1、第十章第十章 概率概率 章末复习章末复习 一、单项选择题 1下列试验中是古典概型的是( ) A任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B在数轴上12 之间任取一点 x，观察 x 是否小于 0 C抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况 D某人射击中靶或不中靶 2从装有两个红球和两个白球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A“至少有一个白球”与“都是白球” B“至少有一个白球”与“至少有一个红球” C“至少有一个白球”与“都是红球” D“恰有一个白球”与“恰有两个白球” 3某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品在正常生产情况下，出现乙级品 和丙级品的概率分
2、别是 5%和 3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为( ) A0.92 B0.95 C0.97 D0.08 4某单位志愿服务团有 20 人，他们年龄分布如下表所示： 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 则这 20 人年龄的极差，25%分位数分别是( ) A12,30 B12,36 C17,30 D17,36 5含甲、乙在内的 4 个人站成一排照相，甲在乙右边的概率为( ) A.1 4 B. 3 4 C. 1 2 D. 3 5 6袋中有 6 个除颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球，从袋中任 取 2 球，则 2 球的颜色
3、为一白一黑的概率为( B ) A.1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 7A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 30%，现用随机 模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 09 之间整数值 的随机数，并用 0,1,2,3,4,5,6 表示没有强浓雾，用 7,8,9 表示有强浓雾，再以每 3 个随机数作 为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至
4、少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A.1 4 B. 2 5 C. 7 10 D. 1 5 8在一个袋子中装有分别标注 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同， 现从中随机取出 2 个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的概率是( ) A. 1 10 B. 3 10 C. 2 5 D. 1 4 二、多项选择题 9已知某厂的产品合格率为 0.8，现抽出 10 件产品检查，则下列说法不正确的是( ) A合格产品少于 8 件 B合格产品多于 8 件 C合格产品正好是 8 件 D合格产品可能是 8 件 10掷一枚均匀的硬币两次，记事件 A“第一次出现正面”，B
5、“第二次出现反面”，则有 ( ) AA 与 B 相互独立 BP(AB)P(A)P(B) CA 与 B 互斥 DP(AB)1 4 11下列说法不正确的是( ) A甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3 5，则比赛 5 场，甲胜 3 场 B某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，前 9 个病人没有治愈，则第 10 个病人一定治愈 C随机试验的频率与概率相等 D用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗，结果有 380 人有明显疗效，现有胃溃疡的 病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为 76% 12甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( ) A抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
6、 B同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于 7 则甲胜，否则乙胜 C从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 三、填空题 13将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数设抛掷两次向上的点数分别为 a 和 b，则 等式 2a b1 成立的概率为_. 14 在利用整数随机数进行随机模拟试验中， 整数 a 到整数 b 之间的每个整数出现的可能性 是_ (用 a 和 b 表示) 15甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为 0.6，若采用三局两胜制举行一次比 赛， 现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率 先利用计算器
7、或计算机生成 0 到 9 之间取整 数值的随机数，用 0,1,2,3,4,5 表示甲获胜；6,7,8,9 表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为 0.6.因为采用三局两胜制，所以每 3 个随机数作为一组例如，产生 30 组随机数 034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751 据此估计乙获胜的概率为_. 16 在集合1,2,3中有放回地先后随机取两个数， 若把这两个数按照取的先后顺序组成一个 两位数，则其样
8、本点总数为_，“个位数与十位数不相同”的概率是_. 四、解答题 17某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下： 医生人数 0 1 2 3 4 5 人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值； (2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y、z 的值 18在甲、乙等 5 位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演 出，采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为 1,2,3,4,5) (1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率； (2)甲、乙两人
