1、2021 年重庆市中考数学预测试卷（一）年重庆市中考数学预测试卷（一） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 12 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ） A B C D 3计算（xy）4（x+y）3的结果是（ ） Axy Bx+y Cx+y Dxy 4如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O（0，0），A（4，3），B（3，0）以点 O 为位似中心，在第三象限内作与OAB 的位似比为的位似图形OCD，则点 C 的坐标为（ ） A（1，1） B（，1） C（1，） D（2，1） 5如图，A
2、B 为O 的直径，C、D 为O 上两点，若CAB35，则D 等于（ ） A35 B55 C65 D70 6下列运算正确的是（ ） A B C236 D 7某同学早上 8 点坐车从学校出发去大钊纪念馆参观学习，汽车离开学校的距离 S（千米）与所用时间 t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述：汽车在途中加油用了10 分钟；若 OABC，则加满油以后的速度为 80 千米/小时；若汽车加油后的速度是 90 千米/小时，则 a25；该同学 8：55 到达大钊纪念馆其中正确的有（ ）个 A4 B3 C2 D1 8已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等
3、边三角形下列说法：ANBM；DEAB；CF 平分AFB；FNAF；ADCMCE，正确的有几个？（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 9如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，AD，DG，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ） A3 B C D 10如图，小王在山坡上 E 处，用高 1.5 米的测角仪 EF 测得对面铁塔顶端 A 的仰角为 25，DE 平行于地面 BC，若 DE2 米，BC10 米，山坡 CD 的坡度 i1：0.75，坡长 CD5 米，则铁塔 AB 的高度约是（ ）（参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.4
4、7 ） A11.1 米 B11.8 米 C12.0 米 D12.6 米 11 若数 a 既使关于 x 的不等式组无解， 又使关于 x 的分式方程1 的解小于 4，则满足条件的所有整数 a 的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 12如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在反比例函数 y（x0）与 y（x0）的图象上，点 C，D 在 x 轴上，AB，BD 分别交 y 轴于点 E，F，则阴影部分的面积为（ ） A3 B5 C6 D9 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13计算：|3|（1）0 14在一个不透明的口袋中，放入标有数字 1
5、，2，2，3，4 的五个小球（除数字外完全相同），从中随机摸 出 一 个 小 球 后 放 回 ， 再 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 则 两 次 摸 出 的 小 球 标 号 之 和 为 5 的 概 率为 15已知 y1x+2，y24x7，当 x 时，y1y20 16如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，以 C 为圆心，CE 为半径作弧，交 CD 于点 F，连接 AE、AF若 AB6，B60，则阴影部分的面积为 17如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将ABE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交 CD 于 G，连接CF，AG下列结论：AEFC； EAG45，
6、且 BE+DGEG；SCEFS正方形ABCD； AD3DG，正确的是 （填序号） 18重庆市某服装厂配套生产一批校服，有领带、衬衫、T 恤三样3 月份，该厂家生产的领带、衬衫、T恤的数量比是 4：5：6进入 4 月份，春暖花开，气温上升，该厂家立刻又生产了一批这三样配套校服，其中衬衫增加的数量占总增加数量的，此时衬衫的总数量将达到三种服装总数量的，领带与 T 恤的数量比是 2：6已知领带、衬衫、T 恤这三样的成本价格分别是 15 元，60 元，45 元，厂家决定领带有作为促销礼物赠送， 领带剩余部分按成本价格卖出， 其余产品全部售出， 最后三种服装的总利润率是 50%，其中 T 恤的利润率为，
7、则衬衫 的售价是 元（附：利润率（售价成本）成本100%） 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19（10 分）计算： （1）（xy）2+x（x+2y）； （2）（1） 20（10 分）为了解某校九年级学生阅读课外书籍的情况，某研究小组随机采访该校九年级的 20 位同学，得到这 20 位同学阅读课外书册数的统计信息，数据如下： 册数 0 2 3 5 6 8 10 人数 1 2 4 8 2 2 1 （1）这 20 位同学阅读课外书册数的众数是 册，中位数是 册； （2）若该校九年级有 600 名学生，试估计该校九年级学生阅读课外书的总册
8、数 21（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中 （1）尺规作图：作 BC 的垂直平分线 EF，交 BC 于点 E，交 AD 与点 F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 G，求证：ABBG 22（10 分）如图，一次函数 y1kx+b 与反比例函数的图象交于 A（2，3），B（6，n）两点，与 x轴、y 轴分别交于 C，D 两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式 （2）求当 x 为何值时，y1y2 23（10 分）“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和 N95 口罩，今年 8 月份的进价如表： 普通口罩 N95 口
