1、2021-2022 学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 2. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D. 直角三角形 3. 下列四个图形中，线段 BE 是ABC高的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A 72 B. 60 C.
2、58 D. 50 5. 如图，数学课上，老师让学生尺规作图画MON的角平分线 OB小明的作法如图所示，连接 BA、BC，你认为这种作法中判断 ABO CBO 的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 6. 如图，在ABC 中，AB=AC，C=70 ，ABC与ABC 关于直线 EF对称，CAF=10 ，连接 BB，则ABB的度数是（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 7. 如果三角形的两边长分别为 5 和 7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（ ） A. 20 B. 22 C. 23 D. 24 8. 下列条件中，能构成钝角ABCV是（
3、） A. ABC B. ACB C. 14BCA D. 1123ABC 9. 如图， 在第 1 个A1BC中， B30 ， A1BCB， 在边 A1B上任取一点 D， 延长 CA1到 A2， 使 A1A2A1D，得到第 2个A1A2D；在边 A2D 上取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3A2E，得到第 3 个A2A3E按此做法继续下去，则第 2021个三角形中以 A2021为顶点的内角度数是（ ） A. （12）201975 B. （12）202075 C. （12）202175 D. （12）202275 10. 如图，已知在ABC中，ABAC，ACB和BAC的平分线交于点 O，
4、过点 A作 ADAO交 CO的延长线于点 D，若ACD，则BDC 度数为（ ） A. 45 B. 902 C. 90 2 D. 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 已知点 A(2，a)与点 B(b，4)关于 x 轴对称，则 a+b_ 12. 一个正多边形的每一个内角都是 108 ，则它是正 _边形 13. 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6，则三角形的周长是 _ 14. 若三角形的一个内角是另一个内角的 3倍，我们称此三角形为“特异三角形”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异三角形”最小内角度
5、数为 _ 15. 如图，已知 ABC 中，OE、OF 分别是 AB、AC 的垂直平分线，OBC，OCB 的平分线相交于点 I，有如下结论：AOCI；ABC+ACO90 ；BOICOI；OIBC其中正确的结论是 _ 16. 如图， 在VABC中， AH是高， AE/BC， ABAE， 在 AB边上取点 D， 连接 DE， DEAC， 若5ABCADESS，BH1，则 BC_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个题，共个题，共 72分）分） 17. 如图，点E，C在线段BF上，AD ，/AB DE，BCEF，求证：ACDF 18. 如图，在ABC中，AB=AC，点 D在 AC 上，且
6、BD=BC=AD求ABC各角的度数 19. 如图，在 ABC中，ACB90 ，CD是高，A30 ，求证：AD3BD 20. 如图，已知点 A、C分别在GBE 的边 BG、BE上，且 AB=AC，ADBE，GBE 的平分线与 AD交于点 D，连接 CD 求证：AB=AD； CD 平分ACE 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，ABC 的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上，A（3，3） ，B（4，2） ，C（0，1） （1）直接写出ABC面积为 ； （2）画出ABC 关于 y 轴的对称的DEC（点 D 与点 A 对应，点 E 与点 B 对应） ，点 E 的坐标为 ； （3）用无刻度的直尺，运
7、用所学的知识作图（保留作图痕迹） 作出ABC的高线 AF 在边 BC上确定一点 P，使得CAP45 22. 已知，ABC 中，点 D，E分别在边 AB，BC上，BDBE，连接 CD （1）如图 1，若CADCED2ADC，求证：ADDE； （2）如图 2，点 F 在 AD上，连接 EF，若CADAFE，CEF2ADC，求证：ADEF 23. 已知，点 C为线段 AB上的一点，以 AC 为边作等边 ACD，连接 BD （1）如图 1，以 BC为边在 AB的上方作等边 BCE，接 AE，交 BD于点 G，求AGB的度数； （2）如图 2，在（1）的条件下连接 CG，求证：CG+DG+EGAE； （
