江苏省苏州市姑苏区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试题(含答案解析)

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1、2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区九年级(上)期中数学试卷一、选择题1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A x2+0B. (x1)(x+2)1C. ax2+bx+c0D. x22x32. 已知二次函数y(x4)2+1,下列说法正确的是()A. 开口向上,顶点坐标(4,1)B. 开口向下,顶点坐标(4,1)C. 开口向上,顶点坐标(4,1)D. 开口向下,顶点坐标(4,1)3. 下列一元二次方程中,没有实数根的是()A. 3x23x+20B. x22x+10C. 2x24x10D. 2x24x+104. 正方形网格中,如图放置,则=()A. B. C. D. 5. 一元二次方程x

2、2+kx3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A. 3B. 1C. 3D. 26. 在中,都是锐角,且,则此三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不能确定7. 已知,在函数的图象上,则,的大小关系是( )A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y1>y2D. y2>y1>y38. 城市书房是A市从2019起打造的新生事物,已知2019年底A市共有18家城市书房,至2021年底A市已建成36家城市书房据调查,目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读若2020、2021这两年城市书房数量平均每年增

3、长的百分率相同,设平均每年增长的百分率为x,则根据题意列出方程()A. 36(1x)218B. 18(1+x)236C. 10(1+x)218D. 2019(1x)220219. 如图,直线l1l2l3,且l1与l2的距离为2,l2与l3的距离为5,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为()A B. C. D. 10. 设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数C1,C2图像上的点,当axb时,总有2y1y22恒成立,则称函数C1,C2在axb上是“逼近函数”,axb为“逼近区间”则下列结论:函数y2x

4、5,y3x1在6x2上是“逼近函数”函数yx5,yx24x在3x5上是“逼近函数”0x1是函数yx22,y2x2x的“逼近区间”2x3是函数y2x4,yx23x的“逼近区间”其中,正确的结论有多少个()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题11. 已知关于x的函数y(a1)x23x+6是二次函数,则a满足的条件是_12. 计算:_13. 当x_时,二次函数yx24x+6取得最小值14. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_15. 如图,RtABC中,C90°,点D在AC上,DBCA若AC4,cosA,则BD的长度为_16. 已知m,n是方程x2x40的两个根

5、,则mnmn_17. 如图,在中,点E在线段上,且,D是线段上的一点,连接,将四边形沿直线翻折,得到四边形,当点G恰好落在线段上时,_18. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1,3与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中:2ab=0;c=3a;当m1时,a+bam2+bm;若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1x2,则x1+x2=2;使ACB为等腰三角形的a值可以有三个其中正确的结论是_(只填序号)三、解答题19. 计算:3sin30°cos60°tan230°20. 解方程:(1)(x+2)24

6、;(2)x23x+1021. 已知1是方程x22x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值22. 如图,已知RtABC中,BAC90°,B60°,AD14,CD12,30,求BD的长23. 已知抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上(1)求证:无论a为何值,抛物线与x轴总有两个交点;(2)求抛物线顶点坐标24. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.(1)若花园的面积为192m2, 求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要

7、将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.25. 已知关于x的方程kx2+(2k3)x+k+10有两个不相等的实数根x1,x2(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得x12x220?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由26. 水果店张阿姨以每斤2元价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需

8、将每斤售价降低多少元?27. 如图所示,抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线的顶点(1)求点C及顶点M的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得ACP的周长最小,请求出点P的坐标;(3)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求BCN面积的最大值及此时点N的坐标28. 如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(4,0),与轴交于点C连接AC,BC,点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式;(2)如图,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当CAQ=CBA45°时,求点P的坐标;(3)如图,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过

9、点P作轴的垂线交BC于点H,当PFH为等腰三角形时,求线段PH的长2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区九年级(上)期中数学试卷一、选择题1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A. x2+0B. (x1)(x+2)1C. ax2+bx+c0D. x22x3【答案】B【解析】【分析】一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案【详解】解:A、原方程为分式方程,故A选项不符合题意;B、由原方程,得x2+x30,符合一元二次方程的要求,故B选项符合题意;C、

10、当a0时,方程ax2+bx+c0不是一元二次方程,故C选项不符合题意;D、x22x3不是方程,故D选项不符合题意故选:B【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的方程2. 已知二次函数y(x4)2+1,下列说法正确的是()A. 开口向上,顶点坐标(4,1)B. 开口向下,顶点坐标(4,1)C. 开口向上,顶点坐标(4,1)D. 开口向下,顶点坐标(4,1)【答案】A【解析】【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向及顶点坐标,可得出答案【详解】,抛物线开口向上,顶点坐标为,故选:A【点睛

