1、20212022 学年度学年度八年级八年级第一学期期中质量检测数学试题第一学期期中质量检测数学试题 本试卷共 5页，25 小题，满分 120 分考试用时 120分钟 第一部分第一部分 选择题（共选择题（共 30 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）项是符合题目要求的 ） 1. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 2
2、. 一个八边形的内角和度数为（ ） A. 360 B. 720 C. 900 D. 1080 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边，化简|a+bc|bac|的结果是（ ） A. 0 B. 2a C. 2（bc） D. 2（a+c） 4. 在下列说法中，正确的是( ) A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 5. 如图，1，2，3，4恒满足的关系式是（ ） A. 1234 B. 1243 C. 1423 D. 1
3、423 6. 等腰三角形一腰上高与另一腰的夹角为 25，则顶角的度数为（ ） A 65 B. 105 C. 55或 105 D. 65或 115 7. 如图，AB/DE，AC/DF，ACDF，下列条件中，不能判定 ABCDEF的是 A. ABDE B. BE C. EFBC D. EF/BC 8. 如图， 三角形纸片ABC中，65A o，75Bo， 将C沿DE对折， 使点C落在ABC外的点C处，若120 o，则2的度数是（ ） A. 80o B. 90o C. 100o D. 110o 9. 如图，ABCAED，点 E在线段BC上，140 ，则AED的度数是（ ） A. 70 B. 68 C.
4、 65 D. 60 10. 如图，AOB=20，点 M、N分别是边 OA、OB上定点，点 P、Q 分别是边 OB、OA上的动点，记MPQ=，PQN=，当 MP+PQ+QN 最小时，则的值为( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 第二部分第二部分 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11. 若一个多边形的内角和是其外角和的 3倍，则这个多边形的边数是_ 12. 把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若140 ，则2的度数为_ 13. 已知ABC 的三边长分别为 a
5、，b，c，且 a，b满足2(1)20ab，则 c 的取值范围是_ 14. 已知直角坐标系中点( , 2)A a 和点 B(3，b)关于 x轴对称，则 b-a=_ 15. 如图，60AOB，C是BO延长线上的一点，10OCcm，动点P从点C出发沿CB以2/cm s的速度移动， 动点Q从点O发沿OA以1/cm s的速度移动， 如果点 P Q、同时出发， 用( )t s表示移动的时间，当t _时，POQ是等腰三角形. 16. 如图，在ABC中，BAC和ABC平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC 于点F，过点O作ODBC于点D，则下列三个结论：1902AOBCo；当60Co时，AF
6、BEAB；若ODa，2ABBCCAb，则12ABCSab其中正确的是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 四边形ABCD中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数 18. 如图，在ABCV和ADCV中，ABAD，BCDC，130B ，求D的度数 19. 如图，已知 AEBC，AD 平分BAE，ADB110 ，CAE20 ，求BAC和B的度数 20. 如图，已知：在ABC中，AB=AC，BAC=120 ，D 为 BC边的中点，DEAC求证：C
7、E=3AE 21. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点均在格点上， （1）在网格中作出ABC关于y轴对称的图形111A B C； （2）直接写出1A、1B、1C的坐标； （3）若网格的单位长度为1，求ABC的面积 22. 已知：如图，在ABC中，ACB90，A30求证：BC12AB 23. 已知等边三角形ABC， （1）尺规作图：过顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线，三条垂线交于点M、N、G（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法） （2）求证：MNG是等边三角形 24. 在ABCV中，90ABACBAC， （1） 如图 1，CD平分,ACB BE
8、CD， 垂足 E在CD的延长线上， 试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论 （2）如图 2，当点 D 在线段BC上，1,2EDBC BEDE于EDE，与AB相交于点 F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论 25. 已知， 在等腰ABCV中，,ABAC ADBC于点 D 以AC为边作等边ACEV， 直线BE交直线AD于点 F，连接FC （1）如图 1，120180 ,BACACE V与ABCV在直线AC异侧，且FC交AE于点 M 求证：FEAFCA； 猜想线段,FE FA FB之间的数量关系，并证明你的结论： （2） 当6 01 2 0BAC， 且A C EV与ABCV在直线
9、AC的同侧时， 利用图 2 探究线段FE FA FB,之间的数量关系，并直接写出你的结论 20212022 学年度学年度八年级八年级第一学期期中质量检测数学试题第一学期期中质量检测数学试题 本试卷共本试卷共 5 页，页，25 小题，满分小题，满分 120 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟 第一部分第一部分 选择题（共选择题（共 30 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中只有一分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）项是符合题目要求的 ） 1. 盖房子时，木工师傅常常先在窗框
