1、2021 年河南省洛阳市涧西区中考数学三模试卷年河南省洛阳市涧西区中考数学三模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）2 5的倒数是（ ） A0.4 B2.5 C4 D 2 5 2 （3 分）中国首次火星探测任务天问一号探测器在 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获，成为中国第一颗人 造火星卫星， 并在距离火星约11000千米处， 拍摄了火星全景图象 将11000用科学记数法表示应为 （ ） A11103 B1.1103 C1.1104 D0.11
2、105 3 （3 分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方 体的个数，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 4 （3 分）如图，ABCD，A100，BCD50，ACB 的度数为（ ） A25 B30 C45 D50 5 （3 分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A为了了解潮白河的水质，采取抽样调查 B为了了解顺义区中学生睡眠时间，采取抽样调查 C为了了解一批灯泡的使用寿命，采取全面调查 D为了了解某班同学的数学成绩，采取全面调查 6 （3 分）若点 A（x1，4） ，B（x2，2） ，C（x3，3）在反比例函数 y= （k0）的图象
3、上，则 x1，x2，x3 的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x2x1 Dx2x3x1 7 （3 分）定义 aba2+a（b2）+4，例如 3732+3（72）+428，若方程 xm0 的一个根是1， 则此方程的另一个根是（ ） A2 B3 C4 D5 8 （3 分） 九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今 乙发已先二日，甲仍发长安同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5 日到齐国乙从齐国出发，7 日到长安，现乙先出发 2 日，甲才从长安出发问 甲经过多少日与乙相逢？设甲经过 x 日与乙相逢，可列方程 （ ） A 7 +2 + 5
4、=1 B 7 +2 5 =1 C+2 7 = 5 D+2 7 + 5 =1 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，顶点 A（2，3） ，C（2，0） ，连 接 AC，按下列方法作图： （1）以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 CA、CD 于点 E，F； （2）分别以点 E，F 为圆心，大于1 2 的长为半径画弧两弧交于点 G； （3）作射线 CG 交 AD 于点 H，则点 H 的横坐标为（ ） A1 2 B3 4 C1 D3 2 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，D120，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，
5、设 PCx， PE+PBy， 图是 y 关于 x 的函数图象， 且图象上最低点 Q 的坐标为 （83 3 ， 23） ， 则菱形 ABCD 的边长为（ ） A2 B3 2 3 C23 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）比7大的整数中，最小的是 12 （3 分）不等式组 1 0 3+1 2 的解集为 13 （3 分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写着数字 1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区 别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和大于 5 的概率是 14 （3 分）如图，在ABC 中，A90，BC2AC，以点
6、 A 为圆心的弧与 BC 相切于点 F，分别交 AB、 AC 于点 D、E，若 CF1，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ） 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AEDE3，连接 CE，点 F 是 CE 上一点，且 EF2CF，连接 BF， 点 M 是 BF 的中点，过点 M 作 MNBC 于点 N，连接 FN，则 FN 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务 216 2+8+16 2+1 2+8 = (+4)(4) (+4)2 2+1 2(+4)第一
7、步 = 4 +4 2+1 2(+4)第二步 = 2(4) 2(+4) 2+1 2(+4)第三步 = 28(2+1) 2(+4) 第四步 = 282+1 2(+4) 第五步 = 7 2+8第六步 任务一：填空从上面的化简步骤，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请写出这道题正确的化简过程 17 （9 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的大学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务 团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 300 名学生进入综合素质展示环节，为了了解这些学生的整体 情况， 从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了
