1、2021 年重庆市中考数学预测试卷（二）年重庆市中考数学预测试卷（二） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 3计算 x4x 结果正确的是（ ） Ax4 Bx3 Cx2 Dx 4如图，在平面直角坐标系中，将OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到OCD，若 B（0，1），D（0，3），则OAB 与OCD 的相似比是（ ） A2：1 B1：2 C3：1 D1：3 5如图 AB 为O 的直径，BED40，则ACD（ ） A40 B45 C
2、50 D55 6下列计算中，正确的是（ ） A5221 B2+2 C3 D3 7小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家如图，反映了小明离家的距离 y（单位：km）与时间 t（单位：h）之间的对应关系下列描述错误的是（ ） A小明家距图书馆 3km B小明在图书馆阅读时间为 2h C小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h D小明去图书馆的速度比回家时的速度快 8下列两个三角形中，一定全等的是（ ） A两个等腰直角三角形 B两个等边三角形 C有一个角是 100，底边相等的两个等腰三角形 D有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 9如图，边长为 2 的正方形 AB
3、CD 中，点 E、F 分别在 AD、AB 上（点 E 不与点 D 重合），DEAF，DF、CE 交于点 G，则 AG 的取值范围是（ ） A1AG2 B1AG2 C1AG2 D1AG2 10如图，在某山坡前有一电视塔小明在山坡坡脚 P 处测得电视塔顶端 M 的仰角为 60，在点 P 处小明沿山坡向上走 39m 到达 D 处，测得电视塔顶端 M 的仰角为 30已知山坡坡度 i1：2.4，请你计算电视塔的高度 ME 约为（ ）m（结果精确到 0.1m，参考数据：1.732） A59.8 B58.8 C53.7 D57.9 11关于 x 的方程的解为非正数，且关于 x 的不等式组无解，那么满足条件的
4、所有整数 a 的和是（ ） A19 B15 C13 D9 12如图，矩形 OABC 在以 O 为原点的平面直角坐标系中，且它的两边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数 y（x0）的图象与 BC 交于点 D，与 AB 相交于点 E，若 BD2CD，且ODE的面积为 4，则 k 的值为（ ） A B3 C4 D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13计算：（1）0 14不透明袋子中装有黑球 1 个、白球 2 个，这些球除了颜色外无其他差别从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下
5、颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是 15方程 2（x3）6 的解是 16如图，在菱形 ABCD 中，BC4，ADC120，以 A 为圆心，AD 为半径画弧，交 AC 于点 E，过点E 作 EFAB 交 AD 于点 F，则阴影部分的面积为 （结果保留根号与 ） 17如图，正方形 ABCD 中，AB6，点 E 在边 CD 上，且 CD3DE，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG、CF，下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF正确的是 18盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、
6、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，搭配为 A，B，C 三种盲盒各一个，其中 A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 3： 2； C 盒中有 1 个蓝牙耳机， 3 个多接口优盘，2 个迷你音箱 经核算， A 盒的成本为 145 元， B 盒的成本为 245 元 （每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则 C 盒的成本为 元 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19（10 分）计算： （1）a（2a
7、+3b）+（ab）2； （2）（x+） 20（10 分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取 10 名学生的成绩如下表，请回答问题： 环数 6 7 8 9 人数 1 5 2 a （1）填空：a ； （2）10 名学生的射击成绩的众数是 环，中位数是 环； （3）若 9 环（含 9 环）以上评委为优秀射手，试估计全年级 500 名学生中有多少是优秀射手？ 21（10 分）如图，AC 是平行四边形 ABCD 的对角线 （1）尺规作图：作线段 AC 的垂直平分线 l（不写作法，保留作图痕迹）； （2）直线 l 分别交 AB、AC、CD 于点 E、F、G，求证：DGBE 22（10 分）如图，在直