10、上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性 故选：A 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得 2. 一个八边形的内角和度数为（ ） A. 360 B. 720 C. 900 D. 1080 【答案
11、】D 【解析】 【分析】应用多边形内角和公式计算即可 【详解】 （n2）180（82） 180 1080 故选：D 【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式： （n2）180 （n3）且 n为整数） 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边，化简|a+bc|bac|的结果是（ ） A. 0 B. 2a C. 2（bc） D. 2（a+c） 【答案】C 【解析】 【详解】根据两边之和大于第三边，得 a+bc，bac0，则|a+bc|bac|=a+b-c+b-a-c=2b-2c=2（b-c）.故选 C. 4. 在下列说法中，正确的是( ) A. 如果两个三角形全等，则它们必是关
12、于直线成轴对称的图形 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形 D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的 【详解】A.全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的；故该选项错误 B.成轴对称的两个三角形一定是全等的；故该选项正确， C.等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称；故该选项错误，
13、 D.成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形；故该选项错误 故选 B 【点睛】本题考查了轴对称和轴对称图形的定义和性质，对于这两个概念要掌握其区别和联系 5. 如图，1，2，3，4恒满足的关系式是（ ） A. 1234 B. 1243 C. 1423 D. 1423 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系根据外角的性质，可推出1+4=6，6=2-3，从而推出1+4=2-3 【详解】解：6 是 ABC 的外角， 1+4=6， 又2是 CDF的外角， 6=2-3， 由（1） （2）得：1+4=2-3 故选 D 6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 25，
14、则顶角的度数为（ ） A. 65 B. 105 C. 55或 105 D. 65或 115 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可 【详解】解：如图 1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是 9025115； 如图 2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是 902565 综上所述，顶角的度数为：65或 115 故选 D 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角
15、等于和它不相邻的两个内角的和 7. 如图，AB/DE，AC/DF，ACDF，下列条件中，不能判定 ABCDEF的是 A. ABDE B. BE C. EFBC D. EF/BC 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：本题可以假设 A、B、C、D 选项成立，分别证明 ABCDEF，即可解题 解：ABDE，ACDF，A=D， AB=DE，则ABC 和DEF中， ABDEADACDF ABCDEF，故 A选项错误； （2）B=E，则 ABC和 DEF中，BEADACDF ABCDEF，故 B选项错误； （3）EF=BC，无法证明 ABCDEF（ASS） ；故 C选项正确； （4）EFBC，ABDE
16、，B=E，则 ABC和 DEF中， BEADACDF ABCDEF，故 D选项错误； 故选 C 考点：全等三角形的判定 8. 如图， 三角形纸片ABC中，65A o，75Bo， 将C沿DE对折， 使点C落在ABC外的点C处，若120 o，则2的度数是（ ） A. 80o B. 90o C. 100o D. 110o 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出C，根据折叠的性质求出C，根据三角形的外角的性质计算，得到答案 【详解】解： A65，B75， C180657540 ， 由折叠的性质可知，CC40， 31C60， 2C3100， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理
17、、折叠的性质，掌握三角形内角和等于 180是解题的关键 9. 如图，ABCAED，点 E在线段BC上，140 ，则AED的度数是（ ） A. 70 B. 68 C. 65 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】依据ABCAED，即可得到AED=B，AE=AB，BAC=EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到B的度数，进而得出AED的度数 【详解】解：ABCAED， AED=B，AE=AB，BAC=EAD， 1=BAE=40 ， ABE中，B=180402oo=70 ， AED=70 ， 故选：A 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键