8、 50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ， 并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x 80，80 x90，90 x100） b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学
9、校学生 B 的综合素质展示成绩同为 82 分，这两人在本校学生中综合素质展示 排名更靠前的是 （填“A”或“B” ） ； （2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为： （至少从两个不同的角度 说明推断的合理性） （3） 若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队， 预估甲学校分数至少达到 分 的学生才可以入选 18 （9 分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距 6 海里的码头 B，D，某海岛上的观测塔 A 距离海岸 5 海里，在 A 处测得 B 位于南偏西 22方向一艘渔船从 D 出发，沿正北方向航行至 C 处，此时在 A 处 测得 C 位于南偏东 67方
10、向求此时观测塔 A 与渔船 C 之间的距离（结果精确到 0.1 海里） （参考数据：sin22 3 8，cos22 15 16，tan22 2 5，sin67 12 13，cos67 5 13，tan67 12 5 ） 19 （9 分）某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个 月的销售量为 x（件） ，销售人员的月收入为 y（元） ，原有的薪酬计算方式 y1元采用的是底薪+提成的方 式，且 y1k1x+b，已知每销售一件商品另外获得 15 元的提成修改后的薪酬计算方式为 y2（元） ，且 y2 k2x+b，根据图象回答下列问题： （1）求 y1和 y2
11、的解析式，并说明 b 的实际意义； （2）求两个函数图象的交点 F 的坐标，并说明交点 F 的实际意义； （3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员 20 （9 分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前 287公元前 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛 顿、高斯并称为三大数学王子 阿拉伯 AlBiruni（9731050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 Al Biruni 译本出版了俄文版阿基米德全集 ，第一题就是阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和
12、BC 是O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦） ，BCAB，M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CDAB+BD下面是运用“截长 法”证明 CDAB+BD 的部分证明过程证明：如图 2，在 CB 上截取 CGAB，连接 MA，MB，MC 和 MG M 是 的中点， MAMC 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图 3，已知等边ABC 内接于O，AB2，D 为 上一点，ABD45，AEBD 于 点 E，则BDC 的周长是 21 （10 分）二次函数 ymx22mxm+3 （1）求该二次函数的对称轴； （2
13、）过动点 C（0，n）作直线 ay 轴，当直线 a 与抛物线只有一个公共点时，求 n 关于 m 的函数表达 式； （3）若对于每一个 x 值，它所对应的函数值都不小于 1，求整数 m 的值 22 （10 分）小亮在学习中遇到如下一个问题： 如图 1，点 C 是半圆 AmB 上一动点，线段 AB6，CD 平分ACB，过点 A 作 ADBC 交 CD 于点 D， 连接 BD当BCD 为等腰三角形时，求线段 AC 的长度 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问 题将线段 AC 的长度作为自变量 x，BC，BD 和 CD 的长度都是 x 的函数，分别记
14、为 yBC，yBD和 yCD请 将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在半圆 AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AC，BC，BD 的长度，得到下表 的几组对应值： AC 0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6 BC 6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0 BD 6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5 上表中 a 的值是 操作中发现， “无需测量线段 CD 的长度即可得到 yCD关于 x 的函数解析式” 请直接写出 yCD关于 x 的函数解析式 （2）小亮已在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yBD的图
15、象，如图 2 所示 请在同一个坐标系中画出函数 yBC和 yCD的图象； 结合图象直接写出当BCD 为等腰三角形时，线段 AC 长度的近似值（结果保留一位小数） 23 （11 分）在 RtABC 中，ABAC3，BAC90，点 D 为边 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF （1）如图 1，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ； （2）在（1）的条件下， 如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE、CE、AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； 正方形 CDEF 绕点 C 旋转的过程中，当以点 A，B，C，E
