1、2021-2022 学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 4的算术平方根是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 1 3. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1，2 C. 1，2，5 D. 3，2，5 4. 如图，点 E，F在 AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，还需要添加
2、的一个条件是（ ） A. A=C B. D=B C. ADBC D. DFBE 5. 如图，ACBACB，AB经过点 A，BAC70 ，则ACA的度数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 6. 在联合会上，有 A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜， 为使游戏公平， 则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的 （ ） A 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 7. 如图，在ABC 中，ABC和ACB的平分线相交于点 F，过 F作 DEBC，交 AB
3、 于点 D，交 AC于点E若 BD3，DE5，则线段 EC 的长为( ) A. 3 B. 4 C. 2 D. 2.5 8. 如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC=6，DE=3，则BCE的面积等于（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 9. 如图，在 RtVABC中，AB3，BC8，点 D为 BC的中点，将VABD 沿 AD折叠，使点 B 落在点 E 处，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A. 95 B. 125 C. 185 D. 325 10. 已知ABC 中，ACBC4，ACB90 ，D 是 AB 边的中点，点 E、F 分
4、别在 AC、BC边上运动，且保持 AECF，连接 DE、DF、EF得到下列结论：DEF 是等腰直角三角形；CEF 面积的最大值是2；EF 的最小值是 2；CDFCEF，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每空小题，每空 2 分，共分，共 16 分）分） 11. 下列实数：12，3，1，227，39，中无理数的个数有 _个 12. 点 P（2，3）关于 y轴对称的点的坐标是_ 13. 如图，数轴上点A表示的实数是_ 14. 象棋是流行广泛的益智游戏 如图是一副象棋残局， 若表示棋子“炮”和“車”的点坐标分别为 （1， 3） ，（2，
5、1） ，则表示棋子“马”的点坐标为 _ 15. 如图，在锐角ABC 中，A75 ，DE 和 DF分别垂直平分边 AB、AC，则DBC 的度数为 _ 16. 如图， 已知ABC与ADC 是直角三角形， BD90 ， BC6， CD5 若BAC+2CAD180 ，则 AB长是 _ 17. 如图，ABC 和DCE都是边长为 4的等边三角形，且点 B、C、E在同一条直线上，点 P 是 CD边上的一个动点，连接 AP、BP，则 AP+BP 的最小值为 _ 18. 如图， 在长方形ABCD的对称轴l上找点P， 使得PAB，PBC均为等腰三角形， 则满足条件的点P有_个. 三、 解答题 （本大题共三、 解答
6、题 （本大题共 10 小题， 共小题， 共 84分， 解答应写出必要的计算过程、 推演步骤或文字说明）分， 解答应写出必要的计算过程、 推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1）39+1282 ； （2）022115422 20. 求下列各式中 x 的值： （1）4（x2）236； （2） （x+5）3270 21. 利用网格作图要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹 （1）在图中找一点 P，使点 P到 AB和 AC的距离相等且 PBPC； （2）在图中，ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出ABC 的角平分线 BD. 22. （1）已知 2a1 的平方根是 3，3a+b1 的平方根是 4，
7、求 a+2b 的平方根； （2）若 x，y都是实数，且 y8+3x+3x，求 x+3y 的立方根 23. 如图，DEAB 于 E，DFAC于 F，若 BDCD，BECF （1）求证：ADEADF； （2）已知 AC18，AB12，求 BE的长 24. 如图，四边形 ABCD中，ABCBACADC45 ，作ACEBCD （1）求证：AEBD （2）若 AD1，CD3，试求出四边形 ABCD的对角线 BD 的长 25. 如图，在长方形 OABC 中，O为平面直角坐标系的原点，点 A的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， 点 B 在第一象限点 P 从原点出发，以每秒 2个单位长度的速度