18、 10. 如图，AOB=20，点 M、N分别是边 OA、OB上的定点，点 P、Q分别是边 OB、OA上的动点，记MPQ=，PQN=，当 MP+PQ+QN 最小时，则的值为( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N关于 OA的对称点 N，连接 MN，交 OA于点 Q，交 OB于点 P，则 MP+PQ+QN 最小，根据轴对称的性质以及平角的定义可得OPM=12(180-)，再根据三角形外角的性质可得1=110-12，同样根据平角的定义可得3=12(180-)，由对顶角性质可得MQP=12(180-)，根据三角形内角
19、和定理可得1+MPQ+MQP=180 ，即 110-12+12(180-)=180，整理即可求得答案. 【详解】如图，作 M关于 OB 的对称点 M，作 N关于 OA 的对称点 N，连接 MN，交 OA于点 Q，交 OB于点 P，则 MP+PQ+QN 最小， MPM+MPQ=180 ，OPM=OPM，OPM+OPM=MPM，MPQ=， OPM=12(180-)， 1=O+OPM， 1=20 +12(180-)=110-12， 2=3，2+3+MQN=180 ，PQN=， 3=12(180-)， MQP=3=12(180-)， 在 PMQ 中，1+MPQ+MQP=180 ， 即 110-12+1
20、2(180-)=180， -=40， 故选 C. 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，涉及了平角定义，三角形外角的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握相关知识并正确画出图形是解题的关键. 第二部分第二部分 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11. 若一个多边形内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是_ 【答案】8 【解析】 【详解】解：设边数为 n，由题意得， 180（n-2）=3603 解得 n=8. 所以这个多边形的边数是 8. 12. 把一块直尺与一块直角三角
21、板如图放置，若140 ，则2的度数为_ 【答案】130 【解析】 【分析】根据对顶角性质求出3，再根据三角形外角即可求2 【详解】解：1=40 ， 3=1=4 ， 2=90 +3=130 故答案为 130 【点睛】本题考查了三角板中角度计算，对顶角，三角形外角的性质，准确识图是解题的关键 13. 已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a，b满足2(1)20ab，则 c 的取值范围是_ 【答案】13c 【解析】 【分析】根据平方和开算术平方根的非负性求出 a 和 b，再根据三角形三边关系求出 c 的取值范围 【详解】解：由原式可知：a-1=0；b-2=0 a=1，b=2 2 12 1c 1
22、c3 故答案为 1c3 【点睛】本题考查平方、开算数平方的非负性和三角形三边关系，掌握这些知识是解题关键 14. 已知直角坐标系中点( , 2)A a 和点 B(3，b)关于 x轴对称，则 b-a=_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据关于x轴对称点的坐标特点： 横坐标不变， 纵坐标互为相反数可得3a ，2b， 再计算ba的值即可 【详解】解：Q点( , 2)A a 和点(3, )Bb，点A和点B关于x轴对称， 3a，2b， 231ba ， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点的变化规律 15. 如图，60AOB，C是BO延长线上的一点，10OCc
23、m，动点P从点C出发沿CB以2/cm s的速度移动， 动点Q从点O发沿OA以1/cm s的速度移动， 如果点 P Q、同时出发， 用( )t s表示移动的时间，当t _时，POQ是等腰三角形. 【答案】103s或10s 【解析】 【分析】分点 P 在线段 OC上和点 P 在线段 OB 上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）点 P 在线段 OC上，此时，若POQ是等腰三角形，则只有OPOQ才满足 因此有102tt 解得10( )3ts （2）点 P 在线段 OB上，此时，若POQ是等腰三角形，则其也是等边三角形 因此有210tt 解得1
24、0( )ts 综上，当103ts或10ts时，POQ是等腰三角形 故答案为：103s或10s 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键 16. 如图，在ABC中，BAC和ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC 于点F，过点O作ODBC于点D，则下列三个结论：1902AOBCo；当60Co时，AFBEAB；若ODa，2ABBCCAb，则12ABCSab其中正确的是_ 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解AOB与C的关系，进而判定；在 AB上取一点 H，使 BHBE，证得HBOEBO，得到BOHBOE60
25、，再证得HBOEBO，得到 AFAH，进而判定；作 OHAC于 H，OMAB 于 M，根据三角形的面积可判定 【详解】解：BAC和ABC 的平分线相交于点 O， OBA12CBA，OAB12CAB， AOB180OBAOAB18012CBA12CAB18012（180C） 90+12C，正确； C60， BAC+ABC120， AE，BF 分别是BAC与 ABC 的平分线， OAB+OBA12（BAC+ABC）60， AOB120， AOF60， BOE60， 如图，在 AB 上取一点 H，使 BHBE， BF 是ABC的角平分线， HBOEBO， 在HBO和EBO 中，BHBEHBOEBOB
