1、2021 年河北省年河北省保定市莲池区保定市莲池区中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 16 个小题；个小题；1-10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，11-16 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分分.） 12 的相反数是（ ） A B2 C D2 2下列运算正确的是（ ） Aa3 a 2a6 B（2a）22a2 C3303 D 3若 用科学记数法表示 1.181011为，则 n 的值是（ ） A9 B10 C11 D12 4方程 30（x1）x（x1）的解为（ ） Ax0 Bx1x21 Cx10，x21 Dx11，x21 5下列图形中，既是中
2、心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 6一次函数 yacx+b 与二次函数 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 7已知关于 x 的不等式组的整数解共有 4 个，则 a 的取值范围是（ ） A4a3 B4a3 C5a4 D5a4 8如图，热气球探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角 为 30，看这栋楼底部 C 处的俯 角 为 60，热气球与楼的水平距离 AD 为 60 米，则这栋楼的高度 BC 为（ ） A 米 B90 米 C80 米 D60 米 9如图，ABC 中，点 B，C 是 x 轴上的点，且 A（3，2），以原点 O
3、 为位似中心，作ABC 的位似图形 ABC，且ABC 与 ABC的相似比是 1：2，则点 A的坐标是（ ） A（6，4） B（1.5，1） C（1.5，1）或（1.5，1） D（6，4）或（6，4） 10如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，BCCD，连接 AC若DAB40，则D 的度数为 （ ） A70 B120 C140 D110 11某农科所为了考察水稻穗长的情况，在一块试验田里随机抽取了 50 个稻穗进行测量，获得了它们的长 度 x（单位：cm），穗长的频数分布直方图如图所示： 穗长在 6x6.5 这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.0，6.2，6
4、.4，则样本中位数为（ ） A6.2 B6.15 C6.1 D6.35 12若函数 ykxb 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k（x+3）b0 的解集为（ ） Ax5 Bx1 Cx1 Dx5 13嘉淇用有一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照如图所示的方法拼接可得外轮廓是正 六边形图案，若仍用 n 个ABC 纸片拼接，还可以外轮廓的图案是（ ） A正十二边形 B正十边形 C正九边形 D正八边形 14如图所示，在ABC 中，ACB90，分别以点 A、点 C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两 弧相交于点 M、点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连
5、接 CD若 AE1.5，BC4，则 CD 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D5 15如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，点 O 是 AC 的中点，点 D 在射线 BO 上，连结 OE，EC， 若 AB8，则 OE 的最小值为（ ） A2 B2 C D2 16如图，点 M 为量角器半圆的中点，EMF45，当EMF 在量角器内部转动时，边 ME 和 MF 分别 与直径 AB 交于点 C， D， 设 AB3， ADx， BCy， 则 y 与 x 之间的函数关系用图像表示大致为 （ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 个小题个小题.17-18 小题各小题各 3
6、 分分.19 小题每空小题每空 2 分，共分，共 10 分；请把答案填在答题纸上）分；请把答案填在答题纸上） 17 18如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（1.5，0），（1，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的 坐标是 19在平面直角坐标系 xOy 中，若干个半径为 2 个单位长度，圆心角是 60扇形按图中的方式摆放，动点 K 从原点 O 出发，沿着“半径 OA弧 AB弧 BC半径 CD半径 DE”的曲线运动，若点 K 在线段 上运动的速度为每秒 2 个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第 n 秒运动到点 Kn （n 为自然数），则 K3的坐标是 ；K20
