1、20212022 学年九年级（上）期中数学试卷学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1. 方程（x1） （x+2）0 的两根分别为（ ） A. x11，x22 B. x11，x22 C. x11，x22 D. x11，x22 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是菱形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 3. 根据下表： x 3 2 1 4 5 6 x bx5
2、 13 5 1 1 5 13 确定方程 x bx50 的解的取值范围是（ ） A. 2x1 或 4x5 B. 2x1 或 5x6 C. 3x2 或 5x6 D. 3x2 或 4x5 4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽概率估计值（精确到 0.01）是（ ） A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90 5.
3、2021年 5月 11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长第五次人口普查全国总人口约 12.95亿，第七次人口普查全国总人口约 14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 212.95 114.11x B. 212.95 114.11x C. 212.95 1214.11x D. ()12.95 1 211=14.x+ 6. 如图，已知在ABC中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE/BC，EF/AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB等于（ ） A. 3：8 B. 5：8
4、C. 3：5 D. 2：5 7. 如图，在正方形 ABCD外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE相交于点 F，则BFC 为（ ） A. 75 B. 60 C. 55 D. 45 8. 如图，在正方形 ABCD中，以 BC边作等边BPC，延长 BP，CP 分别交 AD于点 E，F，连接 BD、DP、BD与 CF 相交于点 H，给出下列结论： AE12CF；BPD135； PDEDBE； ED2EPEB；其中正确的是（ ） A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9. 若a
5、b34，则abb_. 10. 若关于 x的方程 2x23xc0有两个不相等的实数根，则 c 的取值范围为_ 11. 儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有 6 个红球和若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有 300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票 60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是_个 12. 如图， 矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O， AOD=60 ，AB=23，AEBD 于点E， 则OE长_ 13. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB，她调整自己的位置，设法
6、使斜边 DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条边 DE8cm，DF10cm，测得边 DF离地面的高度 AC1.5m，CD8m，则树高 AB_m 14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用 例如：求代数式 x2+4x+5的最小值？解答过程如下： 解：x2+4x+5x2+4x+4+1（x+2）2+1 （x+2）20， 当 x2 时， （x+2）2的值最小，最小值是 0， （x+2）2+11， 当（x+2）20时， （x+2）2+1 的值最小，最小值是 1， x2+4x+5 的最小值为 1 根据上述方法，可求代数式x26x12有最_（填“大
7、”或“小”）值，为_ 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 现有一个四边形木块，且A为直角，现要利用这块木块截一个正方形 ABCD，使其对角线长等于已知线段a请在图中作出这个正方形 四、解答题（本题共有四、解答题（本题共有 9 道题，满分道题，满分 74 分）分） 16. （1）解一元二次方程：x22x20（配方法） （2）3x2+5（2x+1）0 （3）若关于 x的一元二次方程 x22xk20 有一个根为3，则 k 的值是多少？另一个根是多少？ 17. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气现有电影票一张，明明
8、和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有 游戏规则是： 在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字 1、 2、 3、 4、 5、 6 明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是 3 的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜 （1）用画树状图或列表方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由 18. 如图，在YABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC的中点，EFAC于点 O 求证：四边形 AFCE 是菱形 19. 如图，某小区居委会打算把一块长 20m，宽 8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花
9、圃的面积是 126m2请计算花砖路面的宽度 20. 如图，在ABC中，AB4，BC8，AC6，ABCD，BD 是ABC 的角平分线，BD 交 AC 与点 E，求 AE的长 21. 如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且EACDAC （1）求证：OAOE； （2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论 22. 2022年 2 月 4 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件 40元，据市场分析，若按每件 50元销售，一个月能售出 500件；销售单价
10、每涨 2 元，月销售量就减少 20 件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到 8000元 （2） 商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下， 使得月销售利润达到 8000元， 则销售定价应为多少元？ 23. 【问题提出】用 n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论 探究一：如图 1，一个圆能把平面分成 2 个区域 探究二：用 2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图 2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 1
