1、 6.4.2 向量在物理中的应用举例 1.能用向量方法解决某些简单的平面几何中的距离(线段长度)、夹角等问题(重点重点) 2.能用向量方法解决物理中的有关力、速度等方面的问题 【学习目标】 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系 【预习导学】 2向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等 (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解 (3)动量 mv 是向量的数乘
2、运算 (4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积. 1思考判断(正确的打“” ，错误的打“”) (1)求力 F1和 F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则( ) (2)若ABC 为直角三角形，则有AB BC0.( ) (3)若向量ABCD，则 ABCD.( ) 解析：(1)正确物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解 【思考尝试】 (2)错误因为ABC 为直角三角形，B 并不一定是直角，有可能是A 或C 为直角 (3)错误 向量ABCD时， 直线 ABCD 或 AB， CD 重合 答案：(1) (2) (3) 2在四边形 ABCD
3、 中，若ABCD0，AC BD0，则四边形为( ) A平行四边形 B矩形 C等腰梯形 D菱形 解析：由题意可知，ABCD，|AB|CD|，且ACBD，所以四边形 ABCD 为菱形 答案：D 3河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A10 m/s B2 26m/s C4 6m/s D12 m/s 解析：由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s.作出示意图如图 所以|v| 10222 1042 26(m/s) 答案：B 4. 一物体受到相互垂直的两个力 F1，F2的作用，两力大小都为5 3 N，则两个力的合力的大
4、小为_ 解析：设合力为 F，则 F1F2，且 FF1F2， |F| （F1F2）2 F212F1 F2F22 （5 3）220（5 3）25 6. 答案：5 6 5已知力 F(2，3)作用在一物体上，使物体从 A(2，0)移动到B(2，3)，则 F 对物体所做的功为_焦 解析：由已知位移AB(4，3)， 所以力 F 做的功为 WF AB2(4)331. 答案：1 类型 1 平面几何中的垂直问题 典例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE. 【讲练互动】 证明：法一法一 设ADa，ABb，则|a|b|，a b0， 又DEDAAEab2，AFAB
5、BFba2， 所以AF DEba2ab212a234a bb22 12|a|212|b|20.故AFDE，即 AFDE. 法二法二 建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为 2， 则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， AF(2，1)，DE(1，2) 因为AF DE(2，1) (1，2)220， 所以AFDE，即 AFDE. 归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用， 可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式 变式训练 在ABC 中，(BCBA) AC|AC|2，则ABC 的形状一定是( ) A等边三角形 B等
6、腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 解析： 由(BCBA) AC|AC|2， 得AC (BCBAAC)0， 即AC (BCBACA)0，所以 2AC BA0，所以ACBA，所以 A90 . 答案：C 类型 2 平面几何中的长度问题 典例 2 已知在 RtABC 中，C90 ，设 ACm，BCn. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F.求 AF 的长度(用 m，n 表示) (1)证明：以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0，m)，B(
7、n，0)， 因为 D 为 AB 的中点，所以 Dn2，m2， 所以|CD|12n2m2，|AB| m2n2， 所以|CD|12|AB|，即 CD12AB. (2)解：因为 E 为 CD 的中点，所以 En4，m4， 设 F(x，0)，则AEn4，34m ，AF(x，m) 因为 A，E，F 三点共线，所以AFAE.即(x，m)n4，34m . 则xn4，m34m，故 43，即 xn3，所以 Fn3，0 . 所以|AF|13 n29m2，即 AF 的长度为13 n29m2. 归纳升华 用向量法求长度的方法用向量法求长度的方法 1利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解 2建立
8、坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a| x2y2. 变式训练 如图所示，已知在ABCD 中，AB3，AD1，DAB3，求对角线 AC 和 BD 的长 解：设ABa，ADb，a 与 b 的夹角为 ， 则|a|3，|b|1，3.所以 a b|a|b|cos 32. 又因为ACab，DBab， 所以|AC| AC2 （ab）2 a22a bb2 13， |DB| DB2 （ab）2 a22a bb2 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7. 类型 3 向量在物理中的应用 典例 3 (1)某人在无风条件下骑自行车的速度为 v1，风速为v2(|v1|v2|)，则逆风行
9、驶的速度的大小为( ) Av1v2 Bv1v2 C|v1|v2| D.v1v2 (2)如果一架飞机先向东飞行 200 km，再向南飞行 300 km，设飞机飞行的路程为 s km，位移为 a km，则( ) As|a| Bs|a| Cs|a| Ds 与|a|不能比较大小 解析：(1)题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数故逆风行驶的速度的大小为|v1|v2|. (2)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而 s500，由位移的合成易得|a|a|. 答案：(1)C (2)A 归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤用向量方法解决物理问题的步骤 1转化：把物理
10、问题中的相关量用向量表示，转化为向量问题的模型 2运算：通过向量的运算使问题得以解决 3还原：把结果还原为物理问题 变式训练 两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们间的夹角为90 时，合力的大小为 20 N，则当它们的夹角为 120 时，合力的大小为( ) A40 N B5 2N C10 2N D10 3N 解析：因为|F1|F2|，故当它们间的夹角为 90 时，合力的大小为|F1F2| 2|F1|20 N所以|F1|F2|10 2N. 则当它们的夹角为 120 时，作出受力示意图(如图)， 则所得的四边形 OACB 为菱形 又AOB120 ，所以AOC60 ， 所以AOC 为等边三角形 所
11、以|F合|F1|F2|10 2N. 答案：C 1向量方法在平面几何中应用的五个主要方面 (1)要证明两线段相等，如 ABCD，则可转化为证明：AB2CD2. (2)要证明两线段平行，如 ABCD，则只要证明：存在实数 0，使ABCD成立，且 AB 与 CD 无公共点 (3)要证明两线段垂直，如 ABCD，则只要证明数量积AB CD0. 【课堂小结】 (4)要证明 A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数 0，使ABAC. (5)要求一个角，如ABC，只要求向量BA与向量BC的夹角即可 2向量在物理中应用时要注意三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题， 也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型 (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象 (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识.
