1、20212022 学年度第一学期期中学情调研九年级数学学年度第一学期期中学情调研九年级数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上） 上） 1. 已知 x=2是关于 x 的一元二次方程 x2+ax=0的一个根，则 a 的值为( ) A. -2 B. 2 C. 12 D. 12 2. 某次器乐比赛设置了 6 个获奖名额，共有 11 名选手参
2、加，他们的比赛得分均不相同若知道某位选手的得分，要判断他能否获奖，只需知道比赛得分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 用配方法解方程2250 xx时，原方程应变形为（ ） A 2(1)6x B. 2(1)6x C. 2(1)9x D. 2(1)9x 4. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200元降到 160 元设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为（ ） A. 200（1x）2160 B. 200（1x）2160 C. 160（1x）2200 D. 160（1x）2200 5. 已知O的半径为 4，直线 l上有一点 M若 OM4，则直线 l与O
3、的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离或相交 C. 相离或相切 D. 相交或相切 6. 如图，AB 是O 的直径，AB4，C 为半圆 O的三等分点（靠近点 A） ，P为O上一动点若 D为 AP的中点，则线段 CD的最小值为（ ） A. 31 B. 2 C. 31 D. 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填分不需写出解答过程，请把答案直接填写在写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 7. 方程230 xx的根为_ 8. 已知一组数据为 1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_ 9. 如图，AB
4、、AC、BD是O 的切线，切点分别为 P、C、D若 AB8，AC5，则 BD的长是_ 10. 在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球个数为_ 11. 若 x1、x2是一元二次方程 x22x10的两个实数根，则 x1x22x1x2的值为_ 12. 如图，在O中，CD是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC若O的半径为 2cm，BCD30 ，则 AB_cm 13. 用半径为 30，圆心角为 120 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_ 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，
5、O为正多边形的中心，若18ADB，则这个正多边形的边数为_ 15. 如图，在 ABC中，ABAC，O是 ABC 的外接圆，D是AC上一点，连接 CD 并延长至点 E，使得 AEAD若BDC20 ，则E_ 16. 已知O的半径 OA1，弦 AB 的长为2若在O 上找一点 C，使 AC3，则BAC_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （x3）290； （2）x22x30 18. 已知关于 x
6、 的方程 x2kx20 （1）求证：不论 k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 2，求它的另一个根 19. 某公司对消费者进行了随机问卷调查，共发放 1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况） ： 年收入/万元 3 8 10 20 50 被调查消费者数/人 100 500 300 50 50 （1）根据表中数据，被调查的消费者平均年收入为多少万元? （2）被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是 和 万元 （3）在平均数、中位数这两个数据中，谁更能反映被调查的消费者的收入水平?请说明理由 20
7、. 一天晚上,小明帮助姐姐清洗两套只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，请用列表法或树形图法求出颜色搭配正确的概率 21. 如图，OAOB13cm，AB24cm，O直径为 10cm求证：AB是O的切线 22. 如图，已知 P是O上一点，用两种不同的方法过点 P 作O 的一条切线 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明 23. 某商店经销某种商品，每件成本为 40元调查表明，这种商品的售价为 50 元时，可售出 200 件；售价每增加 1 元，其销售量将减少 10 件为了实现 2000元的销售利润，这种商品的售价应定为多少
8、元? 24. 如图，AB、CD 是O的两条弦，ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F求证：OEOF 25. 如图，在一块长 60m、宽 30m的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度之比为 3：2，余下的地面铺草坪要使草坪面积达到 600m2，求横、竖道路的宽 26. 如图，四边形 ABCD是Oe的内接四边形，ACBD，OFAB，垂足分别是 E、F （1）直接写出 OF与 CD的数量关系 ，并证明你的结论 （2）若2AB ，1CD求Oe的半径 27. 如图，在矩形 ABCD中，AB4，BC6E 为射线 CB 上一动点，以 DE为直径O交 AD于点 F，过点 F作 FGAE
