1、8 8. .3.23.2 圆柱圆柱、圆锥圆锥、圆台圆台、球的表面积和体积球的表面积和体积 1两个球的体积之比为 827，那么这两个球的表面积之比为( ) A23 B49 C. 2 3 D. 8 27 答案 B 解析 由两球的体积之比为 827， 可得半径之比为 23， 故表面积之比是 49. 2轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A4 倍 B3 倍 C. 2倍 D2 倍 答案 D 解析 设该等边圆锥的半径为 R， 则母线 l2R， S底R2， S侧122R lRl2R2， S侧2S底 3我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，
2、所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式 d 316V9.如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为( ) A.8 B.6 C.481 D.16 答案 D 解析 由题意，得 r13，d23， 所以23 316V9， 解得 V16. 4已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2 23 B.4 23 C2 2 D4 2 答案 B 解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底
3、面半径和高都为 2，故所求几何体的体积 V2132 24 23. 5(多选)圆台的上、下底面半径分别为 10 和 20，它的侧面展开图扇环的圆心角为 180 ，则圆台的( ) A母线长是 20 B表面积为 1 100 C高是 10 2 D体积是7 000 33 答案 ABD 解析 如图所示，设圆台的上底面周长为 C，因为扇环的圆心角为 180 ， 所以 CSA，又 C102， 所以 SA20，同理 SB40， 故圆台的母线 ABSBSA20， 高 h AB22010210 3， 体积 V1310 3(1021020202)7 000 33， 表面积 S(1020)201004001 100.
4、6一个球的体积为 36，则该球的表面积为_ 答案 36 解析 设球的半径为 R，V球43R336，R3， S球4R236. 7一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心与截面圆圆心的距离为 4 cm，则球的体积为_cm3. 答案 5003 解析 如图所示， 由已知得 O1A3 cm，OO14 cm，从而 ROA5 cm. 所以 V球43 535003(cm3) 8 一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形， 则圆柱和圆锥的表面积之比为_，其体积之比为_ 答案 21 2 31 解析 S圆柱2a222a2 a32a2. S圆锥a22a2 a34a2. S圆柱S圆锥21.
5、 V圆柱a22 a4a3， V圆锥13a2232a324a3， V圆柱V圆锥4a3324a32 31. 9如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积 解 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，高为 h，表面积为 S. 则 ROC2，AC4，AO 42222 3，hAOAE 3. 如图所示，易知AEBAOC，AEAOEBOC， 即32 3r2，r1， S圆柱底2r22，S圆柱侧2r h2 3. SS圆柱底S圆柱侧22 3(22 3). 10某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中 r1，l3，试求该组合体的表面积和体
6、积 解 该组合体的表面积 S4r22rl41221310. 该组合体的体积 V43r3r2l 4313123133. 11.如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2 和 3，则该几何体的体积为( ) A5 B6 C20 D10 答案 D 解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱， 如图， 则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为 10. 12正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A1 3 B13 C13 3 D19 答案 C 解析 设正方体的棱长为 a，则其内切球的半径为a2， V内43a23a36， 正方体的外接球的半径为3
7、2a， V外4332a33a32， V内V外13 3. 13我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( ) (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) A2 寸 B3 寸 C4 寸 D6 寸 答案 B 解析 由已知得天池盆盆口半径为 14 寸，盆底半径为 6 寸， 则盆口面积为 196，盆底面积为 36， 又盆深 18 寸，盆中水深 9 寸， 则积水水面的半径为146210(寸)， 积水水面面积为 100， 积水的体积 V13(36 3610
8、0100)9588， 平地降雨量为5881963(寸) 14如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_ 答案 312 解析 设球的半径为 R，则 V圆柱R2 2R2R3， V圆锥13R2 2R23R3， V球43R3， 故 V圆柱V圆锥V球2R323R343R3 312. 15把底面半径为 8 cm 的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了 2.5 周，则圆锥的母线长为_ cm，表面积等于_ cm2. 答案 20 224 解析 设圆锥的母线长为 l，如图，以 S 为圆心，S
9、A 为半径的圆的面积 Sl2. 又圆锥的侧面积 S圆锥侧rl8l. 根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了 2.5 周， l22.58l， l20 cm. 圆锥的表面积 SS圆锥侧S底82082224(cm2) 16.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？ 解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有 V圆锥V半球， 而 V半球124343，V圆锥1342h， 则有1342h124343，解得 h8， 即当圆锥形杯子的高大于或等于 8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子 又因为 S圆锥侧4 h216， 所以当高为 8 cm 时，制作的杯子最省材料，材料最省为 16 5 cm2.