11、】本题主要考查二次函数性质,解题的关键是掌握二次函数的顶点式,即在中,顶点坐标为3. 下列一元二次方程中,没有实数根的是()A. 3x23x+20B. x22x+10C. 2x24x10D. 2x24x+10【答案】A【解析】【分析】分别求出各选项中方程的根的判别式b24ac的值,取b24ac0的选项即可求得答案【详解】解:Aa3,b3,c2,b24ac(3)24×3×2150,方程3x23x+20没有实数根,故A选项符合题意;Ba1,b2,c1,b24ac(2)24×1×10,方程x22x+10有两个相等的实数根,故B选项不符合题意;Ca2,b4,c1

12、,b24ac(4)24×2×(1)240,方程2x24x10有两个不相等的实数根,故C选项不符合题意;Da2,b4,c1,b24ac(4)24×2×180,方程2x24x+10有两个不相等的实数根,故D选项不符合题意,故选:A【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当b24ac0时,方程有两个不相等的实数根;当b24ac0时,方程有两个相等的实数根;当b24ac0时,方程无实数根”是解题的关键4. 正方形网格中,如图放置,则=()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先在AOB的两边上找出两点C、D,使DOC构成直角三角形,再根据正方形网格的特点

13、及勾股定理求出OC的长,由锐角三角函数的定义即可求出sinAOB的值【详解】由图可知连接C、D两点,此时DOC恰好构成直角三角形,如图:设正方形网格的边长为1,则CD2,OD1,OC,由锐角三角函数的定义可知:sinAOB故选:B【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理,熟知正方形网格的特点,能在AOB的边上找出两点使DOC恰好构成直角三角形是解答此题的关键5. 一元二次方程x2+kx3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A. 3B. 1C. 3D. 2【答案】C【解析】【详解】试题分析:根据根与系数的关系可得出两根的积,即可求得方程的另一根设m、n是方程x2+kx3=0的两个实数

14、根,且m=x=1;则有:mn=3,即n=3;故选C【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解6. 在中,都是锐角,且,则此三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C 钝角三角形D. 形状不能确定【答案】C【解析】【分析】先根据特殊角的三角函数值求出A、B的度数,再根据三角形内角和定理求出C即可作出判断【详解】解:ABC中,A、B都是锐角,sinA=,cosB=,A=30°,B=45°C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°故选C7. 已知,在函数的图象上,则,的大小关系是( )A. y1>y2>

15、;y3B. y1>y3>y2C. y3>y1>y2D. y2>y1>y3【答案】B【解析】【分析】利用函数的对称性将A、B、C三个点放在对称轴同侧,利用函数增减性进行比较.【详解】解:由题可知抛物线对称轴为x=-1,则A点关于对称轴的对称点为(-3,),由于抛物线开口向上,则当x-1时,函数值y随x的增大而减小,故y1>y3>y2.故选择B.【点睛】本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小.8. 城市书房是A市从2019起打造的新生事物,已知2019年底A市共有18家城市书房,至2021年底A市已建成36家城市书房据调查,目前平均每月有10万人

16、次走进城市书房阅读若2020、2021这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同,设平均每年增长的百分率为x,则根据题意列出方程()A. 36(1x)218B. 18(1+x)236C. 10(1+x)218D. 2019(1x)22021【答案】B【解析】【分析】本题为增长率问题,一般用增长后的量增长前的量×(1+增长率),如果平均每年增长的百分率为x,根据“2019年底A市共有18家城市书房,至2021年底A市已建成36家城市书房”即可得出方程【详解】解:根据题意可得出:18(1+x)236故选:B【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解决此类两次变化问题,可利用公式a(1+x)2

17、c,其中a是变化前的原始量,c是两次变化后的量,x表示平均每次的增长率9. 如图,直线l1l2l3,且l1与l2的距离为2,l2与l3的距离为5,把一块含有45°角的直角三角形如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上,AC与直线l2交于点D,则线段BD的长度为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别过点、作于点,于点,先根据全等三角形的判定定理得出,故可得出及的长,在中根据勾股定理求出的长,进而可求得的面积,再根据即可求出的长【详解】解:如图,分别过点、作于点,于点,是等腰直角三角形,在与中,与的距离为2,与的距离为5,在中,解得:,故选:D【点睛】本题主要考