26、OBO， HBOEBO（SAS） ， BOHBOE60， AOH180606060， AOHAOF， 在HBO和EBO 中，HAOFAOAOAOAOHAOF， HBOEBO（ASA） ， AFAH， ABBH+AHBE+AF，故正确； 作 OHAC于 H，OMAB于 M， BAC和ABC平分线相交于点 O， 点 O在C的平分线上， OHOMODa， AB+AC+BC2b SABC12ABOM+12ACOH+12BCOD12（AB+AC+BC）aab，错误 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得HBOEBO，得到BOHBO
27、E60，是解决问题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 四边形ABCD中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数 【答案】四边形的四个内角的度数分别为：36o，72o，108o，144o . 【解析】 【分析】 设四个内角度数分别是 x， 2x， 3x， 4x， 由多边形内角和公式可得： x+2x+3x+4x=180 （4-2） ，再解方程即可得到答案 【详解】解：设四个内角度数分别是,2,3 ,xxxooo 4xo， 根据题意得：23
28、442180 xxxx， 解得：36x，272 ,3108 ,4144xxxoooooo . 答：四边形的四个内角的度数分别为：36o，72o，108o，144o 【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：2180n（3n，且n为整数） 18. 如图，在ABCV和ADCV中，ABAD，BCDC，130B ，求D的度数 【答案】130D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理得出ABCADC，根据全等三角形的性质得出DB ，由此即可求得答案 【详解】解：在ADCV和ABCV中， ADABACACCDCB， ()ABCADC SSS， DB ， 130B Q， 130D
29、 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键 19. 如图，已知 AEBC，AD 平分BAE，ADB110 ，CAE20 ，求BAC和B的度数 【答案】BAC=60，B=50 【解析】 【分析】先根据 AEBC，CAE=20 求出C 的度数，再根据ADB=110 求出DAE 的度数，由 AD平分BAE 可得出BAD 的度数，根据三角形内角和定理即可得出B 度数，最后利用BAC=BAE+CAE得出结果 【详解】解：AEBC，CAE=20 ， C=90 -20 =70 ADB是ACD 的外角，且ADB=110 ， ADB=C+DAC，即 110 =70 +DA
30、C， 解得DAC=110 -70 =40 ， DAE=DAC-CAE=40 -20 =20 AD平分BAE， DAE=BAD=20 在ABD中， BAD=20 ，ADB=110 ， B=180 -20 -110 =50 ， AEBC， BAE=90 -50 =40 ， BAC=BAE+CAE=40 +20 =60 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 180 是解题的关键 20. 如图，已知：在ABC中，AB=AC，BAC=120 ，D 为 BC边的中点，DEAC求证：CE=3AE 【答案】见解析 【解析】 【分析】 连接AD， 根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC， 再
31、根据等腰三角形两底角相等求出C=30 ，再求出ADE=30 ，然后根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可 【详解】证明：如图，连接 AD， AB=AC，D是 BC的中点， ADBC， BAC=120 ，AB=AC， C=12（180 -120 ）=30 ， DEAC， ADE+DAC =C+DAC =90 ， ADE=C=30 ， 在 RtADE 中，AD=2AE， 在 RtACD 中，AC=2AD=4AE， CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即 CE=3AE 【点睛】本题考查了直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性
32、质并作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键 21. 如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点均在格点上， （1）在网格中作出ABC关于y轴对称的图形111A B C； （2）直接写出1A、1B、1C的坐标； （3）若网格的单位长度为1，求ABC的面积 【答案】 （1）图见解析（2）A1（3，4） ，B1（5，2） ，C1（2，0） （3）5 【解析】 【分析】 （1）利用轴对称的性质分别作出 A，B，C的对应点 A1，B1，C1即可 （2）根据 A1，B1，C1的位置写出坐标即可 （3）矩形面积减去周围三个三角形面积即可 【详解】解： （1）如图，111A B C即为所求 （2）A1（3，
33、4） ，B1（5，2） ，C1（2，0） ； （3）111A B C的面积341214122212 2 35 【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积 22. 已知：如图，在ABC中，ACB90，A30求证：BC12AB 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长 BC 到 D，使 CD=BC，连接 AD，证明ABD 为等边三角形，得出 AB=AD，则可得出结论 【详解】证明：如下图所示，延长 BC 到 D，使 CD=BC，连接 AD， ACB=90 ， ACBC， AD=AB， BAC=30 ， ABD=60 ABD为等边三角
