1、2021 年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模）年湖北省随州市曾都区中考数学适应性试卷（一模） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）求的） 1下列各式中，结果是 100 的是（ ） A（+100） B（100） C|+100| D|100| 22020 年 12 月 8 日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛 峰的最新高程为 8848.86 米将数据 8848.86 精确到个位并用科学记数
2、法表示为（ ） A8.848103 B8.848104 C8.849103 D8.849104 3下列运算正确的是（ ） A3a+6b9ab B（a+1）2a2+1 C6a3b2ab3a2b D（a2）3（a3）20 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，下列能判定 DEAC 的条件是（ ） A13 B3C C24 D1+2180 5我国古代数学著作九章算术记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺， 引葭赴岸， 适与岸齐 问水深、 葭长各几何译为：有一个水池， 水面是一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1
3、 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达 池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为 x 尺，根据题意，可列方程为（ ） Ax2+52（x+1）2 Bx2+102（x+1）2 C（x1）2+52x2 D（x1）2+102x2 6在体育中考训练中，男生小杰 6 次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5关 于这组数据，下列结论不正确的是（ ） A众数是 2.4 B中位数是 2.4 C平均数是 2.4 D方差是 1 7如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C 处的俯 角为 60，
4、热气球 A 处与楼的水平距离为 30m，则这栋楼的高度为（ ） A40m B30m C75m D40m 8如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大致化容器中水的高度 h 与时 间 t 的函数关系（ ） A B C D 9对于 x3（n2+1）x+n0 这类特殊的三次方程可以这样来解先将方程的左边分解因式：x3（n2+1） x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）（xn） （x2+nx1），这样原方程就可变为（xn） （x2+nx 1） 0， 即有 xn0 或 x2+nx10， 因此， 方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是原方程的解 据 此，显然 x35x
5、+20 有一个解为 x12，设它的另两个解为 x2，x3，则式子 x2x3x2x3的值为（ ） A1 B1 C3 D7 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0），对称轴为直线 x1下列结论：abc0； 8a+c0；对于任意实数 m，总有 a（m21）+b（m+1）0；对于 a 的每一个确定值，若一元二次 方程 ax2+bx+cP （P 为常数， 且 P0） 的根为整数， 则 P 的值有且只有三个， 其中正确的结论是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分把答案直接填在答题
6、卡上对应题号的横线上）分把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上） 11计算：+（1）2021 12不等式组的非负整数解是 13如图，在ABC 中，C90，ABC30，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt ABC，使点 C落在 AB 边上，连接 BB，则 BB的长度是 cm 14如图，点 O 是ABC 的重心，延长 AO 交 BC 于点 D，延长 BO 交 AC 于点 E，过点 O 作 OFBC 交 AB 于点 F现随机向ABC 内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 15我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性从 图中取一斜列数： 1
