1、2019 年河南省开封市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上1 （3 分）6 的相反数是（ ）A6 B6 C D2 （3 分）住建部发布数据显示，全国城市年度节约用水量约为 65 亿立方米，数据“65 亿”用科学记数法表示为（ ）A0.6510 2 B6510 8 C6.510 9 D0.6510 103 （3 分）如图，直线 l1l 2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l 2 上，ACB 90，若120 ，则2 的度数是（ ）A20 B25 C30 D35
2、4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A2x 3x 32 B （x 2） 3x 6 C2x3x 36x 3 Dx 5x2x 35 （3 分）在4，2，1，2，3 五个数中，随机取一个数作为函数 ykx 中 k 的值，则该函数图象恰好经过二、四象限的概率为（ ）A B C D6 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD7 （3 分）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙 60 个所用的时间相等设甲每小时做 x 个零件，下面所列方程正确的是（ ）A B C D8 （3 分）小明家、食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图
3、书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离 y（km）与时间 x（min）之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（ ）A小明吃早餐用了 25minB食堂到图书馆的距离为 0.6kmC小明读报用了 30minD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min9 （3 分）如图，A 过点 O（0，0） ，C（ ，0） ，D （ 0，1） ，点 B 是 x 轴下方A 上的一点，连接 BO，BD，则 OBD 的度数是（ ）A15 B30 C45 D6010 （3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16）
4、 ，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“ 正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ）A33 B301 C386 D571二、填空题（本大题共有 5 题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|3|+（2） 3+10 12 （3 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 13 （3 分）如图，直线 ymx+n 与抛物线 yax 2+bx+c 交于 A（1，p） ，B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+n ax2+bx+c 的解集是 14 （3 分）如图，在圆心角为 120的扇形 OAB 中，半径 OA2，C 为 的中点，D 为OA 上
5、任意一点（不与点 O、A 重合） ，则图中阴影部分的面积为 15 （3 分）在 RtABC 中，AC3，AB 4，D 为斜边 BC 中点，E 为 AB 上一个动点，将ABC 沿直线 DE 折叠，A、C 的对应点分别为 A、C ，EA交 BC 于点 F，若BEF 为直角三角形，则 BE 的长度为 三、解答题（本大题共 8 题，共 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请写在答题卡上16 （8 分）先化简，再求值：（x+y） 2+（xy ） （x+y）2x （xy） ，其中 x +1，y117 （9 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到
6、智慧启发，让人滋养浩然之气 ”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下数据收集随机抽取 20 名学生，调查他们每周用于课外阅读时间，数据如下（单位：分钟）30，60，81，50，40，110，130，146，90，100，60，81，120，140，70，81，10，20，100，81整理数据按下表分段整理样本数据并补全表格：课外阅读时间x（分钟）0x40 40x80 80x120 120x160等级 D C B A人数 3 8 分析数据补全下表中的统计量：平均数 中位数 众数80 得出结论（1）用样本中的统
7、计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 ；（2）如果该校现有学生 400 人，估计等级为“B”的学生有多少名；（3）假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读多少本课外书18 （9 分）如图，在ABD 中，ABAD，AB 是 O 的直径，DA、DB 分别交O 于点E、C ，连接 EC，OE，OC（1）当BAD 是锐角时，求证：OBCOEC；（2）填空：若 AB2，则AOE 的最大面积为 ；当 DA 与O 相切时，若 AB ，则 AC 的长为 19 （9 分）河南省开封市铁塔始建于公元 1049 年（北宋皇祐