16、 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 线段 AF 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）2 5的倒数是（ ） A0.4 B2.5 C4 D 2 5 【解答】解：2 5 5 2 =1， 2 5的倒数是： 5 2 =2.5 故选：B 2 （3 分）中国首次火星探测任务天问一号探测器在 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获，成为中国第一颗人 造火星卫星， 并在距离火星约11000千米处， 拍摄了火星全景图象 将
17、11000用科学记数法表示应为 （ ） A11103 B1.1103 C1.1104 D0.11105 【解答】解：将 11000 用科学记数法表示为 1.1104 故选：C 3 （3 分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方 体的个数，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【解答】解：该几何体的左视图从左到右分别看到的正方体分别是 2，1，2， 所以该几何体的左视图是： 故选：A 4 （3 分）如图，ABCD，A100，BCD50，ACB 的度数为（ ） A25 B30 C45 D50 【解答】解：ABCD，A100 A+ACD180 A
18、CD80 BCD50 ACBACDBCD30 故选：B 5 （3 分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A为了了解潮白河的水质，采取抽样调查 B为了了解顺义区中学生睡眠时间，采取抽样调查 C为了了解一批灯泡的使用寿命，采取全面调查 D为了了解某班同学的数学成绩，采取全面调查 【解答】解：A为了了解潮白河的水质，适合采用抽样调查，故 A 选项不合题意； B为了了解顺义区中学生睡眠时间，适合采用抽样调查，故 B 选项不合题意； C为了了解一批灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故 C 选项符合题意； D为了了解某班同学的数学成绩，适合采取全面调查，故 D 选项不合题意 故选：C 6 （3 分）
19、若点 A（x1，4） ，B（x2，2） ，C（x3，3）在反比例函数 y= （k0）的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x2x1 Dx2x3x1 【解答】解：k0， 反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 点 A（x1，4） ，B（x2，2） ，C（x3，3）在反比例函数 y= （k0）的图象上， 点 A（x1，4）在第四象限，B（x2，2） ，C（x3，3）在第二象限， x10，x2x30， x1x3x2， 故选：B 7 （3 分）定义 aba2+a（b2）+4，例如 3732+3（72）+428，若方程
20、 xm0 的一个根是1， 则此方程的另一个根是（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：xm0， x2+（m2）x+40， 设该方程的两根为 x1，x2， 则 x1x24， 该方程的一个根为1， 则另一个根为：4， 故选：C 8 （3 分） 九章算术中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今 乙发已先二日，甲仍发长安同几何日相逢？ 译文：甲从长安出发，5 日到齐国乙从齐国出发，7 日到长安，现乙先出发 2 日，甲才从长安出发问 甲经过多少日与乙相逢？设甲经过 x 日与乙相逢，可列方程 （ ） A 7 +2 + 5 =1 B 7 +2 5 =1 C+2 7 = 5
21、 D+2 7 + 5 =1 【解答】解：设甲经过 x 日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日， 依题意，得：+2 7 + 5 =1 故选：D 9 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，顶点 A（2，3） ，C（2，0） ，连 接 AC，按下列方法作图： （1）以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 CA、CD 于点 E，F； （2）分别以点 E，F 为圆心，大于1 2 的长为半径画弧两弧交于点 G； （3）作射线 CG 交 AD 于点 H，则点 H 的横坐标为（ ） A1 2 B3 4 C1 D3 2 【解答】解：过 H 点作 HMAC 于 M，如图：
22、由作法得 CH 平分ACD， HMAC，HDCD， HMHD， 矩形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，3） ，C 点坐标为（2，0） ， AB3，BC2OB2OC4， 在 RtABC 中，AC= 2+ 2= 32+ 42=5， 在 RtCHD 和 RtCHM 中， = = ， RtCHDRtCHM（HL） ， CDCM3， AMACCM532， 设 DHt，则 AH4t，HMt， 在 RtAHM 中，t2+22（4t）2，解得 t1.5， 即 HD1.5， H 点的横坐标为 21.50.5 故选：A 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，D120，点 E 是 AB 的中点，点 P 是