8、3）如图 3，点 K在线段 BD 上，BKC60 ，点 H为线段 AD上，AHBC，AK，CH 交于点 I，BDa，AKb，则 IK （用含 a，b 的式子表示） 24. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B在 y轴上，以 B 为直角顶点，在 AB 上方作等腰 RtVABC （1）如图 1，若点 B的坐标为（0，1） ，则 C 点的坐标是 （2）如图 2，若点 By 轴正半轴上，OD平分AOB交 AC于 D，求证：ADCD； （3）如图 3，若点 B为 y轴上的一个动点，连接 OC，当 AC+OC 值最小时，求 B 点坐标 2021-2022 学年湖北省武汉市武昌区八年级（
9、上）期中数学试卷学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列大学校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义直接判断得出即可 【详解】A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误 故选 B 2. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. 平行四边形 B. 长方形 C. 正方形 D
10、. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案 【详解】解：A平行四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意； B长方形不具有稳定性，故本选项不符合题意； C正方形不具有稳定性，故本选项不符合题意； D直角三角形具有稳定性，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性和平行四边形、长方形、正方形不具有稳定性 3. 下列四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高可判断. 【详解】解：根据三角形高的画法知，过点 B作 AC边上的高
11、，垂足为 E，其中线段 BE 是ABC 的高， 符合线段 BE是ABC的高的图是选项 D 故选 D 【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段熟记定义是解题的关键 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. 72 B. 60 C. 58 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据是 b、c边的夹角，然后写出即可 【详解】解：两个三角形全等， 的度数是 72 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键全等三角形的对应角相等，对应边相等对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边
12、 5. 如图，数学课上，老师让学生尺规作图画MON的角平分线 OB小明的作法如图所示，连接 BA、BC，你认为这种作法中判断ABOCBO 的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图的方法确定三角形全等的判定方法 【详解】作法：以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 MO、NO于点 A、G， 再分别以 A、G 为圆心，大于12AG长为半径画弧，两弧交于点 B， 画射线 OB，射线 OB 即所求， 由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而 OB=OB， 则用到的三角形全等的判定方法是：SSS 故选：A 【点睛】本题考查了三角形全等
13、的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键 6. 如图，在ABC 中，AB=AC，C=70 ，ABC与ABC 关于直线 EF对称，CAF=10 ，连接 BB，则ABB的度数是（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】由轴对称图形的性质可得BACBAC，进而结合三角形内角和定理即可得出答案 【详解】如图，连接 BB ABC与ABC 关于直线 EF 对称， BACBAC， AB=AC，C=70 ， ABC=ACB=ABC=70， BAC=BAC=40， CAF=10 ， CAF=10， BAB=40+10+10+40=100， ABB=ABB=
14、40， 故选 C 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出BAC 的度数是解题关键 7. 如果三角形的两边长分别为 5 和 7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（ ） A 20 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长 【详解】设第三边为 a，根据三角形的三边关系知，2a12， 由于第三边的长为偶数， 则 a可以为 4 或 6或 8或 10 三角形的周长是 5+7+4=16或 5+7+6=18或 5+7+8=20或 5+7+10=22 故这个三角
