1、2021-2022 学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1. 方程 x2-2x=0的根是（ ） A. x1=x2=0 B. x1=x2=2 C. x1=0，x2=2 D. x1=0，x2=-2 2. 下列各组中的四条线段，能构成比例线段的是（ ） A. Icm，2cm，4cm，6cm B. 2cm，4cm，0.4cm，7cm C. 3cm，9cm，18cm，6cm D. 3cm，4c
2、m，5cm，6cm 3. 用配方法解方程2x2x10 时，配方后所得的方程为【 】 A. 2x10（） B. 2x10（） C. 2x12（） D. 2x12（） 4. 一元二次方程 x22x10根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 6. 小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 23 D. 1 7.
3、 在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 DEAC，EFAB，若 BD2AD，则CFAF 的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 23 8. 如图， 在平面直角坐标系中， 以原点 O为位似中心， 将ABO扩大到原来的 2倍， 得到对应的ABO 若点 A 的坐标是（1，2） ，则点 A的坐标是（ ） A. （4，2） B. （2，4） C. （4，2） D. （2，4） 9. 如图， 在菱形 ABCD中， 对角线 AC， BD交于点 O， AO3， ABC60 ， 则菱形 ABCD 的周长是 （ ） A 36 B. 24 C. 12 D. 6 10. 如图
4、，在矩形 ABCD中，P 为 BC边的中点，E、F分别为 AB、CD边上的点，若 BE2，CF3，EPF90 ，则 EF的长为（ ） A. 5 B. 26 C. 25 D. 4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 已知2ab，则abab_ 12. 两个相似三角形对应高的比为 4：1，那么这两个相似三角形的面积比是 _ 13. 若直角三角形的两条直角边分别 5和 12，则斜边上的中线长为 _ 14. 在一个暗箱里放有 m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入 3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个
5、球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 25%，推算 m 的值大约是 _ 15. 关于 x 的一元二次方程（m3）x2+（2m1）x+m290 的一个根是 0，则 m 的值是 _ 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8，P 是 AD 上不与 A和 D重合的一个动点，过点 P 分别作 AC和 BD的垂线，垂足分别为 E，F，则 PE+PF_ 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22分）分） 17. 用公式法解方程：4x2312x. 18. “一方有难，八方支援”2020 年初武汉受到新
6、型冠状肺炎影响，沈阳某医院准备从甲、乙、丙三位医生和 A，B，C三名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉用树状图或列表法求恰好选中医生甲和护士A 的概率 19. 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，E是 CD中点，连接 OE过点 C作 CF/BD交 OE延长线于点 F，连接 DF （1）求证：四边形 OCFD是矩形； （2）若 DF2，CF3，求菱形 ABCD的面积 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计 2021 年某区 8 月份租用单车次数 6400辆，10 月份租用单
7、车次数 10000辆 （1）若该区 2021年 8 月至 10 月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区 11 月份单车次数租用 辆 21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E是 AB延长线上的一点，DE 交 BC 于点 F （1）求证：DFCEFB； （2）若 DC6，BE4，DE8，求 DF 的长度 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22. 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的 4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张， 小丁从剩余的 3 张牌中也在、 抽出一张
8、,比较两人抽取的牌面上的数字， 数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23. 已知：在矩形 ABCD中，AB6，BC3，BD垂直平分线 EF分别交 AB，CD于点 E，F，垂足为 O （1）如图 1，连接 DE，BF 求证：四边形 DEBF为菱形； 直接写出 AE的长 （2）如图 2，动点 P，Q分别从 D，B 两点同时出发，沿VDEA 和VBCF各边匀速运动一周，即点 P自DEAD停止，点 Q自 BCFB 停止，在运动过程中，若点 P，Q的运动路程分别为 x，y（xy0） ，已知 A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出