11、个圆有 2个交点，将新增加的圆分成 2部分，从而增加 2 个区域，所以，用 2个圆最多能把平面分成 4 个区域 探究三：用 3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图 3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 2个圆分别有 2个交点，将新增加的圆分成2 24部分，从而增加 4个区域，所以，用 3个圆最多能把平面分成 8个区域 （1）用 4 个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图 （2） 【一般结论】用 n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n)1个圆分别有 2个交点，将新增加的圆分成_部分，从而增加_个
12、区域，所以，用 n个圆最多能把平面分成_个区域 （将结果进行化简） （3） 【结论应用】 用 10个圆最多能把平面分成_个区域； 用_个圆最多能把平面分成 422个区域 24. 在菱形 ABCD中，对线 AC，BD交于点 O，且 AC=16cm，BD=12cm；点 P 从点 B出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；点 Q 从点 D出发，沿 DO方向匀速运动，速度为 1cm/s；若 P，Q 两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动 过点 Q作 EFBD，交 AD于点 E，交 CD于点 F，设运动时间为 t（s） 解答下列问题： （1）求菱形的边长，并用含 t 的代数式表示
13、 DE 的长度； （2）当 t为何值时，线段 PEAB? （3）设四边形 CFEP的面积为 S（cm2） ，求 S 关于 t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻 t，使得以 B，P，Q为顶点三角形是等腰三角形？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由 20212022 学年九年级（上）期中数学试卷学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1. 方程（x1） （x+2）0 的两根分别为（ ） A. x11，x22 B. x11，x22 C. x11，x22 D. x11，x22 【答案】D
14、【解析】 【分析】利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【详解】解：方程（x-1） （x+2）=0， 得到 x+1=0 或 x+2=0， 解得：x1=-1，x2=-2 故选：D 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是菱形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断
15、即可 【详解】解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故 A选项为假命题，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，故 B 选项为假命题，不符合题意； C、平行四边形中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意； D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故 D 选项为真命题，符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 3. 根据下表： x 3 2
16、 1 4 5 6 x bx5 13 5 1 1 5 13 确定方程 x bx50 的解的取值范围是（ ） A. 2x1 或 4x5 B. 2x1 或 5x6 C. 3x2 或 5x6 D. 3x2 或 4x5 【答案】A 【解析】 【分析】根据 x bx5值的符号即可估算 x bx5=0的解 【详解】解：由表格可知：当 x2 时，x bx55， 当 x1时，x bx51， 关于 x的一元二次方程 x bx5=0 的一个解 x的范围是2x1， 同理，另一个解的范围是：4x5 综上，方程 x bx50的解的取值范围是：2x1 或 4x5 故选 A 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，
17、 解题关键是根据表格中的数据，确定解的取值范围 4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估计值（精确到 0.01）是（ ） A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90 【答案】B 【解析】 【分析】用频率估算概率，根据表格中的数据求解 【详解】解：由表格可知：当实验次数足够多时，发芽的频率逐渐稳定在 0.
18、95 附近， 可估算发芽的概率是 0.95， 故选：B 【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率 5. 2021年 5月 11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长第五次人口普查全国总人口约 12.95亿，第七次人口普查全国总人口约 14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 212.95 114.11x B. 212.95 114.11x C. 212.95 1214.11x D. ()12.95 1 211=14.x+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，第五次人口总数约
19、是 12.95亿，由于两次的增长率为x，可列出一元二次方程 【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，根据题意得： 212.95 114.11x， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，关键在于弄清题意，列出方程 6. 如图，已知在ABC中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE/BC，EF/AB，且 AD：DB=3：5，那么 CF：CB等于（ ） A. 3：8 B. 5：8 C. 3：5 D. 2：5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式推导即可 【详解】EF/AB， CFCE=CBCA， DE/BC
20、， CEBD=CAAB， CFBD=CBAB， 35DA=DB， BD5=AB8， 58CFBD=CBAB 故选：B 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是准确识图，列出比例式 7. 如图，在正方形 ABCD外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE相交于点 F，则BFC 为（ ） A. 75 B. 60 C. 55 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出BAE150 ，ABAE，由等腰三角形的性质和内角和得出ABEAEB15 ，再运用三角形的外角性质即可得出结果 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形， BAD90 ，ABAD，BAF45 ，
21、 ADE 是等边三角形， DAE60 ，ADAE， BAE90 60 150 ，ABAE， ABEAEB12（180150）15 ， BFCBAFABE45 15 60 ； 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 8. 如图，在正方形 ABCD中，以 BC为边作等边BPC，延长 BP，CP 分别交 AD 于点 E，F，连接 BD、DP、BD与 CF 相交于点 H，给出下列结论： AE12CF；BPD135； PDEDBE； ED2EPEB；其中正确的是（ ） A.