15、形的最大周长为 22 故选 B 【点睛】此题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题关键是掌握三角形三边关系 8. 下列条件中，能构成钝角ABCV的是（ ） A. ABC B. ACB C. 14BCA D. 1123ABC 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角形内角和及选项中各角之间的关系， 解出最大角的度数即可确定三角形形状，得出答案 【详解】解：A选项中，60ABC ，锐角三角形； B选项中，ACB ，则90B ，直角三角形； C选项中，14BCA ，则1118044AAA ，120A ，钝角三角形； D 选项中，1123AB
16、C，则1218033CCC，90C，直角三角形； 故选：C 【点睛】题目主要考查三角形内角和及通过各角之间的关系确定角的度数，通过各角关系确定最大角的度数，从而确定三角形形状是解题关键 9. 如图， 在第 1 个A1BC中， B30 ， A1BCB， 在边 A1B上任取一点 D， 延长 CA1到 A2， 使 A1A2A1D，得到第 2个A1A2D；在边 A2D 上取一点 E，延长 A1A2到 A3，使 A2A3A2E，得到第 3 个A2A3E按此做法继续下去，则第 2021个三角形中以 A2021为顶点的内角度数是（ ） A. （12）201975 B. （12）202075 C. （12）2
17、02175 D. （12）202275 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律即可得出第 n个三角形中以 An-1为顶点的底角度数，于是得到结论 【详解】解：在CBA1中，B=30 ，A1B=CB， BA1C=1802B=75 ， A1A2=A1D，BA1C是A1A2D 的外角， DA2A1=12BA1C=12 75 ； 同理可得EA3A2=（12）2 75 ，FA4A3=（12）3 75 ， 第 n 个三角形中以 An-1为顶点的底角度数是（12）n-1 75
18、第 2022 个三角形中以 A2021为顶点的内角度数为（12）202175， 故选：C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出DA2A1，EA3A2及FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键 10. 如图，已知在ABC中，ABAC，ACB和BAC的平分线交于点 O，过点 A作 ADAO交 CO的延长线于点 D，若ACD，则BDC 度数为（ ） A. 45 B. 902 C. 90 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据 AB=AC，可得到ABC=ACB=2，再由三角形的三条角平分线交于一点，可得到CBO=ABO= ， 从而得到902OAB ,再由 A
19、DAO， 可得BAD=90-OAB=2 ， 从而得到BAD=ABC，可得 BCAD，进而BCD=ADC= ，AB=AD，即可求解 【详解】解：CO平分ACB， BCO=ACD， ABAC， ABC=ACB=2， ACB和BAC的平分线交于点 O， BO平分ABC， CBO=ABO= ， 111801801801809022AOBOBAOABABCBACACB ， 180902OABOBAAOB , ADAO， OAD=90， BAD=90-OAB=2 ， BAD=ABC， BCAD， BCD=ADC= ， AC=AD， AB=AD， ABD=ADB=1180902BAD ， 90902BDCA
20、DBADC 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质定理和判定定理是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 已知点 A(2，a)与点 B(b，4)关于 x 轴对称，则 a+b_ 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用关于 x轴对称点的性质得出 a，b的值，进而得出答案 【详解】点 A（2，a）与点 B（b，4）关于 x 轴对称， b2，a4， 则 ab422， 故答案为：2 【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确把握横