8、元年） ，是国家重点保护文物之一，在 900 多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部 A 处测得塔顶 P 的仰角为45，走到台阶顶部 B 处，又测得塔顶 P 的仰角为 38.7，已知台阶的总高度 BC 为 3米，总长度 AC 为 10 米，试求铁塔的高度 （结果精确到 1 米，参考数据：sin38.7 0.63，cos38.70.78，tan38.70.80）20 （9 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A作 ABx 轴，截取 ABOA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比
9、例函数 y 的图象于点P（1）求反比例函数 y 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积21 （10 分）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进 A，B 两种树木共 100 棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3 棵，B 种树木 1 棵，共需 380 元（1）求 A 种，B 种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素） ，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种
10、购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用22 （10 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是边 CD 上的点，且CE4，过点 E 作 CD 的垂线，并在垂线上截取 EF3，连接 CF将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 a（1）问题发现当 a0时，AF ，BE ， ；（2）拓展探究试判断：当 0a360时， 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明（3）问题解决当CEF 旋转至 A，E ，F 三点共线时，直接写出线段 BE 的长23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y x4 与抛物线 y +bx+c 交于坐标轴上两点 A、C，抛物
11、线与 x 轴另一交点为点 B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点 D 在直线 AC 下方的抛物线上；作直线 BD，交线段 AC 于点 E，交 y 轴于点 F，连接 AD；求ADE 与CEF 面积差的最大值，及此时点 D 的坐标；如图 2，作 DM直线 AC，垂足为点 M，是否存在点 D，使CDM 中某个角恰好是ACO 的一半？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，说明理由2019 年河南省开封市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上1 （3 分）6 的相反数是
12、（ ）A6 B6 C D【分析】根据相反数的概念解答即可【解答】解：6 的相反数是 6，故选：B【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 02 （3 分）住建部发布数据显示，全国城市年度节约用水量约为 65 亿立方米，数据“65 亿”用科学记数法表示为（ ）A0.6510 2 B6510 8 C6.510 9 D0.6510 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数
13、相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据“65 亿”用科学记数法表示为 6.5109 千米/秒故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）如图，直线 l1l 2，等腰直角ABC 的两个顶点 A、B 分别落在直线 l1、l 2 上，ACB 90，若120 ，则2 的度数是（ ）A20 B25 C30 D35【分析】根据等腰直角三角形的性质可得CAB45，根据平行线的性质可得23，进而可得答案【解答】解：如图所示：ABC
14、 是等腰直角三角形，CAB45，l 1l 2，23，120，2452025，故选：B【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A2x 3x 32 B （x 2） 3x 6 C2x3x 36x 3 Dx 5x2x 3【分析】依据同类项的定义与合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘单项式、积的乘方计算法则进行计算即可判断【解答】解：A、2x 3x 3x 3，故 A 错误；B、 （x 2） 3 x 6，故 B 错误；C、2x 3x36x 4，故 C 错误；D、x 5x2x 3，故 D 正确故选：D【点评】本题主要考查的是同类项与合并同类项、
15、同底数幂的除法、单项式乘单项式、积的乘方，掌握同类项与合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘单项式、积的乘方的计算法则是解题的关键5 （3 分）在4，2，1，2，3 五个数中，随机取一个数作为函数 ykx 中 k 的值，则该函数图象恰好经过二、四象限的概率为（ ）A B C D【分析】直接利用正比例函数的性质以及概率求法进而分析得出答案【解答】解：函数 ykx 中，k0 时，该函数图象恰好经过二、四象限，k 等于4，2 时，符合题意，故该函数图象恰好经过二、四象限的概率为： 故选：B【点评】此题主要考查了概率公式以及正比例函数的性质，正确掌握正比例函数的性质是解题关键6 （3 分）不等式组 的解