22、1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由BPC等边三角形，得出ABEDCF30 ，可得结论正确；证明DEPBED，可得结论正确；由FDPPBD15 ，PEDDEB 可得结论正确；进而可结论正确 【详解】解：BPC是等边三角形， BPPCBC，PBCPCBBPC60 ， 在正方形 ABCD中， ABBCCD，AADCBCD90 ABEDCF30 ， CDFBAEVV（ASA） ， AE12BE12CF；故正确； PCCD，PCD30 ， PDC75 ， FDP15 ， DBA45 ， PBD15 ， EDPEBD， DEPDEP， DEPBED， EPEDEDE
23、B，即 ED2EPEB，故正确； FDPPBD15 ，PEDDEB， PDEDBE，故正确； PBD15 ，PDB30 ， BPD135 ，故正确； 故选：D 【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9. 若ab34，则abb_. 【答案】74 【解析】 【分析】由比例的性质即可解答此题. 【详解】34ab， a=34b， abb=3744bbbbb ， 故答案为74 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这
24、个性质是解答此题的关键. 10. 若关于 x的方程 2x23xc0有两个不相等的实数根，则 c 的取值范围为_ 【答案】98c 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可以得出240bac，由此可得到关于 c的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【详解】解：关于 x的方程 2x23xc0有两个不相等的实数根， 24bac（3）24 2 （c）0， 解得：98c ， 故答案为：98c 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，本题属于基础题，难度不大，根据根的个数结合根的判别式得出不等式是关键 11. 儿童节期间，游乐场里有一种游戏的规则是：在一个装有 6 个红球和
25、若干白球（每个球除颜色外，其它都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得欢动世界通票一张，已知参加这种游戏的有 300人，游乐场为此游戏发放欢动世界通票 60张，请你通过计算估计袋中白球的数量是_个 【答案】24 【解析】 【详解】解：设袋中共有 m 个红球，则摸到红球的概率 P（红球）=66m，66m60300解得 m24，故答案为 24 12. 如图， 矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O， AOD=60 ，AB=23，AEBD 于点E， 则OE长_ 【答案】1 【解析】 【详解】四边形 ABCD为矩形， DAB=90 ，OA=OD， AOD=60 ， AOD 为等边三角形， A
26、DO=60 ，OA=AD， 在 RtADB中，AD=2 3233AB， AEBD， OE=DE=12OD=1 故答案是：1. 13. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度 AB，她调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条边 DE8cm，DF10cm，测得边 DF离地面的高度 AC1.5m，CD8m，则树高 AB_m 【答案】7.5 【解析】 【分析】利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小颖同学的身高即可求得树高AB 【详解】解：DEFBCD90 ，DD， DEFDCB， BCDCEFD
27、E， DE8cm0.08m，DF10cm0.1m，AC1.5m，CD8m， 由勾股定理求得 EF0.06m， 80 060 08BC.， BC6 米， ABAC+BC1.5+67.5（米） 故答案为：7.5 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型 14. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用 例如：求代数式 x2+4x+5的最小值？解答过程如下： 解：x2+4x+5x2+4x+4+1（x+2）2+1 （x+2）20， 当 x2 时， （x+2）2的值最小，最小值是 0， （x+2）2+11， 当（x+2）20时， （x+
28、2）2+1 的值最小，最小值是 1， x2+4x+5 的最小值为 1 根据上述方法，可求代数式x26x12有最_（填“大”或“小”）值，为_ 【答案】 . 大 . 21 【解析】 【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可 【详解】解：x26x+12 12（x26x） 12（x26x+99） 12（x3）29 21（x3）2， （x3）20， 当（x3）20 时，21（x3）2取得最大值 21 故答案为：大，21 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作