9、于点 G （1）若 E 为 BC的中点，求证：FG为O的切线； （2）若 CEm，请直接写出O与线段 AB 的交点个数及相应的 m的取值范围 20212022 学年度第一学期期中学情调研九年级数学学年度第一学期期中学情调研九年级数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置答题卡相应位置上） 上） 1. 已知 x=2是关于 x 的一元二次方程 x2+ax=
10、0的一个根，则 a 的值为( ) A. -2 B. 2 C. 12 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】把 x=2代入 x2+ax=0，即可求解. 【详解】x=2是关于 x一元二次方程 x2+ax=0的一个根， 2220a，解得：a=-2. 故选 A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键. 2. 某次器乐比赛设置了 6 个获奖名额，共有 11 名选手参加，他们的比赛得分均不相同若知道某位选手的得分，要判断他能否获奖，只需知道比赛得分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】11 个不同的
11、分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 6 个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了 故选 C 3. 用配方法解方程2250 xx时，原方程应变形为（ ） A. 2(1)6x B. 2(1)6x C. 2(1)9x D. 2(1)9x 【答案】A 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上 1变形即可得到结果 【详解】方程移项得：x22x5， 配方得：x22x16， 即（x1）26 故选：A 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 4. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200元降到 160 元设平均每次降价的百分率为 x，根
12、据题意可列方程为（ ） A. 200（1x）2160 B. 200（1x）2160 C. 160（1x）2200 D. 160（1x）2200 【答案】A 【解析】 【分析】根据某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 200 元降到 160 元，平均每次降价的百分率为 x，可以列出相应的方程，本题得以解决 【详解】解：由题意可得， 200（1-x）2=160， 故选：A 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程 5. 已知O的半径为 4，直线 l上有一点 M若 OM4，则直线 l与O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离或相交
13、 C. 相离或相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系解答 【详解】解：O的半径为 4，直线 l上有一点 MOM4， 直线 l与O 的位置关系是相交或相切， 故选：D 【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离；等于半径时，直线与圆相切；小于半径时，直线与圆相交，熟记三种关系的判断方法是解题的关键 6. 如图，AB 是O 的直径，AB4，C 为半圆 O的三等分点（靠近点 A） ，P为O上一动点若 D为 AP的中点，则线段 CD的最小值为（ ） A. 31 B. 2 C. 31 D. 4 【答案】A 【解析】 分析】连接 OD，
14、以 AO为直径作圆 G，过 G作 GFOC 于 F，求出 OCOA2，求出 OG、OF、CF 长，根据勾股定理求出 CG，再根据两点之间线段最短得出 CDCG-GD，再求出答案即可 【详解】解：直径 AB4， COAO2， 连接 OD，以 AO为直径作圆 G，过 G 作 GFOC于 F， D 为 AP 的中点，OD 过 O， ODAP， 即点 D在G 上，GD12OA1， OG1， 点 C为半圆 O 的三等分点（更靠近 A 点） ， AOC60， FGO30， OF12OG12，GF3OF132， CFOCOF21232， 由勾股定理得：CG22GFCF2213(3)( )223， CDCG-
15、GD， CD3-1， CD的最小值是3-1， 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，三角形的三边关系定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填分不需写出解答过程，请把答案直接填写在写在答题卡相应位置答题卡相应位置上）上） 7. 方程230 xx的根为_ 【答案】120,?3xx. 【解析】 【详解】试题分析：x（x3）=0 解得：1x=0，2x=3 考点：解一元二次方程 8. 已知一组数据为 1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_ 【
16、答案】2 【解析】 【详解】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案 由平均数的公式得： （1+2+3+4+5） 5=3， 方差=（13）2+（23）2+（33）2+（43）2+（53）2 5=2 考点：方差 9. 如图，AB、AC、BD是O 的切线，切点分别为 P、C、D若 AB8，AC5，则 BD的长是_ 【答案】3 【解析】 【分析】由 AB、AC、BD是O的切线，则 ACAP，BPBD，求出 BP 的长即可求出 BD 的长 【详解】解：AC、AP为O 的切线， ACAP， BP、BD 为O的切线， BPBD， BDPBABAP853 故答案为：3 【点
