+c（a0）图象过点A（-1，0），又，即，故正确；（3）由（1）可知，二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点为D，最小=，又在二次函数y=ax2+bx+c（a0）中，当时，故正确；（4）若，则，是方程的两根，故正确；（5）由题意可知，AB=4，若要使ABC是等腰
26、三角形，存在以下三种情况：I、当AB=BC=4时，OB=3，BOC=90°，OC=，即，又，；II、当AB=AC=4时，OA=1，AOC=90°，OC=，即，又，；III、当AC=BC时，AOC=BOC=90°，AO=1，BO=3，AC2=AO2+OC2，BC2=BO2+OC2，此方程无解，AC=BC不成立；综上所述，使ABC为等腰三角形的的取值只有2个，故错误；即上述5个结论中，正确的是：.点睛：在分析第5个结论时，要注意两点：（1）使ABC成为等腰三角形有三种情况，要一一讨论，不要忽略了任何一种；（2）分情况讨论时，要注意前面已经证明了的条件：的应用.三、解答
27、题19. 计算：3sin30°cos60°tan230°【答案】【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入计算可得答案【详解】解：原式【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键20. 解方程：（1）（x+2）24；（2）x23x+10【答案】（1）x10，x24；（2），【解析】分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可【详解】解：（1）（x+2）24，x+2±2，解得：x10，x24；（2），解得：，【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方
28、法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法21. 已知1是方程x22x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值【答案】方程的另一个根是1+，c的值为2【解析】【分析】根据两根之和等于2，可求出另一根，再根据两根之积等于c，可求出c【详解】设方程的另一个根为x ，且x=1 .x+ x =2.x=2(1)=1+又x x =c.c=(1)(1+)=2.方程的另一个根是1+，c的值为2.【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，一元二次方程的解，解题关键在于求出两根之和等于222. 如图，已知RtABC中，BAC90°，B60°，AD14，CD12，30，求BD的长【答案】16【
29、解析】【分析】过点A作于点，则，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，再由求出，即可得出的长【详解】解：如图，过点A作于点， 则，CD12，又AD14，设，则，解得：（舍负），【点睛】本题考查了三角形面积公式、勾股定理以及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键23. 已知抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上（1）求证：无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）求抛物线顶点坐标【答案】（1）见解析；（2）（1，5）【解析】【分析】（1）令y0，则x22ax40，根据根的判别式b24ac（2a）24×（1）0，可得该抛物
30、线与x轴总有两个交点；（2）利用配方法将yx22ax4配成y(xa)2a24，由此即可求得顶点坐标（a，a24），再将代入y2x3即可求得a的值，由此可求得答案【详解】（1）证明：令y0，则x22ax40，b24ac（2a）24×（1）4a24，4a20，4a240，无论a为何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）解：yx22ax4(xa)2a24，顶点坐标为（a，a24），抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上，将（a，a24）代入y2x3，得：a242a3，解得：a1a21，a245，抛物线的顶点坐标为（1，5）【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及配方法求顶点坐标，熟练掌握
31、二次函数的性质是解决本题的关键24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.（1）若花园的面积为192m2, 求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.【答案】（1）12m或16m；（2）195.【解析】【分析】(1)、根据AB=x可得BC=28x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值；(2)、根据题意列出S和x的函数关系熟，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大
32、值.【详解】(1)、AB=xm，则BC=（28x）m， x（28x）=192，解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m(2)、AB=xm， BC=28x， S=x（28x）=x2+28x=（x14）2+196，在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是16m和6m，28-x15,x6 6x13，当x=13时，S取到最大值为：S=（1314）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米【点睛】题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键25. 已知关于x的方程kx2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取
33、值范围；（2）是否存在实数k，使得x12x220？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）且；（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）假设存在实数使得x12x220，则，由可得，再利用根与系数的关系结合的取值范围即可求得答案【详解】解：（1）方程kx2+（2k3）x+k+10有两个不相等的实数根x1，x2，且，解得：，k的取值范围为且；（2）假设存在实数使得x12x220，则，又，解得：，不符合题意，舍去，假设不成立，不存在实数使得x12x220【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次
34、方程的两根时，也考查了根的判别式，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解决本题的关键26. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1【解析】【详解】试题分析：（1）销售量=原来销售量下降销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量
35、5;每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：，解得：x=或x=1，每天至少售出260斤，100+200x260，x0.8，x=1答：张阿姨需将每斤的售价降低1元考点：1一元二次方程的应用；2销售问题；3综合题27. 如图所示，抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线顶点（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得ACP的周长最小，请求出点P的坐标；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求BCN面
36、积的最大值及此时点N的坐标【答案】（1）点的坐标为，顶点的坐标为；（2）点P的坐标为（1，2）；（3）BCN面积的最大值为，此时点的坐标为【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中即可求出点坐标，将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P，先利用待定系数法求出解析式，由此再求出点P坐标即可；（3）过点作轴的垂线交直线于点，设，进而得到点坐标，最后根据求解即可【详解】解：（1）将代入，得：，点的坐标为，抛物线的顶点的坐标为；（2）如图，设线段BC与对称轴的交点为点P，连接AC，AP，根据轴对称的性质可得：PAPB，ACP的周长PAPCACP
37、BPCACBCAC，两点之间线段最短，此时ACP的周长最小，将代入，得：，解得：，点的坐标为，设直线BC的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线BC的解析式为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，将代入，得，点P的坐标为（1，2）；（3）过点作轴的垂线交直线于点，连接，如图1所示：设点坐标为，则点坐标为，其中，当时，有最大值为，将代入，得：，BCN面积的最大值为，此时点的坐标为【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式等知识，本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键28. 如图，抛物线与
38、轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45°时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90°，继而可得ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得OCE是等腰直角三角形，可得O
39、CE=45°，进一步可推出ACE=CAQ，可得CEPQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，抛物线的解析式是；（2）令x=0，则y=2，即C（0，2），AB2=25，ACB=90°，ACO+CAO=CBA+C
40、AO=90°，ACO=CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图，则CE=OE=2，OCE=45°，ACE=ACO+45°=CBA+45°=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线CE的解析式为y=-x+2，设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1，直线PQ的解析式为y=-x-1，解方程组，得或，点P的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP交y轴于点G，如图，PHy轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线BC的解析式为，设G（0，m），A
41、（-1，0），直线AF的解析式为y=mx+m，解方程组，得，点F的坐标是，当CG=CF时，解得：（舍去负值），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；当FG=FC时，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，），PH=2-=1.5；当GF=GC时，解得或m=2（舍去），此时直线AF的解析式为y=x+，解方程组，得或，点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，），PH=；综上，PH=或1.5或【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键