8、沿着 O-A-B-C-O 的路线匀速移动（即：沿着长方形移动一周） 点 P 移动的时间为 ts （1）点 B 的坐标为 ；当 t4s 时，点 P的坐标为 （2）在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 5个单位长度时，求点 P移动的时间 （3）如图，若将长方形 OABC 沿着 AC翻折，点 B 与点 B重合，边 AB与 y轴交于点 E，求出点 E 的坐标. 26. 已知在VABC中，AC8cm，BC6cm，AB10cm，CD为 AB边上的高 （1）判断VABC的形状，并说明理由 （2）求 CD长； （3）若动点 P 从点 A 出发，沿着 ACBA 运动，最后回到 A 点，速度为 1cm/s，
9、设运动时间为 tst为何值时，VBCP 为等腰三角形？ 27. 如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB10，AD6，动点 P从点 D出发，以每秒 2 个单位速度沿线段 DC向终点 C运动，运动时间为 t秒，连接 AP，把ADP沿着 AP翻折得到AEP （1）如图，射线 PE 恰好经过点 B，试求此时 t的值 （2）当射线 PE与边 AB交于点 Q 时，是否存在这样t的值，使得 QEQB？若存在，请求出所有符合题意的 t的值；若不存在，请说明理由 28. 【阅读】定义：如果 1条线段将一个三角形分成 2 个等腰三角形，那么这 1条线段就称为这个三角形的“好线”， 如果2条线段将一个三角形分成3
10、个等腰三角形， 那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线” 【理解】如图，在ABC中，A27 ，C72 ，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数 如图，在ABC 中，已知 ACBC 且C45 ，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数 【应用】 在ABC中，C24 ，AD和 DE 分别是ABC 的“好好线”，点 D在 BC边上，点 E 在 AB 边上，且 ADDC，BEDE，请你根据题意画出示意图，并求B的度数 2021-2022 学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）期中数学试卷学年江苏省无锡市锡山区八年级（上）期中数学试卷 一、选
11、择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴对各选项一一进行分析即可 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义 2. 4的算术平方根是（
12、） A. 2 B. 2 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义一个正数的正的平方根，0的算术平方根是 0，可得 4 的算术平方根是 2 【详解】解：4 的算术平方根是42 故选择 A 【点睛】本题考查考算术平方根的意义，掌握算术平方根的意义是解题关键 3. 下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1，2 C. 1，2，5 D. 3，2，5 【答案】D 【解析】 【分析】勾股定理的逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可. 【详解】解：
13、22251216913 ,Q 5,12,13能作为直角三角形的三边，故 A不符合题意； 2221122,Q 1,1,2能作为直角三角形的三边，故 B不符合题意； 2221255,Q 1,2, 5能作为直角三角形的三边，故 C不符合题意； 2223275,Q 3,2, 5不能作为直角三角形的三边，故 D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形”是解题的关键. 4. 如图，点 E，F在 AC上，AD=BC，DF=BE，要使ADFCBE，还需要添加的一个条件是（ ） A. A=C B. D=B C. ADBC D. DFBE
14、【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当D=B时， ADFCBE 【详解】当D=B 时， 在 ADF 和 CBE 中 ADBCDBDFBE ， ADFCBE（SAS） 考点：全等三角形的判定与性质 5. 如图，ACBACB，AB经过点 A，BAC70 ，则ACA的度数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】先证明70 ,BACB A CACA C 再求解70 ,CAA 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：Q ACBACB，BAC70 ， 70 ,BACB A CACA C 70 ,CAACA A 180707
15、040 ,ACA 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解题的关键. 6 在联合会上，有 A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳， 谁先抢到凳子谁获胜， 为使游戏公平， 则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的 （ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等即可 【详解】要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等， 凳子要放在三角形的外