8、角坐标系中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2（k0）分别相交于第二、四象限内的 A（m，4），B（6，n）两点，与 x 轴相交于 C 点已知 OC3，tanACO （1）求 y1，y2对应的函数表达式； （2）求AOB 的面积； （3）直接写出当 x0 时，不等式 ax+b的解集 23（10 分）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡全体贫困中学生进行资助，每学期资助初中生 1200 元/人，高中生 1800 元/人已知该乡受资助的初中生人数是受资助的高中生人数的 2 倍，且该企业在 20192020 学年上学期共资助这些学生 105000 元 （1）该乡分别有多少名初中生和高中生获得了
9、资助？ （2）20192020 学年上学期结束时，受资助的初、高中学生中，分别有 30%和 40%的学生被评为优秀学生 为了激励学生， 该企业宣布将给下学期被评为优秀学生的贫困初、 高中学生每人分别增加 a%， 2a%的资助 在该措施的激励下， 下学期被评为优秀学生的贫困初、 高中学生人数分别比上学期增加了 3a%，a%这样，下学期被评为优秀学生的贫困初、高中学生所获得资助的总金额达 64800 元，求 a 的值 24（10 分）对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“共生数”例如：m3507，因为 3+72（
10、5+0），所以 3507是“共生数”；m4135，因为 4+52（1+3），所以 4135 不是“共生数” （1）判断 5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被 9 整除时，记 F（n）求满足 F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有 n 25（10 分）若二次函数 yax2+bx2 的图象与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，且过点 C （3，2） （1）求二次函数表达式； （2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且 SPBA5，求点 P 的坐标； （3）在 AB 下
11、方的抛物线上是否存在点 M，使ABOABM？若存在，求出点 M 到 y 轴的距离；若不存在，请说明理由 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26（8 分）在等边ABC 中，AB6，BDAC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF （1）将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG，连接 FG 如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； 如图 2，点 E 不与点 A，B 重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证：B
12、E+BHBF； （2）如图 3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC 上，且 DN2NC，点 F 从 BD 中点Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，连接 FP，当 NP+MP 最小时，直接写出DPN 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：A 【点评】本题考查了相反数的意义只有符号不同的两个数为相反数，0 的相反数是 0
13、2【分析】首先解不等式组，然后根据大于解集向右，小于解集向左，含有等号的不等号是黑点，不含有等号的不等号是白圈即可得到答案 【解答】解：原不等式的解集为：2x3， 因此数轴上应为不包含 2 向右的部分与包含 3 向左的部分的公共部分 故选：C 【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，了解不等号与解集的表示是解本题的关键 3【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可 【解答】解：原式x41x3， 故选：B 【点评】本题考察了同底数幂的除法，解题的关键是牢记指数的变化规律 4【分析】根据信息，找到 OB 与 OD 的比值即可 【解答】解：B（0，1），D（0，3）， OB1，OD3， OAB 以原点
14、 O 为位似中心放大后得到OCD， OAB 与OCD 的相似比是 OB：OD1：3， 故选：D 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质关键在于找到相似比就是对应边的比 5【分析】连接 OD，如图，先利用圆周角定理得到BOD80，再利用邻补角得到AOD100，然后根据圆周角定理得到ACD 的度数 【解答】解：连接 OD，如图， BOD2BED24080， AOD180BOD18080100， ACDAOD10050 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 6 【分析】 根据合并同类二次根式法则、 同类二次根式的定义、
15、 二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可 【解答】解：A523，此选项计算错误； B2 与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C3，此选项计算正确； D，此选项计算错误； 故选：C 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则 7【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确 【解答】解：由图象知： A小明家距图书馆 3km，描述正确，故此选项不符合题意； B小明在图书馆阅读时间为 312 小时，描述正确，故此选项不符合题意； C小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h，描述正确，故此选项