7、， 3， 6， 10， 15， ， 我们把第一个数记为 a1， 第二个数记为 a2， 第三个数记为 a3， ， 第 n 个数记为 an若+ ，则 n 的值为 16如图，在ABCD 中，AB3，BC6，ABBD，P 是 BC 上方一动点，且BPC60，PC 交 BD 于 点 E当点 P 运动到 PBPC 时，的值为 ；随着点 P 的运动，的最大值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，共小题，共 72 分解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）分解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程） 17先化简，再求值：（1），其中 a2cos60+（） 1+（3）0 18如图，在AB
8、C 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于 点 F （1）求证：BDECDF （2）当 ADBC，AE2，CF4 时，求 AC 的长 19如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象在第三象限交于点 A（3，2），与 y 轴 的正半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y和 ykx+b 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 4 个单位后得到直线 l：y1k1x+b1（k10），l 与反比例函数 y2的图象相 交，求使 y1y2成立的 x 的取值范围 20为了解“永远跟党走”主题宣传教育活动的效果，某校组织了党史知识
9、问卷测试，从中抽取部分答卷， 统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图 等级 成绩/分 频数 A 95x100 m B 90 x95 8 C 85x90 D 80 x85 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m ，n ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 度； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，请估计该校 2000 名学生中达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名男生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好 抽到一男一女的概率 21如图，AB，AC 切O 分别于点 B，C，BDAC 交O 于点 D，连接 CO 并延长交 BD 于点 E （
10、1）求证：BEDE； （2）若O 的半径为 13，tanA，求 AB 的长 22某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为 16 米，宽为 3 米，抛 物线的最高处 C 距地面 7 米 （1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的 表达式； （2）观景拱桥下有两根长为 4.75 米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离； （3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高 3.5 米水平线上，两立柱间安装一个长 8 米的矩形广告 牌 EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离 MH 不得小于 0.35
11、米，求矩形广 告牌的最大高度 MF 23【阅读理解】 在一个三角形中，如果有两个内角 与 满足 2+90，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角 形”根据这个定义，显然 +90，则这个三角形的第三个角为 180（+）90，这就是说 “亚直角三角形”是特殊的钝角三角形 【尝试运用】 （1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为 100，请直接写出它的两个锐角的度数； （2）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC9，点 D 在边 BC 上，连接 AD，且 AD 不平 分BAC若ABD 是“亚直角三角形”，求线段 AD 的长； 【素养提升】 （3）如图 2，在钝角ABC 中，ABC