16、集在数轴上表示正确的是（ ）ABCD【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解： ，由得， x2，由得， x3，故此不等式组的解集为：2x3在数轴上表示为：故选：B【点评】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别7 （3 分）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙 60 个所用的时间相等设甲每小时做 x 个零件，下面所列方程正确的是（ ）A B C D【分析】设甲每小时做 x 个零件，根据题意可得，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等，据此
17、列方程【解答】解：设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（x6）个零件，由题意得， 故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程8 （3 分）小明家、食堂，图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离 y（km）与时间 x（min）之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（ ）A小明吃早餐用了 25minB食堂到图书馆的距离为 0.6kmC小明读报用了 30minD小明从图书馆回家的速度为 0.8km/min【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项
18、中的说法是否正确，本题得以解决【解答】解：由图象可得，小明吃早餐用了 25817min，故选项 A 错误；食堂到图书馆的距离为：0.80.60.2km，故选项 B 错误；小明读报用了 582830min，故选项 C 正确；小明从图书馆回家的速度为：0.8（6858）0.08km/min，故选项 D 错误；故选：C【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答9 （3 分）如图，A 过点 O（0，0） ，C（ ，0） ，D （ 0，1） ，点 B 是 x 轴下方A 上的一点，连接 BO，BD，则 OBD 的度数是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】连接 DC，
19、利用三角函数得出DCO30，进而利用圆周角定理得出DBO 30即可【解答】解：连接 DC，C（ ，0） ，D（0，1） ，DOC90，OD1，OC ，DCO30，OBD 30 ，故选：B【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出DCO3010 （3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数” （如1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16） ，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“ 正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ）A33 B301 C386 D571【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n ，第 n 个正方形
20、数为 n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n ，第 n 个正方形数为n2，当 n19 时， 190200，当 n20 时， 210200，所以最大的三角形数 m190 ；当 n14 时，n 2196200，当 n15 时，n 2225200，所以最大的正方形数 n196，则 m+n 386，故选：C【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第 n 个三角形数为1+2+3+n ，第 n 个正方形数为 n2二、填空题（本大题共有 5 题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：|3|+（2） 3+10 4 【
21、分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式38+14故答案为：4【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键12 （3 分）若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的性质可求出 x 的取值范围【解答】解：若二次根式 在实数范围内有意义，则：x+10，解得 x1故答案为：x1【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子 （a0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义13 （3 分）如图，直线 ymx+n 与抛物线 yax 2+bx+c 交于 A（1，p） ，B（4，q）两点，则