18、查的是全等三角形的判定与性质,勾股定理,证明以及利用求BD的长是解题的关键10. 设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数C1,C2图像上的点,当axb时,总有2y1y22恒成立,则称函数C1,C2在axb上是“逼近函数”,axb为“逼近区间”则下列结论:函数y2x5,y3x1在6x2上是“逼近函数”函数yx5,yx24x在3x5上是“逼近函数”0x1是函数yx22,y2x2x的“逼近区间”2x3是函数y2x4,yx23x的“逼近区间”其中,正确的结论有多少个()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据当时,总有恒成立,则称函数,在上是“逼近函数”, 为“逼近区

19、间”,逐项进行求解判断即可【详解】解:设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数y2x5,y3x1图像上的点,则,的值随着x的增大而减小,当时,取得最大值为;当时,取得最小值为,当时,函数y2x5,y3x1在6x2上是“逼近函数”,故正确;设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数yx5,yx24x图像上的点,则,对称轴为直线x,当x时,的值随着x的增大而减小,又3x5,当时,取得最大值为1;当时,取得最小值为,当3x5时,函数yx5,yx24x在3x5上不是“逼近函数”,故错误;设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数yx22,y2x2x图像上的点,则,对称轴为直线x,在上,当时,取得最大

20、值为,当或时,取得最小值为,当时,满足,是函数yx22,y2x2x的“逼近区间”,故正确;设P(x,y1),Q(x,y2)分别是函数y2x4,yx23x图像上的点,则,对称轴为直线x,在上,当时,取得最大值为,当或时,取得最小值为,当时,不满足,不是函数y2x4,yx23x的“逼近区间”,故错误,正确的有,共2个,故选:B【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用,解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义,会求函数在某个范围内的最大、最小值二、填空题11. 已知关于x的函数y(a1)x23x+6是二次函数,则a满足的条件是_【答案】a1【解析】【分析】根据二次函数的定义求解即可【详解

21、】解:根据二次函数的定义,得:a10,解得:a1,故答案为:a1【点睛】本题考查了二次函数的定义,明确二次项系数不为0是解题的关键12. 计算:_【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算得出答案【详解】解:2cos45°= =,故答案为:【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键13. 当x_时,二次函数yx24x+6取得最小值【答案】2【解析】【分析】把化成,即可求出二次函数的最小值是多少【详解】解:,当时,二次函数有最小值2故答案为:2【点睛】本题主要考查了二次函数的最值,解题的关键是要熟练掌握,确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取

22、值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值14. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到,然后解关于的不等式即可【详解】根据题意得,解得故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根15. 如图,RtABC中,C90°,点D在AC上,DBCA若AC4,cosA,则BD的长度为_【答案】【解析】【

23、分析】在中,由三角函数求得AB,再由勾股定理求得BC,最后在中由三角函数求得BD【详解】解:,故BD的长度为【点睛】本题主要考查了勾股定理,解直角三角形的应用,解题关键是解直角三角形16. 已知m,n是方程x2x40的两个根,则mnmn_【答案】【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到,然后利用整体代入计算即可【详解】解:,故答案为:【点睛】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次方程的两根时,熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键17. 如图,在中,点E在线段上,且,D是线段上的一点,连接,将四边形沿直线翻折,得到四边形,当点G恰好落在线段上时,_【答案】【解析】【分析】过点F作FMAC于点

24、M,由折叠的性质得FG=,EFG=,EF=AE=1,再证明,得,进而即可求解【详解】解:过点F作FMAC于点M,将四边形沿直线翻折,得到四边形,当点G恰好落在线段上,FG=,EFG=,EF=AE=1,EG=,FEM=GEF,FME=GFE=90°,=,AM=AE+EM=,故答案是:【点睛】本题主要考查折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键18. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1,3与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中:2ab=0;c=3a;当m1时,a+bam2+b

25、m;若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1x2,则x1+x2=2;使ACB为等腰三角形的a值可以有三个其中正确的结论是_(只填序号)【答案】#【解析】【详解】(1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为1,3,该二次函数图象对称轴为:直线,即,故错误;(2)由题意可知:y=ax2+bx+c(a0)图象过点A(-1,0),又,即,故正确;(3)由(1)可知,二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点为D,最小=,又在二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,当时,故正确;(4)若,则,是方程的两根,故正确;(5)由题意可知,AB=4,若要使ABC是等腰

26、三角形,存在以下三种情况:I、当AB=BC=4时,OB=3,BOC=90°,OC=,即,又,;II、当AB=AC=4时,OA=1,AOC=90°,OC=,即,又,;III、当AC=BC时,AOC=BOC=90°,AO=1,BO=3,AC2=AO2+OC2,BC2=BO2+OC2,此方程无解,AC=BC不成立;综上所述,使ABC为等腰三角形的的取值只有2个,故错误;即上述5个结论中,正确的是:.点睛:在分析第5个结论时,要注意两点:(1)使ABC成为等腰三角形有三种情况,要一一讨论,不要忽略了任何一种;(2)分情况讨论时,要注意前面已经证明了的条件:的应用.三、解答