16、不符合题意； D因为小明去图书馆需要 1 小时，回来不足 1 小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，描述错误，故此选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答 8【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否符合题意，本题得以解决 【解答】解：两个等腰直角三角形不一定全等，如两个等腰直角三角形的三条边不相等，故选项 A 不符合题意； 两个等边三角形不一定全等，如两个等边三角形的三条边不相等，故选项 B 不符合题意； 有一个角是 100，底边相等的两个等腰三角形全等，则底角是 40，根据 AAS 可以判定两个三角形全等，故选项 C 符合题意
17、； 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形不一定全等，如一个三角形的腰和另一个三角形的底边相等，底角相等，则这两个三角形不全等，故选项 D 不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确 9【分析】通过证明DECAFD 得出DGE90，可知DGC 是直角三角形，则 G 点运动轨迹是以 DC 为直径的圆上，当 A、G、O 三点共线时，AG 最短由点 E 不与点 D 重合可得 AG2 【解答】解：ADDC，EDCFAD，DEAF， DECAFD（SAS） DCEADF DCE+DEC90
18、， ADF+DEC90，即DGE90DGC 所以点 G 运动的轨迹在以 DC 为直径的圆上的一段弧，圆心在 DC 中点 O 处 当 A、G、O 三点共线时，AG 最短，如图所示 此时 AO，OGDC1， 所以 AGAOOG1 因为点 E 不与点 D 重合，所以 AG2 所以1AG2 故选：D 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决动点问题的最值问题，要先分析出动点运动的轨迹，根据轨迹特征确定最大或最小值 10【分析】作 DCEP 延长线于点 C，作 DFME 于点 F，作 PHDF 于点 H，可得 DCPHFE，DHCP，HFPE，根据山坡坡度 iDC：CP
19、1：2.4，PD39，设 DC5x，则 CP12x，根据勾股定理得 x 的值，再设 MFy，则 MEMF+FEy+15，根据锐角三角函数即可求出 y 的值，进而可得电视塔的高度 【解答】解：如图，作 DCEP 延长线于点 C， 作 DFME 于点 F，作 PHDF 于点 H， 则 DCPHFE，DHCP，HFPE， 山坡坡度 iDC：CP1：2.4，PD39， 设 DC5x，则 CP12x，根据勾股定理，得 （5x）2+（12x）2392， 解得 x3， 则 DC15，CP36， DHCP36，FEDC15， 设 MFy，则 MEMF+FEy+15， 在 RtDMF 中，MDF30， DFy，
20、 在 RtMPE 中，MPE60， PE（y+15）， DHDFHF， y（y+15）36， 解得 y7.5+18， MEMF+EF7.5+18+1553.7（m） 答：电视塔的高度 ME 约为 53.7 米 故选：C 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义 11【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出 a 的范围，再根据不等式组无解求出 a 的范围，确定出满足题意整数 a 的值，求出之和即可 【解答】解：分式方程去分母得：axx12， 整理得：（a1）x3， 由分式方程的解为非正数，得到0，且1， 解
21、得：a1 且 a2， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到4， 解得：a6， 满足题意 a 的范围为6a1，且 a2，即整数 a 的值为5，4，3，1，0， 则满足条件的所有整数 a 的和是13， 故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，解方程可得反比例函数的比例系数 【解答】解：四边形 OCBA 是矩形， ABOC，OABC， 设 B 点的坐标为（a，b）， BD2CD， D（a，b） D、E 在反比例函数的图象上， k， 设 E 的坐标为（a，）， SODES
22、矩形OCBASCODSOAESBDEabkka（b）4， abk4， 解得：k3， 故选：B 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算 【解答】解：原式312 故答案为：2 【点评】 本题主要考查了实数的运算， 算术平方根， 零指数幂的意义 熟练应用上述法则是解题的关键 14【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到
23、符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解：列表如下 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有 4 种结果， 所以前后两次摸出的球都是白球的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 15【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可 【解答】解：