9、罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划 N95 口罩每包售价比普通口罩贵 16 元，7 包普通口罩和 3 包 N95 口罩总售价相同，求普通口罩和 N95 口罩每包售价 （2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为 120 包，当每包售价降价 1 元时，日均销售量增加 20 包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320 元，求此时普通口罩每包售价 （3）疫情期间，该药店进货 3000 包 N95 口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了 500 包后，又打 9 折销售，全部售完，这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为多少元？ 24（10
10、 分）材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”如果一位三位“下滑数”满足个位数字与十位数字之和等于百位数字，那么称这个数为“下滑和平数” 例如：A321，满足 123，且 1+23，所以 321 是“下滑和平数”； B643，满足 346，但 3+46，所以 643 不是“下滑和平数” 材料二：对于一个“下滑和平数”m100a+10b+c（1a，b，c9 且 a，b，c 为整数）交换其百位和个位数字得到新数 m100c+10b+a，规定：F（m）mm 例如：m321 为“下滑和平数”，m123，F（m）321123198 （1）请任意写出两个三位“下滑数”，并判断
11、你所写的两个三位“下滑数”是不是“下滑和平数？并说明理由 （2）若 m 与 m的和能被 7 整除，求 F（m）的最小值 25（10 分）已知二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）、C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧抛物线上找一点 P，使得 P、D、C 构成以 PC 为底边的等腰三角形，求出点 P 的坐标及此时四边形 PBCD 的面积 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26（8 分）如图，在 Rt
12、ABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将ABP 沿直线 AP 折叠，使得点 B 的对应点为 B，连接 AB，CB，BB，PB （1）如图，若 PBAC，证明：PBAB （2）如图，若 ABAC，BP3PC，求 cosBAC 的值 （3）如图，若ACB30，是否存在点 P，使得 ABCB若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数 【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2 故选：A 【点评】本题
13、考查了相反数的意义注意掌握只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0 2【分析】根据解集在数轴上的表示：实心点向左是小于等于，空心圈向右是大于即可判断 【解答】解：观察数轴可知： 解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是： 故选：B 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右” 3【分析】把底数都变成 yx，然后根据同底数幂的除法法则计算 【解答】解：原式（yx）4（yx
14、）3 （yx）43 yx， 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的除法，把底数不相同的幂转化为同底数幂是解题的关键 4【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以即可 【解答】解：以点 O 为位似中心，位似比为， 而 A （4，3）， A 点的对应点 C 的坐标为（，1） 故选：B 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 5【分析】利用圆周角定理得到ACB90，则利用互余可计算出B55，然后根据圆周角定理得到D 的度数 【解答】解：AB 为O 的直径， ACB9
15、0， B90CAB903555， DB55 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 6【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决 【解答】解： +2，故选项 A 错误； 2，故选项 B 错误； 236，故选项 C 错误； ，故选项 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法 7【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑 【解答】解：图中加油时间为 25 至 35 分钟，共 10 分
16、钟，故正确； OABC， OA 段和 BC 段的速度相等，即， 解得 a， 加满油以后的速度为：80（千米/小时），故正确； 由题意可知，90，解得 a30，故错误； 该同学 8：55 到达大钊纪念馆，故正确 正确的有 3 个， 故选：B 【点评】此题考查了函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：路程速度：时间 8【分析】由ACM，CBN 是等边三角形，可证明ACNMCB，即得 ANBM，故正确；而 SACNSMCB，且底边 ANBM，可知 C 到 AN、BM 的距离相等，得 C 在AFB 的平分线上，正确；可证明ACDMCE（ASA），故正确；得 CDCE，即有DC