27、题19. 计算:3sin30°cos60°tan230°【答案】【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入计算可得答案【详解】解:原式【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算,熟记特殊角三角函数值是解题关键20. 解方程:(1)(x+2)24;(2)x23x+10【答案】(1)x10,x24;(2),【解析】分析】(1)利用直接开平方法求解即可;(2)利用公式法求解即可【详解】解:(1)(x+2)24,x+2±2,解得:x10,x24;(2),解得:,【点睛】本题主要考查解一元二次方程,解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、因式分解法、公式法及配方

28、法,解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法21. 已知1是方程x22x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值【答案】方程的另一个根是1+,c的值为2【解析】【分析】根据两根之和等于2,可求出另一根,再根据两根之积等于c,可求出c【详解】设方程的另一个根为x ,且x=1 .x+ x =2.x=2(1)=1+又x x =c.c=(1)(1+)=2.方程的另一个根是1+,c的值为2.【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法,一元二次方程的解,解题关键在于求出两根之和等于222. 如图,已知RtABC中,BAC90°,B60°,AD14,CD12,30,求BD的长【答案】16【

29、解析】【分析】过点A作于点,则,由三角形的面积求出,由勾股定理求出,再由求出,即可得出的长【详解】解:如图,过点A作于点, 则,CD12,又AD14,设,则,解得:(舍负),【点睛】本题考查了三角形面积公式、勾股定理以及含30°的直角三角形的性质,熟练掌握勾股定理,通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键23. 已知抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上(1)求证:无论a为何值,抛物线与x轴总有两个交点;(2)求抛物线顶点坐标【答案】(1)见解析;(2)(1,5)【解析】【分析】(1)令y0,则x22ax40,根据根的判别式b24ac(2a)24×(1)0,可得该抛物

30、线与x轴总有两个交点;(2)利用配方法将yx22ax4配成y(xa)2a24,由此即可求得顶点坐标(a,a24),再将代入y2x3即可求得a的值,由此可求得答案【详解】(1)证明:令y0,则x22ax40,b24ac(2a)24×(1)4a24,4a20,4a240,无论a为何值,抛物线与x轴总有两个交点;(2)解:yx22ax4(xa)2a24,顶点坐标为(a,a24),抛物线yx22ax4的顶点在直线y2x3上,将(a,a24)代入y2x3,得:a242a3,解得:a1a21,a245,抛物线的顶点坐标为(1,5)【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及配方法求顶点坐标,熟练掌握

31、二次函数的性质是解决本题的关键24. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.(1)若花园的面积为192m2, 求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.【答案】(1)12m或16m;(2)195.【解析】【分析】(1)、根据AB=x可得BC=28x,然后根据面积列出一元二次方程求出x的值;(2)、根据题意列出S和x的函数关系熟,然后根据题意求出x的取值范围,然后根据函数的性质求出最大

32、值.【详解】(1)、AB=xm,则BC=(28x)m, x(28x)=192,解得:x1=12,x2=16, 答:x的值为12m或16m(2)、AB=xm, BC=28x, S=x(28x)=x2+28x=(x14)2+196,在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是16m和6m,28-x15,x6 6x13,当x=13时,S取到最大值为:S=(1314)2+196=195,答:花园面积S的最大值为195平方米【点睛】题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,得出S与x的函数关系式是解题关键25. 已知关于x的方程kx2+(2k3)x+k+10有两个不相等的实数根x1,x2(1)求k的取

33、值范围;(2)是否存在实数k,使得x12x220?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由【答案】(1)且;(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且,然后求出两个不等式的公共部分即可;(2)假设存在实数使得x12x220,则,由可得,再利用根与系数的关系结合的取值范围即可求得答案【详解】解:(1)方程kx2+(2k3)x+k+10有两个不相等的实数根x1,x2,且,解得:,k的取值范围为且;(2)假设存在实数使得x12x220,则,又,解得:,不符合题意,舍去,假设不成立,不存在实数使得x12x220【点睛】本题考查了根与系数的关系:若,是一元二次

34、方程的两根时,也考查了根的判别式,熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解决本题的关键26. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?【答案】(1)100+200x;(2)1【解析】【详解】试题分析:(1)销售量=原来销售量下降销售量,列式即可得到结论;(2)根据销售量