34、形， AB=AD， BC=CD=12AB， 即 BC12AB 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型 23. 已知等边三角形ABC， （1）尺规作图：过顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线，三条垂线交于点M、N、G（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法） （2）求证：MNG是等边三角形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）以点 C 为圆心作圆，交 AC于 H，交 AC延长线于 I，分别以点 H、I 为圆心，以大于 HC 为半
35、径画圆，交于点 G，连接 CG 即可； （2）本题中ABC为等边三角形，ABC60，求出M，N，G的值即可解决问题 【详解】解： （1）如图所示： （2）证明： ABC为等边三角形， ABC60 BCMN，BAMG， CBMBAM90 ABM90 ABC30 M90 ABM60 同理：NG60 MNG 为等边三角形 【点睛】本题考查作垂线，等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作垂线，等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等基本知识 24. 在ABCV中，90ABACBAC， （1） 如图 1，CD平分,ACB BECD， 垂足 E在CD的延长线
36、上， 试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论 （2）如图 2，当点 D 在线段BC上，1,2EDBC BEDE于EDE，与AB相交于点 F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）2CDBE，证明见解析； （2）2FDBE，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先证明 BF=2BE，再证明ABFACD，得 CD=BF，则 2BE=CD； （2）过 D作 DGAC 交 BE 的延长线于 G,BA的延长线于 H，根据（1）的证明过程即可得出结论 【详解】解： （1）解：(1) 延长 BE、CA交于点 E CEBF, CD 平分ACB BECFEC BCEFCE CE
37、=CE ()BCEFCE ASAVV BCFC BCF为等腰三角形, BF=2BE ADCEDBVV在与中 90BECBAC o BDEADC ACDABF 在ABF和ACD 中 ABF=ACD，AB=AC，BAF=CAD=90 ABFACD CDBF=2BE. （2）2FDBE 证明：过 D作 DGAC交 BE的延长线于 G,BA的延长线于 H GDBACB=ABC 12EDBC BDEGDE 90ABACBAC， GDBACB=ABC=45 BH=DH 同（1）中证法相同得出BHGDHF DF=BG=2BE. 【点睛】本题考查了等腰三角形与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰
38、三角形与全等三角形的判定与性质. 25. 已知， 在等腰ABCV中，,ABAC ADBC于点 D 以AC为边作等边ACEV， 直线BE交直线AD于点 F，连接FC （1）如图 1，120180 ,BACACE V与ABCV在直线AC的异侧，且FC交AE于点 M 求证：FEAFCA； 猜想线段,FE FA FB之间的数量关系，并证明你的结论： （2） 当6 01 2 0BAC， 且A C EV与ABCV在直线AC的同侧时， 利用图 2 探究线段FE FA FB,之间的数量关系，并直接写出你的结论 【答案】 （1）见解析；EF+AF=BF，理由见解析； （2）BF+EF=AF，理由见解析 【解析】
39、 【分析】 （1）利用线段中垂线性质得到FBCFCB，从而得到FBAFCA，再由等边三角形和等腰三角形的性质得到ABFAEF即可； 在 CF 上取 FG=FE， 连接 EG， 先证明EFG=60 ， 得到 EFG为等边三角形， 得到 EG=EF， FEG=60 ，再证明 FEAGEC 得到 AF=GC，即可得到结论； （2）在 AF上截取 FH=FC，连接 CH，先利用三角形内角和定理和三角形外角的性质证明AFE=60 ，从而得到 FHC是等边三角形， 推出 CH=CF， FHC=FCH=60 ， 最后证明 ACHECF， 得到 AH=EF，由此求解即可 【详解】证明： （1）AEC 是等边三
40、角形 EACACE60 ，CEACAE，且 ABAC ABAE ABFAEF ABAC，ADBC AD是 BC垂直平分线 BFFC，且 AFAF，ABAC ABFACF（SSS） ABFACF ACFAEF； EF+AF=BF，理由如下： 如图，在 CF 上取 FG=FE，连接 EG， 由（1）得ACFAEF，BFFC， AEC是等边三角形 AECACE60 ，CEAE， FCA+ECF=60 ， AEF+ECF=60 ， ECF+EFC+AEC+AEF=180 ， EFG=60 ， FE=FG， EFG为等边三角形， EG=EF，FEG=60 ， AEF+AEG=60 ， 又CEG+AEG=
41、AEC=60 ， FEA=GEC， FEAGEC（SAS） ， AF=GC， EF+AF=FG+CG=FC=BF， EF+AF=BF； （2）BF+EF=AF，理由如下： 如图，在 AF 上截取 FH=FC，连接 CH， ABAC，ADBC AD是 BC的垂直平分线，BAD=CAD BFFC，BFD=CFD ACE是等边三角形， AE=AC=AB=CE，EAC=ECA=60 ABE=AEB，EAF=EAC-CAD=60 -CAD， BAE=BAD-EAF=CAD-EAF=2CAD-60 ， 11=180=2402=12022ABEAEBBAECADCADooo AEB=AFE+EAF， AFE+60 -CAD=120 -CAD， AFE=60 ， CFD=60 ， EFC=120 ， 又FH=FC， FHC是等边三角形， CH=CF，FHC=FCH=60 ， ACH+ECH=ECF+ECH=60 ， ACH=ECF， ACHECF（SAS） ， AH=EF， EF+CF=FH+AH=AF， BF+EF=AF 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