17、E 是等边三角形，故DEC60NCB，得 DEAB，故正确；不能证明 FNAF，故不正确 【解答】解：ACM，CBN 是等边三角形， ACMBCN60，CACM，CBCN， ACM+MCNBCN+MCN， ACNMCB， 在ACN 和MCB 中， ， ACNMCB（SAS）， ANBM，故正确；且 SACNSMCB， C 到 AN、BM 的距离相等， C 在AFB 的平分线上，正确； ACNMCB NACBMC，即DACEMC， MCE180ACMBCN60， MCEACD60， 在ACD 和MCE 中， ， ACDMCE（ASA），故正确； CDCE， 而DCE60， DCE 是等边三角形，
18、 DEC60NCB， DEAB，故正确； 由已知不能证明 FNAF，故不正确， 其中正确的有， 故选：C 【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及三角形全等的性质及判定、三角形面积、平行线的判定等知识，证明ACNMCB 和ACDMCE 是解题的关键 9【分析】连接 AC、CF，根据正方形性质求出 AC、CF，ACDGCF45，再求出ACF90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可 【解答】解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，AD，DG， AC2，CG， CF， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得，A
19、F， H 是 AF 的中点， CHAF 故选：B 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 10【分析】如图，过点 E、F 分别作 AB 的垂线，垂足分别为 G、H，得矩形 EFHG，可得 GHEF1.5，HFGD+2，过点 D 作 BC 延长线的垂线，垂足为 M，得矩形 DMBG，根据 CD 的坡度 i1：0.754：3，CD5，可得 DM4，CM3，再根据锐角三角函数求出 AH 的长，即可求出 AB 的高度 【解答】解：如图，过点 E、F 分别作 AB 的垂线，垂足分别为 G、H，得矩形 EFHG
20、， GHEF1.5，HFGEGD+DEGD+2， 过点 D 作 BC 延长线的垂线，垂足为 M， 得矩形 DMBG， CD 的坡度 i1：0.754：3，CD5， DM4，CM3， DGBMBC+CM10+313，BGDM4， HFDG+215， 在 RtAFH 中，AFH25， AHFHtan25150.477.05， ABAH+HG+GB7.05+1.5+412.6（米） 答：铁塔 AB 的高度约是 12.6 米 故选：D 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义和坡度坡角定义 11 【分析】 不等式组变形后， 根据无解确定出 a 的
21、范围， 再表示出分式方程的解， 由分式方程的解小于 4，确定出满足条件 a 的值 【解答】解：解不等式+1，得：x5a6， 解不等式 x2a6，得：x2a+6， 不等式组无解， 2a+65a6， 解得：a4， 解方程1，得：x22a， 方程的解小于 4， 22a4 且 22a2， 解得：a1 且 a0、a2， 则1a4 且 a0、a2， 所以满足条件的所有整数 a 有 1、3、4 这 3 个， 故选：B 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键 12【分析】设 A（a，），a0，根据题意，利用函数关系式表示出线段 OD，OE，OC
22、，OF，EF，利用三角形的面积公式，结论可求 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，），a0 则 ODa，OE 点 B 的纵坐标为 点 B 的横坐标为 OC BE ABCD， EFOE，OFOE 1 4 S阴影SBEF+SODF1+45 故选：B 【点评】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可 【解答】解：|3|（1）0 31 2 故答案为
23、：2 【点评】此题主要考查了求一个数的绝对值及零指数幂的运算，掌握绝对值的意义及任何数（0 除外）的零次幂都等于 1 是解题关键 14【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得 【解答】解：列表如下： 1 2 2 3 4 1 2 3 3 4 5 2 3 4 4 5 6 2 3 4 4 5 6 3 4 5 5 6 7 4 5 6 6 7 8 由表知，共有 25 种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为 5 的有 6 种结果， 所以两次摸出的小球标号之和为 5 的概率为， 故答案为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总
24、情况数之比 15【分析】根据题意可得关于 x 的一元一次方程，再解方程即可 【解答】解：由题意可得， （x+2）（4x7）0， 去括号，得 x+24x+70， 移项，得 x4x027， 合并同类项，得3x9， 系数化 1，得 x3 故答案为：3 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程 ax+b0 的步骤是：去分母（含有分母的一元一次方程），去括号，移项，合并同类项，系数化 1 16【分析】连接 AC，根据菱形的性质求出BCD 和 BCAB6，求出 AE 长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC6， B60，E 为