24、方程两边同除以 2 得 x33， 移项，合并同类项得 x6， 故答案为：x6 【点评】本题主要考查了解一元一次方程解一元一次方程常见的过程有去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为 1 等 16【分析】过 F 作 FHAC 于 H，根据菱形的性质和已知条件得出DACBAC，DCAB，ABBC4，求出DACBAC30，求出 AE4，解直角三角形求出 FH，再根据阴影部分的面积 SS扇形DAESFAE求出答案即可 【解答】解：过 F 作 FHAC 于 H， 四边形 ABCD 是菱形，BC4， DACBAC，DCAB，ABBC4， ADC+DAB180， ADC120， DAB60， DACBAC
25、30， 以 A 为圆心，AD 为半径画弧，交 AC 于点 E，AB4， AE4， EFAB， FEABAC， DACBAC， DACFEA， AFEF， FHAE，AE4， AHEH2， DAC30，AHF90， AF2EF， （2EF）2EF2+22， 解得：EF， 阴影部分的面积 SS扇形DAESFAE ， 故答案为： 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形的面积，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：圆心角为 n，半径为 r 的扇形的面积 S 17【分析】根据折叠性质和正方形的性质可直接证 Rt
26、AGBRtAGF，可判断；在直角三角形 ECG中建立勾股定理方程可解出 BG 和 GC， 从而可判断； 利用外角关系和折叠性质证明 2GFC2AGF，由平行线的判定可判断 【解答】解：由正方形性质及折叠性质可知：ABADAF， BDAFEAFG90， 在 RtAGB 和 RtAGF 中， ， RtAGBRtAGF（HL） 正确； EFDE2， EC4， 设 BGGFx，则 CG6x， 在直角三角形 ECG 中，由勾股定理有： GE2GC2+EC2，即（x+2）2（6x）2+42， 解得：x3， BG3，CG633， 则 BGCG， 故正确； BGFGGC， GFCGCF， 由三角形外角定理可得
27、：BGFGFC+GCF2GFC， 而由可得：BGFAGB+AGF2AGF， 2GFC2AGF， GFCAGF， AGCF，故正确 综上，正确的有：， 故答案为： 【点评】本题考查了折叠变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定等知识，综合性较强，难度较大，难题的关键在于注意数形结合思想与方程思想的应用 18【分析】根据题意确定 B 盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可 【解答】解：蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷
28、你音箱； B 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 2223113210（个）， B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， 蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 3：2， B 盒中有多接口优盘 105 （个） ， 蓝牙耳机有 53 （个） ， 迷你音箱有 10532 （个） ， 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为 a 元，b 元，c 元， 由题知：， 2得：a+b45， 23 得：b+c55， C 盒的成本为：a+3b+2c（a+b）+（2b+2c）45+552155（元）， 故答案为：155 【点评】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用 A、B 盒中的价格关系求出
29、 C 盒的价格是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可 【解答】解：（1）原式2a2+3ab+a22ab+b2 3a2+ab+b2； （2）原式（+） 【点评】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式和整式的混合运算顺序及其运算法则 20 【分析】 （1）从抽查的总人数 10 人，减去成绩为 6 环、7 环、8 环的人数，即可得成绩为 9
30、 环的人数， （2）根据众数、中位数的意义求解即可， （3）样本估计总体，样本中成绩在 9 环以上的占 20%，因此估计 500 人中约有 20%的为优秀射手 【解答】解：（1）101522 人， 故答案为：2 （2）成绩为 7 环的人数最多，是 5 人，因此成绩的众数为 7 环， 将这 10 人的射击成绩从小到大排列后，处在第 5、6 位的两个数都是 7 环，因此中位数是 7 环， 故答案为：7，7 （3）500100 人， 答：全年级 500 名学生中大约有 100 人是优秀射手 【点评】考查众数、中位数的意义和求法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排序后，处
31、在中间位置的一个数或两个数的平均数，样本估计总体也是统计中常用方法 21【分析】（1）利用基本作图，作 AC 的垂直平分线即可； （2） 由 EG 垂直平分 AC 得到 FAFC， 根据平行四边形的性质得到 CDAB， CDAB， 然后证明CFGAFE 得到 CGAE，从而得到结论 【解答】（1）解：如图，直线 l 为所作； （2）证明：EG 垂直平分 AC， FAFC， 四边形 ABCD 为平行四边形， CDAB，CDAB， DCABAC， 在CFG 和AFE 中， ， CFGAFE（ASA）， CGAE， CDCGABAE， 即 DGBE 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（