7、21的坐标是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤） 20解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 魔术师能立刻说出观众想的那个数 （1）如果小玲想的数是8，请你通过计算帮助她告诉魔术师结果； （2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为 75，那么魔术师立刻说出小明想的那个数 是 ； （3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数若设观众心想的数为 a，请你按照 魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话说出这个魔术的奥妙 2
8、1定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 aba（ab）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运 算，比如：252（25）+12（3）+16+15 （1）若 x（2）4，求 x 的值； （2）若 2a 的值小于 5，请判断方程x2+bx+a0 的根的情况 22为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A：机器人；B：航模；C：科幻绘画； D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅 不完整的统计图 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中
9、表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4） 在 C 组最优秀的 4 名同学 （2 名男生 2 名女生） 和 E 组最优秀的 3 名同学 （2 名男生 1 名女生） 中， 各选 1 名同学参加上一级比赛， 利用树状图或表格， 求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率 23如图，在矩形 ABCD 中，AB4.5，BC6，点 P 是线段 AD 上的一个动点，以点 P 为圆心，PD 为半 径作P，连接 CP （1）当P 经过 PC 的中点时，PC 的长为 ； （2）当 CP 平分ACD 时，判断 AC 与P 的位置关系，说明理由，并求出 PD 的长 24在平面直角坐标系 xOy 中，已知点
10、A（3，4），B（2，m） （1）若点 A，B 在同一个反比例函数 y1的图象上，求 m 的值； （2）若点 A，B 在同一个一次函数 y2ax+b 的图象上， 若 m2，求这个一次函数的解析式； 若当 x2 时，不等式 mx+1ax+b 始终成立，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围 25如图，在ABC 中，ABCB15，ABC90，点 D 为线段 BC 上一点，点 E 为 AB 延长线上一点， 且 BEBD，连接 AD，EC （1）求证：ABDCBE； （2）当CAD25时，求E 的度数； （3）点 P 是CAD 的外心，当点 D 在线段 BC 上运动，且点 P 恰好在ABC 内部或边上
11、时，直接写出 点 P 运动的路径的长 26如图 1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图 2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面 示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为 20 米时，达到最大高度 11 米，现将喷灌架置于坡度为 1：10 的坡地底部点 O 处，草坡上距离 O 的水平距 离为 30 米处有一棵高度约为 2.3 米的石榴树 AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌 （1）求水流运行轨迹满足的函数关系式； （2）若将喷灌向后移动 5 米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？ （3）设喷射水流与坡面 OA 之间的铅
12、直高度为 h，求 h 的表达式，并求出 x 为何值时，h 有最大值，h 最大值是多少？ 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 16 个小题；个小题；1-10 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，11-16 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 42 分分.在每小题在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 12 的相反数是（ ） A B2 C D2 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 解：2 的相反数是 2， 故选：B 2下列运算正确的是（ ） Aa3 a 2a6 B（2a）22a
13、2 C3303 D 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，零指数幂，负整数指数幂的法则对各项进行运 算即可 解：A、a3a2a5，故 A 不符合题意； B、（2a）24a2，故 B 不符合题意； C、330313，故 C 符合题意； D、，故 D 不符合题意 故选：C 3若 用科学记数法表示 1.181011为，则 n 的值是（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负整数指数幂， 指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 解：因为 1.1810110
