1、广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 2021-2022 学年初三上学期期中考试试题学年初三上学期期中考试试题 考试时间考试时间 120分钟，满分分钟，满分 120 分分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）符合题目要求） 1. 一元二次方程 x23x40的一次项系数是（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 4 2. 二次函数 y（x2）23 的图象的顶点坐标是（ ） A （2，3） B. （2，3） C. （2，3） D. （2，3） 3. 下
2、列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将正方形 ABCD绕点 A顺时针方向旋转 180 后，点 C 的坐标是（ ） A. （3，0） B. （2，0） C. （1，0） D. （2，1） 5. 关于x的一元二次方程22110axxa 的一个根是 0，则a值为（ ） A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 12 6. 用配方法解方程2610 xx ，方程应变形为（ ） A 2(3)8x B. 2(3)10 x C. 2(6)10 x D. 2(6)8x 7. 如图，AB 是O 的直径，CAB=40 ，则D=（ ） A. 60 B. 30 C. 40 D.
3、 50 8. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x个队参赛，则 x满足的关系式为（ ） A. 12x（x1）28 B. 12x（x1）28 C. x（x1）28 D. x（x1）28 9. 如图， ABC 中， CAB=65 ， 在同一平面内， 将 ABC 绕点 A 旋转到 AED 的位置， 使得 DCAB，则BAE 等于（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 10. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，与 x轴的一个交点坐标为( 1,0)，其部分
4、图象如图所示，下列结论：240bac；方程 ax2+bx+c=0 的两个根是11x ，x2=3；3a+c0；当 y0时，x 的取值范围是13x ；当 x0时，y随 x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 5 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 在平面直角坐标系中，点 P(-1，2)关于原点对称的点的坐标是_ 12. 方程22x xx的解是_ 13. 抛物线 yx2+2x+m顶点在第二象限，则 m的取值范围是_ 14. 生物兴趣小组学生，将自己收集的标本向本组其他成
5、员各赠送一件，全组共互赠了 132件，如果全组共有 x 名同学，根据题意列出的方程是_ 15. 如图，四边形 ABCD内接于O，四边形 ABCO是平行四边形，则ADC=_ 16. 如图，ABy 轴，垂足为 B，将ABO绕点 A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点 B 的对应点 B1落在直线33yx 上，再将AB1O1绕点 B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点 O1的对应点 O2落在直线33yx 上， 依次进行下去若点 B的坐标是 （0，1） ， 则点 O12的纵坐标为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72分）分） 17 解方程2213xx 18. ABC在平
6、面直角坐标系中的位置如图所示： 作出ABC绕原点顺时针旋转 90的图形A1B1C1， 并写出点 A1坐标 19. 如图，O 的半径 OB=5cm，AB 是O 的弦，点 C 是 AB 延长线上一点，且OCA=30，OC=8cm，求 AB 的长 20. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c经过点 A（-1，0） ，B（3，0） ，C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空： 方程 ax2+bx+c=-3 的解为_ 不等式 ax2+bx+c0的解集为_ 21. 已知关于x的一元二次方程22x2k 1 xk0有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数
7、根12x .x满足12x1 x15，求k的值 22. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 10 亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2012 年，A 市在省财政补助的基础上投入 600 万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014 年该市计划投资“改水工程”864 万元 （1）求 A 市投资“改水工程”年平均增长率； （2）从 2012 年到 2014 年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？ 23. 如图，在 ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A、C重合） ，在 ABC 的外部作 CED，使CED=90 ，D
8、E=CE，连接 AD，分别以 AB、AD为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF （1）求证：EF=AE； （2）将 CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF、AE 的数量关系，并证明你的结论 24. 某公司电商平台，在 2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）求 y关于 x的函数解析式（
9、不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若该商品进价 a（元/件） ，售价 x为多少时，周销售利润 W最大？并求出此时的最大利润； （3）因疫情期间，该商品进价提高了 m（元/件） （0m） ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 x 不得超过 55（元/件） ，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 4050元，求 m 的值 25. 小刚在用描点法画抛物线 C1：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格： x 0 1 2 3 4 y 3 6 7 6 3 （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 4个单位