22、关于 x 的不等式 mx+n ax2+bx+c 的解集是 1x 4 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论【解答】解：观察函数图象可知：当1x4 时，直线 ymx +n 在抛物线yax 2+bx+c 的下方，不等式 mx+nax 2+bx+c 的解集为1x4故答案为：1x4【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键14 （3 分）如图，在圆心角为 120的扇形 OAB 中，半径 OA2，C 为 的中点，D 为OA 上任意一点（不与点 O、A 重合） ，则图中阴影部分的面积为 【分析】连接 OC，BC，由 C 为弧 AB 的中点，得到
23、两条弧相等，进而得到所对的圆心角相等，再由 OBOC，得到三角形 BOC 为等边三角形，进而得到一对内错角相等，确定出 BC 与 OA 平行，利用同底等高三角形面积相等得到三角形 BCD 面积三角形BOC 面积，进而把阴影部分面积转化为扇形 BOC 面积，求出即可【解答】解：连接 OC，BC，圆心角为 120的扇形 OAB 中，C 为 的中点，BOCAOC60，OBOC，BOC 为等边三角形，OCBCOA60，BCOA，由同底等高得到BOC 与BCD 面积相等，S 阴影 S 弓形 BC+SBCD S 弓形 BC+SBOC S 扇形 BOC ，故答案为： 【点评】此题考查了扇形面积的计算，等边三
24、角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键15 （3 分）在 RtABC 中，AC3，AB 4，D 为斜边 BC 中点，E 为 AB 上一个动点，将ABC 沿直线 DE 折叠，A、C 的对应点分别为 A、C ，EA交 BC 于点 F，若BEF 为直角三角形，则 BE 的长度为 或 【分析】根据B 为锐角，分两种情况进行讨论：当BEF90时，BEF 为直角三角形；当BFE90时，BEF 为直角三角形，分别根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算，即可得到 BE 的长度【解答】解：分两种情况：如图，当 BEF90时， B
25、EF 为直角三角形，过 D 作 DMAB 于 M，则EMD90，DM AC ，D 为 BC 的中点，M 为 AB 的中点，BM AB2，DM AC ，由折叠可得，MED AEF45，DEM 是等腰直角三角形，EMDM ，BE2 ；如图，当 BFE90时， BEF 为直角三角形，连接 AD，A D，根据对称性可得，EADEAD ，AD A DRtABC 中，AC3，AB 4，BC5，RtABC 中，D 为 BC 的中点，ADBD A D BC ，BEAD ，BFAD ，设 BEx，则 BFBE cosB x，DFBD BF x，又Rt ADF 中，sinFADsinB，即 ，解得 x ，即 BE
26、 ，综上所述，BE 的长度为 或 【点评】本题主要考查了折叠问题，直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是依据BEF 为直角三角形，画出图形进行分类讨论三、解答题（本大题共 8 题，共 75 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请写在答题卡上16 （8 分）先化简，再求值：（x+y） 2+（xy ） （x+y）2x （xy） ，其中 x +1，y1【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式x 2+2xy+y2+x2y 22x 2+2
27、xy4xy，当 x +1，y 1 时，原式4（ +1）（ 1）16【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键17 （9 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气 ”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下数据收集随机抽取 20 名学生，调查他们每周用于课外阅读时间，数据如下（单位：分钟）30，60，81，50，40，110，130，146，90，100，60，81，120，140，70，81，10，20，10
28、0，81整理数据按下表分段整理样本数据并补全表格：课外阅读时间x（分钟）0x40 40x80 80x120 120x160等级 D C B A人数 3 5 8 4 分析数据补全下表中的统计量：平均数 中位数 众数80 81 81 得出结论（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 B ；（2）如果该校现有学生 400 人，估计等级为“B”的学生有多少名；（3）假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读多少本课外书【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计
29、算得到（1） （2） （3）结果【解答】解：（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是 81，平均数是 80，都是B 等级，故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为 B；故答案为：B（2） 400160（名） ，该校现有学生 400 人，估计等级为“B”的学生有 160 名；（3）以平均数来估计： 5226（本） ，假设平均阅读一本课外书的时间为 160 分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年（按 52 周计算）平均阅读 26 本课外书【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键18 （9 分）如图，在ABD 中，AB