21、纵坐标的关系是解题关键 12. 一个正多边形的每一个内角都是 108 ，则它是正 _边形 【答案】5 【解析】 【分析】首先设这个正多边形的边数为 n，根据多边形内角和公式：180 （n-2） ，列出方程进行计算即可 【详解】解：设这个正多边形的边数为 n，由题意得： （n-2） 180=108n 解得：n=5 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和公式 13. 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6，则三角形的周长是 _ 【答案】22或 26 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系进行分析计算即可 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为 1
22、0和 6， 当 6 是腰时，6610，满足构成三角形的条件， 等腰三角形的周长为：6 6 1022 ； 当 10 是腰时，10 106，满足构成三角形的条件， 三角形的周长是10 10626 三角形的周长是 22或 26 故答案是：22或 26 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，准确分析计算是解题的关键 14. 若三角形的一个内角是另一个内角的 3倍，我们称此三角形为“特异三角形” ，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异三角形”最小内角度数为 _ 【答案】30 或 22.5 #22.5 或 30 【解析】 【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可 【详
23、解】解：当 90 的直角为三倍角时， 90 330 ， 180 90 30 60 ， 30 60 90 ， 这个“特异三角形”的最小内角的度数为 30； 设这个“特异三角形”的其它两个内角的度数分别为 3x、x， 则 3x+x+90 180 ， 解得，x22.5 ， 3x67.5 ， 22.5 67.5 90 ， 这个“特异三角形”的最小内角的度数 22.5 ， 故答案：30 或 22.5 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于 180、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键 15. 如图，已知ABC中，OE、OF 分别是 AB、AC的垂直平分线，OBC，OCB 的平分线
24、相交于点 I，有如下结论：AOCI；ABC+ACO90 ；BOICOI；OIBC其中正确的结论是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由垂直平分线的性质、 角平分线的性质， 结合反证法解题； 证明()AOCBOC SASVV由ABC+ACOABC+BCO =90 解题； 过点 I 作,IPBO IQOC IRBC， 证明OI是BOC的角平分线即可判断 【详解】解：QOE、OF 分别是 AB、AC的垂直平分线， ,AOBO AOCO BOCO 设AOCI 成立，则 COCI，即点 C 在 OI的垂直平分线上， 这与 CI是OCB的角平分线互相矛盾， 故错误， AOBOOCQ， ,ABOBAOOAC
25、OCAOBCOCB ， 180ABCBACACBQ， 2ABO+2OBC+2OCA=180 ， ABO+OBC+OCA=90 ， ABC+ACO =90 ， 故正确； 过点 I作,IPBO IQOC IRBC， ,BI CIQ分别是,OBCOCB的角平分线， ,PIRI QIRI PIQI BOCOQ OI是BOC的角平分线 BOICOI，OIBC 故正确， 故正确的有 【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 16. 如图， 在VABC中， AH是高， AE/BC， ABAE， 在 AB边上取点 D， 连接 DE，
26、 DEAC， 若5ABCADESS，BH1，则 BC_ 【答案】2.5 【解析】 【分析】过点 E 作 EFAB，交 BA 的延长线于点 F，先分别证明ABHEAF，RtACHRtEDF，由此可得ABHEAFSS，ACHEDFEAFADESSSS， 再结合5ABCABHACHADESSSS可得32ACHABHSS，由此可得32CHBH，进而即可求得答案 【详解】解：如图，过点 E作 EFAB，交 BA 的延长线于点 F， EFAB，AHBC， EFAAHBAHC90 ， AE/BC， EAFB， 在ABHV与EAF中， AHBEFABEAFABEA ()ABHEAF AAS， AHEF，ABH
27、EAFSS， 在Rt ACHV与Rt EDFV中， AHEFACDE ()RtACHRtEDF HL， ACHEDFEAFADESSSS， 5ABCABHACHADESSSS， 5ABHEAFADEADESSSS， 25ABHADEADESSS， 解得：2ABHADESS， 53ACHADEABHADESSSS， 3322ACHADEABHADESSSS， 132122CH AHBH AH， 即32CHBH， 又BH1， CH1.5， BCBHCH2.5， 故答案为：2.5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本