23、对角线 AC 上一动点，设 PCx， PE+PBy， 图是 y 关于 x 的函数图象， 且图象上最低点 Q 的坐标为 （83 3 ， 23） ， 则菱形 ABCD 的边长为（ ） A2 B3 2 3 C23 D4 【解答】解：B、D 关于直线 AC 对称， 连接 DP，PBPD， PB+PEPD+PEDE， （点 D、P、E 三点共线） ， PE+PB 的值最小， Q（83 3 ，23） ， PC= 83 3 ，DE= 23， 四边形 ABCD 为菱形，DB 为对角线，D120， ADBCDB= 1 2ADC60，ADAB， ABD 为等边三角形， 点 E 为 AB 中点， EDAB， EDB
24、30， tanEDB= = 3 3 ， EB= 3 3 23 =2， AB2BE4， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）比7大的整数中，最小的是 3 【解答】解：479， 2 7 3， 比7大的整数中，最小的是 3 故答案为：3 12 （3 分）不等式组 1 0 3+1 2 的解集为 x1 【解答】解： 1 0 3+1 2 ， 解不等式得：x1， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 x1， 故答案为：x1 13 （3 分）一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写着数字 1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区 别，随机从这个口袋
25、中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和大于 5 的概率是 1 3 【解答】解：根据题意画树状图如图： 共有 12 种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于 5 的有 4 种， 两次摸出的卡片的数字之和等于 5 的概率为 4 12 = 1 3， 故答案为：1 3 14 （3 分）如图，在ABC 中，A90，BC2AC，以点 A 为圆心的弧与 BC 相切于点 F，分别交 AB、 AC 于点 D、E，若 CF1，则图中阴影部分的面积为 33 2 （结果保留 ） 【解答】解：连接 AF， 以点 A 为圆心的弧与 BC 相切于点 F， AFBC，即AFC90， BAC90，BC2AC， B30， C60， C
26、AF30， AC2CF， CF1， AC2CF2， BC2AC4， BFBCCF413， 由勾股定理得：AF= 2 2= 22 12= 3， 阴影部分的面积 SSAFBS扇形DAF= 1 2 3 3 60(3) 2 360 = 33 2 ， 故答案为：33 2 15 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AEDE3，连接 CE，点 F 是 CE 上一点，且 EF2CF，连接 BF， 点 M 是 BF 的中点，过点 M 作 MNBC 于点 N，连接 FN，则 FN 的长为 41 2 【解答】解：过点 F 作 FHBC 于 H， AEDE3， CD6， CE= 32+ 62= 35， EF2CF
27、， CF= 1 3 = 5， 又CDE 和FHC 相似， 设 CHa，则 FH2a， a2+（2a）25， 解得 a1， HF2，CH1， BH5， 又M 是 BF 的中点，MNBH， MN 是BHF 的中位线， NH= 5 2， NF= 2+ 2=22+ (5 2) 2 = 41 2 ， 故答案为 41 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务 216 2+8+16 2+1 2+8 = (+4)(4) (+4)2 2+1 2(+4)第一步 = 4 +4 2+1 2(+
28、4)第二步 = 2(4) 2(+4) 2+1 2(+4)第三步 = 28(2+1) 2(+4) 第四步 = 282+1 2(+4) 第五步 = 7 2+8第六步 任务一： 填空从上面的化简步骤， 第 三 步是进行分式的通分， 通分的依据是 分式的基本性质 第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二 项没有变号 任务二：请写出这道题正确的化简过程 【解答】解：任务一：从上面的化简步骤，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； 第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没
29、有变 号， 故答案为：五，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二： 216 2+8+16 2+1 2+8 = (+4)(4) (+4)2 2+1 2(+4) = 4 +4 2+1 2(+4) = 2(4) 2(+4) 2+1 2(+4) = 28(2+1) 2(+4) = 2821 2(+4) = 9 2+8 17 （9 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的大学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务 团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 300 名学生进入综合素质展示环节，为了了解这些学生的整体 情况， 从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了
30、50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ， 并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x 80，80 x90，90 x100） b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学校