9、x与 y满足的数量关系式 七、 （本题七、 （本题 12 分）分） 24. 某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售 40 件，每件盈利 60 元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价 1元，商场平均每天可多销售 2件 （1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到 3150元？ （2）试问，商店日盈利能否达到 3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25. （1）矩形 ABCD中，ABa，BCb，EFGH于 P，EF 分别交 AB，CD于点 E，F，GH分别交 AD，BC 于点 G，H 如图 1，当 ab时，线段 EF与线段 G
10、H 的数量关系是 ； 如图 2，当 ab 时，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （2）如图 3， 在四边形 ABCD 中， BCCD10， BADC90 ，AEDF于 P， 点 E， F分别在边 BC，AB 上，若54AEDF，请直接写出 AB 的长 2021-2022 学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1. 方程 x2-2x=0的
11、根是（ ） A. x1=x2=0 B. x1=x2=2 C. x1=0，x2=2 D. x1=0，x2=-2 【答案】C 【解析】 【详解】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式 x可得 x（x-2）=0，然后按照 ab=0 的形式的方程解法，可得 x=0或 x-2=0，解得 x10，x22. 故选 C. 点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用. 2. 下列各组中的四条线段，能构成比例线段的是（ ）
12、A. Icm，2cm，4cm，6cm B. 2cm，4cm，0.4cm，7cm C. 3cm，9cm，18cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，两条线段的乘积相等则能构成比例线段，否则不能 【详解】 由于 318=96， 即 C 选项中四条线段能构成比例线段， 其它选项中的四条线段不能构成比例线段 故选：C 【点睛】本题考查了比例线段，四条线段成比例线段，则其中两条线段的比与另两条线段的比相等，或者两条线段的乘积等于另两条线段的乘积 3. 用配方法解方程2x2x10 时，配方后所得的方程为【 】 A. 2x10（） B. 2x10
13、（） C. 2x12（） D. 2x12（） 【答案】D 【解析】 【详解】根据配方的正确结果作出判断： 2222x2x10 x2x1x2x11 1x12 故选 D 4. 一元二次方程 x22x10根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】求出方程的判别式即可判断 【详解】解：（2）24 （1）80， 方程有两个不相等的实数根 故选：D 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点 5. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形
14、 B. 平行四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边 AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形 【详解】解：如图， 根据题意得四边形EFGH是菱形，点,E F G H分别是边,AD AB BC CD的中点， EFFGGHEH，2BDEF，2ACFG， BDAC， 原四边形一定是对角线相等的四边形 故选 C 【点睛】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 6.
15、 小华、小强和小彬三位同学随机地站成一排做游戏，小华站在排头的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 23 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用树状图展示所有 6种等可能的结果，小华站在排头的有 2种，再根据概率公式求解即可. 详解】画树状图如下： 总共 6 种排列结果，小华站在排头的有 2 种，所以小华站在排头的概率2163P . 【点睛】本题考查求概率，熟练掌握树状图法和列表法列举出所有等可能的情况数，再找到符合条件的情况数，是求概率的关键. 7. 在ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 DEAC，EFAB，若 BD2AD，则CFAF 的值为（ ） A
16、. 12 B. 13 C. 14 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可 【详解】解：DEAC，EFAB，BD2AD， CEADCF1BEBDAF2， 故选 A 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理（平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例） ，正确得出比例式是解题关键 8. 如图， 在平面直角坐标系中， 以原点 O为位似中心， 将ABO扩大到原来的 2倍， 得到对应的ABO 若点 A 的坐标是（1，2） ，则点 A的坐标是（ ） A. （4，2） B. （2，4） C. （
