1、2 2. .3.33.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 课时课时对点对点练练 1点 P(1，1)到直线 l：3y2 的距离是( ) A3 B.53 C1 D.22 答案 B 解析 点 P(1，1)到直线 l 的距离 d|312|023253. 2点(1,2)到直线 y2x1 的距离为( ) A.55 B.2 55 C. 5 D2 5 答案 A 解析 直线 y2x1 即 2xy10， 由点到直线的距离公式得 d|2121|221255. 3已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( ) A. 2 B. 21 C. 21 D2 2 答案 B 解析 由点到直线
2、的距离公式，得 1|a23|11， 即|a1| 2.因为 a0，所以 a 21，故选 B. 4点 P(x，y)在直线 xy40 上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( ) A. 7 B. 6 C2 2 D. 5 答案 C 解析 |OP|最小即 OPl， 所以|OP|min|004|22 2. 5(多选)已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值等于( ) A79 B13 C.13 D.79 答案 AB 解析 由点到直线的距离公式可得 |3a41|a21|6a31|a21， 化简得|3a3|6a4|， 解得 a79或13. 6(多选)与直线 3x4
3、y10 垂直，且与点(1，1)距离为 2 的直线方程为( ) A4x3y30 B4x3y170 C4x3y30 D4x3y170 答案 AB 解析 设所求直线方程为 4x3yC0. 则|4131C|42322， 即|C7|10，解得 C3 或 C17. 故所求直线方程为 4x3y30 或 4x3y170. 7倾斜角为 60 ，且与原点的距离是 5 的直线方程为_ 答案 3xy100 或 3xy100 解析 因为直线斜率为 tan 60 3， 可设直线方程为 y 3xb， 化为一般式得 3xyb0. 由直线与原点的距离为 5， 得|00b| 32125|b|10. 所以 b 10. 所以直线方程
4、为 3xy100 或 3xy100. 8 经过两直线 x3y100 和 3xy0 的交点， 且和原点相距为 1 的直线的条数为_ 答案 2 解析 设所求直线 l 的方程为 x3y10(3xy)0， 即(13)x(3)y100， 因为原点到直线的距离 d|10|132321， 所以 3，即直线方程为 x1 或 4x3y50， 所以和原点相距为 1 的直线的条数为 2. 9已知ABC 三个顶点的坐标 A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC 的面积 S. 解 由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 y20 x313， 即 x2y30. 由两点间距离公式得|BC| 3120222 5，
5、点 A 到 BC 的距离为 d，即为 BC 边上的高， 则 d|1233|12224 55. 所以 S12|BC| d122 54 554， 即ABC 的面积为 4. 10已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点 A(3,1)到该直线的距离为 2，求该直线的方程 解 当该直线在两坐标轴上的截距相等且为 0， 即直线过原点时，设直线的方程为 ykx， 即 kxy0，由已知得|3k1|k21 2， 整理得 7k26k10， 解得 k17或 k1， 所以所求直线的方程为 x7y0 或 xy0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为 0 时， 设直线的方程为 xya， 由题意得|4a|2 2，整理得|a4
6、|2， 解得 a6 或 a2， 所以所求直线的方程为 xy60 或 xy20. 综上所述，所求直线方程为 x7y0 或 xy0 或 xy60 或 xy20. 11(多选)已知点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P的坐标为( ) A(1,2) B(3，4) C(2，1) D(4，3) 答案 AC 解析 设点 P 的坐标为(a,53a)， 由题意得|a53a1|1212 2， 解得 a1 或 2， 所以点 P 的坐标为(1,2)或(2，1) 12当点 P(2,3)到直线 ax(a1)y30 的距离 d 最大时，d 与 a 的值依次为( ) A3，3 B5
7、,2 C5,1 D7,1 答案 C 解析 直线 l 恒过点 A(3,3)， 根据已知条件可知，当直线 ax(a1)y30 与 AP 垂直时，距离最大，最大值为 5，此时a1. 13直线 3x4y270 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A(1，6) B.3，92 C(5，3) D.7，32 答案 C 解析 由题意知过点 P 作直线 3x4y270 的垂线， 设垂足为 M，则|MP|最小， 直线 MP 的方程为 y143(x2)， 解方程组 3x4y270，y143x2，得 x5，y3. 故所求点的坐标为(5，3) 14 已知点P为x轴上一点， 且点P到直线3x4y60的距离为6，
8、 则点P的坐标为_ 答案 (12,0)或(8,0) 解析 设 P(a,0)，则有|3a406|32426， 解得 a12 或 8， 所以点 P 的坐标为(12,0)或(8,0) 15已知 xy30，则 x22y12的最小值为_ 答案 2 解析 设 P(x，y)，A(2，1)， 则点 P 在直线 xy30 上， 且 x22y12|PA|. |PA|的最小值为点 A(2，1)到直线 xy30 的距离 d|213|1212 2. 16已知直线 m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30. (1)当 a0 时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 l 的方程； (
9、2)若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 5，判断 m 与 n 的位置关系 解 (1)联立 x3y60，x2y30， 解得 x21，y9， 即 m 与 n 的交点为(21，9) 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 3x7y0； 当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为xbyb1， 将(21，9)代入得 b12， 所以直线 l 的方程为 xy120， 故满足条件的直线 l 的方程为 3x7y0 或 xy120. (2)设原点 O 到直线 m 的距离为 d， 则 d|a6()a12()2a32 5， 解得 a14或 a73， 当 a14时，直线 m 的方程为 x2y50，此时 mn； 当 a73时，直线 m 的方程为 2xy50，此时 mn.