12、90，AB7，BC15，ABC 的面积为 42，求证：ABC 是“亚直角三角形” 24如图 1，已知抛物线 yx2+mx 与 x 轴正半轴交于点 A，B（m，0）为 x 轴上另一点，直线 yx 交抛物线的对称轴于点 C，过点 B 作 BMOC 交过点 C 平行于 x 轴的直线于点 M，D 为抛物线的顶点 （1）直接用含 m 的代数式表示点 A，D 的坐标； （2）若点 M 恰好在该抛物线上，求四边形 BOCM 的面积； （3）如图 2，在（2）的条件下，连接 DM，G 为 x 轴上一点，H 为抛物线上一动点，若以点 A，G，H 为顶点的三角形与CDM 相似， 请直接写出点 H 及其对应的点 G
13、 的坐标 （每写一组正确的结果得分， 记满分为止） 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列各式中，结果是 100 的是（ ） A（+100） B（100） C|+100| D|100| 【分析】分别根据绝对值和相反数的意义化简即可 解：A、（+100）100，不符合题意； B、（100）100，符合题意； C、|+100|100，不符合题意； D、|100|100，不符合题意； 故选：B 22020 年 12 月 8 日，国家主席习近平在同尼泊尔总统班达里互致信函时，向全世界正式宣布，珠穆朗玛 峰的最新高程为 8
14、848.86 米将数据 8848.86 精确到个位并用科学记数法表示为（ ） A8.848103 B8.848104 C8.849103 D8.849104 【分析】先把 8848.86 精确到个位，再用科学记数法表示即可 解：8848.8688498.84910， 故选：C 3下列运算正确的是（ ） A3a+6b9ab B（a+1）2a2+1 C6a3b2ab3a2b D（a2）3（a3）20 【分析】根据整式的加减运算，乘除运算法则即可求出答案 解：A、3a 与 6b 不是同类项，故不能合并，故 A 不符合题意 B、原式a2+2a+1，故 B 不符合题意 C、原式3a2b，故 C 不符合题
15、意 D、原式a6a60，故 D 符合题意 故选：D 4如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，AC 上，下列能判定 DEAC 的条件是（ ） A13 B3C C24 D1+2180 【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案 解：A、当13 时，EFBC，不符合题意； B、当3C 时，DEAC，符合题意； C、当24 时，无法得到 DEAC，不符合题意； D、当1+2180时，EFBC，不符合题意 故选：B 5我国古代数学著作九章算术记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺， 引葭赴岸， 适与岸齐 问水深、 葭长各几何译为：有一个水池， 水面是
16、一个边长为 10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达 池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为 x 尺，根据题意，可列方程为（ ） Ax2+52（x+1）2 Bx2+102（x+1）2 C（x1）2+52x2 D（x1）2+102x2 【分析】首先设水深 x 尺，则芦苇长为（x1）尺，根据勾股定理可得方程 解：设水深 x 尺，则芦苇长为（x1）尺，由题意得： x2+52（x+1）2， 故选：A 6在体育中考训练中，男生小杰 6 次立定跳远的成绩（单位：米）如下：2.4，2.3，2.6，2.4，2.2，2.5
17、关 于这组数据，下列结论不正确的是（ ） A众数是 2.4 B中位数是 2.4 C平均数是 2.4 D方差是 1 【分析】利用方差，中位数，平均数和众数的定义分别计算即可得出答案 解：A、2.4 有 2 个，众数是 2.4，故此选项正确，不合题意； B、从高到低排列后，为 2.2，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6中位数是（2.4+2.4）2.4，正确，不合题意； C、平均数是：（2.2+2.3+2.4+2.4+2.5+2.6）2.4（m 米），正确，不合题意； D、方差为：（2.22.4）2+（2.32.4）2+2（2.42.4） 2+（2.52.4）2+（2.62.4）2 ，故 此选项
18、不正确，符合题意； 故选：D 7如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30，看这栋楼底部 C 处的俯 角为 60，热气球 A 处与楼的水平距离为 30m，则这栋楼的高度为（ ） A40m B30m C75m D40m 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得 BD 和 CD 的长从而可以得到 BC 的长 解：由题意可得， ADBC，AD30m，BAD30，DAC60， BDADtan303010（m），CDADtan603030（m）， BCBD+CD10+3040（m）， 故选：A 8如图，是一个容器的三视图，向该容器中匀速注水，下面哪一个图象可以大