25、BC 的中点， CEBE3CF，ABC 是等边三角形，ABCD， B60， BCD180B120， 由勾股定理得：AE3， SAEBSAEC634.5SAFC， 阴影部分的面积 SSAEC+SAFCS扇形CEF4.5+4.593， 故答案为：93 【点评】 本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出AEC、AFC 和扇形 ECF 的面积是解此题的关键 17 【分析】由中点定义和折叠性质得 CEEF，进而得ECFEFC， 再由三角形的外角性质得AEBECF，最后由平行线的判定方法得 AECF，便可判断的正误； 证明 RtADGRtAFG 得DAGFAG，DGFG
26、，进而得EAG，便可判断的正误； 设正方形 ABCD 的边长为 a，CGx，则 ECBEEFa，GFDGax，在CEG 中，由勾股定理列出 x、 a 的方程， 得 x 与 a 的关系， 进而由三角形的面积公式求得CEF 的面积便可判断的正误； 由知 DGaxa，便可判断的正误 【解答】解：E 是 BC 边的中点， BECE， 由折叠知，AEBAEF，BEEF， CEEF， ECFEFC， BEFECF+EFC， AEBECF， AECF， 故正确； 由折叠知 ABAF，ABEAFE90，BAEFAE， 正方形 ABCD 中，ABAD，ADG90， ADAF， AGAG， RtADGRtAFG（
27、HL）， DAGFAG，DGFG BAE+DAGEAF+FAG，BE+DGEF+FG EAG，BE+DGEG， 故正确； 设正方形 ABCD 的边长为 a，CGx，则 ECBEEFa，GFDGax， 在CEG 中，由勾股定理得， ， 解得，xa， ， EF：EGa：（ a+aa）3：5， ， 故错误； 由上可知 DGaxaaa， ADa， AD3DG， 故正确； 故答案为： 【点评】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大 18【分析】设生产前共有服装 x 件，则领带有x 件，衬
28、衫有x 件，T 恤有x 件，设总共增加了 y件服装化比值为含有未知数的代数式表示，运用方程思想求解 【解答】解：设生产前共有服装 x 件，则领带有x 件，衬衫有x 件，T 恤有x 件， 设总共增加了 y 件服装， 则x+y（x+y）， xy， 衬衫占总数的，领带与 T 恤的数量比是 2：6， 领带占总数量的，T 恤占总数量的， 生产后共 2x 件，衬衫为x 件，领带为x 件，T 恤为x 件， 设衬衫利润为 a 元，T 恤利润为 b 元， 则（x15+x60+x45）50%xa+xbx157a+6b365， T 恤的利润率为， b6， a47， 衬衫的售价为：47+60107（元） 故答案为：1
29、07 【点评】 本题考查了销售中的利润问题， 灵活运用方程思想， 本题通过设生产前有 x 件和新增加有 y 件，然后根据比例关系得到 xy 是解决本题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 10 分）分） 19【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可 【解答】解：（1）（xy）2+x（x+2y） x22xy+y2+x2+2xy 2x2+y2； （2）（1） （） 【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确完全平方公式和单项式乘
30、多项式计算方法、分式混合运算的计算方法 20【分析】（1）根据中位数、众数的意义求出结果即可； （2）求出样本平均数，即平均每个人读书的册数，再求出九年级 900 名学生总册数 【解答】解：（1）学生阅读书籍册数最多的是 5 册，共有 8 次，因此阅读书籍的众数为 5 册， 将学生读书册数从小到大排序后处在第 10、11 位的两个数都是 5 册，因此中位数是 5 册， 故答案为：5，5； （2）样本平均数为：（22+34+58+62+82+10）204.7 册， 4.76002820 册， 答：该校九年级 900 名学生阅读课外书的总册数大约为 2820 册 【点评】考查中位数、众数的意义和求
31、法，明确中位数、众数的意义是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法 21【分析】（1）根据要求作出图形即可 （2）由平行四边形的性质可推出 ABCD，GCDE，GBEC，进而证得BEGCED，根据全等三角形的性质得到 GBDC，继而得到 ABBG 【解答】（1）解：如图所示，EF 就是 BC 的垂直平分线； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， GCDE，GBEC， E 是 BC 的中点， BECE， 在BEG 和CED 中， ， BEGCED（AAS）， GBDC， ABCD， ABBG 【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的
32、性质和判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的基本方法 22【分析】（1）将 A（2，3）代入反比例函数关系式可求出 m 的值，确定反比例函数关系式，进而求出点 B 的坐标，再根据待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）根据两个函数的图象以及交点坐标得出答案 【解答】解：（1）反比例函数的图象交于 A（2，3）， m236， 反比例函数的关系式为：y2， 把 B（6，n）代入 y2得， n1， 点 B（6，1）， 把 A（2，3），B（6，1）代入一次函数 y1kx+b 得， ， 解得 k，b4， 一次函数的关系式为 y1x+4； （2）当一次函数的图象位于反比例函数图象的上方
33、时，y1y2 由两个函数的图象以及交点可知相应的自变量 x 的取值范围为 2x6 【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解一次函数与反比例函数图象的交点与不等式的解集之间的关系是正确解答的关键 23【分析】（1）设普通口罩每包的售价为 x 元，N95 口罩每包的售价为 y 元，根据“N95 口罩每包售价比普通口罩贵 16 元，7 包普通口罩和 3 包 N95 口罩总售价相同”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2） 设普通口罩每包的售价降低m元， 则此时普通口罩每包的售价为 （12m） 元， 日均销售量为 （120+20m）包，根据每天的利润每包的利润日