16、心位置处即三边垂直平分线的交点， 故选 C 【点睛】本题考查了三角形外心即三角形三边垂直平分线的交点，正确理解题意是解题的关键 7. 如图，在ABC 中，ABC和ACB的平分线相交于点 F，过 F作 DEBC，交 AB 于点 D，交 AC于点E若 BD3，DE5，则线段 EC 的长为( ) A. 3 B. 4 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据ABC中,ABC和ACB的平分线相交于点 F.求证,DBFFBCECFBCF 再利用两直线平行内错角相等,求证出,DFBDBF ,CFEBCF 即 BD=DF,FE=CE,然后利用等量代换即可求出线段 CE 的长. 【详解】AB
17、CQ和ACB的平分线相交于点 F, ,DBFFBCECFBCF DFBCQP,交 AB 于点 D,交 AC于点 E. ,DFBDBF ,CFEBCF 3,BDDFFECE, 5 32CEDEDF 所以 C选项是正确的. 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题. 8. 如图，已知在ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分ABC，交 CD 于点 E，BC=6，DE=3，则BCE的面积等于（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】作 EHBC于 H，根据角平分线的性质得到 EH=DE=3，根据
18、三角形的面积公式计算即可 【详解】解：作 EHBC于 H， BE平分ABC，CD是 AB 边上的高线，EHBC， EH=DE=3， BCE的面积=12BCEH=9， 故选 C 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 9. 如图，在 RtVABC中，AB3，BC8，点 D为 BC的中点，将VABD 沿 AD折叠，使点 B 落在点 E 处，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A. 95 B. 125 C. 185 D. 325 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 BE 交 AD于 O 首先证明 AD垂直平分线段 BE， BCE是直角三角形， 由
19、勾股定理求出 AD=5，求出 OB、BE，在 RtBCE 中，利用勾股定理即可解决问题 【详解】解：如图所示：连接 BE 交 AD于 O， 将ABD沿 AD折叠，使点 B 落在点 E处， ADBE，OB=OE，BD=DE， 在 RtABC 中，BC=8，AB=3，D为 BC 的中点， BD=12CB=4， AD=22ABBD=5， SABD=12BOAD=12ABBD， OB=341255AB BDAD， BE=2OB=245， DE=DB=DC， BCE是直角三角形，BEC=90 ， 在 RtBCE 中，CE=22325BCBE， 故选：D 【点睛】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质、勾股
20、定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高 10. 已知ABC 中，ACBC4，ACB90 ，D 是 AB 边的中点，点 E、F 分别在 AC、BC边上运动，且保持 AECF，连接 DE、DF、EF得到下列结论：DEF 是等腰直角三角形；CEF 面积的最大值是2；EF 的最小值是 2；CDFCEF，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 SAS 定理可证CDF 和ADE全等，从而可证EDF=90 ，DE=DF，可判断；DEF是等腰直角三角形，2DF=EF，当 DF与 BC 垂直，即 DF最小时，EF取最小值 22，可判断；根据两三角形全等时面积也相等得
21、：SCDF=SADE，利用割补法知：S四边形CEDF=SADC，当CEF 面积最大时，此时DEF的面积最小，计算 SCEF=S四边形CEDF-SDEF=SADC-SDEF，代入即可判断；利用三角形的外角性质得到CEF+DEF=A+ADE，即可判断 【详解】解：ABC是等腰直角三角形， DCB=A=45 ，CD=AD=DB； AE=CF， ADECDF（SAS） ； ED=DF，CDF=EDA； ADE+EDC=90 ， EDC+CDF=EDF=90 ， DFE是等腰直角三角形故选项正确； 由于DEF 是等腰直角三角形，因此当 DF 最小时，EF 也最小； 即当 DFBC 时，DF最小，此时 D
22、F=12BC=2 EF=2DF=22故选项错误； ADECDF， SCDF=SADE， S四边形CEDF=SADC 当CEF面积最大时，此时DEF的面积最小， C=90 ，AC=BC=4， AB=2244=42， AD=CD=22， 此时 SCEF=S四边形CEDF-SDEF=SADC-SDEF=12 22 22-12 2 2=4-2=2故选项正确； ADECDF， CDF=ADE， 由于DEF 和ABCF都是等腰直角三角形， A=DEF=45 ， CEF+DEF=A+ADE， CEF=ADE=CDF， 故选项正确； 故正确的有， 故选：A 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直