10、长度，得到新的抛物线 C2； 若直线12yxb与两抛物线 C1，C2共有两个公共点，求 b的取值范围； 抛物线 C2的顶点为 A，与 x轴交点为点 B、C（点 B 在点 C左侧） ，点 P（不与点 A重合）在第二象限内，且为 C2上任意一点，过点 P作 PDx轴，垂足为 D，直线 AP交 y轴于点 Q，求ODOQ的值 广东省广州市海珠区广东省广州市海珠区 2021-2022 学年初三上学期期中考试试题学年初三上学期期中考试试题 考试时间考试时间 120分钟，满分分钟，满分 120 分分 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分，每小题给
11、出的四个选项中，只有一项分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）符合题目要求） 1. 一元二次方程 x23x40的一次项系数是（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0） ，在一般形式中 bx 叫一次项，系数是 b，可直接得到答案 【详解】解：一次项是：未知数次数是 1 的项，故一次项是3x，系数是：3， 故选：B 【点睛】此题考查的是求一元一次方程一般式中一次项系数,掌握一元一次方程的一般形式和一次项系数的定义是解决此题的关键 2. 二次函数 y（x2）23 的图象的顶点
12、坐标是（ ） A. （2，3） B. （2，3） C. （2，3） D. （2，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标 【详解】解：y=-（x-2）2-3， 二次函数 y=-（x-2）2-3 的图象的顶点坐标是（2，-3） 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 3. 下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中心对称图形定义进行解答即可 【详解】解：A不是中心对称图形，故此选项不合题意； B是中心对称图形，故此选项符合题意； C不是中心
13、对称图形，故此选项不合题意； D不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 4. 如图，将正方形 ABCD绕点 A顺时针方向旋转 180 后，点 C 的坐标是（ ） A. （3，0） B. （2，0） C. （1，0） D. （2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180，旋转后的点C与原来的点C关于点A对称，由此即可解决问题 【详解】解：由题意，(1,0)A，( 1,0)C ， Q将正方形ABCD绕点A
14、顺时针方向旋转180， 旋转后的点C与原来的点C关于点A对称， 旋转后点C的坐标为(3,0)， 故选：A 【点睛】本题考查中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 5. 关于x的一元二次方程22110axxa 的一个根是 0，则a值为（ ） A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到-1+a2=0，再解关于 a 的方程，然后根据一元二次方程定义确定 a的值 【详解】解：把 x=0代入一元二次方程（a-1）x2+x-1+a2=0得-1+a2=0， 解得 a1=1，a2=-1， 而 a-
15、10， 所以 a 的值为-1 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义 6. 用配方法解方程2610 xx ，方程应变形为（ ） A. 2(3)8x B. 2(3)10 x C. 2(6)10 x D. 2(6)8x 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【详解】x2-6x+1=0， x2-6x=-1， x2-6x+9=-1+9， （x-3）2=8 故选：A 【点睛】本题考查了解一元二次
16、方程-配方法，解题的关键是掌握一元二次方程-配方法的步骤 7. 如图，AB 是O直径，CAB=40 ，则D=（ ） A. 60 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是 90解得B 的度数，再利用圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆周角相等解题 【详解】解：Q AB是O的直径， 90ACB 40CABQ 50ABC ACACQ 50DABC 故选：D 【点睛】 本题考查圆周角定理、 直径所对的圆周角是 90等知识， 是重要考点， 掌握相关知识是解题关键 8. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7
17、天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x个队参赛，则 x满足的关系式为（ ） A. 12x（x1）28 B. 12x（x1）28 C. x（x1）28 D. x（x1）28 【答案】B 【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共 28场，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【详解】解：设比赛组织者应邀请 x 个队参赛， 根据题意得：1(1)4 72x x 即1(1)282x x 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于 x的一元二次方程是解题的关键 9. 如图， ABC 中， CAB=65 ， 在同一平面内， 将 ABC
18、绕点 A 旋转到 AED 的位置， 使得 DCAB，则BAE 等于（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：DCAB，DCA=CAB=65 . ABC 绕点 A 旋转到 AED 的位置，BAE=CAD，AC=AD. ADC=DCA=65 . CAD=180 ADCDCA=50 . BAE=50 故选 C 考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质 10. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，与 x轴的一个交点坐标为( 1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：240bac；
19、方程 ax2+bx+c=0 的两个根是11x ，x2=3；3a+c0；当 y0时，x 的取值范围是13x ；当 x0时，y随 x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 5 个 【答案】B 【解析】 【分析】 利用抛物线与x轴的交点个数可对进行判断； 利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则可对进行判断；由对称轴方程得到2ba，然后根据1x时函数值为 0 可得到30ac ，则可对进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断，根据抛物线的性质判断即可 【详解】解：Q抛物线与x轴有 2个交点， 240bac，所