32、过一点作已知直线的垂线）也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质 22【分析】（1）根据 OC3，tanACO，可求直线与 y 轴的交点坐标，进而求出点 A、B 的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由 SAOBSAOC+SBOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当 x0 时，不等式 ax+b的解集 【解答】解：（1）设直线 y1ax+b 与 y 轴交于点 D， 在 RtOCD 中，OC3，tanACO OD2， 即点 D（0，2）， 把点 D（0，2），C（3，0）代入直线 y1ax+b 得，b2，3a+b0，解得，a， 直线的关系式为 y1x+2； 把 A（m，4），
33、B（6，n）代入 y1x+2 得， m3，n2， A（3，4），B（6，2）， k3412， 反比例函数的关系式为 y2， 因此 y1x+2，y2； （2）由 SAOBSAOC+SBOC， 34+32， 9 （3）由图象可知，当 x0 时，不等式 ax+b的解集为 x3 【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键 23【分析】（1）设该乡有 x 名高中生获得了资助，有 2x 名初中生获得了资助，由题意列出方程可得出答案； （2）根据题意列出一元二次方程可得出答案 【解答】解：（1）设该乡有 x 名高中生获得了资助，有 2x
34、 名初中生获得了资助，由题意， 得 12002x+1800 x105000， 解得：x25 2x50 答：该乡分别有 50 名初中学生和 25 名高中学生获得了资助 （2） 由题意， 得 5030%（1+3a%） 1200（1+a%）+2540% （1+a%） 1800 （1+2a%） 64800， 18000（1+3a%）（1+a%）+18000（1+a%）（1+2a%）64800， （1+a%）（2+5a%）3.6， （100+a）（200+5a）36000， 整理得 a2+140a32000， 解得 a120，或 a2160（舍去） a20 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量
35、关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 24【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断 5313，6437 是否为“共生数”； （2）根据定义，先用两个未知数表示 F（n），然后列出含有 n 的式子，找出满足要求的结果即可 【解答】解：（1）5313 是“共生数”，6437 不是“共生数”， 5+32（3+1）， 5313 是“共生数”， 6+72（3+4）， 6437 不是“共生数”； （2）n 是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设 n 的千位上的数字为 a，则十位上的数字为 2a，（1a4）， 设 n 的百位上的数字为 b， 个位和百位都是 09 的数字， 个位上的
36、数字为 9b，且 9bb， 0b4， n1000a+100b+20a+9b， F（n）340a+33b+3， 由于 n 是“共生数”， a+9b2（2a+b）， 即 a+b3， 可能的情况有： ， 当 a1，b2 时，n 的值为 1227，则 F（n）的值为 409，各数位上数字之和不是偶数，舍去， 当 a2，b1 时，n 的值为 2148，则 F（n）的值为 716，各数位上数字之和是偶数， 当 a3，b0 时，n 的值为 3069，则 F（n）的值为 1023，各数位上数字之和是偶数， n 的值是 2148 或 3069 【点评】此题主要考查新定义的运算，正确理解新定义的运算是解题的关键，
37、第二问中要能根据题意写出 F（n）是突破口 25【分析】（1）由待定系数法可求解析式； （2）设直线 BP 与 x 轴交于点 E，过点 P 作 PDOA 于 D，设点 P（a， a2a2），则 PDa2a2，利用参数求出 BP 解析式，可求点 E 坐标，由三角形面积公式可求 a，即可得点 P 坐标； （3）如图 2，延长 BM 到 N，使 BNBO，连接 ON 交 AB 于 H，过点 H 作 HFAO 于 F，由全等三角形的性质和锐角三角函数求出点 N 坐标，求出 BN 解析式，可求点 M 坐标，即可求解 【解答】解：（1）二次函数 yax2+bx2 的图象过点 A（4，0），点 C （3，2
38、）， 解得： 二次函数表达式为：yx2x2； （2）设直线 BP 与 x 轴交于点 E，过点 P 作 PDOA 交 x 轴于 D， 设点 P（a， a2a2），则 PDa2a2， 二次函数 yx2x2 与 y 轴交于点 B， 点 B（0，2）， 设 BP 解析式为：ykx2， a2a2ka2， ka， BP 解析式为：y（a）x2， y0 时，x， 点 E（，0）， SPBA5， （4）（a2a2+2）5， a1（不合题意舍去），a5， 点 P（5，3） （3）如图 2，延长 BM 到 N，使 BNBO，连接 ON 交 AB 于 H，过点 H 作 HFAO 于 F， BNBO，ABOABM，A
39、BAB， ABOABN（SAS） AOAN，且 BNBO， AB 垂直平分 ON， OHHN，ABON， AO4，BO2， AB2， SAOBOAOBABOH， OH， AH， cosBAO， ， AF， HF，OFAOAF， 点 H（，）， OHHN， 点 N（，） 设直线 BN 解析式为：ymx2， m2， m， 直线 BN 解析式为：yx2， x2x2x2， x0（不合题意舍去），x， 点 M 坐标（，）， 点 M 到 y 轴的距离为 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全