17、4，2） D. （2，4） 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，只要把点 A坐标都乘以-2 即可得到点 A的坐标 【详解】由题意知，点 A的坐标为（2，-4） 故选：B 【点睛】本题考查位似图形对应点的坐标特征，若以原点为位似中心，且位似比为 k，则对应点的坐标分别乘以-k 即可掌握这一特征是解题的关键 9. 如图， 在菱形 ABCD中， 对角线 AC， BD交于点 O， AO3， ABC60 ， 则菱形 ABCD 的周长是 （ ） A. 36 B. 24 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明ABC 是等边三角形，再求出 AB=AC=2AO，故可求解 【详解】四边形 A
18、BCD是菱形 AB=BC，AC=2AO=6 ABC60 ， ABC是等边三角形， AB=AC=6 菱形 ABCD的周长为 4AB=24 故选 B 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、菱形的特点 10. 如图，在矩形 ABCD中，P 为 BC边的中点，E、F分别为 AB、CD边上的点，若 BE2，CF3，EPF90 ，则 EF的长为（ ） A. 5 B. 26 C. 25 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求出 BP，PC，再利用勾股定理求出 PE，PF即可解决问题 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形， BC90 ， EPF90 ，
19、 EPB+CPF90 ，CPF+CFP90 ， EPBCFP， EPBPFC， BECPBPCF， PBCP，BE2，CF3， BPPC6， PE22BEPB222( 6)10，PF22PCCF22( 6)315， EF22PEPF22( 10)( 15)5， 故选 A 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质和勾股定理,掌握相似三角形的性质列比例式及勾股定理解直角三角形是解决此题的关键. 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 已知2ab，则abab_ 【答案】3 【解析】 【分析】首先由2ab，可设 a2k，bk，然后将其代入abab，即可求得答案
20、 【详解】解：2ab， 设 a2k，bk， abab22kkkk3 故答案为：3 【点睛】本题考查了分式的化简求值，本题的关键是能利用设 k法，设出未知数 12. 两个相似三角形对应高的比为 4：1，那么这两个相似三角形的面积比是 _ 【答案】16:1 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质知，若两个三角形相似，则面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，由此即可得到答案 【详解】解：因为相似三角形对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，又知对应高的比为4:1，所以这两个相似三角形的面积比为：16:1 故答案为：16:1 【点睛】本题考查相似三角形的性质，牢记性质内容是解此类题的关键
21、 13. 若直角三角形的两条直角边分别 5和 12，则斜边上的中线长为 _ 【答案】6.5 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算出斜边，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】解：因为直角三角形的两条直角边分别 5和 12， 由勾股定理可得：斜边=2251216913， 因为斜边上的中线等于斜边的一半， 所以斜边中线=13 2=6.5， 故答案为：6.5. 【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 14. 在一个暗箱里放有 m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球
22、的个数，再放入 3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 25%，推算 m 的值大约是 _ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得摸到一个黄球的概率为33m，把摸到黄球的频率作为摸到黄球的概率，即可求得 m的值 【详解】由题意，摸到一个黄球的概率为33m 则325%3m 解得：m=9 即 m 的值大约是 9 故答案为：9 【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率 15. 关于 x 的一元二次方程（m3）x2+（2m1）x+m290
23、 的一个根是 0，则 m 的值是 _ 【答案】3 【解析】 【分析】把方程的根代入方程中，得到关于 m的方程，解方程即可 【详解】把 x=0代入（m3）x2+（2m1）x+m290中，得：m290 即 m2=9 解得：m=3 或 m=3 但当 m=3时，一元二次方程的二次项系数 m-3=3-3=0，不符合题意 故 m=3 应舍去 所以 m=3 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及解一元二次方程，掌握一元二次方程解的概念是关键但要注意验证一元二次方程的二次项系数非零，切记 16. 如图，在矩形 ABCD中，AB6，AD8，P 是 AD 上不与 A和 D重合的一个动点，过点 P