19、致化容器中水的高度 h 与时 间 t 的函数关系（ ） A B C D 【分析】由三视图可知容器的形状，依此可知注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越 来越快，即图象开始平缓，后来陡峭，结合选项可得答案 解：由三视图可知容器的形状是圆锥，可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越 来越快， 即图象开始平缓，后来陡峭， 故选：C 9对于 x3（n2+1）x+n0 这类特殊的三次方程可以这样来解先将方程的左边分解因式：x3（n2+1） x+nx3n2xx+nx（x2n2）（xn）（xn） （x2+nx1），这样原方程就可变为（xn） （x2+nx 1） 0， 即有 xn0
20、 或 x2+nx10， 因此， 方程 xn0 和 x2+nx10 的所有解就是原方程的解 据 此，显然 x35x+20 有一个解为 x12，设它的另两个解为 x2，x3，则式子 x2x3x2x3的值为（ ） A1 B1 C3 D7 【分析】根据给出的特殊三次方程解法，先求出方程 x35x+20 的根，再求出代数式的值 解：x35x+2 x34xx+2 x（x24）（x2） x（x+2）（x2）（x2） （x2）（x2+2x1） （x2）（x2+2x1）0 x20 或 x2+2x10 当 x2+2x10 时， x1 x12，x21+ ，x31 x2x3x2x3 （1+）（1 ）（1+）（1） 1
21、2+1+1+ 1 故选：B 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0），对称轴为直线 x1下列结论：abc0； 8a+c0；对于任意实数 m，总有 a（m21）+b（m+1）0；对于 a 的每一个确定值，若一元二次 方程 ax2+bx+cP （P 为常数， 且 P0） 的根为整数， 则 P 的值有且只有三个， 其中正确的结论是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0），对称轴为直线 x1，可得 ，由图可 知 a0，即有 b2a0，c8a0，可判断；由 c8a 可判断；把 a（m21）+b（m+1）变形 为 a
22、（m+1）2，可判断；根据抛物线 yax2+bx+c 与直线 yp（P 为常数，且 P0）交点横坐标为整 数，对称轴是 x1，且抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0），可判断 解：抛物线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0），对称轴为直线 x1， ，解得， 抛物线 yax2+bx+c 为 yax2+2ax8a， 由图可知：a0， b2a0，c8a0， abc0，故正确； 由 c8a 得 8a+c0，故正确； a（m21）+b（m+1） a（m21）+2a（m+1） a（m+1）（m1）+2a（m+1） a（m+1）（m1+2） a（m+1）2， 且 a0，（m+1）20， a
23、（m+1）20，即 a（m21）+b（m+1）0，故正确； 抛物线 yax2+bx+c 与直线 yp（P 为常数，且 P0）交点横坐标为整数，对称轴是 x1，且抛物 线 yax2+bx+c（a0）经过点（2，0）， 交点横坐标可能是1，1 或 0，2 或 1，3， P 的值有且只有三个，故正确； 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）分把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上） 11计算：+（1）2021 0 【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的乘方运算法则和立方根的性质分别化简，再利
24、用有理数 的加减运算法则计算得出答案 解：原式312 0 故答案为：0 12不等式组的非负整数解是 0，1 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确 定出非负整数解即可 解：不等式组， 由得：x2， 由得：x2， 不等式组的解集为2x2， 则不等式组的非负整数解为 0，1 故答案为：0，1 13如图，在ABC 中，C90，ABC30，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt ABC，使点 C落在 AB 边上，连接 BB，则 BB的长度是 2 cm 【分析】由直角三角形的性质得到 AB2AC，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到 A