29、法，但要保留作图痕迹 现有一个四边形木块，且A为直角，现要利用这块木块截一个正方形 ABCD，使其对角线长等于已知线段a请在图中作出这个正方形 【答案】见解析 【解析】 【分析】作A 的角平分线 AE； 在 AE 上截取 ACa； 作线段 AC的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，然后证明正方形 ABCD 即为所求 【详解】解：以点 A为圆心，任意长为半径画弧，交A两边于两点，以这两为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点 A与此点作射线，可得A 的平分线 AE， 在 AE 上截取 AC=a， 以点 A、C为圆心，大于12AC为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交A的两边于
30、 B，D，交 AC 于O，BD为线段 AC的垂直平分线， 证明：EFAC，且 AO=CO， AB=BC，AD=CD， AC平方BAD， BAC=DAC=45 ， ABO=90 -BAC=45 ，ADO=90 -DAC=45 ， ABD=ADB=45 ， AB=AD， AB=BC=CD=AD，A=90 ， 四边形 ABCD为正方形 如图，正方形 ABCD即为所求 【点睛】本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法，证明该图形是正方形，掌握角平分线，线段垂直平分线，等腰直角三角形，正方形判定是解题关键 四、解答题（本题共有四、解答题（本题共有 9 道题，满分道题，满分 74 分）分） 16. （1）解一
31、元二次方程：x22x20（配方法） （2）3x2+5（2x+1）0 （3）若关于 x的一元二次方程 x22xk20 有一个根为3，则 k 的值是多少？另一个根是多少？ 【答案】 （1）x11+3，x213； （2）x15103 ，x25103 ； （3）k1，另一个根1 【解析】 【分析】 （1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）由根与系数的关系求解即可 【详解】解： （1）x22x20， x22x2， x22x+12+1， （x1）23， 开方得：x13， 解得：x11+3，x213； （2）方程整理为一般式，得
32、：3x2+10 x+50， a3，b10，c5， 1024 3 5400， 则 x242bbcaa 102 1065103 ， 即 x15103 ，x25103 （3）由根与系数的关系可得：x1+x2ba，x1 x2ca 将 a1，b2，ck2，代入上式得 x1+x22， x1 x2k2 方程的一个根为3，即 x13， 另一个根 x21， 代入得：k1 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 17. 电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气现有电影票一张，明明和磊磊
33、打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有 游戏规则是： 在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字 1、 2、 3、 4、 5、 6 明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是 3 的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜 （1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果； （2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）列表即可得出所有等可能结果； （2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于 3 的倍数的结果数和不是 3 的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断 【详解】解： （1）列表得：
34、 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 则共有 36 种等可能的结果； （2）不公平，理由如下： 由表可知共有 36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是 3
35、 的倍数有 12 种结果，不是 3的倍数的有 24种结果， P（明明获胜）123613，P（磊磊获胜）243623， 1323， 不公平 【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键 18. 如图，在YABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC的中点，EFAC于点 O 求证：四边形 AFCE 是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件证明四边形 AFCE 是平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形，进而得出结论 【详解】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， 点 E，F分别是 AD，BC的中点， AE
36、12AD，CF12BC， AECF ADBC， 四边形 AFCE 是平行四边形， 又EFAC， 四边形 AFCE 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，熟练掌握判定定理是解题的关键 19. 如图，某小区居委会打算把一块长 20m，宽 8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是 126m2请计算花砖路面的宽度 【答案】花砖路面的宽度为 1米 【解析】 【分析】设花砖路的宽度为 x m，根据面积关系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可 【详解】设花砖路的宽度为 x m，中间花圃的长为（202x）m，宽为（8x）