40、等三角形是本题的关键 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26【分析】（1）过 D 作 DHGC 于 H，先证明BGF 是等边三角形，求出 CD 长度，再证明 BFCFGF，从而在 RtBDC 中，求出 CF2，即得 GF，在 RtCDH 中，求出 DHCDsin30和 CHCDcos30，可得 GHGF+FH，RtGHD 中，即可得到 DG； 过 E 作 EPAB 交 BD 于 P，过 H 作 MHBC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N，连接 EN，由ABC+EFH180，得 B、E、F、H 共圆，可得FBHFEH，从而
41、可证 HFGF，由 E、P、F、G共圆可得BMHGPF60，故GFPHFM，PFFM，可得 NFMH，BFMH+EP，在 RtBEP 中， EPBEtan30BE， RtMHB 中， MHBHtan30BH， 即可得到 BE+BHBF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作PML30，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PHML 于 H，设 MP 交 BD于 K，RtPMH 中，HPMP，NP+MP 最小即是 NP+HP 最小，此时 N、P、H 共线，而将线段 EF绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP，可得QKPFEP60，从而可证 MLAC，四边形 GHND是矩形，由 DN2NC，得
42、DNGH2，由等边ABC 中，AB6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，可得 BM，BDABsinA3，RtBGM 中，MGBM，BGBMcos30，可求 MHMG+GH，GDBDBG，RtMHP 中，可得 HP，从而可得 PNHNHPGDHP，故 SDPNPNDN 【解答】解：（1）过 D 作 DHGC 于 H，如图： 线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG，点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C， BGBF，FBG60， BGF 是等边三角形， BFGDFC60，BFGF， 等边ABC，AB6，BDAC， DCF180BDCDFC30，DBCABC
43、30，CDACAB3， BCGACBDCF30， BCGDBC， BFCF， GFCF， RtFDC 中，CF2， GF2， RtCDH 中，DHCDsin30，CHCDcos30， FHCFCH， GHGF+FH， RtGHD 中，DG； 过 E 作 EPAB 交 BD 于 P，过 H 作 MHBC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N，连接 EN，如图： EF 绕点 E 逆时针旋转 60得到线段 EG， EGF 是等边三角形， EFGEGFGEF60，EFH120，EFGF， ABC 是等边三角形， ABC60， ABC+EFH180， B、E、F、H 共圆， FBHFEH，
44、而ABC 是等边三角形，BDAC， DBCABD30，即FBH30， FEH30， FHE180EFHFEH30， EFHFGF， EPAB，ABD30， EPB60，EPF120， EPF+EGF180， E、P、F、G 共圆， GPFGEF60， MHBC，DBC30， BMH60， BMHGPF， 而GFPHFM， 由得GFPHFM（AAS）， PFFM， EPAB，BP 中点 N，ABD30， EPBPBNNP， PF+NPFM+BN， NFBM， RtMHB 中，MHBM， NFMH， NF+BNMH+EP，即 BFMH+EP， RtBEP 中，EPBEtan30BE， RtMHB
45、中，MHBHtan30BH， BFBE+BH， BE+BHBF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作PML30，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PHML 于 H，设 MP 交 BD于 K，如图： RtPMH 中，HPMP， NP+MP 最小即是 NP+HP 最小，此时 N、P、H 共线， 将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60得到线段 EP， F 在射线 QF 上运动，则 P 在射线 MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，FEP60，则 F、P 轨迹的夹角QKPFEP60， BKM60， ABD30， BMK90， PML30， BML60， BML
46、A， MLAC， HNA180PHM90， 而 BDAC， BDCHNAPHM90， 四边形 GHND 是矩形， DNGH， 等边ABC 中，AB6，BDAC， CD3， 又 DN2NC， DNGH2， 等边ABC 中，AB6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点， BM，BDABsinA6sin603， RtBGM 中，MGBM，BGBMcos30， MHMG+GH，GDBDBG， RtMHP 中，HPMHtan30， PNHNHPGDHP， SDPNPNDN 【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线