20、以正确； Q抛物线的对称轴为直线1x ， 而点( 1,0)关于直线1x 的对称点的坐标为(3,0)， 方程20axbxc的两个根是11x ，23x ，所以正确； 12bxa Q，即2ba， 而1x时，0y ，即0a bc ， 20aac ， 30ac ，所以错误； 由图象知，当0y 时，x的取值范围是13x- ，所以错误； Q抛物线的对称轴为直线1x ， 当1x时，y随x增大而增大， 当0 x时，y随x增大而增大，所以正确； 即正确的个数是 3个， 故选：B 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系， 解题的关键是掌握对于二次函数2(0)yaxbxc a，二次项系数a决定抛物线的开口方向和
21、大小：当0a时，抛物线向上开口；当0a 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即0)ab ，对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即0)ab， 对称轴在y轴右； 常数项c决定抛物线与y轴交点位置： 抛物线与y轴交于(0, ) c；抛物线与x轴交点个数由决定：240bac时，抛物线与x轴有 2个交点；240bac时，抛物线与x轴有 1个交点；240bac时，抛物线与x轴没有交点 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 在平面直角坐标系中，点 P(-1，2)关于原点对称的点的坐标是_
22、 【答案】12， 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两点坐标的特征解答 【详解】点, a b关于原点对称的点的坐标为, ab， P(-1，2)关于原点对称的点的坐标是12， 故答案为：12， 【点睛】本题主要考查的是对称点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称点的坐标特征是解答本题的关键 12. 方程22x xx的解是_ 【答案】122,1xx 【解析】 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【详解】解：22x xx， 2(2)0 x xx， 2 (1)0 xx， x20 或 x10， x12，x21， 故答案为 x12，x21. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能
23、够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键. 13. 抛物线 yx2+2x+m顶点在第二象限，则 m的取值范围是_ 【答案】m1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，m1） ，再利用第二象限点的坐标特征得到 m10，然后解不等式即可 【详解】解：yx2+2x+m（x+1）2+m1， 抛物线的顶点坐标为（1，m1） ， 抛物线 yx2+2x+m顶点在第二象限， m10， m1 故答案为：m1 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系： 二次函数 y=ax2+bx+c （a0） 的顶点坐标为 （2ba，244acba） 14. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其
24、他成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，如果全组共有 x 名同学，根据题意列出的方程是_ 【答案】x（x-1）=132 【解析】 【分析】先求每名同学赠的标本，再求 x 名同学赠的标本，根据总标本 132件列等量关系即可 【详解】解：设全组共有 x 名同学，则每名同学所赠的标本为： （x-1）件， 则 x（x-1）=132, 故答案为：x（x-1）=132 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 15. 如图，四边形 ABCD内接于O，四边形 ABCO是平行四边形，则ADC=_ 【答案】60 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理计算即可；
25、 详解】四边形 ABCD内接于O， 180BD ，2AOCD ， 又四边形 ABCO是平行四边形， BAOC ， 3180D， 60D； 故答案是：60 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理和圆内接四边形的应用，准确计算是解题的关键 16. 如图，ABy 轴，垂足为 B，将ABO绕点 A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点 B 的对应点 B1落在直线33yx 上，再将AB1O1绕点 B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点 O1的对应点 O2落在直线33yx 上， 依次进行下去若点 B的坐标是 （0，1） ， 则点 O12的纵坐标为_ 【答案】9+33 【解析】 【分析】 【详解
26、】解：观察图象可知，O12在直线33yx 时，OO12=6OO2=6（1+3+2）=18+63， O12的横坐标=（18+63）cos30=993， O12的纵坐标=12OO12=9+33， O12（993，9+33） 故答案为 9+33 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 72分）分） 17. 解方程2213xx 【答案】11x ，212x . 【解析】 【详解】分析：用配方法解一元二次方程即可.还可以用公式法或者因式分解法. 详解：方法一：移项，得2231xx ， 二次项系数化为 1，得23122xx ， 22233132424xx ， 231416x， 由此可
27、得3144x ， 11x ，212x . 方法二：方程整理得：22310 xx ， 分解因式得：(x1)(2x1)=0， 解得：11x ，212x . 点睛：考查解一元二次方程，常见的方法有：直接开方法，配方法，公式法和因式分解法，观察题目选择合适的方法. 18. ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示： 作出ABC绕原点顺时针旋转 90的图形A1B1C1， 并写出点 A1坐标 【答案】作图见解析；13, 1A 【解析】 【分析】根据旋转 90进行作图即可； 【详解】根据题意作图如下： 由图可知：13, 1A； 【点睛】本题主要考查了旋转作图，准确作图计算是解题的关键 19. 如图，O 的半径
28、 OB=5cm，AB 是O 的弦，点 C 是 AB 延长线上一点，且OCA=30，OC=8cm，求 AB 的长 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：过点 O 作 ODAB 于点 D，由垂经定理可得 ADBD，然后 在 Rt DOC 中，求出OD 的长，在 Rt OBD 中，求出 BD 的长，可得 AB 的长. 试题解析：解：过点 O 作 ODAB 于点 D，则 ADBD=12 AB 在 Rt DOC 中，OCA30 ，OC8 cm， OD12OC4（cm） 在 Rt OBD 中，BD22OBOD-22543（cm） ， AB2BD6（cm） 考点：1.垂经定理；2.三角函数；3.勾股定理.