24、 分别作 AC和 BD的垂线，垂足分别为 E，F，则 PE+PF_ 【答案】245 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得90 ,10BADBD，再根据相似三角形的判定与性质可得PFPDABBD，从而可得35PFPD，同样的方法可得出35PEPA，然后根据线段的和差即可得 【详解】解：Q在矩形ABCD中，6,8ABAD， 2290 ,6,10BADCDABBDABAD， 在DPFV和DBAV中，90PDFBDAPFDBAD ， DPFDBAVV， PFPDABBD，即610PFPD， 35PFPD， 同理可得：35PEPA， 33332455555PEPFPAPDPAPDAD， 故答
25、案为：245 【点睛】本题考查了矩形性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 小题各小题各 8 分，共分，共 22分）分） 17. 用公式法解方程：4x2312x. 【答案】x132 32，x2322 3. 【解析】 【分析】方程整理后，找出 a，b，c 的值，代入求根公式即可求出解 【详解】方程整理得：4x212x3=0， 这里 a=4，b=12，b=3， =144+48=192，x=128 38=32 32，x132 32，x232 32 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，
26、熟练掌握求根公式是解答本题的关键 18. “一方有难，八方支援” 2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，沈阳某医院准备从甲、乙、丙三位医生和 A，B，C三名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉用树状图或列表法求恰好选中医生甲和护士A 的概率 【答案】19 【解析】 【分析】利用树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出恰好选中医生甲和护士 A 的结果数，然后根据概率公式求解 【详解】画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中恰好选中医生甲和护士 A的结果数为 1， 所以恰好选中医生甲和护士 A 的概率19 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
27、n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A或 B 的概率 19. 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 交于点 O，E是 CD中点，连接 OE过点 C作 CF/BD交 OE的延长线于点 F，连接 DF （1）求证：四边形 OCFD是矩形； （2）若 DF2，CF3，求菱形 ABCD的面积 【答案】 （1）见解析（2）12 【解析】 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等可得ODEFCE，根据线段中点的定义可得 CEDE，然后利用“角边角”证明ODE 和FCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ODFC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边
28、形判断出四边形 ODFC 是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出COD90，即可得出结论 （2）根据矩形与菱形的性质求出 AC、BD，根据菱形的面积公式即可求解 【详解】证明： （1）CF/BD， ODEFCE， E是 CD 中点， CEDE， 在ODE 和FCE 中，ODEFCEDECEDEOCEF， ODEFCE（ASA） ； ODFC， CF/BD， 四边形 OCFD是平行四边形， 四边形 ABCD是菱形， ACBD， COD90， 四边形 OCFD是矩形 （2）四边形 OCFD 是矩形，DF2，CF3， OC=DF=2，OD=CF=3 四边形 ABCD是菱形 AC=2OC=4，BD
29、=2OD=6 菱形 ABCD的面积为114 61222ACBD 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20. 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计 2021 年某区 8 月份租用单车次数 6400辆，10 月份租用单车次数 10000辆 （1）若该区 2021年 8 月至 10 月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ （2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区
30、11 月份单车次数租用 辆 【答案】 （1）25%； （2）12500 【解析】 【分析】 （1）设该区单车租用次数的月平均增长率是 x，根据等量关系：8 月份租用单车次数 （1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据：10 月份租用单车次数（1+月平均增长率）即可得 11 月份单车租用次数的辆数 【详解】 （1）设该区单车租用次数的月平均增长率是 x，则由题意可得：26400(1)10000 x 解方程，得：0.25x或2.25x（舍去） 即该区单车租用次数的月平均增长率是 25%； （2）10000 (125%)12500（辆） 即 11 月份单车