9、的演出序号不相邻的概率 19某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的售后调查数据，经分类整理得到下表： 产品类型 甲 乙 丙 丁 产品件数 100 50 200 150 使用满意率 0.9 0.7 0.8 0.5 使用满意率是指一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值 (1)从公司收集的这些产品中随机选取 1 件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的 概率； (2)假设该公司的甲类产品共销售 10 000 件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户 满意评价的件数 20 某小组共有 A， B， C， D， E 五名同学， 他们的身高(单位： m)以及体重指标(单位： k
10、g/m2) 如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率； (2)从该小组同学中任选 2 人， 求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9) 中的概率 21 为预防某病毒爆发， 某生物技术公司研制出一种抗病毒疫苗， 为测试该疫苗的有效性(若 疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过)，公司选定 2 000 个样本分成三组，测试 结果如下表： A 组 B
11、 组 C 组 疫苗有效 673 x y 疫苗无效 77 90 z 已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)求 x 的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取多少个？ (3)已知 y465，z30，求不能通过测试的概率 22为了研究某种理财工具的使用情况，对20,70年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄 段人数分成 5 组：20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70，并整理得到频率分布直方图 如图： (1)求直方图中 a 的值； (2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四
12、组中共抽取 8 人，则三个组中各抽 取多少人？ (3)在(2)中抽取的 8 人中，随机抽取 2 人，则这 2 人都来自第三组的概率是多少？ 参考答案 一、单项选择题 1 【答案】C 【解析】A 中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，12，但它们不是等可能的；B 中试 验的样本点有无数个；D 中“中靶”“不中靶”不一定是等可能发生的因此，A，B，D 都不 是古典概型故选 C. 2 【答案】D 【解析】A 选项错，事件“至少有一个白球”包含事件“都是白球”，则两事件不互斥，也不对 立；B 选项错，事件“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事件为“一个白球和一个红 球”，从而两事件不互斥，也不对
13、立；C 选项错，事件“至少有一个白球”与“都是红球”互斥 且对立易知 D 选项正确 3 【答案】A 【解析】记事件 A“生产的产品为甲级品”，B“生产的产品为乙级品”，C“生产的产品 为丙级品”，则 P(B)0.05，P(C)0.03，且事件 A，B，C 两两互斥，P(ABC)P(A) P(B)P(C)1，所以 P(A)0.92，选 A. 4 【答案】C 【解析】极差是 452817,25%分位数是 30，故选 C. 5 【答案】C 【解析】方法 1：设这 4 人分别为甲、乙、丙、丁，则他们站成一排的所有样本点为(甲， 乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，
14、(甲，丁，乙，丙)， (甲，丁，丙，乙)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，甲，丙，乙)，(丁，乙，甲，丙)，(丁，乙， 丙，甲)，(丁，丙，甲，乙)，(丁，丙，乙，甲)，共 24 个其中事件甲在乙右边的样本点 数为 12，故所求概率为1 2. 方法 2：整体法考虑，4 个人站成一排照相，分甲在乙右边、甲在乙左边两个样本点，从而 甲在乙右边的概率为1 2，故选 C. 6 【答案】B 【解析】从袋中任取 2 球共 15 种取法，2 球的颜色为一白一黑的情况共 6 种，故所求概率 为 6 15 2 5. 7 【答案】D 【解析】 由题意知， 在 20 组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有 978,4
15、79,588,779， 共 4 组，故所求概率近似为 4 20 1 5. 8 【答案】C 【解析】 从中随机取出 2 个小球的样本空间 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (3,4)，(3,5)，(4,5)，样本点共有 10 个，取出小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的样本 点有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共 4 个，所以取出小球标注的数字之差的绝对值为 2 或 4 的 概率是 4 10 2 5. 二、多项选择题 9 【答案】ABC 【解析】 某厂的产品合格率为 0.8， 现抽出 10 件产品检查， 合格
16、产品可能是 8 件 故选 ABC. 10 【答案】AD 【解析】对于选项 A，由题意得事件 A 的发生与否对事件 B 的发生没有影响，所以 A 与 B 相互独立，所以 A 正确；对于选项 B，C，由于事件 A 与 B 可以同时发生，所以事件 A 与 B 不互斥，故选项 B，C 不正确；对于选项 D，由于 A 与 B 相互独立，因此 P(AB)P(A)P(B) 1 4，所以 D 正确故选 AD. 11 【答案】ABC 【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性 12 【答案】ACD 【解析】对于 A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是1 2，游戏是公平的；对于 B，点数之和大于 7 与