17、睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键 10. 在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球个数为_ 【答案】24 【解析】 【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解. 【详解】1213=36（个） ， 36-12=24（个） ， 答：黄球个数为 24 个. 故答案是：24. 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键. 11. 若 x1、x2是一元二次方程 x22x10的两个实数根，则 x1x22x1x2的值为_ 【答案】
18、0 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【详解】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=2，x1x2=-1， x1x22x1x2=2210 ， 故答案为 0 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系 12. 如图，在O中，CD是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC若O的半径为 2cm，BCD30 ，则 AB_cm 【答案】2 3 【解析】 【分析】连接 OB，根据垂径定理求出 BE=12AB，求出BOE=60 ，解直角三角形求出 BE即可 【详解】解： 连接 OB， OC=OB，BCD=30 ， BCD=CBO=30 ， BOE=BCD+CBO=60
19、 ， 直径 CD弦 AB， BE=12AB，OEB=90 ， 3sin60232BEOB g ， 2 3AB ， 故答案为：2 3 【点睛】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，掌握垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形是解此题的关键 13. 用半径为 30，圆心角为 120 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_ 【答案】10 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， 则120302180rg， 解得：10r ， 故圆锥的底面半径为 10 故答案为：10 【点睛】本题考查了圆锥的
20、计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18ADB，则这个正多边形的边数为_ 【答案】10 【解析】 【分析】连接 AO,BO，根据圆周角定理得到AOB=36 ，根据中心角的定义即可求解 【详解】如图，连接 AO,BO， AOB=2ADB=36 这个正多边形的边数为36036=10 故答案为：10 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理 15. 如图，在 ABC中，ABAC，O是 ABC 的外接圆，D是AC上一点，连接 CD 并延长至点 E，使得 AEAD若BDC20
21、 ，则E_ 【答案】80 【解析】 【分析】由同弧的圆周角相等得出BACBDC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出ABCACB 的度数，由圆内接四边形性质得出ADC 的度数，由补角的性质得出ADE 的值，进而得出E的度数 【详解】解：BDC20 ， BAC20 ， ABAC， ABCACB80 ， ADC180 80 100 ， AEAD， EADE180 -100=80 ， 故答案为：80 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练各性质定理是解题的关键 16. 已知O的半径 OA1，弦 AB 的长为2若在O 上找一点 C，
22、使 AC3，则BAC_ 【答案】15或 75 【解析】 【分析】构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得BAO 和CAO，再求出BAC 的度数即可 【详解】解：如图，过点 O作 OEAB，OFAC，垂足分别为 E，F， AB2，AC3， 由垂径定理得，AE22 ，AF32， OA1， 由勾股定理得 OE22，OF12 ， BAO45， OF12OA， CAO30， BAC75， 当 AB、AC 在半径 OA同旁时，BAC15 故答案为：15或 75 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此题的关键是将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
23、11 小题，共小题，共 88 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （x3）290； （2）x22x30 【答案】 （1）x16，x20； （2）x13，x21 【解析】 【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可； (2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可. 【详解】(1)解： (x33)(x33)0 (x6)x0， x60或 x0， x16，x20 (2)解： (x3)(x1)0， x30或 x10， x13，x21