25、BBB即可求解 解：在 RtABC 中，C90，ABC30， AC AB， AB2AC cm 又由旋转的性质知，ACAC AB，BCAB，ABAB， BC是 AB 的垂直平分线， ABBB BB cm 故答案为： 14如图，点 O 是ABC 的重心，延长 AO 交 BC 于点 D，延长 BO 交 AC 于点 E，过点 O 作 OFBC 交 AB 于点 F现随机向ABC 内部抛一米粒，则米粒落在图中阴影部分的概率为 【分析】先根据重心的性质得到 AO：AD2：3，再证明AOFADB，利用相似三角形的性质得到 ，接着利用 AD 为中线得到 SABC2SABD，然后根据求几何概率的方法解决问题 解：
26、点 O 是ABC 的重心， AO：OD2：1， AO：AD2：3， OFBD， AOFADB， （）2（）2， AD 为中线， SABC2SABD， 米粒落在图中阴影部分的概率 故答案为 15我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性从 图中取一斜列数： 1， 3， 6， 10， 15， ， 我们把第一个数记为 a1， 第二个数记为 a2， 第三个数记为 a3， ， 第 n 个数记为 an若+ ，则 n 的值为 4041 【分析】首先根据题意得出 an的关系式，然后用“裂项法”将裂成 2（），即可求出结果 解：由题意得 a11， a231+2， a36
27、1+2+3， a4101+2+3+4， ， an ， 2（）， +， 2（1+.+ ） 2（1） n+14042 n4041 故答案为：4041 16如图，在ABCD 中，AB3，BC6，ABBD，P 是 BC 上方一动点，且BPC60，PC 交 BD 于 点 E当点 P 运动到 PBPC 时，的值为 1 ；随着点 P 的运动，的最大值为 【分析】 （1） 根据三角函数值求ADB30， 再根据 PBPC， BPC60推BPC 为等边三角形， 根据三线合一性质求出最后比值； （2）过点 D 作 FCBC 交 BD 延长线于点 F，过点 P 作 PQBD 交 BD 于点 Q，根据BPCBFC 60
28、证明点 B、C、F、P 四点共圆，再根据 90圆周角所对弦是直径得知 BF 为O 的直径，证PQE CDE 推比例线段从而得知当 PQ 取最大值时，的值最大，最后利用三角函数求直径从而得到 的最大值 【解答】（1）如图所示， ABBD， ADB90， sinADB， ADB30， 在ABCD 中， ABCD， DBCADB30， PBPC，BPC60， BPC 为等边三角形， PBC60， PBD30DBC， PECE， 1， 故答案为：1. （2）如图所示，过点 D 作 FCBC 交 BD 延长线于点 F，过点 P 作 PQBD 交 BD 于点 Q， FCBC， FCB90， DBC30，
29、BFC60， BPC60， 点 B、C、F、P 四点共圆， FCB90， BF 为O 的直径， ABCD， BDCABD90， PQBD， PQD90， PQDCDQ， PEQCED， PQECDE， ， ， 当 PQ 取最大值时，的值最大， 当点 Q 与点 O 重合时 PQ 最大，即 PQ 为O 半径时， 在 RtBFC 中，sinBFC， BFBC4， O 半径为 2，即 PQ 的最大值是 2， 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，共小题，共 72 分解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程）分解答应写出必要的演算步骤，文字说明或证明过程） 17先化简，再求值：
30、（1），其中 a2cos60+（） 1+（3）0 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数数值、负整数指 数幂与零指数幂得到 a 的值，继而将 a 的值代入计算可得 解：原式（） ， 当时， 原式 18如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于 点 F （1）求证：BDECDF （2）当 ADBC，AE2，CF4 时，求 AC 的长 【分析】（1）根据平行线的性质得到BFCD，BEDF，由 AD 是 BC 边上的中线，得到 BD CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 B
31、ECF4，求得 ABAE+BE6，于是得到结论 【解答】（1）证明：CFAB， BFCD，BEDF， AD 是 BC 边上的中线， BDCD，在BDE 和CDF 中， BDECDF（AAS）； （2）解：BDECDF， BECF4， ABAE+BE2+46， ADBC，BDCD， ACAB6 19如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象在第三象限交于点 A（3，2），与 y 轴 的正半轴交于点 B，且 OB4 （1）求函数 y和 ykx+b 的解析式； （2）将直线 AB 向下平移 4 个单位后得到直线 l：y1k1x+b1（k10），l 与反比例函数 y2的图象相 交，求使