31、次数租用 12500辆； 故答案为：12500 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键 21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E是 AB延长线上的一点，DE 交 BC 于点 F （1）求证：DFCEFB； （2）若 DC6，BE4，DE8，求 DF 的长度 【答案】 （1）见解析（2）245 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 AE/CD，即可得出ECDF，进而利用两角对应相等的三角形相似得出即可； （2）由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案 【详解】 （1）证明：平行四边形 ABCD中， AE/CD， ECDF， DFCEF
32、B， DFCEFB （2）解：由（1）得：DFCEFB， DCDFBEEF，即648DFDF， 解得：DF245 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质等知识； 证明三角形相似是解题的关键 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22. 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的 4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张， 小丁从剩余的 3 张牌中也在、 抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字， 数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率 【答案】树状图见解析；12 【解析】 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出小红获胜的结
33、果数，然后根据概率公式求解 【详解】画树状图为： 共有 12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为 6， 所以小红获胜的概率12 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率 六、 （本题六、 （本题 10 分）分） 23. 已知：在矩形 ABCD中，AB6，BC3，BD的垂直平分线 EF 分别交 AB，CD于点 E，F，垂足为 O （1）如图 1，连接 DE，BF 求证：四边形 DEBF为菱形； 直接写出 AE的长 （2）如图 2，动点 P，Q分别
34、从 D，B 两点同时出发，沿VDEA 和VBCF各边匀速运动一周，即点 P自DEAD停止，点 Q自 BCFB 停止，在运动过程中，若点 P，Q的运动路程分别为 x，y（xy0） ，已知 A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 x与 y满足的数量关系式 【答案】 （1）见解析；94； （2）xy9 【解析】 【分析】 （1）首先证明BOEDOFVV，由此可得 OFOE，则可以证明四边形 DEBF是菱形； 设 AEx，在直角VADE中利用勾股定理即可列方程求解； （2）以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q 在互相平行的对应边上，由此分三种情况进行讨论即可
35、求解 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD是矩形， ABCD， EBDFDB，BEFDFE， EF 垂直平分 BD，垂足为 O， EFBD，OBOD， 在BOE和DOF中， BEODFOEBOFDOOBOD ， ()BOEDOF AAS， OEOF， OEOF，OBOD， 四边形 DEBF 为平行四边形， 又EFBD， 四边形 DEBF 为菱形； 解：设 AEx，则 BE6x， 四边形 DEBF 为菱形， DEBE6x， 四边形 ABCD为矩形，BC3， ADBC3，A90， 在RtADE中，222ADAEDE， 32+x2（6x）2， 解得：x94， AE94， 故答案为：94； （2）解
36、：由（1）得：AE94， BEABAE694154， 四边形 DEBF 为菱形， BFDFDEBE154， 四边形 ABCD为矩形，AB6， CDAB6， CDDFABAE， 即：CFAE94， 由题意得，以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q在互相平行的对应边上 分三种情况： 如图，当 P点在 AD 上、Q点在 BC 上时，则 APCQ， 又APxDEAEx15494x6，CQBCBQ3y， x63y， 即 xy9； 如图，当 P点在 AE 上、Q点在 CF 上时，则 APCQ， 又APDEAEx15494x6x，CQyBCy3， 6xy3， 即 xy9； 如图，当
37、P点在 DE 上、Q点在 BF 上时，则 APCQ，APCQ， 延长 AP 交 CD于点 H， APCQ， AHDQCF， ABCD， AHDPAE， PAEQCF， PAE和QCF中， APCQPAEQCFAECF， ()PAEQCF SAS， PEQF， 又PEDEDP154x，QFyBCCFy394， 154xy394， 即 xy9， 综上所述，x与 y满足的数量关系式是 xy9 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确理解以 A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时点 P、Q在互相平行的对应边上是解决本题的关键 七、 （本题七、 （本题 12