14、.000000000118， 所以 n 的值是 11 故选：C 4方程 30（x1）x（x1）的解为（ ） Ax0 Bx1x21 Cx10，x21 Dx11，x21 【分析】利用因式分解法求解即可 解：30（x1）x（x1）， （x1）x（x1）0， 则（x1）（1x）0， x10 或 1x0， 解得 x1x21， 故选：B 5下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正
15、确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C 6一次函数 yacx+b 与二次函数 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】先由二次函数 yax2+bx+c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 yacx+b 的图象相比较 看是否一致 解：A、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意； D、由抛
16、物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意 故选：B 7已知关于 x 的不等式组的整数解共有 4 个，则 a 的取值范围是（ ） A4a3 B4a3 C5a4 D5a4 【分析】解不等式组可得 ax1，再根据整数解共有 4 个，即可得出 a 的取值范围 解：解 x 的不等式组得：ax1， 不等式组的整数解共有 4 个， 不等式组的整数解分别为：3，2，1，0， 4a3， 故选：B 8如图，热气球探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角 为 30，看这栋楼底部 C 处的俯 角 为 60，热气球与楼的水平距离 AD 为 60 米，则这栋楼的高度
17、 BC 为（ ） A 米 B90 米 C80 米 D60 米 【分析】在直角三角形 ADB 中和直角三角形 ACD 中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得 BD 和 CD 的长，从而可以求得 BC 的长，本题得以解决 解：由题意可得，30，60，AD60 米，ADCADB90， 在 RtADB 中，30，AD60 米， tan， BD20（米）， 在 RtADC 中，60，AD60 米， tan， CD60（米）， BCBD+CD20+6080（米）， 即这栋楼的高度 BC 是 80米 故选：C 9如图，ABC 中，点 B，C 是 x 轴上的点，且 A（3，2），以原点 O 为位似中心，作A
18、BC 的位似图形 ABC，且ABC 与 ABC的相似比是 1：2，则点 A的坐标是（ ） A（6，4） B（1.5，1） C（1.5，1）或（1.5，1） D（6，4）或（6，4） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案 解：以原点 O 为位似中心，作ABC 的位似图形ABC，ABC 与 ABC的相似比是 1： 2，A（3，2）， 点 A的坐标是（32，22）或（3（2），2（2），即（6，4）或（6，4）， 故选：D 10如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为直径，BCCD，连接 AC若DAB40，则D 的度数为 （ ） A70 B120 C140 D110 【分析】根据圆周角定理求出
19、BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可 解：BCCD， ， DAB40， BACDAB20， AB 为直径， ACB90， B90BAC70， 四边形 ABCD 内接于O， D180B110， 故选：D 11某农科所为了考察水稻穗长的情况，在一块试验田里随机抽取了 50 个稻穗进行测量，获得了它们的长 度 x（单位：cm），穗长的频数分布直方图如图所示： 穗长在 6x6.5 这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.0，6.2，6.4，则样本中位数为（ ） A6.2 B6.15 C6.1 D6.35 【分析】根据穗长在 6x6.5 这一组数据和中位数的定义求解即可 解：因
20、为 50 个数据的中位数是第 25，26 两个数的平均数， 所以样本中位数为6.1 故选：C 12若函数 ykxb 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k（x+3）b0 的解集为（ ） Ax5 Bx1 Cx1 Dx5 【分析】先把（2，0）代入 ykxb 得 b2k，则不等式化为 k（x+3）2k0，然后在 k0 的情况下 解不等式即可 解：一次函数 ykxb 的图象经过点（2，0）， 2kb0，b2k 函数值 y 随 x 的增大而减小， k0； 关于 x 的不等式 k（x+3）b0 可化为 k（x+3）2k0， 移项得：kx3k+2k， 即 kxk， 两边同时除以 k 得：x1， 故选：C
21、 13嘉淇用有一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照如图所示的方法拼接可得外轮廓是正 六边形图案，若仍用 n 个ABC 纸片拼接，还可以外轮廓的图案是（ ） A正十二边形 B正十边形 C正九边形 D正八边形 【分析】先根据正六边形计算一个内角为 120 度，可知ABC 各角的度数，从而知图中正多边形的内角 的度数，可得结论 解：正六边形每一个内角为 120， ACB1208040， CAB18012060， 图中正多边形的每一个内角为 60+80140， 9， 可以得到外轮廓的图案是正九边形 故选：C 14如图所示，在ABC 中，ACB90，分别以点 A、点 C 为圆心，以大于A