30、AD，AB 是 O 的直径，DA、DB 分别交O 于点E、C ，连接 EC，OE，OC（1）当BAD 是锐角时，求证：OBCOEC；（2）填空：若 AB2，则AOE 的最大面积为 ；当 DA 与O 相切时，若 AB ，则 AC 的长为 1 【分析】 （1）利用垂直平分线，判断出BACDAC，得出 ECBC ，用 SSS 判断出结论；（2） 先判断出三角形 AOE 面积最大，只有点 E 到直径 AB 的距离最大，即是圆的半径即可；根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连接 AC，如图 1，AB 是O 的直径，ACBD，ADAB，BACDAC， ，BCEC，在OBC 和OE
31、C 中 ，OBCOEC（SSS） ，（2） AB 是 O 的直径，且 AB2，OA1，设AOE 的边 OA 上的高为 h，S AOE OAh 1h h，要使 SAOE 最大，只有 h 最大，点 E 在 O 上，h 最大是半径，即 h 最大 1S AOE 最大 ，故答案为 ；如图 2：当 DA 与 O 相切时，DAB90，ADAB ，ABD45，AB 是直径，ADB90，ACBC ，故答案为：1【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是确定面积最大时，点 E 到 AB 的距离最大是半径19 （9 分）河南省开封市铁塔始建于公元 1049 年（北宋皇祐元年
32、） ，是国家重点保护文物之一，在 900 多年中，历经了数次地震、大风、水患而巍然屹立，素有“天下第一塔”之称如图，小明在铁塔一侧的水平面上一个台阶的底部 A 处测得塔顶 P 的仰角为45，走到台阶顶部 B 处，又测得塔顶 P 的仰角为 38.7，已知台阶的总高度 BC 为 3米，总长度 AC 为 10 米，试求铁塔的高度 （结果精确到 1 米，参考数据：sin38.7 0.63，cos38.70.78，tan38.70.80）【分析】如图，过点 B 作 BEDP 于点 E，由题可知，EBP38.7，DAF 45，BECD，DP AD，设铁塔高度 DP 为 x 米，则 BECDx+10，解直角
33、三角形即可得到结论【解答】解：如图，过点 B 作 BEDP 于点 E，由题可知，EBP38.7，DAF45，BECD，DPAD ，设铁塔高度 DP 为 x 米，则 BECDx+10，EPDP DEADBCx 3，在 Rt BEP 中EP x 3，BEx+10，tanEBP x3（x +10）tan38.7，答：铁塔约高 55 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等，解题的关键是纷杂的实际问题中整理出直角三角形并解之20 （9 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A作 ABx 轴，截取
34、 ABOA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比例函数 y 的图象于点P（1）求反比例函数 y 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积【分析】 （1）将点 A 的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得 ABOA5，由 ABx 轴即可得点 B 的坐标；（3）先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标，再利用割补法求解可得【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y ，得：k 12，则反比例函数解析式为 y ；（2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C，则 OC4、AC3，OA 5，ABx 轴，且 ABOA5，点 B 的坐标为
35、（9，3） ；（3）点 B 坐标为（9，3） ，OB 所在直线解析式为 y x，由 可得点 P 坐标为（6，2） ，过点 P 作 PD x 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，则点 E 坐标为（6，3） ，AE2、PE1、PD2，则OAP 的面积 （2+6）3 62 215【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积21 （10 分）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进 A，B 两种树木共 100 棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需
36、 600 元；购买 A 种树木 3 棵，B 种树木 1 棵，共需 380 元（1）求 A 种，B 种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素） ，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用【分析】 （1）设 A 种树每棵 x 元，B 种树每棵 y 元，根据“购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3 棵，B 种树木 1 棵，共需 380 元”列出方程组并解答；（2）设购买 A 种树木
37、为 a 棵，则购买 B 种树木为（100a）棵，根据“购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍”列出不等式并求得 a 的取值范围，结合实际付款总金额0.9（A 种树的金额+B 种树的金额）进行解答【解答】解：（1）设 A 种树每棵 x 元，B 种树每棵 y 元，依题意得： ，解得 答：A 种树每棵 100 元，B 种树每棵 80 元；（2）设购买 A 种树木为 a 棵，则购买 B 种树木为（100a）棵，则 a3（100a） ，解得 a75设实际付款总金额是 y 元，则y0.9100a+80（100a） ，即 y18a+7200 180，y 随 a 的增大而增大，当 a75 时，