37、m， 由题意列方程得： （202x） （8x）126， 化简，得：x218x170， 解得：x11，x217（不合题意，舍去） 即花砖路面的宽度为 1米 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程 20. 如图，在ABC中，AB4，BC8，AC6，ABCD，BD 是ABC 的角平分线，BD 交 AC 与点 E，求 AE的长 【答案】AE的长为 2 【解析】 【分析】利用ABECDE 即可解答 【详解】解：ABCD， ABED， BD是ABC的角平分线， ABECBD， DCBD， CDBC8， ABED，AEBCED， ABECDE， ABAE=CDCE，
38、即 ABAE=CDACAE-， 486AE=AE-， 解得：AE2， 答：AE的长为 2 【点睛】此题考查相似三角形的性质及判定，以及平行线的性质，角平分线的性质，熟记相似三角形的判定定理及性质定理是解题的关键 21. 如图，在平行四边形ABCD中，O是BC边中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，且EACDAC （1）求证：OAOE； （2）连接BE，判断四边形ABEC是什么特殊四边形？证明你的结论 【答案】 （1）见详解； （2）见详解 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质可得 ABCD，可得BAOCEO，ABOECO，由“AAS”可证ABOECO，可得 AOEO； （2）先证
39、明四边形 ABEC是平行四边形，再证明 OA=OC，即可得四边形 ABEC是矩形 【详解】证明： （1）四边形 ABCD是平行四边形， ABCD，/,AD BC BAOCEO，ABOECO， 点 O是边 BC的中点， BOCO， ABOECO（AAS） ， OAOE； （2）四边形 ABEC是矩形，理由如下： OAOE，BOCO， 四边形 ABEC 是平行四边形， /,AD BC DAC=OCA， EACDAC， EAC=OCA， OA=OC， OA=OC=OB=OE，即：AE=BC， 四边形 ABEC 是矩形 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质， 矩形的判定， 全等三角形的判定和性质
40、， 证明ABOECO是本题的关键 22. 2022年 2 月 4 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件 40元，据市场分析，若按每件 50元销售，一个月能售出 500件；销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 20 件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题： （1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到 8000元 （2） 商店想在月销售成本不超过 10000元的情况下， 使得月销售利润达到 8000元， 则销售定价应为多少元？ 【答案】 （1）10 元或 30 元； （2）80 元 【解析】 【分析】 （1
41、）设该商品的销售单价应定为 x元，则月销售数量为50010（x50）件，根据月销售利润每件利润 销售数量结合每月销售利润为 8000 元，即可得出关于 x的一元二次方程，解之即可求出 x的值，再计算涨价的数量即可； （2）利用月销售成本每件成本 月销售数量结合月销售成本不超过 10000元，即可确定定价的值 【详解】 （1）设该商品的销售单价应定为 x元，则月销售数量为50010（x50）件， 根据题意得： （x40）50010（x50）8000， 解得：x160，x280 单价上涨：605010（元）或 805030（元） （2）销售成本不超过 10000元， 当 x160时，成本：40 5
42、0010 （6050）1600010000，故舍去； 当 x280时，成本：40 50010 （8050）800010000 该商品的销售单价应定为 80 元 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用， 解题的关键是： （1） 找准等量关系， 正确列出一元二次方程； （2）根据数量关系，列式计算 23. 【问题提出】用 n个圆最多能把平面分成几个区域？ 【问题探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论 探究一：如图 1，一个圆能把平面分成 2 个区域 探究二：用 2个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图 2，在探究一的基础上，为了使
43、分成的区域最多，应使新增加的圆与前 1个圆有 2个交点，将新增加的圆分成 2部分，从而增加 2 个区域，所以，用 2个圆最多能把平面分成 4 个区域 探究三：用 3个圆最多能把平面分成几个区域？ 如图 3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 2个圆分别有 2个交点，将新增加的圆分成2 24部分，从而增加 4个区域，所以，用 3个圆最多能把平面分成 8个区域 （1）用 4 个圆最多能把平面分成几个区域？ 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图 （2） 【一般结论】用 n个圆最多能把平面分成几个区域？ 为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n)1个圆分别有 2个交点