23、角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第问中，由 DF 的最值来确定 EF 的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每空小题，每空 2 分，共分，共 16 分）分） 11. 下列实数：12，3，1，227，39，中无理数的个数有 _个 【答案】2 【解析】 【分析】整数与分数统称有理数，无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断即可. 【详解】解：11, Q 12，3，1，227，39无理数有：3, 9,3 所以无理数一共有 2 个， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是有理数与无理数的概念，掌握
24、“根据无理数的概念判断无理数”是解题的关键. 12. 点 P（2，3）关于 y轴对称的点的坐标是_ 【答案】 （2，3） 【解析】 【分析】根据“关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解 【详解】解：关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点 P（2，3）关于 y轴对称的点的坐标是（2，3） ， 故答案为： （2，3）. 【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 13. 如图，数轴上点A表
25、示的实数是_ 【答案】51 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出 A 点对应的实数 【详解】解：由图形可得：1 到 A的距离为22125 则数轴上点 A 表示的实数是：51 故答案为51. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出1到 A 的距离是解题关键 14. 象棋是流行广泛的益智游戏 如图是一副象棋残局， 若表示棋子“炮”和“車”的点坐标分别为 （1， 3） ，（2，1） ，则表示棋子“马”的点坐标为 _ 【答案】 （4，3） 【解析】 【分析】根据炮的位置表示的坐标建立平面直角坐标系，然后根据马的位置确定表示的坐标即可 【详解】解：表示棋子“炮”的点坐标为（1，
26、3） ， 棋子“炮”向左 1个格y 轴，向下 3个格为 x轴，两轴交点为坐标原点 O，建立如图平面直角坐标系， 表示棋子“马”的点坐标为（4，3） 故答案为（4，3） 【点睛】本题考查根据点的坐标建立平面直角坐标系，根据直角坐标系表示点的坐标，掌握逆向思维，给点 （a， b） 向左平移 a个单位为 y 轴， 先下平移 b个点位为 x 轴， 两轴交点为坐标原点， 标好单位解题关键 15. 如图，在锐角ABC 中，A75 ，DE 和 DF分别垂直平分边 AB、AC，则DBC 的度数为 _ 【答案】15 【解析】 【分析】连接 DA、DC，根据三角形内角和定理得到ABC+ACB=100 ，根据线段的
27、垂直平分线的性质得到 DA=DB，DA=DC，进而得到 DB=DC，DBA=DAB，DAC=DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案 【详解】解：连接 DA、DC， BAC=75 ， ABC+ACB=180 -80 =105 ， DE和 DF 分别垂直平分边 AB、AC， DA=DB，DA=DC， DB=DC，DBA=DAB，DAC=DCA， DBA+DCA=DAB+DAC=75 ， DBC=DBC=12 （105 -75 ）=15 ， 故答案为：15 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 16. 如图
28、， 已知ABC与ADC 是直角三角形， BD90 ， BC6， CD5 若BAC+2CAD180 ，则 AB的长是 _ 【答案】74#1.75 【解析】 【分析】 延长 CD， BA 交于点 E， 证明CDAEDA （ASA） ， 由全等三角形的性质得出 AC=AE， CD=DE=5，由勾股定理求出 BE的长，设 AB=x，则 AC=AE=8-x，列出方程求出 x 的值可得出答案 【详解】解：延长 CD，BA 交于点 E， BAC+CAD+DAE=180 ，BAC+2CAD=180 ， CAD=DAE， 在CDA和EDA 中， 90CDAEDAADADCADEAD， CDAEDA（ASA） ，
29、 AC=AE，CD=DE=5， CE=10， B=90 ，BC=6， BE=2222106CEBC=8， 设 AB=x，则 AC=AE=8-x， AB2+BC2=AC2， x2+62=（8-x）2， x=74 故答案为：74 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明CDAEDA 是解题的关键 17. 如图，ABC 和DCE都是边长为 4的等边三角形，且点 B、C、E在同一条直线上，点 P 是 CD边上的一个动点，连接 AP、BP，则 AP+BP 的最小值为 _ 【答案】8 【解析】 【分析】连接 PE，根据ABC 和DCE都是边长为 4 的等边三角形，证明ACPECP，可得 A