29、 20. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c经过点 A（-1，0） ，B（3，0） ，C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空： 方程 ax2+bx+c=-3 的解为_ 不等式 ax2+bx+c0的解集为_ 【答案】 （1）223yxx； （2）10 x ，22x ；1x或3x 【解析】 【分析】 （1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，当 ax2+bx+c=-3即 y=-3,由此得到其中一个解 x=0，再根据抛物线的对称性，解得另一个解即可； 不等式 ax2+bx+c0的解集即抛物线位于 x 轴的上方，根据图象解题即可 【详解】解： （1）把
30、点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，-3）分别代入 y=ax2+bx+c 得， 09303abcabcc 解得123abc 223yxx； （2）由题意可得，抛物线对称轴为：1x ， 方程 ax2+bx+c=-3 的解即 y=-3 时 x 的值，由图象可知，抛物线与 y轴的交点为（0，-3） 根据抛物线的对称性可得，抛物线与直线 y=-3 的另一个交点为（2，-3） 故得到方程 ax2+bx+c=-3 的解为10 x ，22x 故答案为：10 x ，22x ； 由图象可知，不等式 ax2+bx+c0的解集即抛物线位于 x 轴的上方， 即1x或3x ， 故答案为：1x或3x 【点睛】本题
31、考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与一元一次不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 21. 已知关于x的一元二次方程22x2k 1 xk0有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根12x .x满足12x1 x15，求k的值 【答案】 （1）1k4； （2）k1 【解析】 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（2k1）24k20，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到 x1x22k1，x1x2k2，再根据（x11） （x21）5 得到 k2（2k1）15，然后解关于 k 的方程，最后利用 k
32、的范围确定 k 的值 【详解】解： （1）根据题意得（2k1）24k20， 解得 k14； （2）根据题意得 x1x22k1，x1x2k2， （x11） （x21）5， x1x2（x1x2）15， 即 k2（2k1）15， 整理得 k22k30，解得 k11，k23， k14， k1 【点睛】本题考查了根与系数关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根时，x1x2ba，x1x2ca也考查了根的判别式 22. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资 10 亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助2012 年，A 市在省财政补助的基础上投入 600 万元用于
33、“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014 年该市计划投资“改水工程”864 万元 （1）求 A 市投资“改水工程”的年平均增长率； （2）从 2012 年到 2014 年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【答案】 （1）20%； （2）2184. 【解析】 【详解】试题分析： （1）设求 A 市投资“改水工程”费用的年平均增长率为 x，根据 2014 年该市计划投资“改水工程” 864 万元，列出方程，求出方程的解即可； （2）根据（1）的结果把 2012 年到 2014 年每年的投资相加即可 试题解析： （1）设求 A 市投资“改水工程”费用的年平均增长率为 x，得，
34、600（1+x）2=864， 解得，x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去） ， 答：A 市投资“改水工程”费用的年平均增长率为 20% （2）由题意得，600+600（1+x）+864=600+600 120%+864=2184（万元） ， 答：从 2012 年到 2014 年，A 市三年共投资“改水工程”2184 万元 考点：一元二次方程的应用 23. 如图，在 ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A、C重合） ，在 ABC 的外部作 CED，使CED=90 ，DE=CE，连接 AD，分别以 AB、AD为邻边作平行四边形 ABFD，连接 A
35、F （1）求证：EF=AE； （2）将 CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF、AE 的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）2AFAE，见解析 【解析】 【分析】 （1）证明 AEF为等腰直角三角形，再利用勾股定理解题； （2）连接 EF，DF 交 BC于 K，先证明 EKF EDA，再证明 AEF 是等腰直角三角形即可 【详解】解： （1）如图，Q四边形 ABFD是平行四边形， AB=DF， Q AB=AC， AC=DF， Q DE=EC AE=EF； （2）2AFAE， 证明：连接 EF，设 DF 交 BC 于
36、K， Q四边形 ABFD是平行四边形， AB/DF DKE=ABC=45， EKF=180-DKE=135 QADE=180-EDC=180-45=135， EKF=ADE， QDKC=C DK=DC QDF=AB=AC， KF=AD 在 EKF和 EDA中， EKDKEKFADEKFAD EKF EDA（SAS） EF=EA, KEF=AED FEA=BED=90， AEF 是等腰直角三角形 2AFAE 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 24. 某公司电商平台，在 2021年五一长假期间