32、y1y2成立的 x 的取值范围 【分析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y，可得反比例函数解析式，把点 A（3，2） 代入 ykx+4，可得 k2，可得一次函数解析式； （2）求得平移后的直线解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得交点坐标，根据 题意即可得到使 y1y2成立的 x 的取值范围 解：（1）把 A（3，2）代入，可得 m6， 反比例函数解析式为 OB4， b4， 把（3，2）代入 ykx+4，可得 k2， 一次函数解析式为 y2x+4 （2）依题意得，y12x，解得， ， 观察图象可知，使 y1y2的 x 的取值范围为：或 20为了解“永远跟党走”主题宣传
33、教育活动的效果，某校组织了党史知识问卷测试，从中抽取部分答卷， 统计整理得到不完整的频数分布表和扇形统计图 等级 成绩/分 频数 A 95x100 m B 90 x95 8 C 85x90 D 80 x85 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m 3 ，n 25 ，扇形统计图中“D”等级的圆心角为 72 度； （2）若成绩不低于 90 分为优秀，请估计该校 2000 名学生中达到优秀等级的人数； （3）已知 A 等级中有 2 名男生，现从 A 等级中随机抽取 2 名同学，试用列表或树状图的方法求出恰好 抽到一男一女的概率 【分析】（1）根据 90 x95 的频数和所占的百分比求出抽取
34、的总人数，用总人数乘以 95x100 所 占的百分比求出 m，再用总人数减去其他等级的人数，求出 C 等级的人数，然后除以总人数，求出 n， 用 360乘以“D”等级所占的百分比求出“D”等级的圆心角度数； （2）由该校总人数乘以达到优秀等级的人数所占的比例即可； （3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到一男一女的情况数，然后根据概率公式求解 即可 解：（1）抽取的总人数有：840%20（人）， m2015%3， C 等级的人数有：203845（人）， n%100%25%，即 n25， 扇形统计图中“D”等级的圆心角为 36072； 故答案为：3，25，72； （2）200011
35、00（人）， 答：估计该校 2000 名学生中达到优秀等级的人数有 1100 人； （3）根据题意列表如下： 男 1 男 2 女 男 1 男 1 男 2 男 1 女 男 2 男 2 男 1 男 2 女 女 女男 1 女男 2 由上表可知，共有 6 种等可能的结果，符合条件的结果有 4 种， 则恰好抽到一男一女的概率是 21如图，AB，AC 切O 分别于点 B，C，BDAC 交O 于点 D，连接 CO 并延长交 BD 于点 E （1）求证：BEDE； （2）若O 的半径为 13，tanA，求 AB 的长 【分析】（1）根据切线的性质得到 COAC，根据 BDAC，得到 CEBD，根据垂径定理证明
36、结论； （2）过点 B 作 BFAC 于点 F，连接 OB，根据正切的定义用 k 表示出 AB，根据勾股定理计算求出 k， 得到答案 【解答】（1）证明：AC 切O 于点 C， COAC， BDAC， CEBD， BEDE； （2）解：过点 B 作 BFAC 于点 F，连接 OB， 设 AF5k， tanA， BF12k， 由勾股定理得：AB13k， AB，AC 切O 分别于点 B，C， ACAB13k， BFAC，ECAC，CEBD， 知四边形 BECF 为矩形， BECFACAF8k，CEBF12k， OECEOC12k13， 在 RtBOE 中，OB2OE2+BE2，即 132（12k1
37、3）2+（8k）2， 解得：k， AB13k 22某公园有一个截面由抛物线和长方形构成的观景拱桥，如图所示，长方形的长为 16 米，宽为 3 米，抛 物线的最高处 C 距地面 7 米 （1）经过讨论，同学们得出如图所示的三种建立平面直角坐标系的方案，请从中选择一种求出抛物线的 表达式； （2）观景拱桥下有两根长为 4.75 米的对称安置的立柱，求这两根立柱的水平距离； （3）现公园管理处打算，在观景拱桥的下方限高 3.5 米水平线上，两立柱间安装一个长 8 米的矩形广告 牌 EFMN，为安全起见，要求广告牌的最高处与拱桥的桥面之间的距离 MH 不得小于 0.35 米，求矩形广 告牌的最大高度
38、MF 【分析】（1）根据坐标系的特点，选择不同的函数解析式，用待定系数法求解即可； （2）确定立柱的纵坐标，运用平移的思想求解即可； （3）根据坐标系，确定长方形上面顶点到 x 轴的距离，根据题意确定高度即可 解：（1）若选方案一， 依照题意 C（0，0），A（8，4）， 设抛物线的解析式为 yax2， 4a（8）2， a， ， 若选方案二，可由方案一的抛物线向上平移 4 个单位长度得到， 方案二中的抛物线解析式为， 若选方案三，根据图像看出，可有方案二中的解析式向左平移 8 个单位长度得到， 方案三抛物线解析式为， （2）若选方案一，依题意可得， x6， 两根立柱的水平距离为 6（6）12（