31、学生 B 的综合素质展示成绩同为 82 分，这两人在本校学生中综合素质展示 排名更靠前的是 A （填“A”或“B” ） ； （2）根据上述信息，推断 乙 学校综合素质展示的水平更高，理由为： 与甲校相比，乙校的中位数 更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；甲校的优秀率是（8+12）50100%40%，与乙校相 比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多； （至少从两个不同的角度说明推断 的合理性） （3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 85 分的学生才可以入选 【解答】解： （1）甲学校的中位数是（81+81.5）281
32、.5， 8281， 甲学校学生 A 在甲学校是中上游水平， 8284， 乙学校学生 B 在乙学校处于中下游水平， 故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A， 故答案为：A； （2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高， 理由为： 与甲校相比， 乙校的中位数更高， 说明乙校综合展示水平较高的同学更多； 甲校的优秀率是 （8+12） 50100%40%，与乙校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多； 故答案为：乙；与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；甲校的优秀 率是（8+12）50100%40%，与乙校相比，乙校的优秀率更高，说
33、明乙校综合展示水平较高的同学 更多； （3）120 300 100%40%， 5040%20， 由图可知，甲校第 20 名的分数是 85 分， 即甲学校分数至少达到 85 分的学生才可以入选， 故答案为：85 18 （9 分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距 6 海里的码头 B，D，某海岛上的观测塔 A 距离海岸 5 海里，在 A 处测得 B 位于南偏西 22方向一艘渔船从 D 出发，沿正北方向航行至 C 处，此时在 A 处 测得 C 位于南偏东 67方向求此时观测塔 A 与渔船 C 之间的距离（结果精确到 0.1 海里） （参考数据：sin22 3 8，cos22 15 16，tan22
34、2 5，sin67 12 13，cos67 5 13，tan67 12 5 ） 【解答】解：如图，过点 A 作 AEBD 于点 E，过点 C 作 CFAE 于点 F， 得矩形 CDEF， CFDE， 根据题意可知： AE5 海里，BAE22， BEAEtan225 2 5 =2（海里） ， DEBDBE624（海里） ， CF4（海里） ， 在 RtAFC 中，CAF67， AC= 67 4 13 12 4.3（海里） 答：观测塔 A 与渔船 C 之间的距离约为 4.3 海里 19 （9 分）某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个 月的销售量为 x（
35、件） ，销售人员的月收入为 y（元） ，原有的薪酬计算方式 y1元采用的是底薪+提成的方 式，且 y1k1x+b，已知每销售一件商品另外获得 15 元的提成修改后的薪酬计算方式为 y2（元） ，且 y2 k2x+b，根据图象回答下列问题： （1）求 y1和 y2的解析式，并说明 b 的实际意义； （2）求两个函数图象的交点 F 的坐标，并说明交点 F 的实际意义； （3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员 【解答】解： （1）y1k1x+b 的图象过点（0，3000） ， b3000， 又每销售一件商品另外获得 15 元的提成， k115， y115x+3000， y2k2x+b
36、 的图象过点（100，3000） ，由图象可得 b0， 100k23000， 解得 k230， y230 x， y1中 b 的实际意义为底薪为 3000 元，y2中 b 的实际意义为底薪为 0 元； （2） = 15 + 3000 = 30 ， 解得 = 200 = 6000 F（200，6000） ， F 点的实际意义是当销售 200 件商品时，两种薪酬计算方式所得薪酬相等为 6000 元； （3）结合函数图象可知，当 0 x200 时，原有的薪酬计算方式更适合销售人员， 当 x200 时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样 当 x200 时，修改后的薪酬计算方式更适合销售人员 20 （9
37、分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（archimedes，公元前 287公元前 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛 顿、高斯并称为三大数学王子 阿拉伯 AlBiruni（9731050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 Al Biruni 译本出版了俄文版阿基米德全集 ，第一题就是阿基米德折弦定理 阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 是O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦） ，BCAB，M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CDAB+BD下面是运
38、用“截长 法”证明 CDAB+BD 的部分证明过程证明：如图 2，在 CB 上截取 CGAB，连接 MA，MB，MC 和 MG M 是 的中点， MAMC 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图 3，已知等边ABC 内接于O，AB2，D 为 上一点，ABD45，AEBD 于 点 E，则BDC 的周长是 2+22 【解答】 （1）证明：如图 2，在 CB 上截取 CGAB，连接 MA，MB，MC 和 MG M 是 的中点， MAMC 在MBA 和MGC 中 = = = ， MBAMGC（SAS） ， MBMG， 又MDBC， BDGD， DCGC+GDAB+