17、点数之和小于 7 的概率相等，但点数之和等于 7 时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公 平 三、填空题 13 【答案】1 6 【解析】2a b1，ab0.又先后抛掷骰子两次，该试验样本空间的样本点一共有 36 个，当 ab0 时，包含的样本点有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共 6 个 所求概率为 6 36 1 6. 14 【答案】 1 ba1 【解析】a，b中共有(ba1)个整数，每个整数出现的可能性相等，故每个整数出现的可 能性是 1 ba1. 15 【答案】11 30 【 解 析 】 由 题 意 知 ， 相 当 于 做 了30次 试 验 表 示 乙
18、获 胜 的 有 738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共 11 个所以估计乙获胜的概率为11 30. 16 【答案】9 2 3 【解析】 根据题意， 在集合1,2,3中有放回地先后随机取两个数， 样本点有(1,1)， (1,2)， (1,3)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 9 个；按照取的先后顺序组成一个两位数后，其 中个位数与十位数相同的样本点有 3 个，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，则“个位数与十位数不相同” 的样本点有 936(个)，则其概率为6 9 2 3. 四、解答题 17解：(
19、1)由派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，得 0.10.16x0.56，x0.3. (2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96，得 0.96z1， z0.04. 由派出医生最少 3 人的概率为 0.44，得 y0.2z0.44， y0.440.20.040.2. 18解：样本空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)， 共 10 个样本点 其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的样本点有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (3,4)， (4,5)， 共 7 个 甲、 乙两人被
20、安排在不相邻的演出序号的样本点有： (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,4)，(2,5)，(3,5)，共 6 个 (1)事件 A记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”，则 P(A) 7 10. (2)事件 B记“甲、乙两人的演出序号不相邻”， 则 P(B) 6 10 3 5. 19解：(1)由题意知，样本中公司的产品总件数为 10050200150500， 丙类样本产品中获得用户满意评价的产品件数为 200 0.8160，所求概率为 P160 500 0.32. (2)在样本 100 件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是 100 (10.9)10， 不能获得用户满意评价的
21、件数占比为 10 100 1 10. 该公司的甲类产品共销售了 10 000 件， 这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是 10 0001 101 000. 20解：(1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A， B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共 6 个由于每个人被选到的机会均等， 因此这些样本点的出现是等可能的 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的样本点有： (A， B)， (A， C)，(B，C)，共 3 个因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P3 6 1 2. (2)从该小组同学中任选
22、 2 人，其一切可能的结果组成的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A， D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 个由于每个人 被选到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的选到的 2 人身高都在 1.70 以上且 体重指标都在18.5,23.9)中的样本点有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 3 个因此选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为 P 3 10. 21 解： (1)在全体样本中随机抽取 1 个， 抽到 B 组疫苗有效的概率为 0.33， 即 x 2 0000.33， x6
23、60. (2)C 组样本个数为 yz2 000(6737766090)500，用分层随机抽样的方法在全体 样本中抽取 360 个测试结果，应在 C 组抽取 360 500 2 00090(个) (3)设事件 M“测试不能通过”， C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y， z)， 已知 y465， Z30，由(2)知 yz500，且 y，zN，所以样本空间 (465,35)，(466,34)，(467,33)， (468,32)，(469,31)，(470,30)，共 6 个样本点 若测试不能通过，则 7790z2 000 (190%)，即 z33. M(465,35)，(466,34)，共
24、2 个样本点，则 P(M)2 6 1 3.故不能通过测试的概率为 1 3. 22 解： (1)由频率分布直方图的性质， 可得(0.0402a0.0150.005) 101， 解得 a0.020. (2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为 121， 三个组依次抽取的人数为 2,4,2. (3)记第二组两人分别为 A1，A2，第三组四人分别为 B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为 C1， C2. 样本空间 (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2， B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1， C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4， C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共 28 个样本点，而都来自第三组的为(C1，C2)，故其概率为 P 1 28.