28、题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个题，共个题，共 72分）分） 17. 如图，点E，C在线段BF上，AD ，/AB DE，BCEF，求证：ACDF 【答案】见解析 【解析】 【分析】 由/AB DE可得，ABCDEF， 进而根据AAS证明ABCDEF， 即可证明ACDF 【详解】Q/AB DE， ABCDEF， 在ABCV与DEFV中， ADABCDEFBCEF ABCDEF VV（AAS） ， ACDF 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键 18. 如图，在ABC中，AB=AC，点 D在 AC 上，且 BD=BC=AD求AB
29、C各角的度数 【答案】A=36，ABC=C=72 【解析】 【分析】设A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数 【详解】解：设A=x， AD=BD， ABD=A=x， BDC=ABD+A=2x， BD=BC， C=BDC=2x， AB=AC， ABC=C=2x， 在ABC中，x+2x+2x=180， x=36，2x=72 ， 即A=36，ABC=C=72 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键 19. 如图，在ABC 中，ACB90 ，CD是高，A30 ，求证：AD3B
30、D 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半可得到BC2BD， AB2BC， 从而可推出AB4BD，从而不难证得 BD 与 AD的数量关系 【详解】证明：CDAB，A30 ， ACD=90-A60 ACB90 ， DCBACB -ACD=30 ， BC2BD， A30 ，ACB90 ， AB2BC， AB4BD， ABADBD， AD3BD 【点睛】此题主要考查含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半 20. 如图，已知点 A、C分别在GBE 的边 BG、BE上，且 AB=AC，ADBE，GBE 的平分线与 AD
31、交于点 D，连接 CD 求证：AB=AD； CD平分ACE 【答案】详见解析. 【解析】 【详解】(1)ADBE， ADB=DBC， BD平分ABC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD； （2）ADBE， ADC=DCE， 由知 AB=AD， 又AB=AC， AC=AD， ACD=ADC， ACD=DCE， CD平分ACE； 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型. 垂两边：如图（1） ，已知BP平分ABC，过点P作PAAB，PCBC，则PAPC. 截两边：如图（2） ，已知BP平分MBN，点ABM上，在BN上截取BCBA，则ABPCBP. 角平分线+平行线等腰三角形： 如图
32、（3） ，已知BP平分ABC，/PAAC，则ABAP； 如图（4） ，已知BP平分ABC，/EFPB，则BEBF. (1) (2) (3) (4) 三线合一（利用角平分线+垂线等腰三角形） ： 如图（5） ，已知AD平分BAC，且ADBC，则ABAC，BDCD. (5) 21. 如图，在下列带有坐标系的网格中，ABC 的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上，A（3，3） ，B（4，2） ，C（0，1） （1）直接写出ABC 的面积为 ； （2）画出ABC 关于 y 轴的对称的DEC（点 D 与点 A 对应，点 E 与点 B 对应） ，点 E 的坐标为 ； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作
33、图（保留作图痕迹） 作出ABC的高线 AF 在边 BC上确定一点 P，使得CAP45 【答案】 （1）192； （2） （4，-2） ； （3）AF 为ABC的高作法见详解；CAP=45 ，作法见详解 【解析】 【分析】 （1）利用割补法求三角形 ABC 面积 SABC=SABH+S梯形AHGC-SBCG代入计算即可； （2）先求出点 A、B关于 y 轴对称的点坐标 D、E，然后描出点 D、E，顺次连结线段 DE，EC，CD 即可； （3） 根据勾股定理 AB=221526， 过 C 向左 5格向上 1 格作 CH=225126， 则 CHAB， 根据勾股定理 AC=22345， 过 B 向右
34、 4格， 向上 3 格作 BI22435+=， CH与 BI 交于 G， 则 BIAC，则点 G为垂心，过 A 作射线 AG 交 BC 于 F，则 AF为所求， ； 根据 AC=2222+3 +45ASCS ， 过 C先下 3格， 向左 4格， 作 CR=2222+4 +35RQCQ ，连结 AR 交 BC 于 P，则 RCAC，RC=AC，可得ACR 是等腰直角三角形，可求RAC=ARC=45 ，则CAP=45 ， 【详解】解： （1）SABC=SABH+S梯形AHGC-SBCG =111222BH AHHGAHCGBG CG 1111 535 14 1222 5922 192， 故答案为1