38、y 最小即当 a75 时，y 最小值 1875+72008550（元） 答：当购买 A 种树木 75 棵，B 种树木 25 棵时，所需费用最少，最少为 8550 元【点评】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系22 （10 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是边 CD 上的点，且CE4，过点 E 作 CD 的垂线，并在垂线上截取 EF3，连接 CF将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 a（1）问题发现当 a0时，AF 5 ，BE 4 ， ；（2）拓展探究试判断：当 0a3
39、60时， 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明（3）问题解决当CEF 旋转至 A，E ，F 三点共线时，直接写出线段 BE 的长【分析】 （1）根据勾股定理分别计算 AF 和 BE 的长可解答；（2）如图 2，连接 AC，证明 CEFCBA，得 ，再证明ACFBCE，可解答；（3）当CEF 旋转至 A，E ，F 三点共线时，存在两种情况：连接 AC，先计算 AF 的长，证明ACF BCE，列比例式可得 BE 的长【解答】解：（1）当 a0时，如图 1，过 F 作 FGAD，交 AD 的延长线于 G，四边形 ABCD 是矩形，ADCBCE90，ADBC8，ABCD6，GEDGDEF 90
40、 ，四边形 DEFG 是矩形，DGEF3，AG8+3 11，CE4，CD6，FGDE 642，RtAGF 中，由勾股定理得：AF 5 ，RtBEC 中，由勾股定理得：BE 4 ， ，故答案为：5 ，4 ， ；（2） 的大小无变化，理由如下：如图 2，连接 AC，AB6，BC 8，EF 3，CE 4， ， ， ，CEFABC90，CEFCBA， ，ECFACB， ，ACFBCE，ACFBCE， ，即 的大小无变化；（3）当CEF 旋转至 A，E ，F 三点共线时，存在两种情况：如图 3，连接 AC，RtABC 中，由勾股定理得：AC 10，RtCEF 中，CE4，EF3 ，CF5， ， ， ，F
41、ECABC，ABCFEC，ACBECF，BCEACF， ，ACFBCE， ，RtAEC 中，AE 2 ，AFAE+EF2 +3，BE AF ；如图 4，连接 AC，同理得：AFCBEC， ，AFAEEF 2 3，BE AF ，综上，BE 或 BE 【点评】此题属于四边形和三角形旋转的综合题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y x4 与抛物线 y +bx+c 交于坐标轴上两点 A、C，抛物线与 x 轴另一交点为点 B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点 D 在直线 AC 下方的抛物线
42、上；作直线 BD，交线段 AC 于点 E，交 y 轴于点 F，连接 AD；求ADE 与CEF 面积差的最大值，及此时点 D 的坐标；如图 2，作 DM直线 AC，垂足为点 M，是否存在点 D，使CDM 中某个角恰好是ACO 的一半？若存在，直接写出点 D 的横坐标；若不存在，说明理由【分析】 （1）先求出 C（0， 4）A（3，0） ，然后代入 y +bx+c，从而求出抛物线解析式；（2） 设 D（m， ） ，则 tanABD ，然后用 m 的代数式表示ADE 与CEF 面积差，利用二次函数最值求出最大值；作 ACO 的平分线 CP 交 x 轴于点 P，过 P 作 PHAC 于点 H求出 ta
43、nPCH，然后分两种情况讨论：当MCD ACOPCH 时，当MDC ACOPCH 时【解答】解：（1）对于 y x4，令 x0，则 y4 所以 C（0，4） ；令 y0，则 x3，A（3，0） ；把点 A、C 坐标代入抛物线解析式，得： 解得 ，抛物线解析式为 y ；（2）设 D（m， ） ，0m3连接 OD，因为 B（1，0） ，D （m， ）tanABD ，OF （m3） ，又 OA3，OC4，S ADE S CEF S 四边形 AOFDS AOC AO|yD|+ OF|xD| OAOC 3（ m2+ m+4） （m3）m34 m2+6m （m ） 2 ，所以当 m 时，S ADE S C
44、EF 的最大值为 ，此时点 D 坐标为（ ） ；存在，点 D 的横坐标为点 D 横坐标为 或 作ACO 的平分线 CP 交 x 轴于点 P，过 P 作 PHAC 于点 H则 CHCO 4，OPPH，设 OPPH x，则 PA3x，OC4，OA3，AC5，AH1，在 Rt PHA 中，PH2+AH2AP 2，即 x2+12（3x ） 2，解得 x ，tanPCH ，过点 D 作 DGx 轴于点 G，过点 M 作 MEx 轴，与 y 轴交于点 E，与 DG 交于点 F设 M（m， ） ，则 ME m，FG OE ，CE ，DM 直线 AC，CEMMFD， ，当MCD ACO PCH 时，tanMCDtanPCH ， ，即 ， ，MF CE ，DF ME ，EFEM+MFm+ ，DGDF +FG m+（ ）m+4，D（ ，m4） ，将点 D 坐标代入 y ，m4 ，解得 m0（舍去）或 m当MDC ACO PCH 时，tanMDCtanPCH ，即 ， ，MF4m，DF 3m，EFEM+MFm+4m5m，DGDF +FG3m +4 ，D（5m， ） ，将点 D 坐标代入 y ， ，解得 x0（舍去）或 x ；综上，点 D 横坐标为 或 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与相似三角形的性质是解题的关键