22、C 的长为半径作弧，两 弧相交于点 M、点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 CD若 AE1.5，BC4，则 CD 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D5 【分析】 利用基本作图得到 DE 垂直平分 AC， 根据线段垂直平分线的性质得到 AECE1.5， DADC， DEAC，再证明 DADB，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到 AD 的长 解：由作法得 DE 垂直平分 AC， AECE1.5，DADC，DEAC， AACD， ACB90， ACD+BCD90，A+B90， BCDB， DCDB， DADB， 在 RtACB 中，AB5， ADAB2.5 故
23、选：B 15如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，点 O 是 AC 的中点，点 D 在射线 BO 上，连结 OE，EC， 若 AB8，则 OE 的最小值为（ ） A2 B2 C D2 【分析】根据等边三角形的性质可得 OCAC，ABD30，根据“SAS”可证ABDACE，可 得ACE30ABD，当 OEEC 时，OE 的长度最小，根据直角三角形的性质可求 OE 的最小值 解：ABC 的等边三角形，点 O 是 AC 的中点， OCAC，ABD30， ABC 和ADE 均为等边三角形， ABAC，ADAE，BACDAE60， BADCAE，且 ABAC，ADAE， ABDACE（SAS），
24、ACE30ABD， 当 OEEC 时，OE 的长度最小， OEC90，ACE30， OE 最小值OCAB2， 故选：A 16如图，点 M 为量角器半圆的中点，EMF45，当EMF 在量角器内部转动时，边 ME 和 MF 分别 与直径 AB 交于点 C， D， 设 AB3， ADx， BCy， 则 y 与 x 之间的函数关系用图像表示大致为 （ ） A B C D 【分析】连接 AM、BM，根据直径所对的圆周角是直角可得AMB90，把ACM 绕点 M 逆时针旋 转 90得到BMP，根据旋转的性质可得 MCMP，MBEA45，从而得到DBE90，再 求出DMP45，从而得到DMPDMC，然后利用“
25、边角边”证明MCD 和MPD 全等，根据 全等三角形对应边相等可得 DMCD，然后表示出 AC、BD、CD，再利用勾股定理列式整理得到 y 与 x 的函数关系式，最后选择答案即可 解：连接 AM、BM， 由题意可知，AMB90，MABMBD45， 把ACM 绕点 M 逆时针旋转 90得到BMP， 由旋转的性质可得 MCMP，MBPA45， DBP90， 由旋转知，DMPDMC， 在MCD 和MPD 中， ， MCDMPD（SAS）， DPCD， AB3，ADx，BCy， BPAC3y，BD3x， CDADACx（3y）x+y3， 在 RtDBP 中，由勾股定理可得，BD2+BP2DP2， 即（
26、3x）2+（3y）2（x+y3）2，整理得，y， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 个小题个小题.17-18 小题各小题各 3 分分.19 小题每空小题每空 2 分，共分，共 10 分；请把答案填在答题纸上）分；请把答案填在答题纸上） 17 + 【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案 解：原式3+22 + 故答案为：+ 18如图，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（1.5，0），（1，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的 坐标是 （2.5，2） 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标 解：菱形 ABCD 的顶点 A，B
27、 的坐标分别为（1.5，0），（1，0），点 D 在 y 轴上， ABAD2.5CD， DO2， CDAB， 点 C 的坐标是：（2.5，2） 故答案为（2.5，2） 19在平面直角坐标系 xOy 中，若干个半径为 2 个单位长度，圆心角是 60扇形按图中的方式摆放，动点 K 从原点 O 出发，沿着“半径 OA弧 AB弧 BC半径 CD半径 DE”的曲线运动，若点 K 在线段 上运动的速度为每秒 2 个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第 n 秒运动到点 Kn （n 为自然数），则 K3的坐标是 （3，） ；K2021的坐标是 （2021， ） 【分析】设第 n 秒运动到点 Kn
28、（n 为自然数），根据点 K 的运动规律找出部分 Kn点的坐标，根据坐标的 变化找出变化规律“K4n+1（4n+1，），K4n+2（4n+2，0），K4n+3（4n+3， ），K4n+4（4n+4，0）”， 依此规律即可得出结论 解：设第 n 秒运动到点 Kn（n 为自然数）， 观察，发现规律：K1（1，），K2（2，0），K3（3， ），K4（4，0），K5（5， ）， K4n+1（4n+1， ），K4n+2（4n+2，0），K4n+3（4n+3， ），K4n+4（4n+4，0） 20214505+1， K2021为（2021， ） 故答案为：（3，），（2021，） 三、解答题（本大题共三