35、92； （2）A（3，3） ，B（4，2） ，C（0，1） ABC 关于 y 轴的对称的DEC， 点 D（3，3） ，点 E（4，-2） ， 描点 D、E，连结 CD，DE，EC， 则DEC 为ABC 关于 y 轴对称的三角形， 故答案为（4，-2） ； （3） 根据勾股定理 AB=221526， 过 C 向左 5格向上 1 格作 CH=225126， 则 CHAB， 根据勾股定理 AC=22345， 过 B 向右 4格， 向上 3 格作 BI22435+=， CH与 BI 交于 G， 则 BIAC，则点 G为垂心，过 A 作射线 AG 交 BC 于 F，则 AF为所求， AF 为ABC 的高
36、； 根据 AC=2222+3 +45ASCS ， 过 C先下 3格， 向左 4格， 作 CR=2222+4 +35RQCQ ，连结 AR 交 BC 于 P，则 RCAC，RC=AC， ACR是等腰直角三角形， RAC=ARC=45 ， 则CAP=45 ， 【点睛】本题考查割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，作一角等于已知角，等腰直角三角形性质，掌握割补法求三角形面积，轴对称，图形旋转，过一点作已知直线的垂线，作一线段等于已知线段，等腰直角三角形性质是解题关键 22. 已知，ABC 中，点 D，E分别在边 AB，BC上，BDBE，连接 CD （1）如图 1，若CADCED2ADC，求证：ADD
37、E； （2）如图 2，点 F 在 AD上，连接 EF，若CADAFE，CEF2ADC，求证：ADEF 【答案】 （1）证明见详解； （2）证明见详解 【解析】 【分析】 （1）由等边对等角可得BDE=DEB， 由CED=ADC+EDC=2ADC，可得EDC=ADC，再证ADCEDC（AAS）即可； （2） 在 BC边上截取 BG=BF， 先证BEFBDG （SAS） ， 可得 EF=DG， BEF=BDG， BFE=BGD，可推出GDC=ADC，再证ADCGDC（AAS） ，可得 AD=GD即可 【详解】证明（1）BD=BE， BDE=DEB， ADE=CED=ADC+EDC， CADCED2
38、ADC， ADC+EDC=2ADC， EDC=ADC， 在ADC 和EDC中， CADCEDADCEDCDCDC ADCEDC（AAS） AD=ED； （2）在 BC边上截取 BG=BF， 在BEF和BDG 中， BEBDBBBFBG BEFBDG（SAS） EF=DG，BEF=BDG，BFE=BGD， ADG=CEF,AFE=CGD=CAD， CEF2ADC， GDC+ADC=CEF=2ADC， GDC=ADC， 在ADC和GDC中， CADCGDADCGDCDCDC ADCGDC（AAS） AD=GD； EF=DG， AD=EF 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，等腰三角形的性质，等角
39、的补角性质，掌握三角形全等判定与性质，等腰三角形的性质，等角的补角性质是解题关键 23. 已知，点 C为线段 AB上的一点，以 AC 为边作等边ACD，连接 BD （1）如图 1，以 BC为边在 AB的上方作等边BCE，接 AE，交 BD于点 G，求AGB的度数； （2）如图 2，在（1）的条件下连接 CG，求证：CG+DG+EGAE； （3）如图 3，点 K在线段 BD 上，BKC60 ，点 H为线段 AD上，AHBC，AK，CH 交于点 I，BDa，AKb，则 IK （用含 a，b 的式子表示） 【答案】 （1）120（2）见解析（3）12ba 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性
40、质得到ACECDB，再得到DGO=ACD=60，故可求出AGB的度数； （2）在线段 AG 上截取 HG=DG，得到DHG是等边三角形，再证明证明ADHCDG，得到 DG=AH，故可证明； （3）以 BC为边作等边三角形 BCE，连接 AE交 BD于 K ，过 A 点作 AMBD，ANCK 于 N，AK与 CH交于 I点， 先证明ADMCAN 得到 AM=AN， AK平分DKC， 求出AKD=AKD=60， 于是 K与 K重合，再证明AHIECI 得到 AI=IE，设 IK=x，EK=y，得到 AK= 2x+y=b，根据 AE=BD得到 y=a-b，把y=a-b 代入 2x+y=b即可求解 【
41、详解】 （1）ACD与BCE 都是等边三角形 AC=DC，CB=CE，ACD=ECB=60 ACD+DCE=ECB +DCE 即ACE=DCB ACECDB（SAS） EAC=BDC 设 AE与 CD交于 O 点 AOC=DOG 根据三角形内角和为 180可知DGO=ACD=60 AGB=180-DGO=120 （2）在线段 AG上截取 HG=DG，由（1）中AGD=60，故DHG 是等边三角形 DH=HG=DG，HDG=60=ADC ADC-HDC=HDG-HDC ADH=CDG 又 AD=CD ADHCDG（SAS） DG=AH CG+DG+EGAH+HG+EG=AE 即 CG+DG+EG