37、，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价 x，周销售量 y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）求 y关于 x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）若该商品进价 a（元/件） ，售价 x为多少时，周销售利润 W最大？并求出此时的最大利润； （3）因疫情期间，该商品进价提高了 m（元/件） （0m） ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 x 不得超过 55（元/件） ，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价
38、仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是 4050元，求 m 的值 【答案】 （1）3300yx ； （2）售价 60 元时，周销售利润最大为 4800元； （3）5m 【解析】 【分析】 （1）依题意设 y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得( 3300)()Wxxa ，再由表格数据求出20a，得到2( 3300)(20)3(60)4800Wxxx ，根据二次函数的顶点式，求出最值即可； （3）根据题意得3(100)(20)(55)Wxxm x ，由于对称轴是直线60602mx ，根据二次函数的性质即可得到结论 【详解】解： （1）设ykxb，由题意有 401807090
39、kbkb，解得3300kb ， 所以 y 关于 x的函数解析式为3300yx ； （2）由（1）( 3300)()Wxxa ，又由表可得： 3600( 3 40300)(40)a ，20a ， 22( 3300)(20)336060003(60)4800Wxxxxx 所以售价60 x时，周销售利润 W最大，最大利润为 4800； （3）由题意3(100)(20)(55)Wxxm x ， 其对称轴60602mx ，055x 时上述函数单调递增， 所以只有55x 时周销售利润最大，40503(55 100)(5520)m 5m 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题注
40、意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值 25. 小刚在用描点法画抛物线 C1：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格： x 0 1 2 3 4 y 3 6 7 6 3 （1）求抛物线 C1的解析式； （2）将抛物线 C1先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 4个单位长度，得到新的抛物线 C2； 若直线12yxb与两抛物线 C1，C2共有两个公共点，求 b的取值范围； 抛物线 C2的顶点为 A，与 x轴交点为点 B、C（点 B 在点 C左侧） ，点 P（不与点 A重合）在第二象限
41、内，且为 C2上任意一点，过点 P作 PDx轴，垂足为 D，直线 AP交 y轴于点 Q，求ODOQ的值 【答案】 （1）243yxx ； （2）81971616b；12 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式； （2）利用已知得出2C的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围； 利用点P（不与点A重合）在第二象限内，且为2C上任意一点，设点2( ,4 )P mmm，利用待定系数法求得直线AP的解析式， 从而得到点Q的坐标； 利用直角三角形的边角关系求得ABO和QDO的正切值，即可得出答案 【详解】解： （1）由题意抛物线
42、的解析式为2yaxbxc，将表中的三对对应值代入得： 63427abccabc， 解得：143abc 抛物线1C的解析式为243yxx （2）由（1）知：抛物线1C的解析式为243yxx ， 将抛物线1C先向下平移 3个单位长度， 再向左平移 4 个单位长度， 得到新的抛物线2C的顶点为( 2,4) 抛物线2C的解析式为22(2)44yxxx 由题意得：21243yxbyxx 或2124yxbyxx ， 21432xxxb或2142xxxb 即227260 xxb或2902xxb Q当0时，方程有两个相等的实数根， 274 2 (26)0b 或29( )4 102b 解得：9716b 或811
43、6b Q直线12yxb与两抛物线1C，2C共有两个公共点， 81971616b 由题意画出图形如下：过点A作AEx轴于点E， Q抛物线2C的解析式为24yxx ， 令0y ，则240 xx， 解得：0 x或4x Q抛物线2C与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧） ， ( 4,0)B，(0,0)C 4OB 由知：抛物线2C的顶点为( 2,4)A 4AE，2OE ， 2BEOBOE 在RtABE中，tan2AEABEBE Q点P（不与点A重合）在第二象限内，且为2C上任意一点， 设点2( ,4 )P mmm，则0m，240mm PDxQ轴， ODm 设直线AP的解析式为ykxn，则： 2244knkmbmm ， 解得：22kmnm 直线AP的解析式为(2)2ymxm 令0 x，则2ym (0, 2 )Qm 2OQm 在Rt ODQV中，2tan2OQmQDOODm， 12ODOQ 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质二次函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度