29、、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤） 20解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作： 魔术师能立刻说出观众想的那个数 （1）如果小玲想的数是8，请你通过计算帮助她告诉魔术师结果； （2） 如果小明想了一个数计算后， 告诉魔术师结果为 75， 那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 70 ； （3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数若设观众心想的数为 a，请你按照 魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话说出这个魔术的奥妙 【分析】（1）利用已知条件，
30、这个数按步骤操作，直接代入即可； （2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于 75，得出一元一次方程，即可求出； （3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律 解：（1）（836）3+73； （2）设这个数为 x， （3x6）3+775； 解得：x70； 故答案为：70； （3）设观众想的数为 a+7a+5 因此，魔术师只要将最终结果减去 5，就能得到观众想的数了 21定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 aba（ab）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运 算，比如：252（25）+12（3）+16+15 （1）若 x（2）4，求 x 的值； （2）若 2a 的值小于 5，请判断方
31、程x2+bx+a0 的根的情况 【分析】（1）根据新定义得出一元二次方程，解一元二次方程即可； （2）先根据新定义得出关于 a 的一元一次不等式，解一元一次不等式求出 a 的范围，再根据 a 的范围， 判断方程x2+bx+a0 根的判别式的符号，即可判断根的情况 解：（1）aba（ab）+1，x（2）4， x（x+2）+14， x2+2x30， 解得：x11，x23， x 的值为 1 或3； （2）由题意得：2（2a）+15， 解得：a0， b24（1）ab2+4a0， 方程有两个不相等的实数根 22为迎接 2020 年第 35 届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 A：机器人；B：航模；C
32、：科幻绘画； D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅 不完整的统计图 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是 80 名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4） 在 C 组最优秀的 4 名同学 （2 名男生 2 名女生） 和 E 组最优秀的 3 名同学 （2 名男生 1 名女生） 中， 各选 1 名同学参加上一级比赛， 利用树状图或表格， 求所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的概率 【分析】（1）由 B 组的人数及其所占百分比可得本次参加比赛的学生人数；
33、 （2）求出 D 组人数，从而补全条形统计图； （3）由 360乘以 A 组所占的百分比即可； （4）画出树状图，共有 12 种等可能的结果，所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的结果有 6 种， 再由概率公式求解即可 解：（1）本次参加比赛的学生人数为 1822.5%80（名）； 故答案为：80； （2）D 组人数为：80161820818（名）， 把条形统计图补充完整如图： （3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数为 36072； （4）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，所选两名同学中恰好是 1 名男生 1 名女生的结果有 6 种， 所选两名同学中恰好是 1 名男
34、生 1 名女生的概率为 23如图，在矩形 ABCD 中，AB4.5，BC6，点 P 是线段 AD 上的一个动点，以点 P 为圆心，PD 为半 径作P，连接 CP （1）当P 经过 PC 的中点时，PC 的长为 3 ； （2）当 CP 平分ACD 时，判断 AC 与P 的位置关系，说明理由，并求出 PD 的长 【分析】（1）先判断出 PC2PD，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论； （2）先判断出 PHPD，再求出 AC，进而求出 CH，得出 AH，最后用勾股定理建立方程求解，即可得 出结论 解：（1）四边形 ABCD 是矩形， CDAB4.5，ADC90， P 经过 PC 的中点， PC