30、P=EP，所以 AP+BP=AP+EP，当点 P 与点 C重合时，AP+BP 的值最小，正好等于 BE的长，进而可得 AP+BP的最小值 【详解】解：如图，连接 PE， ABC和DCE 都是边长为 4 的等边三角形， AC=EC，ACB=DCE=60 ， ACD=60 ， ACD=DCE， 在ACP和ECP中， ACECACPECPCPCP ， ACPECP（SAS） ， AP=EP， AP+BP=AP+EP， 当点 P与点 C重合时，AP+BP的值最小，正好等于 BE 的长， 所以 AP+BP的最小值为：2 4=8 故答案为：8 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定与性质
31、、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识 18. 如图， 在长方形ABCD的对称轴l上找点P， 使得PAB，PBC均为等腰三角形， 则满足条件的点P有_个. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用分类讨论的思想， 此题共可找到 5个符合条件的点： 一是作 AB或 DC的垂直平分线交 l于 P；二是在长方形内部在 l上作点 P，使 PA=AB，PD=DC，同理，在 l上作点 P，使 PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外 l上作点 P，使 AB=BP，DC=PC， 同理，在长方形外 l上作点 P，使 AP=AB，PD=DC 【详解】如图，作 AB 或 DC的垂直平分线交 l于 P
32、， 如图，在 l上作点 P，使 PA=AB，同理，在 l上作点 P，使 PC=DC， 如图，在长方形外 l上作点 P，使 AB=BP，同理，在长方形外 l上作点 P，使 PD=DC， 故答案为:5. 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用. 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 10 小题， 共小题， 共 84分， 解答应写出必要的计算过程、 推演步骤或文字说明）分， 解答应写出必要的计算过程、 推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1）39+1282 ； （2）022115422 【答案】 （1）4； （2）132 【解析】 【分析】 （1）先计算算
33、术平方根，绝对值，立方根，再合并同类二次根式与同类项即可； （2）先计算算术平方根，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： （1）39+1282 32122 3 1 24 （2）022115422 1912 113 1322 【点睛】 本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义， 绝对值的化简，求解一个数的算术平方根与立方根，二次根式的加减，掌握“实数的混合运算”是解题的关键. 20. 求下列各式中 x 的值： （1）4（x2）236； （2） （x+5）3270 【答案】 （1）125,1xx ； （2）2x 【解析】 【分析】 （1）方程两边先都除以 4，再利用平方根的含义求解即可；
34、 （2）先移项，方程化为3527x，再利用立方根的含义解方程即可. 【详解】解： （1）4（x2）236 两边都除以 4得：229x 23x 或23x 解得：125,1xx （2） （x+5）3270 移项得：3527x 53x 解得：2x 【点睛】本题考查的是利用平方根的含义与立方根的含义解方程，掌握“若20 xa a，则xa 与若3,xa 则3xa”是解题的关键. 21. 利用网格作图要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹 （1）在图中找一点 P，使点 P到 AB和 AC的距离相等且 PBPC； （2）在图中，ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出ABC 的角平分线 BD. 【答案】 （1
35、）作图见解析； （2）作图见解析 【解析】 【分析】 （1） 利用网格图的性质， 作BAC的角平分线， 再确定BC的中点,O 利用网格图的性质取格点,Q 作射线QO与BAC的角平分线的交点P即为所求作的点； （2）取格点,Q 使5,BQ 由勾股定理可得5,AB 连接,AQ 确定AQ的中点,H 连接,BH 交AC于,D 从而可得答案. 【详解】解： （1）如图，点P即为所求作的点， （2）如图，线段BD即为所求作的ABCV的角平分线， 【点睛】本题考查是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键. 22. （1）已知 2a1
36、的平方根是 3，3a+b1 的平方根是 4，求 a+2b 的平方根； （2）若 x，y都是实数，且 y8+3x+3x，求 x+3y 的立方根 【答案】 （1）3； （2）3 【解析】 【分析】 （1）由 2a1 的平方根是 3，3a+b1 的平方根是 4，列方程组2193116aab ，再解方程组，求解2ab，从而可得答案； （2）先根据二次根式有意义的条件求解3,x 再求解8,y 再求解3xy的立方根即可. 【详解】解： （1）Q 2a1的平方根是 3，3a+b1的平方根是 4， 21931 16aab 由得：5,a 把5a代入得：2,b 52ab 252 29,ab 而 9的平方根是3,