44、，将新增加的圆分成_部分，从而增加_个区域，所以，用 n个圆最多能把平面分成_个区域 （将结果进行化简） （3） 【结论应用】 用 10个圆最多能把平面分成_个区域； 用_个圆最多能把平面分成 422个区域 【答案】 （1）在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 3 个圆分别有 2个交点，将新增的圆分成2 36 部分， 从而增加 6个区域， 所以， 用 4 个圆最多能把平面分成 14 个区域；（2）22n；22n；22nn； （3）92；21 【解析】 【分析】 （1）在探究三的基础上，新增加的圆与前 3 个圆分别有 2 个交点，将新增的圆分成2 36 部分，所以，用 4
45、个圆最多能把平面分成 2+2 1+2 2+2 3个区域； （2） 为了使分成的区域最多， 应使新增加的圆与前(n)1个圆分别有 2 个交点， 将新增加的圆分成 （2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用 n个圆最多能把平面分成 2+21+22+23+24+2(n-1)区域求和即可; （3）用 n=10，代入规律，求代数式的值即可； 设 n 个圆最多能把平面分成 422个区域，利用规律构造方程，可得方程2+2422nn解方程即可 【详解】 解： （1） 在探究三的基础上， 为了使分成的区域最多， 应使新增加的圆与前 3个圆分别有 2 个交点，将新增的圆分成2 36 部分，从而增加 6
46、个区域，所以，用 4个圆最多能把平面分成 2+2 1+2 2+2 3=14个区域； （2） 为了使分成的区域最多， 应使新增加的圆与前(n)1个圆分别有 2 个交点， 将新增加的圆分成 （2n-2）部分，从而增加（2n-2）个区域，所以，用 n 个圆最多能把平面分成区域数为 2+21+22+23+24+2(n-1)， =2+2(1+2+3+n-1)， =2+211+112nn， 2+1n n， =2+2nn; 故答案为： （2n-2） ； （2n-2） ；2+2nn； （3）用 10个圆，即 n=10，22+21010292nn； 设 n 个圆最多能把平面分成 422个区域， 可得方程2+24
47、22nn， 整理得24200nn， 因式分解得21200nn， 解得=21n或20n（舍去） ， 用 21个圆最多能把平面分成 422个区域 故答案为：21 【点睛】 本题考查图形分割规律探究问题， 圆与圆的位置关系， 利用新增圆被原来每个圆都分成两个交点，其交点数就是新增区域数，发现规律后列式求和，利用规律解决问题，涉及数列 n 项和公式，代数式求值，解一元二次方程，仔细观察图形，掌握所学知识是解题关键 24. 在菱形 ABCD中，对线 AC，BD交于点 O，且 AC=16cm，BD=12cm；点 P 从点 B出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；点 Q 从点 D出发，沿 DO方
48、向匀速运动，速度为 1cm/s；若 P，Q 两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动 过点 Q作 EFBD，交 AD于点 E，交 CD于点 F，设运动时间为 t（s） 解答下列问题： （1）求菱形的边长，并用含 t 的代数式表示 DE 的长度； （2）当 t为何值时，线段 PEAB? （3）设四边形 CFEP的面积为 S（cm2） ，求 S 关于 t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻 t，使得以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出 t的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）菱形的边长为 10cm，DE=53t； （2）t=3011； （3）S=248483
49、5tt； （4）当 t为 4或6017或92时，以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】 （1）由菱形的性质，根据勾股定理计算菱形边长，利用DEQDAO表示 DE长度即可； （2）当 PEAB 时，四边形 ABPE为平行四边形，利用 BP=AE 可得出答案； （3）利用梯形 CDEP的面积减去DEF的面积即可得到四边形 CFEP的面积； （4）分三种情况讨论 【详解】解： （1）四边形 ABCD 为菱形，且 AC=16cm，BD=12cm， ACBD，OA=8cm，OB=6cm， 在 RtAOB 中，由勾股定理可得：AB=22OAOB=10cm， 即菱形的边长为 10cm，
50、 点 Q从点 D出发，沿 DO方向匀速运动，速度为 1cm/s， DQ=t， 由 EFBD，可得DEQDAO， DEDQ=DADO， 即 106DEt=， DE=53t； （2）由（1）得：AE=AD-DE=10-53t， 点 P从点 B出发，沿 BC方向匀速运动，速度为 2cm/s， BP=2t， BPAE， 当 PEAB 时，四边形 ABPE 为平行四边形， BP=AE， 即 2t=10-53t， 解得：t=3011， 当 t=3011时，线段 PEAB； （3）AC=16cm，BD=12cm，AB=10cm， 由等面积可得：菱形的高 h=16 12481025， 四边形 CDEP 为梯形