35、2PD， 在 RtCDP 中，根据勾股定理得，PC2PD2CD2， （2PD）2PD2CD2， 3PD24.52， PD， PC2PD3， 故答案为：3； （2）如图，在 RtADC 中，根据勾股定理得，AC， 过点 P 作 PHAC 于 H， CP 平分ACD， PHPD， AC 切P 于 H， PHCPDC（AAS）， CHCD4.5， AHACCH3， 设 PDx，则 PHx，APADPD6x， 在 RtAPH 中，根据勾股定理得，AP2PH2AH2， （6x）2x232， x， 即 PD 的长为 24在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，4），B（2，m） （1）若点 A，B
36、在同一个反比例函数 y1的图象上，求 m 的值； （2）若点 A，B 在同一个一次函数 y2ax+b 的图象上， 若 m2，求这个一次函数的解析式； 若当 x2 时，不等式 mx+1ax+b 始终成立，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围 【分析】（1）由点 A 的坐标得到反比例函数的解析式，再把点 B 的坐标代入可得 m 的值； （2）把 A、B 两点的坐标代入一次函数解析式可得答案； 在坐标系中画出图象，根据图象可得取值范围 解：（1）把 A（3，4）代入 y1可得 k3412， 所以反比例函数的解析式是 y1， 当 x2 时，m6 （2）当 m2 时，A（3，4），B（2，2） 代入
37、y2ax+b 中得： ， 解得： 答：这个一次函数的解析式是 y22x2 如图： 直线 ymx+1 与直线 x2 的交点在 B 点或其下方， 应该是 x2 时 2m+1m，解得：m1 25如图，在ABC 中，ABCB15，ABC90，点 D 为线段 BC 上一点，点 E 为 AB 延长线上一点， 且 BEBD，连接 AD，EC （1）求证：ABDCBE； （2）当CAD25时，求E 的度数； （3）点 P 是CAD 的外心，当点 D 在线段 BC 上运动，且点 P 恰好在ABC 内部或边上时，直接写出 点 P 运动的路径的长 【分析】（1）根据边角边即可证明ABDCBE； （2）分两种情况点
38、D 在线段 BC 上时，点 D 在 BC 延长线上时，根据CAD25，即可求BEC 的 度数； （3）根据点 P 是CAD 的外心，可得点 P 在线段 AC 的垂直平分线上随点 D 的运动而运动，如图，过 点 B 作 BFAC 于点 F，根据点 P 恰好在ABC 的内部，可得 BF 即为所求的点 P 的运动路径，且 BF AC，根据勾股定理即可求出 BF 的长 【解答】证明：（1）ABC90， ABDCBE90， 在ABD 和CBE 中， ， ABDCBE（SAS）； （2）若点 D 在线段 BC 上时， ABCB，ABC90EBD，BEBD， CAB45ACBBDEDEB， CAD25， A
39、DBDAC+ACB70， ABDCBE， ADBBEC70， 若点 D 在 BC 延长线上时，如图 2， ABDCBE， BECADBACBCAD452520， 综上所述：BEC 的度数为 70或 20； （3）点 P 是CAD 的外心， 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上随点 D 的运动而运动， 如图 2，过点 B 作 BFAC 于点 F， 点 P 恰好在ABC 的内部， BF 即为所求的点 P 的运动路径，且 BFAC， AC， BF 即点 P 的运动路径为 26如图 1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图 2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面 示意图，喷水头的高度（喷水头
40、距喷灌底部的距离）是 1 米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为 20 米时，达到最大高度 11 米，现将喷灌架置于坡度为 1：10 的坡地底部点 O 处，草坡上距离 O 的水平距 离为 30 米处有一棵高度约为 2.3 米的石榴树 AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌 （1）求水流运行轨迹满足的函数关系式； （2）若将喷灌向后移动 5 米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？ （3）设喷射水流与坡面 OA 之间的铅直高度为 h，求 h 的表达式，并求出 x 为何值时，h 有最大值，h 最大值是多少？ 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ya（x20）2+c，用待定系数法求得解析式；
41、 （2）先写出喷灌移动后的函数解析式，再求 x30 时，y 的值，求出点 B 的纵坐标进行比较即可； （3）写出水流与坡面 OA 之间的铅直高度为 h 的函数解析式，再根据函数的性质求最值 解：（1）由题意可设抛物线的解析式为 ya（x20）2+k， 将（0，1），（20，11）分别代入， 得：， 解得：， y（x20）2+11x2+x+1， 水流运行轨迹满足的函数关系式 y+x+1； （2）移动后的解析式为 y+11（x15）2+11， 将 x30 代入得：y152+11115.6255.375（m）， 坡度为 1：10， B 点纵坐标为 2.3+35.3（m）， 5.375m1.3m， 可避开对这棵石榴树的喷灌； （3）坡度为 1：10， 直线 OA 的解析式为 y0.1x， 设喷射出的水流与坡面 OA 之间的铅直高度为 h 米， 则 hx2+x+10.1x x2+x+1 （x18）2+9.1， 0， 当 x18 时，h 有最大值，最大值为 9.1m