37、+2ab的平方根是3. （2）Q y8+3x+3x， 3030 xx 解得：3,x 8008,y 333 827,xy 而27的立方根是 3， 3xy 的立方根是 3. 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，平方根，算术平方根，立方根的含义，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解题的关键. 23. 如图，DEAB 于 E，DFAC于 F，若 BDCD，BECF （1）求证：ADEADF； （2）已知 AC18，AB12，求 BE的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）3 【解析】 【分析】 （1）先证明：,Rt BDERt CDFVV可得,DEDF 再证明Rt
38、 ADERt ADFVV即可； （2）由18,12,ACAFCFABAEBE再证明,AEAF 结合,BECF 从而可得结论. 【详解】证明： （1）Q DEAB于 E，DFAC于 F， 90 ,DEBDFC Q BDCD，BECF, ,Rt BDERt CDFVV ,DEDF ,90 ,ADADAEDAFD Q ,Rt ADERt ADFVV （2）18,12,ACAFCFABAEBEQ ,Rt ADERt ADFQVV ,AEAF 而,BECF 230,ABACAE 15,AEAF 18 153,BECF 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，掌握“斜边与一条直角边对应相等的两个直
39、角三角形全等”是解题的关键. 24. 如图，四边形 ABCD中，ABCBACADC45 ，作ACEBCD （1）求证：AEBD （2）若 AD1，CD3，试求出四边形 ABCD的对角线 BD 的长 【答案】 （1）证明见详解； （2）BD=19 【解析】 【分析】（1） 设BD交AE于F， 交AC于G， 根据ACEBCD 可得EAC=DBC， 由ABCBAC=45 ，可求ACB=90 ，然后求出FAG+AGF=GBC+CGB=90 即可 （2） 连接 DE， 由ACEBCD 可得 AE=BD， CE=CD， ACE=BCD， 可证DCE 为等腰直角三角形，可得EDC=45 ，可求EDA=90
40、，然后根据勾股定理先求 DE，再求 AE即可 详解】解： （1）设 BD 交 AE于 F，交 AC于 G ACEBCD EAC=DBC， ABCBAC=45 ， ACB=180 -ABC-BAC=180 -45 -45 =90 ， CGB+GBC=90 ， FAG+AGF=GBC+CGB=90 ， AFG=180 -（FAG+AGF）=180 -90 =90 ， AEBD （2）连接 DE， ACEBCD AE=BD，CE=CD，ACE=BCD， DCE=ACE-ACD=BCD-ACD=BCA=90 ， DCE为等腰直角三角形， EDC=45 ， ADC45 ， EDA=EDC+CDA=45
41、+45 =90 ， 在等腰直角DCE 中，CD=CE=3, DE=2222333 2CDCE, 在 RtADE 中，AD=1，DE=3 2， AE=222213 219ADDE， BD=AE=19 【点睛】 本题考查三角形全等性质， 等腰直角三角形的判定与性质， 两直线垂直转化为三角形两锐角和 90 ，勾股定理，本题难度一般，通过辅助线构造等腰直角三角形是解题关键 25. 如图，在长方形 OABC 中，O为平面直角坐标系的原点，点 A的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， 点 B 在第一象限点 P 从原点出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着 O-A-B-C-O 的路线匀速移动（即
42、：沿着长方形移动一周） 点 P 移动的时间为 ts （1）点 B 的坐标为 ；当 t4s 时，点 P的坐标为 （2）在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 5个单位长度时，求点 P移动的时间 （3）如图，若将长方形 OABC 沿着 AC翻折，点 B 与点 B重合，边 AB与 y轴交于点 E，求出点 E 的坐标. 【答案】 （1） （4，6） ， （4，4） ； （2）当点 P 到 x 轴的距离为 5 个单位长度时，求点 P 移动的时间是 4.5s 或7.5s； （3）点 E 的坐标为（0，53） 【解析】 【分析】 （1）根据正方形的性质，坐标与图形性质解答； （2）分点 P在 AB上和点
43、 P在 OC上两种情况，根据题意计算； （3）根据翻转变换的性质得到B=B=90 ，BC=BC=OA=4，证明CBEAOE，根据全等三角形的性质得到 BE=OE，根据勾股定理计算，求出 OE，得到答案 【详解】解： （1）四边形 OABC 为矩形，点 A的坐标为（4，0） ，点 C的坐标为（0，6） ， 点 B的坐标为（4，6） ； 当 t=4s 时，点 P在 AB上，AP=2 4-4=4， 点 P的坐标为（4，4） ， 故答案为： （4，6） ， （4，4） ； （2）当点 P在 AB上时，AP=5， OA+AB=9， t=92=4.5（s） ， 当点 P在 OC上时，OP=5， 则 CP=
