1、第二课时第二课时 向量的数量积向量的数量积( (二二) ) 基础达标 一、选择题 1.设非零向量 a，b，c 满足|a|b|c|，abc，则 a 与 b 的夹角 为( ) A.150 B.120 C.60 D.30 解析 由|a|b|c|且 abc，得|ab|b|， 平方得|a|2|b|22a b|b|2，2a b|a|2， 即 2|a|b|cos |a|2，cos 12，又 0 180 ，120 . 答案 B 2.已知|a|1， |b|1， |c| 2， a 与 b 的夹角为 90 ， b 与 c 的夹角为 45 ， 则 a(b c)的化简结果是( ) A.0 B.a C.b D.c 解析
2、b c|b|c|cos 45 1.a(b c)a. 答案 B 3.已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则实数 等于( ) A.32 B.32 C.32 D.1 解析 3a2b 与 ab 垂直，(3a2b) (ab)3a2(23)a b2b23a22b212180，32. 答案 A 4.已知 a，b 方向相同，且|a|2，|b|4，则|2a3b|( ) A.16 B.256 C.8 D.64 解析 |2a3b|24a29b212a b1614496256，|2a3b|16. 答案 A 5.若向量 a 与 b 的夹角为 60 ，|b|4，(a2b) (a3b)72，则|a
3、|( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析 (a2b) (a3b)72， a2a b6b272， |a|2|a|b|cos 60 6|b|272， |a|22|a|240， 解得|a|6 或|a|4.又|a|0，|a|6. 答案 C 二、填空题 6.已知向量 a，b 满足(a2b) (5a4b)0，且|a|b|1，则 a 与 b 的夹角 为_. 解析 (a2b) (5a4b)0，|a|b|1， 6a b850，即 a b12. 又 a b|a|b|cos cos ，cos 12. 0，3. 答案 3 7.已知非零向量 a，b，满足 ab，且 a2b 与 a2b 的夹角为 120 ，则|a
4、|b|_. 解析 ab，a b0， |a2b|a24a b4b2 a24b2， |a2b|a24a b4b2 a24b2， (a2b) (a2b)a24b2 a24b2a24b2 cos 120 ， 化简得32a22b20， |a|b|2 33. 答案 2 33 8.已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b (ab)0，则|b|的取值范围是_. 解析 当 b0 时，符合题意；当 b0 时，b (ab)a b|b|2|a|b|cos |b|20，|b|a|cos cos ( 为 a 与 b 的夹角)，又 0，0|b|1. 答案 0，1 三、解答题 9.已知|a|4，|b|8，a 与 b
5、 的夹角是 60 ，计算： (1)(2ab) (2ab)；(2)|4a2b|. 解 (1)(2ab) (2ab)(2a)2b24|a|2|b|2 442820. (2)|4a2b|2(4a2b)216a216a b4b2 16421648cos 60 482256. |4a2b|16. 10.已知|a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61. (1)求|ab|； (2)求向量 a 在向量 ab 方向上的投影向量的模. 解 (1)(2a3b) (2ab)4a23b24a b416394a b61， 解得 a b6， |ab|2a2b22a b1691213， |ab| 13. (2)设 a
6、与 ab 的夹角为 ， a (ab)a2a b10， cos 104 1352 13，则 a 在 ab 方向上的投影向量的模为|a|cos 452 1310 1313. 能力提升 11.若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足(OBOC) (OBOC2OA)0，则ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析 因为(OBOC) (OBOC2OA)0， 即CB(ABAC)0， 又因为ABACCB， 所以(ABAC) (ABAC)0， 即|AB|AC|， 所以ABC 是等腰三角形. 答案 A 12.已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它
7、们相互之间的夹角为 120 . (1)求证：(ab)c； (2)若|kabc|1(kR)，求 k 的取值范围. (1)证明 因为|a|b|c|1， 且 a，b，c 之间夹角均为 120 ， 所以(ab) ca cb c |a|c|cos 120 |b|c| cos 120 0， 所以(ab)c. (2)解 因为|kabc|1， 所以(kabc) (kabc)1， 即 k2a2b2c22ka b2ka c2b c1. 因为 a ba cb ccos 120 12， 所以 k22k0，解得 k2， 即 k 的取值范围是(，0)(2，). 创新猜想 13.(多选题)已知正三角形 ABC 的边长为 2
8、，设AB2a，BCb，则下列结论正确的是( ) A.|ab|1 B.ab C.(4ab)b D.a b1 解析 由题意知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角是 120 ，故 B 结论错误；(ab)2|a|22a b|b|23，|ab| 3，故 A 结论错误；(4ab) b4a bb2412cos 120 40，(4ab)b，故 C 结论正确；a b12cos 1201，故 D 结论正确. 答案 CD 14.(多空题)若|a|1， |b|2， cab 且 ca， 则向量 a 与 b 的夹角为_，(ab) c_. 解析 由 ca 得，a c0，所以 a ca (ab)0，即 a2a b0.设向量 a 与 b的夹角为 ，则 cos a b|a|b|a2|a|b|12，又 0 180 ，所以向量 a 与 b 的夹角 120 . (ab) c(ab) (ab)a2b2143. 答案 120 3