24、 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键. 18. 已知关于 x 的方程 x2kx20 （1）求证：不论 k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 2，求它的另一个根 【答案】 （1）见解析； （2）它的另一个根为1 【解析】 【分析】 （1）求判别式 b24ack280 即可证明； （2）利用根与系数的关系即可求解 【详解】(1) a1 ，bk ，c2 ， b24ack28 ， 不论 k取何实数，k20 ， k280即 b24ac0 ， 不论 k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2) a1 ，c2， x12，
25、 x1gx22， 2x22， x21， 另一个根为1 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键 19. 某公司对消费者进行了随机问卷调查，共发放 1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况） ： 年收入/万元 3 8 10 20 50 被调查的消费者数/人 100 500 300 50 50 （1）根据表中数据，被调查的消费者平均年收入为多少万元? （2）被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是 和 万元 （3）在平均数、中位数这两个数据中
26、，谁更能反映被调查的消费者的收入水平?请说明理由 【答案】 （1）10.8； （2）8， 8； （3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据加权平均数概念：若 n 个数1x，2x，nx的权分别是1w，2w，nw，那么112212nnnx wx wx wxwwwL LL L叫做这 n个数的加权平均数，进行求解即可； （2）根据中位数和众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，进行求解即可 （3）根据平均数与众位的区别进行分析可得出结论
27、 【详解】解： （1）3 1008 500 10 30020 5050 5010.81000 x （万元） ， 答：被调查的消费者平均年收入为 10.8万元； （2） 将这组数据按照由小到大排列， 由于有偶数个数， 所以取中间两个数的平均数， 第 500、 501位都是 8，所以被调查的消费者年收入的中位数 8万元； 年收入是 8 万元的消费者人数是 500 人，人数最多，所以被调查的消费者年收入的众数是 8 万元； （3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平，理由如下： 虽然平均数，中位数均能反映一组数据的集中程度，但平均数易受极端数值影响，所以中位数更能反映被调查的消费者的收入水平 【点
28、睛】本题考查了利用图表获取信息的能力，解题的关键是理解平均数、中位数以及众数的意义以及区别与联系 20. 一天晚上,小明帮助姐姐清洗两套只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，请用列表法或树形图法求出颜色搭配正确的概率 【答案】如图： 所以颜色搭配正确的概率 P=2142 【解析】 【分析】列举出所有情况，看两个球颜色相同的情况数占总情况数的多少即可 【详解】画树状图如下： 所以一共有 4种情况，颜色搭配正确有 2 种 所以，颜色搭配完全正确概率 P=2142. 【点睛】考查了树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 21. 如图，OAOB
29、13cm，AB24cm，O 的直径为 10cm求证：AB 是O的切线 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点 O作 OCAB，垂足为点 C，由条件求出 OC，根据切线的判定方法判断即可； 【详解】过点 O作 OCAB，垂足为点 C， OAOB， AB24， AC12AB12， 在 RtOAC中，OC22OAAC5， O的直径为 10cm， O半径 r为 5cm， OCr ， AB 是O的切线 【点睛】本题考查的是切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键 22. 如图，已知 P是O上一点，用两种不同的方法过点 P 作O 的一条切线 要求： （1）用直尺和圆规作图；
30、（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明 【答案】见详解 【解析】 【分析】方法一：作射线 OP，过点 P 作直线lOP，根据切线的判定定理，可知l是O 的切线 方法二：作直径 AP，作直径 AP 所对的圆周角B，过点 P 作BPC 使BPC与A在 BP 的两侧且BPCA，作直线 PC，证90APC，由切线的判定定理得出直线 PC 是O 的切线 【详解】 解： 方法一： 如图 1 中， 连接 OP， 以 OP 为直径作圆交O于 D， 作直线 PD， 直线 PD即为所求 如图所示 方法二：如图 2，作直径 AP，作直径所对的圆周角B，过点 P 作BPC 使BPC与A在 BP 的两侧且BPCA，过点
31、 C 作直线l，则直线l即为所作的切线 【点睛】本题考查了尺规作图，过一点作已知直线的垂线，作一个角等于已知角，切线的判定，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角 23. 某商店经销的某种商品，每件成本为 40 元调查表明，这种商品的售价为 50 元时，可售出 200件；售价每增加 1 元，其销售量将减少 10 件为了实现 2000元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元? 【答案】50 元或 60 元 【解析】 【分析】设这种商品的售价应定为 x 元，则每件利润为(40)x元，可销售(700 10 ) x件，利用销售总利润等于每件利润乘以销售数量，即可得出关于
