1、20212022学年广东省揭阳市普宁市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）A. B. C. D. 2. 已知2是关于x的方程3x22a0的一个解，则a的值是（）A 3B. 4C. 5D. 63. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )A. 3cm2B. 4 cm2C. cm2D. 2cm24. 如图，直线，直线AC和DF被，所截，则的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学
2、生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，点是线段黄金分割点（），下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为8. 如图，其中，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）A. 四边形BECF为平行四边形B. 当时，四边形BECF为矩形C. 当时，四边形BECF为菱形D. 四边形BECF不可能为正方形9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道
3、，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）A B. C. D. 10. 如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，得；再分别取三边的中点，得；这样依次下去，经过第2021次操作后得，则的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，共28分）11. 一元二次方程的两根是_12. 如图，DAB=CAE，请补充一个条件：_，使ABCADE13. 如图，在正方形，E是对角线上一点，的延长线交于点F，连接若，则_14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与
4、点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，测得边DF离地面的高度，则树AB的高度为_cm. 15. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_16. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则_17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，_三、解答题（本大题共3小题，共18分）18. 解方程：19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且求证：20. 如图，已知BACEAD，AB20.4，AC48，AE17，AD40求证：ABCAED四、解答题（本大题共3小题，共
5、24分）21. 小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1， 2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜这个游戏对两人公平吗？请说明理由22. 关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值23. 2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上
6、涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下，每千克猪肉应该定价为多少元？五、解答题（本大题共2小题，共20分）24. 如图，已知矩形ABCD边长AB3cm，BC6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向
7、点A匀速运动（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由25. 如图，在正方形中，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图，连接交于点若，求的值20212022学年广东省揭阳市普宁市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，根据比例的性质，即可求得答案【详解】解：，或故选B【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比
8、例的性质是解题的关键2. 已知2是关于x的方程3x22a0的一个解，则a的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义，把x2代入方程3x22a0得122a0，然后解关于a的方程即可【详解】解：把x2代入方程3x22a0得3×42a0，解得a6故选D【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解3. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为( )A 3cm2B. 4 cm2C. cm2D. 2cm2【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB
9、=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即ACBD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2，易求得OB=1，则可得AC的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=2cm，ACBD，OA=OC，OB=OD，又菱形的边长和一条对角线的长均为2，AB=AD=BD=2，OB=1，OA=，AC=2，菱形的面积为2，故选D【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的
10、一半4. 如图，直线，直线AC和DF被，所截，则的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算，得到答案【详解】解：l1l2l3，即，解得，DE，故选：D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键5. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果
11、与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】解：画树状图得：共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；P（2女生）=故选：B【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比6. 如图，点是线段的黄金分割点（），下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他
12、们的比值 叫做黄金比【详解】解：ACBC，AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2=ABBC，故B错误，故C正确，不符合题意；，故D正确，不符合题意故选B【点睛】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 倍，较长的线段=原线段的 倍.7. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为【答案】A【解析】【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方据此判断.【详解】解：A. 化为，故本选项错
13、误，符合题意；B. 化为，故本选项正确，不符合题意；C. 化为，故本选项正确，不符合题意；D. 化为，故本选项正确，不符合题意；故选择：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数8. 如图，其中，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（ ）A. 四边形BECF为平行四边形B. 当时，四边形BECF为矩形C. 当时，四边形BECF为菱形D. 四边形BECF不可能为正方形【答案】B【解析】【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即
14、可【详解】解：，ACB=CBD，ACBD，CEM=BFM，M为BC中点，CM=BM，CEMBFM，CE=BF，ACBD，四边形BECF为平行四边形，故A选项正确，不符合题意；当时，若BEAC， ， ， ，CEBF，当时，四边形BECF不是矩形，故B选项错误，符合题意；BF=2.5，四边形BECF是平行四边形，CE=BF= 2.5，AE=AC-CE= 2.5，E为AC中点，BE=CE，四边形BECF是平行四边形，当BF= 2.5时，四边形BECF为菱形，故C选项正确，不符合题意；当BF=2.5时，四边形BECF为菱形，此时BEC90°，四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确，符合题
15、意故选：B【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定；根据全等三角形的判定证得BMFCME，进而证得四边形BECF为平行四边形是解决问题的关键9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可【详解】解：如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为 由题意得：故选C【
16、点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键10. 如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，得；再分别取三边的中点，得；这样依次下去，经过第2021次操作后得，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得【详解】解：点，分别为，的中点，点，分别为，的中点，的面积，故选D【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理二、填空题（本大题共7小题，共28分）11. 一元二次方程的两根是_【答案】，#，【解析】【分析】利用因式