34、均销售量，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）根据利润销售收入进货成本，即可得出答案 【解答】解：（1）设普通口罩每包的售价为 x 元，N95 口罩每包的售价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：普通口罩每包的售价为 12 元，N95 口罩每包的售价为 28 元 （2） 设普通口罩每包的售价降低m元， 则此时普通口罩每包的售价为 （12m） 元， 日均销售量为 （120+20m）包， 依题意，得：（12m8）（120+20m）320， 整理，得：m2+2m80， 解得：m12，m24（不合题意，舍去）， 12m10 答：此时普通口罩每包的售价为 10 元 （
35、3）由题意得，这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为 2500280.93000203000（元） 答：这批 3000 包的 N95 口罩所获利润为 3000 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算 24【分析】（1）根据“下滑和平数”的定义判断 （2）表示 m，m，再根据 m+m能被 7 整除，找到 F（m）的最小值 【解答】解：（1）两个下滑数：654，987 4+56，7+89 654，987 都不是“下滑和平数” （2）
36、设 m100a+10b+c，则 m100c+10b+a（ab，c 均为整数） m 是“下滑和平数” b+ca，且 1cba9 m+m101a+20b+101c F（m）mm99（ac）99b 要使 F（m）最小，只需 b 最小 m+m能被 7 整除 当 b2，a3，c1，m+m444，不合题意，舍去 当 b3，a4，c1 或 a5，c2 当 a4，c1，m+m515，不合题意，舍去 当 a5，c2，m+m767，不合题意，舍去 当 b4，a5，c1 或 a6，c2 或 a7，c3 当 a5，c1 时，m+m686，686 能被 7 整除 综上所述，满足上述条件的 b 的最小值为 4 F（m）最
37、小500+40+1145396 【点评】本题考查用新定义解决问题，理解“下滑数”，“下滑和平数”的定义是求解本题的关键 25【分析】（1）将 A（1，0）、B（3，0）代入二次函数 yax2+bx3a 求得 a、b 的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段 BC、CD、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）由抛物线的对称性和等腰三角形的性质可求点 P 坐标，由面积的和差关系可求解 【解答】解：（1）二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）、C （0，3）， ， ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4 得，D 点坐标
38、为（1，4）， yx2+2x+3 与 x 轴交于另一点 B， 令 y0，x2+2x+30，解得 x1 或 3， A（1，0），B（3，0）， CD， BC3， BD2， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD 是直角三角形； （3）如图， P、D、C 构成以 PC 为底边的等腰三角形， 点 D 在 PC 的垂直平分线上， 点 C 与点 P 关于对称轴直线 x1 对称， 点 P 的坐标为（2，3）， S四边形PBCDSDCP+SCBP， S四边形PBCD2（43）+234 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解
39、析式，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 8 分，每小题分，每小题 8 分）分） 26【分析】（1）易证 PBAB所以BPABAP，又由折叠可知BAPBAP，所以BPABAP故 PBAB； （2）设 ABACa，AC、PB交于点 D，则ABC 为等腰直角三角形再证明CDPBDA，可得 设 BDb，则 CDb 则 ADab， PDb，由解得 b再过点 D 作 DEAB于点 E，则BDE 为等腰直角三角形所以 BEsin45BD，AEABBE，AD故 cosBACcosEAD即可求； （3）分点 P 在
40、 BC 外的圆弧上；点 P 在 BC 上两种情况分别求解即可 【解答】解：（1）证明：PBAC，CAB90， PBAB BPABAP， 又由折叠可知BAPBAP， BPABAP 故 PBAB （2）设 ABACa，AC、PB交于点 D，如答图 1 所示， 则ABC 为等腰直角三角形， BC，PC，PB， 由折叠可知，PBAB45， 又ACB45， PBAACB， 又CDPBDA， CDPBDA 设 BDb，则 CDb ADACCDab， PDPBBDPBBDb， 由得： 解得：b 过点 D 作 DEAB于点 E，则BDE 为等腰直角三角形 BEsin45BD， AEABBEABBEa 又 AD
41、ACCDaba cosBACcosEAD （3）存在点 P，使得 CBABm理由如下： ACB30，CAB90 BC2m 如答图 2 所示， 由题意可知，点 B的运动轨迹为以 A 为圆心、AB 为半径的半圆 A 当 P 为 BC 中点时，PCBPAPABm， 又B60， PAB 为等边三角形 又由折叠可得四边形 ABPB为菱形 PBAB， PBAC 又APAB， 则易知 AC 为 PB的垂直平分线 故 CBPCABm，满足题意 此时， 当点 B落在 BC 上时，如答图 3 所示， 此时 CBABm， 则 PB， PCCB+PBm+， 综上所述，的值为或 【点评】 本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、 等腰三角形的判定与性质、 直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键