42、AE； （3）以 BC为边作等边三角形 BCE，连接 AE交 BD于 K ，过 A 点作 AMBD，ANCK 于 N，AK与 CH交于 I点 BKC=60 DKC=120 DAC=60 ADK+ACK=360-DKC-DAC=180 ACN +ACK=180 ADM=CAN AC=AD，AMD=ANC=90 ADMCAN（AAS） AM=AN AK平分DKC AKD=60 同（1）理可得AKD=60， K 与 K重合 又同（1）理可得ACEDCB AE=BD=a DAC=ECB=60 AH/CE IAH=IEC，IHA=ICE 又AH=BC=CE AHIECI（ASA） AI=IE 设 IK=
43、x，EK=y AI=IK+KE=x+y AK=AI+IK=2x+y=b AE=BD，即 AK+KE=BD=a y=a-b 把 y=a-b 代入 2x+y=b 中：2x+a-b=b x=11222baba 故答案为：12ba 【点睛】此题主要考查等边三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、等边三角形的特点，根据题意作出辅助线求解 24. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B在 y轴上，以 B 为直角顶点，在 AB 上方作等腰 RtVABC （1）如图 1，若点 B的坐标为（0，1） ，则 C 点的坐标是 （2）如图 2，若点 B在 y轴正半轴上，OD
44、平分AOB 交 AC于 D，求证：ADCD； （3）如图 3，若点 B为 y轴上的一个动点，连接 OC，当 AC+OC 值最小时，求 B 点坐标 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） （0，1） 【解析】 【分析】 （1）过点 C作 CEy轴于点 E，通过证明ABOBCEVV即可求得答案； （2）将VABC 沿着 AC 翻折得到VAGC，分别过点 C，点 G，作坐标轴的垂线，与坐标轴的交点记为点 E，点 H， 两条垂线相交于点 F， 连接 OF， 交 AC 于点 P， 先证明点 D与点 P是同一个点， 再证明APOCPF即可得证； （3）先找到点 C所在的直线为 yx3，进而根据轴
45、对称的性质以及两点之间线段最短可得当点 C位于点C1时，ACOC取得最小值，然后再计算此时点 C坐标，进而可得此时点 B的坐标 【详解】 （1）解：如图，过点 C作 CEy轴于点 E， 则CEBAOB90 ， CBEBCE90 ， VABC 为等腰直角三角形， ABC90 ，ABBC， CBEABO90 ， BCEABO， 在VABO 与VBCE中， AOBBECABOBCEABBC ， ()ABOBCE AAS， BEAO，CEBO， 点 A的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（0，1） ， BEAO3，CEBO1， OEBOBE4， 点 C的坐标为（1，4） ， 故答案为： （1，4）
46、； （2）证明：如图，将VABC沿着 AC 翻折得到VAGC，分别过点 C，点 G作坐标轴的垂线，与坐标轴的交点记为点 E，点 H，两条垂线相交于点 F，连接 OF，交 AC 于点 P， 由（1）得ABOBCEVV， VABC 为等腰直角三角形，VABC 沿着 AC翻折得到VAGC， VAGC 为等腰直角三角形， 同理可得ABOBCECGFGAH， AOBECFGH，BOCEGFHA， AOAHGHGF， 即OHHF， HOFHFO ， 又90FHO， 45HOPHFP， OD平分AOB交 AC于 D， 1452AODAOB， 点 D与点 P是同一个点， EFy 轴，x轴y 轴， EF/x 轴
47、， FCAOAC ， 在VAPO 与VCPF中， APOCPFOAPFCPAOCF， ()APOCPF AAS， APCP， 即ADCD； （3）解：如图，过点 C作 CEx 轴于点 E， 由（1）可得：ABOBCEVV， BEAO，CEBO， 设点 B的坐标为（0，a） ， 又点 A坐标为（3，0） ， BEAO3，CEBOa， OEBOBE3a， 点 C的坐标为（a，a3） ， 点 C在直线 yx3 的图象上， 如图，设直线 yx3与 x 轴交于点 M，作点 O关于直线 yx3 的对称点 N，连接 AN，交直线 yx3于点 C1，连接 OC1， 点 O与点 N关于直线 yx3 对称， 11
48、OCNC， 1111ACOCACNCAN， 两点之间线段最短， 当点 C 位于点 C1时，ACOC 取得最小值，此时对应的图形如下： 如图，连接 MN， 将 x0 代入 yx3，得 y3；将 y0代入 yx3，得 x3； 点 M（3，0） ，点 Q（0，3） ， OMOQ3， 又MOQ90 ， OMQOQM45 ， 点 O与点 N关于直线 yx3 对称， NMQOMQ45 ，NMOM3， OMNNMQOMQ90 ， 点 N的坐标为（3，3） ， 设直线 AN的解析式为 ykx+b， 将 N（3，3） ，A（3，0）代入， 得：3330kbkb， 解得：1232kb ， 直线 AN为1322yx ， 将1322yx 与 yx3联立方程，得： 13322xx ， 解得：1x， CE1， BOCE1， 点 B的坐标为（0，1） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，以及一次函数的应用，灵活运用相关知识并能作出正确的辅助线是解决本题的关键