17、分解法求出解即可【详解】解：x26x+50，（x5）（x1）0，x50或x10，解得：x15，x21故答案为：x15，x21【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法12. 如图，DAB=CAE，请补充一个条件：_，使ABCADE【答案】解：D=B或AED=C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可【详解】解：DAB=CAEDAE=BAC当D=B或AED=C或AD：AB=AE：AC或ADAC=ABAE时两三角形相似故答案为D=B（答案不唯一）13. 如图，在正方形，E是对角线上一
18、点，的延长线交于点F，连接若，则_【答案】【解析】【分析】先证明，得到，可得到，再根据平行线的性质得到，可得，根据三角形内角和定理即可求解；【详解】四边形ABCD是正方形，AB=CB，ABCD，又BD是角平分线，又，在和中，故答案是【点睛】本题主要考查了利用正方形的性质求角度，准确利用三角形全等和三角形内角和定理求解是解题的关键14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，测得边DF离地面的高度，则树AB的高度为_cm. 【答案】420【解析】【分析】先判定DEF和DBC相似，
19、然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解【详解】解：在DEF和DBC中，D=D,DEF=DCB，DEFDCB，解得BC=300cm，AB=AC+BC=120+300=420m，即树高420m故答案为：420.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出DEF和DBC相似是解题的关键15. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可【详解】解：由题意得a+b5，ab1，原式3ab2（a+b）3×（1）2×531013，故答案
20、为13【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法16. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则_【答案】#2.4【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出两三角形的相似比，从而对应边的比等于相似比进行求解即可【详解】解：， ，即，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方17. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，_【答案】【解析】【分析】首
21、先连接，由题意易得是的平分线，所以，又，所以是对角线中点，则有，所以，即可得出答案【详解】解：连接，如图所示：将沿AE折叠，使点B落在AC上的点处，又将沿EF折叠，使点C落在直线与AD的交点处，在矩形ABCD中，ADBC，CD=AB，B=D=90°，3=2，1=3，由折叠的性质可得：，（AAS），是对角线AC的中点，即，；故答案为【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键三、解答题（本大题共3小题，共18分）18. 解方程：【答案】 ,【解析】【分析】根据求根公式进行解
22、题.【详解】解: a=1,b=-6,c=4=36-16=20 ,【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键.19. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上点，且求证：【答案】见解析【解析】【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定得出ABE与CBF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可【详解】证明：四边形ABCD是菱形，ADCD，ABBC，AC，又ABECBF，ABECBF（ASA），AECF，ADAECDCF，DEDF【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据ASA得出ABE与CBF全等解答20. 如图，已知BACEAD，AB20.4，
23、AC48，AE17，AD40求证：ABCAED【答案】见解析【解析】【分析】根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明三角形相似【详解】证明：AB20.4，AC48，AE17，AD40，又BACEAD，ABCAED【点睛】本题考核知识点：相似三角形判定 解题关键点：找出两组对应边成比例且夹角相等四、解答题（本大题共3小题，共24分）21. 小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1， 2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜
24、这个游戏对两人公平吗？请说明理由【答案】不公平【解析】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否【详解】这个游戏对双方不公平理由：列表如下： 12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，故小
25、明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，这个游戏对两人不公平【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平22. 关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值【答案】（1）；（2）的值为【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足【详解】解：（1）根据题意得，解得；（2）的最大整数为2，方程变形为，解得，一元二次方程与方程有一个
26、相同的根，当时，解得；当时，解得，而，的值为【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根23. 2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨了40%，这天该超市每千克猪肉价格为56元（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千克.经调查表明：猪肉的售价每千克下降
27、1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下，每千克猪肉应该定价为多少元？【答案】（1）2019年1月10日猪肉的价格为每千克40元；（2）每千克猪肉应该定价为53元【解析】【分析】(1)设2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克元，根据2020年1月10日猪肉单价间的关系，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设每千克降价元，则日销售()千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之求得值，即可求出结论【详解】(1)设2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克元，
28、根据题意，得，解得：，答：2019年1月10日猪肉的价格为每千克40元；(2)设每千克猪肉应降价元，依题意，得：，解得：，尽可能让利于顾客，答：每千克猪肉应该定价为53元【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程和一元二次方程五、解答题（本大题共2小题，共20分）24. 如图，已知矩形ABCD的边长AB3cm，BC6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使A
29、、M、N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）1秒或2秒，（2）存在，秒或秒【解析】【分析】（1）设经过秒后，根据的面积等于矩形面积的，得出方程解方程即可；（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可.【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，则有：，即，解方程，得经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，由矩形，可得，因此有或，即 ，或 ，解，得；解，得，经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时
30、，以为顶点的三角形与相似【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键25. 如图，在正方形中，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点.（1）求证：；（2）若，求证：；（3）如图，连接交于点若，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形平行四边形，先证明四边形是正方形，继而证明，即可得结论；(2)由(1)得，根据比例线段可得，再根据可得，从而求得AN、BN长即可得结论；(3)把绕点逆时针旋转得到，连接，进而可推导得出，证明是等腰直角三角形，继而证明，可得MG=HG，根据题意设，则，根据勾股定理可求得，再结合正方形的性质可求得a的值，继而证明， 根据相似三角形的性质即可求得答案.【详解】(1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，四边形是正方形，平行四边形是正方形，；(2)由(1)得：，；(3)把绕点逆时针旋转得到，连接，.，是等腰直角三角形，设，则，在中，则，正方形的边长为， ，.【点睛】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.