38、分）分） 24. 某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售 40 件，每件盈利 60 元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价 1元，商场平均每天可多销售 2件 （1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到 3150元？ （2）试问，商店日盈利能否达到 3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由 【答案】 （1）每件商品降价 25 元时，商场日盈利可达到 3150 元； （2）商场日盈利不能达到 3300元，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到 3150 元，则商场每天多销售 2x 件，根据“某种商品平均每天可销售 40 件，每件
39、盈利 60 元，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多销售 2 件” ，列出关于x 的一元二次方程，解之即可； （2）设每件商品降价 y 元时，商场日盈利可达到 3300 元，则商场每天多销售 2y 件，根据“某种商品平均每天可销售 40 件，每件盈利 60 元，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多销售 2 件” ，列出关于 y 的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案 【详解】解： （1）设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到 3150元， 则商场每天多销售 2x 件， 根据题意得： （60 x） （40+2x）3150， 整理得：x240 x+3750，
40、解得：x115，x225， 清理商品库存， x25， 答：每件商品降价 25元时，商场日盈利可达到 3150元； （2）设每件商品降价 y元时，商场日盈利可达到 3300 元， 则商场每天多销售 2y 件， 根据题意得： （60y） （40+2y）3300， 整理得：y240y+4500， 16001800 2000， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到 3300 元， 答：商场日盈利不能达到 3300元 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，正确假设未知数，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25. （1）在矩形 ABCD中，ABa，BC
41、b，EFGH于 P，EF分别交 AB，CD于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H 如图 1，当 ab时，线段 EF与线段 GH 的数量关系是 ； 如图 2，当 ab 时，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （2）如图 3， 在四边形 ABCD 中， BCCD10， BADC90 ，AEDF于 P， 点 E， F分别在边 BC，AB 上，若54AEDF，请直接写出 AB 的长 【答案】 （1）相等；不成立，EFbGHa=； （2）20 【解析】 【分析】 （1） 分别过点 H、 E作 HMAD于 M， ENDC于 N， 则由四边形内角
42、和可证得MGH=NFE，易得 MH=EN，从而HMGENF，从而可得 EF=GH； 结论不成立； 分别过点 H、 E作 HMAD于 M， ENDC于 N， 则由四边形内角和可证得MGH=NFE，从而可得 RtHMGRtENF，根据相似三角形的性质即可得EFbGHa=； （2）过点 D作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 N，过点 A作 BC的平行线交 DN 于点 M，连接 AC，则四边形 AMNB是矩形；易得 RtABCRtADC，则有 AD=AB；由（1）知 AEABDFAM54，设 AD=AB=5a，则 AM=4a，从而由勾股定理可得 MD=3a，则 DN=2a，CN=4a10，在Rt
43、CDN中，由勾股定理建立方程即可求得 a，进而求得 AB的长 【详解】 （1）分别过点 H、E作 HMAD于 M，ENDC于 N，如图 AMH=END=90 四边形 ABCD是正方形 AB=AD，A=B=D=90 四边形 AMHB、四边形 AEND 都是矩形 MH=AB，EN=AD MH=EN GHEF GPF=D=90 由四边形内角和知，HGD+NFE=180 MGH+HGD=180 MGH=NFE 在HMG与ENF中 HMGENFMGHEFNMHEN HMGENF EF=GH 故答案为：EF=GH； 结论不成立，EFbGHa=；理由如下： 分别过点 H、E作 HMAD于 M，ENDC于 N
44、，如图 HMG=ENF=90 四边形 ABCD是矩形 AD=BC=b，A=B=D=90 四边形 AMHB、四边形 AEND 都是矩形 HM=AB=a，EN=AD=b GHEF GPF=D=90 由四边形内角和知，HGD+NFE=180 MGH+HGD=180 MGH=NFE HMGENF EFENbGHHMa （2） 过点 D作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 N， 过点 A作 BC的平行线交 DN 于点 M， 连接 AC， 如图，则四边形 AMNB是矩形 MN=AB，AM=BN B=ADC=90，BC=DC，AC=AC RtABCRtADC AD=AB 由（1）知AEABDFAM54 设 AD=AB=5a，则 AM=BN=4a，MN=AB=5a 在 RtAMD中，由勾股定理得：MD=3a DN=MNMD=2a，CN=BNBC=4a10 在 RtCDN 中，由勾股定理可得：222DNCNCD 即aa224(410)100 解得：a=4 AB=5 4=20 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，感受从特殊到一般的研究方法， （2）中构造矩形 AMNB 是本题的难点，运用（1）中的结论是解决（2）问的关键