32、x的一元二次方程，解方程即可得到答案 【详解】解：设这种商品的售价应定为 x 元, 根据题意列方程得：(40) 200 10(50)2000 xx , 整理得：2x110 x30000， 解得：150 x ，260 x ， 答:这种商品的售价应定为 50 元或 60元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程 24. 如图，AB、CD 是O的两条弦，ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别为 E、F求证：OEOF 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别连接 OA、OC，证明 RtAEORtCFO，可得 OEOF 【详解】分别连接 OA、OC， ABCD， AB
33、CD， OEAB，OFCD， AE12 AB，CF12 CD，AEOCFO90 ， AECF ， 又OAOC， RtOAERtOCF（HL） ， OEOF 【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 25. 如图，在一块长 60m、宽 30m的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度之比为 3：2，余下的地面铺草坪要使草坪面积达到 600m2，求横、竖道路的宽 【答案】横、竖道路的宽分别为 15m，10m 【解析】 【分析】根据题意找到等量关系列出方程求解即可 【详解】解：设横竖道路的宽分别为 3xm，2xm
34、根据题意列方程得：(604x)(303x)600 ， (x5)(x20)0， x 15，x220， 当 x15，303x0，x15符合题意 当 x220，303x0，x220不合题意舍去 3x15，2x20 ， 答：横、竖道路的宽分别为 15m，10m 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程 26. 如图，四边形 ABCD是Oe的内接四边形，ACBD，OFAB，垂足分别是 E、F （1）直接写出 OF与 CD的数量关系 ，并证明你的结论 （2）若2AB ，1CD求Oe的半径 【答案】 （1）12OFCD，证明见解析； （2）O的半径为52 【解析】
35、【分析】（1） 连接 AO 并延长交Oe于点 G， 连接 CB、 BG， 根据点 OF分别是 AGAB中点， 得到 OF 是ABGV的中位线，则有12OFBG，再根据同弧所对的圆周角相等可得AGBECB，直径所对的圆周角是直角可得90ABG，则有90BAGAGB，根据ACBD，90ECBEBC，从而可得BAGEBC，BGCD，继而可得12OFCD； （2）在Rt AOFV中，根据勾股定理可求得Oe的半径 【详解】解： （1）12OFCD， 理由如下： 连接 AO 并延长交Oe于点 G，连接 CB、BG， OFAB， AFBF， AOGO， OF是ABGV的中位线， 12OFBG， AG是Oe的
36、直径， 90ABG， 90BAGAGB， ACBD， 90CEB， 90ECBEBC， AGBECB， BAGEBC， 即BAGEBC， BGCD， 12OFCD； （2）由（1）得：1122OFCD，112AFBFAB， 在Rt AOFV中，2222151( )22OAAFOF， Oe的半径为52 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间关系，解题的关键是能够作辅助线构造以 OF 为中位线的三角形 27. 如图，在矩形 ABCD中，AB4，BC6E 为射线 CB 上一动点，以 DE为直径的O交 AD于点 F，过点 F作 FGAE于点 G （1）若 E 为 BC的中点
37、，求证：FG为O的切线； （2）若 CEm，请直接写出O与线段 AB 的交点个数及相应的 m的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）当 0m163或 m6 时，O 与线段 AB 没有交点；当 m163时，O 与线段AB 只有 1个交点；当163m6 时，O与线段 AB 有 2个交点 【解析】 【分析】 （1）连接 EF、OF，根据矩形的性质可证得CDEBAE，由此可得CEDBEA，进而可证得 OFEA，再结合 FGAE 即可证得 FG 为O的切线； （2）先分别求出O与线段 AB相切以及O 经过点 B 这两种特殊情况时的 m的值，进而分别画出相应图形进行分类讨论即可求得答案 【详解】 （1
38、）证明：如图，连接 EF、OF， 四边形 ABCD是矩形， BC90 ，CDBA，CBDA， E为 BC 的中点， CEBE， 在CDE与BAEV中， CDABCBCEBE ， ()CDEBAE SAS， CEDBEA， 又CBDA， CEDEDA，BEAEAD， EDAEAD， ODOF， ODFOFD， OFDEAD， OFEA， 又FGAE， OFFG， 点 F在O上， FG是O的切线； （2）解：如图，当O 与线段 AB 相切于点 H 时，连接 HO 并延长交 CD于点 M， O与线段 AB相切， OHAB， 四边形 ABCD是矩形， CDAB， OMCD， DMCM12CD2， 设
39、ODOHx，则 OM6x， 在Rt DOMV中，222OMDMOD， 222(6)2xx， 解得：103x ， OM6x83， 点 M、O 分别为 CD、DE 的中点， OM 是CDE的中位线， OM12CE83， CEm， m283163， 当 m163时，O与线段 AB 只有 1个交点， 当 0m163，O与线段 AB没有交点， 如图，当点 E 与点 B 重合时，CECB6，即 m6，此时O与线段 AB有 2个交点， 如图，当163CE6时，即163m6，此时O 与线段 AB有 2个交点， 如图，当点 E 在点 B 的右侧时，CECB6，即 m6，此时O 与线段 AB没有交点， 综上所述：当 0m163或 m6时，O 与线段 AB没有交点； 当 m163时，O与线段 AB只有 1 个交点； 当163m6时，O与线段 AB 有 2 个交点 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的性质以及圆与线段的交点个数，能够根据题意画出相应图形进行分类讨论是解决（2）的关键