39、米）； 选方案二，根据方案一，得两根立柱的坐标为（6，2.25）和（6，2.25）， 只需将两个点的坐标向上平移 4 个单位长度即得到新坐标下的坐标， 分别为 （6， 1.75 ） 和 （ 6， 1.75） ， 两根立柱的水平距离为 6（6 ）12（米）； 选方案三，根据方案二，得两根立柱的坐标为（6，1.75）和（ 6，1.75 ）， 只需将两个点的坐标向左平移 8 个单位长度即得到新坐标下的坐标， 分别为 （14， 1.75） 和 （2， 1.75 ） ， 两根立柱的水平距离为2（14）12（米）； （3）若选方案一，当 x4 时，即 H 的纵坐标为1， MF73.510.352.15（米
40、）， 故矩形广告牌的最大高度 MF 为 2.15 米； 选方案二，当 x4 时，yx2+43，即 H 的纵坐标为 3， MF30.50.352.15（米）， 故矩形广告牌的最大高度 MF 为 2.15 米 选方案三，当 x4 时，y（x8）2+43，即 H 的纵坐标为 3， MF30.50.352.15（米）， 故矩形广告牌的最大高度 MF 为 2.15 米 23【阅读理解】 在一个三角形中，如果有两个内角 与 满足 2+90，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角 形”根据这个定义，显然 +90，则这个三角形的第三个角为 180（+）90，这就是说 “亚直角三角形”是特殊的钝角三角形 【尝试运
41、用】 （1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为 100，请直接写出它的两个锐角的度数； （2）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC9，点 D 在边 BC 上，连接 AD，且 AD 不平 分BAC若ABD 是“亚直角三角形”，求线段 AD 的长； 【素养提升】 （3）如图 2，在钝角ABC 中，ABC90，AB7，BC15，ABC 的面积为 42，求证：ABC 是“亚直角三角形” 【分析】（1）根据方程组求出 ， 即可 （2）证明ACDBCA，推出，可得结论 （3）过点 C 作 CDAB，交 AB 的延长线于点 D利用三角形面积求出 CD，再利用勾股定理求出 BD， 推
42、出，再证明BCDCAD，可得结论 【解答】（1）解：由题意， 解得， 它的两个锐角的度数为 10，70 （2）解：ACB90， B+BAD+DAC90， 又BADDAC， B+2BAD90， ABD 是“亚直角三角形”， 2B+BAD90， BDAC， ACDBCA， ， ， 在 RtACD 中， （3）证明：过点 C 作 CDAB，交 AB 的延长线于点 D AB7，SABC42， CD12， 在 RtBCD 中， BC15， BD9， AD7+916， ， ， 又DD， BCDCAD， BCDA， A+ACB+BCD90， 2A+ACB90， ABC 是“亚直角三角形” 24如图 1，已知
43、抛物线 yx2+mx 与 x 轴正半轴交于点 A，B（m，0）为 x 轴上另一点，直线 yx 交抛物线的对称轴于点 C，过点 B 作 BMOC 交过点 C 平行于 x 轴的直线于点 M，D 为抛物线的顶点 （1）直接用含 m 的代数式表示点 A，D 的坐标； （2）若点 M 恰好在该抛物线上，求四边形 BOCM 的面积； （3）如图 2，在（2）的条件下，连接 DM，G 为 x 轴上一点，H 为抛物线上一动点，若以点 A，G，H 为顶点的三角形与CDM 相似， 请直接写出点 H 及其对应的点 G 的坐标 （每写一组正确的结果得分， 记满分为止） 【分析】（1）令 y0，x2+mx0，求解即可得
44、到答案； （2）根据二次函数的性质与待定系数法求解析式可得点 M 的纵坐标，然后由点的坐标与函数的关系可 得问题的答案； （3）由（2）得 CM2，CD4，然后分三种情况进行讨论可得答案 解：（1）令 y0，x2+mx0， x10，x2m， A（m，0）， x， y（）2+m（）， ； （2）抛物线的对称轴为， ， ， 点 M 的纵坐标为， BMOC， 可设直线 BM 的解析式为 ， ， ， 直线 BM 的解析式为， ， ，即点 M 的横坐标为， 点 M 在抛物线上， ， 又m0， m6 C（3，5），M（5，5）， CM2 S平行四边形OBMC2510 （3）由（2）可知，C（3，5），M（5，5），D（3，9），A（6，0）， CM2，CD4， CDM 为直角三角形， 当AGH90，时， AGHMCD， ， 设 G（x，0）， ， x12，x26（舍）， G（2，0），H（2，8）， 时，即， x16（舍），x ， G（，0），H（，）， 点 G 在 O 点左侧， ， x12，x26（舍去）， G（2，0），H（2，16）， ， x16（舍），x ， G（，0），H（，）