35、5;每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论试题解析:(1)将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是100+×20=100+200x斤;(2)根据题意得:,解得:x=或x=1,每天至少售出260斤,100+200x260,x0.8,x=1答:张阿姨需将每斤的售价降低1元考点:1一元二次方程的应用;2销售问题;3综合题27. 如图所示,抛物线yx22x3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛物线顶点(1)求点C及顶点M的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得ACP的周长最小,请求出点P的坐标;(3)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求BCN面

36、积的最大值及此时点N的坐标【答案】(1)点的坐标为,顶点的坐标为;(2)点P的坐标为(1,2);(3)BCN面积的最大值为,此时点的坐标为【解析】【分析】(1)令抛物线解析式中即可求出点坐标,将抛物线的一般式化为顶点式,即可求出顶点坐标;(2)根据轴对称的性质可得线段BC与对称轴的交点即为点P,先利用待定系数法求出解析式,由此再求出点P坐标即可;(3)过点作轴的垂线交直线于点,设,进而得到点坐标,最后根据求解即可【详解】解:(1)将代入,得:,点的坐标为,抛物线的顶点的坐标为;(2)如图,设线段BC与对称轴的交点为点P,连接AC,AP,根据轴对称的性质可得:PAPB,ACP的周长PAPCACP

37、BPCACBCAC,两点之间线段最短,此时ACP的周长最小,将代入,得:,解得:,点的坐标为,设直线BC的解析式为,将,代入,得:,解得:,直线BC的解析式为,顶点的坐标为,抛物线的对称轴为直线,将代入,得,点P的坐标为(1,2);(3)过点作轴的垂线交直线于点,连接,如图1所示:设点坐标为,则点坐标为,其中,当时,有最大值为,将代入,得:,BCN面积的最大值为,此时点的坐标为【点睛】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式等知识,本题综合性较强,具有一定的难度,熟练掌握二次函数的图形和性质,学会用代数的方法求解几何问题是解决本题的关键28. 如图,抛物线与

38、轴交于A(-1,0),B(4,0),与轴交于点C连接AC,BC,点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式;(2)如图,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当CAQ=CBA45°时,求点P的坐标;(3)如图,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作轴的垂线交BC于点H,当PFH为等腰三角形时,求线段PH的长【答案】(1);(2)(6,-7);(3)PH=或1.5或【解析】【分析】(1)根据待定系数法解答即可;(2)求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90°,继而可得ACO=CBA,在x轴上取点E(2,0),连接CE,易得OCE是等腰直角三角形,可得O

39、CE=45°,进一步可推出ACE=CAQ,可得CEPQ,然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式,再与抛物线的解析式联立方程组求解即可;(3)设直线AP交y轴于点G,如图,由题意可得若PFH为等腰三角形,则CFG也为等腰三角形,设G(0,m),求出直线AF和直线BC的解析式后,再解方程组求出点F的坐标,然后分三种情况求出m的值,再求出直线AP的解析式,进而可求出点P的坐标,于是问题可求解【详解】解:(1)把A(-1,0),B(4,0)代入,得,解得:,抛物线的解析式是;(2)令x=0,则y=2,即C(0,2),AB2=25,ACB=90°,ACO+CAO=CBA+C

40、AO=90°,ACO=CBA,在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图,则CE=OE=2,OCE=45°,ACE=ACO+45°=CBA+45°=CAQ,CEPQ,C(0,2),E(2,0),直线CE的解析式为y=-x+2,设直线PQ的解析式为y=-x+n,把点A(-1,0)代入,可得n=-1,直线PQ的解析式为y=-x-1,解方程组,得或,点P的坐标是(6,-7);(3)设直线AP交y轴于点G,如图,PHy轴,PHC=OCB,FPH=CGF,若PFH为等腰三角形,则CFG也为等腰三角形,C(0,2),B(4,0),直线BC的解析式为,设G(0,m),A

41、(-1,0),直线AF的解析式为y=mx+m,解方程组,得,点F的坐标是,当CG=CF时,解得:(舍去负值),此时直线AF的解析式为y=x+,解方程组,得或,点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),PH=;当FG=FC时,解得m=或m=(舍)或m=2(舍),此时直线AF的解析式为y=x+,解方程组,得或,点P的坐标是(3,2),此时点H的坐标是(3,),PH=2-=1.5;当GF=GC时,解得或m=2(舍去),此时直线AF的解析式为y=x+,解方程组,得或,点P的坐标是(,),此时点H的坐标是(,),PH=;综上,PH=或1.5或【点睛】本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识,具有相当的难度,熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键

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