1、9 9. .2.42.4 总体离散程度的估计总体离散程度的估计 基础达标 一、选择题 1.为评估一种农作物的种植效果， 选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A.x1，x2，xn的平均数 B.x1，x2，xn的标准差 C.x1，x2，xn的最大值 D.x1，x2，xn的中位数 解析 平均数能反映一组数据的平均水平； 中位数是把一组数据从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数.平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差
2、和方差都能反映一组数据的稳定程度. 答案 B 2.若样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，则数据 2x11，2x21，2x101 的标准差为( ) A.8 B.15 C.16 D.32 解析 令 yi2xi1(i1，2，3，10)，则所求的标准差为 s2816. 答案 C 3.某选手的 9 个得分分别为 87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以 x 表示.若去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，则 7 个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C.36 D.6 77 解析 由题意知去掉的两个
3、数是 87，99， 所以 879029129490 x917，解得 x4. 故 s217(8791)2(9091)22(9191)22(9491)22367. 答案 B 4.甲、乙两名同学 6 次考试的成绩如图所示，且这 6 次成绩的平均分分别为x甲，x乙，标准差分别为 s甲，s乙，则( ) A.x甲x乙，s甲s乙 B.x甲s乙 C.x甲x乙，s甲x乙，s甲s乙 解析 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都远高于乙同学，可知x甲x乙，观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定，故 s甲s乙，故选 C. 答案 C 5.某班有 48 名学生，在一次考试中统计出平均分为 70 分
4、，方差为 75，后来发现有 2 名同学的分数录错了，甲实得 80 分，却记了 50 分，乙实得 70 分，却记了100 分，更正后平均分和方差分别是( ) A.70，75 B.70，50 C.75，1.04 D.65，2.35 解析 因甲少记了 30 分，乙多记了 30 分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得 s2148(x170)2(x270)2(8070)2(7070)2(x4870)2， 而更正前有 75148(x170)2(x270)2(5070)2(10070)2(x4870)2， 化简整理得 s250. 答案 B 二、填空题 6.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目
5、选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差 s2 3.5 3.6 2.2 5.4 若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是_(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个). 解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙. 答案 丙 7.已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_. 解析 这组数据的平均数x15(4.74.85.15.45.5)5.1，故 s215(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.4
6、5.1)2(5.55.1)20.1. 答案 0.1 8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有20 名男员工，30 名女员工，且男员工的平均体重为 70 kg，标准差为 4，女员工的平均体重为 50 kg，标准差为 6，则所抽取样本的方差为_. 解析 由题意知，样本的平均数x20703050203058，故样本的方差 s220203042(7058)230203062(5058)2132. 答案 132 三、解答题 9.某学校统计教师职称及年龄， 中级职称教师的人数为 50， 其平均年龄为 38 岁，方差是 2，高级职称的教师中有 3 人 58 岁，5 人 40
7、岁，2 人 38 岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 解 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 x高35854023835245(岁)， 年龄的方差为 s2高1103(5845)25(4045)22(3845)273， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 x505010381050104539.2(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s25050102(3839.2)210501073(4539.2)220.64. 10.已知母鸡产蛋的最佳温度在 10 左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？ 时刻(时) 4
8、 8 12 16 20 24 温度() 甲地 5 7 15 14 4 3 乙地 1 4 10 7 2 0 解 x甲16(57151443)4()， x乙16(1410720)4(). 标准差： s甲16（54）2（44）2（34）28.4， s乙16（14）2（24）2（04）23.5， 显然两地的平均温度相等，乙地温度的标准差较小，说明乙地温度波动较小. 因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋. 能力提升 11.若 40 个数据的平方和是 56，平均数是22，则这组数据的方差是_. 解析 设这 40 个数据为 xi(i1，2，40)，平均数为x. 则 s2140(x1x)2(x2x)2(x40 x)
9、2 140 x21x22x24040 x22x (x1x2x40) 140564022222240221405640120.9. 答案 0.9 12.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年 100 户居民的月均用水量(单位：吨).将数据按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)用每组区间的中点的横坐标作为每组用水量的平均值，这 9 组居民每人的月均用水量前四组的方差都为 0.3，后 5 组的方差都为 0.4，求这 100 户居民月均用水量的
10、方差. 解 (1)由频率分布直方图可知， 月均用水量在0， 0.5)内的频率为 0.080.50.04，同理，在0.5，1)，1.5，2)，2，2.5)，3，3.5)，3.5，4)，4，4.5内的频率分别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由 1(0.040.080.210.250.060.040.02)2a0.5，解得 a0.30. (2)由题意可知，这 9 组月均用水量的平均数依次是 x10.25， x20.75， x31.25， x41.75， x52.25， x62.75， x73.25， x83.75，x94.25， 这 100 户居民的月均用水量为 x
11、0.040.250.080.750.151.250.211.750.252.250.152.750.063.250.043.750.024.252.03， 则这 100 户居民月均用水量的方差为 s20.040.3(0.252.03)20.080.3(0.752.03)20.150.3(1.252.03)20.210.3(1.752.03)20.250.4(2.252.03)20.150.4(2.75 2.03)2 0.060.4 (3.25 2.03)2 0.040.4 (3.75 2.03)2 0.020.4(4.252.03)21.113 6. 创新猜想 13.(多选题)某综艺节目为比较
12、甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为 5 分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点 A 表示甲的创造能力指标值为 4，点 B 表示乙的空间能力指标值为 3，则下列叙述正确的是( ) A.乙的记忆能力优于甲 B.乙的观察能力优于创造能力 C.甲的六大能力整体水平优于乙 D.甲的六大能力比乙较均衡 解析 由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是 4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故 A 错误；乙的创造能力指标值是 3，观察能力指标值是 4，故乙的观察能力优于创造能力，故 B 正确；甲的六大能力之和为 25，乙的六大能力之和为 24，所以甲的六
13、大能力整体水平优于乙，故 C正确； 甲的六大能力指标值的方差为 s2甲1736， 乙的六大能力指标值的方差为 s2乙23，所以 s2甲s2乙，即甲的六大能力比乙较均衡，D 正确. 答案 BCD 14.(多空题)某校甲班、乙班各有 49 名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100 分)统计如下表： 班级 平均分 众数 中位数 标准差 甲班 79 70 87 19.8 乙班 79 70 79 5.2 根据上述表格，对比甲、乙两班的成绩，对甲班提出的教学建议是_，对乙班提出的教学建议是_. 解析 甲班学生成绩的中位数为87分， 说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为 79 分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助； 乙班学生成绩的中位数和平均分均为 79 分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小， 成绩很差的学生少， 但成绩优异的学生也很少， 建议采取措施提高优秀率. 答案 对学习有困难的同学多一些帮助 采取措施提高优秀率
