1、大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题（理）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则AB C D2. 若复数，则的虚部为ABCD 3. 命题“，”的否定是A，B，C，D，4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，下列说法正确的是 A.甲成绩的中位数为32 B.乙成绩的极差为40 C.甲乙两人成绩的众数相等 D.甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C.
2、 D. 6. 与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为A BCD7. 函数的最大值为A. B. C. D.8. 已知等差数列中，为其前项和，则A. B. C. D.9. 已知向量，下列说法正确的是A，与的夹角不小于 B，C，使得 D，使得 10. 定义新运算“” ：，则下列计算错误的是A B C. D. 11. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆. 若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为A
3、B C D 12. 设，其中是自然对数的底数，则A B CD 第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13. 抛物线的焦点坐标为,则的值为 .14. 若实数满足不等式组，则的最大值为 .15. 在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为 .16. 如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成（不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是 .平面存在某个位置，使得线段长度为定值当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表
4、面积是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和18.（本小题满分12分）国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究在2020年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江）作为一个整体在所有参测国家（地区）中取得各项科目都第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名学生进行调研，得到如下统计数据：成绩优
5、秀成绩一般总 计家长高度重视学生教育90家长重视学生教育程度一般30总 计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测学生中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的学生的概率为（）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（）现从成绩优秀的学生中按照分层抽样的方法抽取20人进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为，求的分布列和数学期望附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.
6、0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，平面，四边形为直角梯形，（）证明：；（）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值的绝对值20.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率为. 椭圆的左、右顶点分别为，且.（）求椭圆的标准方程；（）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（）当时，证明：；（）是否存在不相等的正实数，满足，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23二题中任选一题做
7、答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线与曲线公共点的极坐标；（）若点的极坐标为，设曲线与轴相交于点，点在曲线上，满足，求出点的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（）求不等式的解集；（）设函数的最小值为，若实数，满足，求的最大值参考答案一二13 14 15 16 17解：（1）由成等差数列，设公差为,则3分；6分（2）由（1）可得，8分
8、10分12分18解：（1）由条件知，解得，.2分由题意得，.4分有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关.6分（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人由题意，的所有可能取值为0，1，2，3.7分， .9分的分布列为0123.10分数学期望.12分19. 解（1）证明：由题意易知作，垂足为H，则，故 2分，则由平面平面，则 4分平面平面，且， 平面 5分由平面，则 6分（2）解：因为，且，所以以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
9、系.7分则，.8分从而8分设平面的法向量为 则令，得 9分设平面的法向量为，则令，得10分设二面角为，由图可知为锐角，则 12分20. 解：（）由离心率.且左右顶点间距离为，所以， .2分椭圆的标准方程为.4分（）由（）知，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得.6分设，则，由直线，令，得，同理， 8分以为直径的圆的方程为，即，由得，代入得圆的方程为.10分若圆过定点，则11分解得或以为直径的圆恒过两定点，.12分21.解（1）当时，即，也即.令，则.2分由得，.当时，是减函数；当时，是增函数.，所以原不等式成立. 4分（2）由及得，即.由于为不相等的正实数，则问题转
10、化为关于的方程有不等于1的正实根. .5分令，当时，若，则，若，则，当时，方程没有不等于1的正实根； 7分当时，令，得，当时，是减函数；当时，是增函数，的最小值为，又，当，即时，是函数唯一的零点，不合题意； 9分当，即时，.令，则，当时，是减函数，当时，是增函数，由此，显然. 10分在上存在零点.当，即时，则在上存在零点.11分 综上所述，的取值范围是. 12分22、解：（1）由题知，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，曲线消去参数得到曲线的直角坐标方程为，.2分联立与的直角坐标方程解得或，故两曲线的公共点的直角坐标为和， 3分曲线与曲线的公共点的极坐标为，； 5分（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，假设存在点满足条件，不妨设点，则 ，7分因为，所以，即，且，得，化简得，联立，得或，所以点或（舍） 9分即在曲线上存在点，使得10分23、解：（1）由题意，函数，由不等式，即不等式当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 3分综上可得，原不等式的解集为 5分（2）由，当且仅当，即时等号成立，所以6分由，则利用柯西不等式得，8分则，当且仅当时，的最大值为10分大庆市高三年级第一次教学质量检测理科数学试题 第 13 页 共 13 页