39、BD； （2）解：如图 3，截取 BFCD，连接 AF，AD，CD， 由题意可得：ABAC，ABFACD， 在ABF 和ACD 中 = = = ， ABFACD（SAS） ， AFAD， AEBD， FEDE，则 CD+DEBE， ABD45， BE= 2 = 2， 则BDC 的周长是 2+22 故答案为：2+22 21 （10 分）二次函数 ymx22mxm+3 （1）求该二次函数的对称轴； （2）过动点 C（0，n）作直线 ay 轴，当直线 a 与抛物线只有一个公共点时，求 n 关于 m 的函数表达 式； （3）若对于每一个 x 值，它所对应的函数值都不小于 1，求整数 m 的值 【解答】
40、 （1）ymx22mxm+3m（x1）22m+3， 二次函数的对称轴为直线 x1； （2）由题意知直线 a 的解析式为 yn， 直线 l 与抛物线只有一个公共交点， n2m+3； （3）抛物线 ym（x1）22m+3 的顶点坐标为（1，2m+3） ， 由题意可知0 2 + 3 1， 解得 0m1， 整数 m 的值为 1， 22 （10 分）小亮在学习中遇到如下一个问题： 如图 1，点 C 是半圆 AmB 上一动点，线段 AB6，CD 平分ACB，过点 A 作 ADBC 交 CD 于点 D， 连接 BD当BCD 为等腰三角形时，求线段 AC 的长度 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底
41、解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问 题将线段 AC 的长度作为自变量 x，BC，BD 和 CD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yBC，yBD和 yCD请 将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 C 在半圆 AmB 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AC，BC，BD 的长度，得到下表 的几组对应值： AC 0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6 BC 6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0 BD 6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5 上表中 a 的值是 4.0 操作中发现， “无需测量线段 CD 的长度即可
42、得到 yCD关于 x 的函数解析式” 请直接写出 yCD关于 x 的函数解析式 （2）小亮已在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yBD的图象，如图 2 所示 请在同一个坐标系中画出函数 yBC和 yCD的图象； 结合图象直接写出当BCD 为等腰三角形时，线段 AC 长度的近似值（结果保留一位小数） 【解答】解： （1）AB 是直径， ACB90， BC= 2 2=62+ (9 2) 2 4.0 故答案为：4.0 ACB90，CD 平分ACB， ACDDCB45， ADBC， ADCDCB45， ACDADC45， ACAD，CAD90， CD= 2AC， = 2 （2）如图所示 由图象可得
43、：当 AC2.7，3.5 或 4.2 时，BCD 为等腰三角形 23 （11 分）在 RtABC 中，ABAC3，BAC90，点 D 为边 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF （1）如图 1，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 BE= 2AF ； （2）在（1）的条件下， 如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE、CE、AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； 正方形 CDEF 绕点 C 旋转的过程中，当以点 A，B，C，E 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 线段 AF 的长 【解答】解： （1）如
44、图 1，ABAC，BAC90， BACB45， 四边形 CDEF 是正方形， EFCF，F90， FECFCE45， FECB，FCEACB， 点 E 与点 A 重合， FECFACB，FCEFCAACB，ABBE， ACFBCE； = ， =sinBsin45= 2 2 ， = 2 2 ， BE= 2AF 故答案为 BE= 2AF （2）无变化 理由如下：在 RtABC 中，BAC90 ABAC3， ABCACB45， sinABC= = 2 2 ， 在正方形 CDEF 中，FEC= 1 2FED45， 在 RtCEF 中，CFE90sinFEC= = 2 2 ， = ， FCEACB45， FCEACEACBACE， FCAECB， ACFBCE， = =2， BE= 2AF， 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化 （3）3 2 2或 3 2 10 如图 1， 点 E 与点 A 重合，四边形 CDEF 是正方形， EFCFDEAD= 32 2 ； 如图 2，四边形 ABEC 是平行四边形， ABAC， 四边形 ABEC 是正方形， AFCF= 3 22 如图 3，四边形 ABCE 是平行四边形，则ACE 是等腰直角三角形， AEBC32， AF= 2+ 2=(32)2+ (3 22) 2 = 3 210 综上所述，线段 AF 的长为3 2 2或 3 2 10