44、6-5=1， OA+AB+BC+CP=15， t=152=7.5（s） ， 综上所述，当点 P 到 x 轴的距离为 5 个单位长度时，求点 P 移动的时间是 4.5s 或 7.5s； （3）由折叠的性质可知，B=B=90 ，BC=BC=OA=4， 在CBE 和AOE中， BAOECEBAEOB COA ， CBEAOE（AAS） BE=OE， 在 RtCBE 中，CE2=BE2+BC2，即（6-OE）2=OE2+42， 解得：OE=53， 则点 E的坐标为（0，53） 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，翻
45、转变换的性质是解题的关键 26. 已知在VABC中，AC8cm，BC6cm，AB10cm，CD为 AB边上的高 （1）判断VABC的形状，并说明理由 （2）求 CD的长； （3）若动点 P 从点 A 出发，沿着 ACBA 运动，最后回到 A 点，速度为 1cm/s，设运动时间为 tst为何值时，VBCP 为等腰三角形？ 【答案】 （1）直角三角形，证明见解析； （2）245cm； （3）2或 20或 19 或1065 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理判断即可 （2）利用面积法可知，SABC=12CDAB=12ACBC，由此求出 CD即可 （3）份点 P在线段 AC上，在线段 BA
46、 上，分别求出点 P 的运动路程，可得结论 【详解】解： （1）ABC是直角三角形， 理由：AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm， AC2+BC2=AB2， ACB=90 ， ABC是直角三角形 （2）CDAB，ABC是直角三角形， SABC=12CDAB=12ACBC， 12 CD 10=12 8 6， CD=245cm； （3）C=90 ，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm， BCP 为等腰三角形时，分三种情况： 如果 CP=CB，那么点 P在 AC上，AP=2cm，此时 t=2（秒） ； 如果 BC=BP，那么点 PAB 上，BP=6cm，CA+BC+BP=8+6+6=20
47、（cm） ，此时 t=20（秒） ； 如果 PB=PC， 那么点 P在 BC的垂直平分线与 AB的交点处， 即在 AB 的中点， 此时 CA+BC+BP=8+6+5=19（cm） ，t=19（秒） ， 当 CP=CB 时，t=8+6+2185=1065， 综上可知，当 t=2或 20 或 19 或1065时，BCP为等腰三角形 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 27. 如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB10，AD6，动点 P从点 D出发，以每秒
48、2 个单位的速度沿线段 DC向终点 C运动，运动时间为 t秒，连接 AP，把ADP沿着 AP翻折得到AEP （1）如图，射线 PE 恰好经过点 B，试求此时 t的值 （2）当射线 PE 与边 AB交于点 Q 时，是否存在这样的 t的值，使得 QEQB？若存在，请求出所有符合题意的 t的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）1ts； （2）存在，0.9ts或5 .ts 【解析】 【分析】 （1） 先证明APD=EPA=PAB， 得 AB=PB=10， 根据勾股定理得 PC=8， 由 PD=2=2t， 可得结论； （2） 分两种情况： 点 E 在矩形的内部时， 先求解5+ ,AQt= 再过点
49、P作 PHAB于 H， 过点 Q作 QGCD于 G，求解29tPGt，2992,tAQPDPGtttt 再建立方程求解即可；当点 E 在矩形的外部，可得 AB=2t，从而可得答案. 【详解】解： （1）如图 1，Q 长方形ABCD， ,ABCD DPA=PAB， 由轴对称得：DPA=EPA， EPA=PAB， BP=AB=10， 在 RtPCB中，由勾股定理得：228,PCPBBC PD=2=2t， t=1； （2）存在，分两种情况： 当点 E 在矩形 ABCD内部时，如图， QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-2t， 而 QE=QB，由（1）同理可得：PQ=AQ， QB=AQ-2t， AQ+
50、BQ=AB=10， AQ+AQ-2t=10， AQ=5+t， 如图，过点 P 作 PHAB于 H，过点 Q作 QGCD于 G， PH=QG=AD=6， 而222222636PQPGQGPGPG， 2236AQPG， AQ=DG=DP+PG， 2236DPPGPG ， PD=2t， 22236tPGPG， 解得：29tPGt， 2992,tAQPDPGtttt 910ttt ， 解得：0.9t ； 经检验，符合题意， 当点 E在矩形 ABCD的外部时，如图， QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ， 同理：AQPQ， QE=QB， BQ=2t-AQ， AB-AQ=2t-AQ， AB=2t， 1
