1、第七章第七章 复数复数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位，复数7i 3i( ) A.2i B.2i C.2i D.2i 解析 7i 3i （7i）（3i） （3i）（3i） 2010i 10 2i. 答案 B 2.已知复数 z i3 （12i）2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 因为 z i 34i i（34i） （34i）（34i） 43i 25 4 25
2、3 25i，所以 z 在复平面内所对应的点在第三象限，故选 C. 答案 C 3.若复数 z 满足(z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( ) A.2i B.2i C.5i D.5i 解析 因为(z3)(2i)5，所以 z3 5 2i 5（2i） （2i）（2i）2i，所以 z 5i，所以z 5i. 答案 D 4.设复数 z1i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2z z 等于( ) A.12i B.2i C.12i D.12i 解析 由题意可得2z z 2（1i） 1i （3i）（1i） （1i）（1i）12i，故 选 C. 答案 C 5.已知复数 z12ai(aR
3、)，z212i，若z1 z2为纯虚数，则|z1|( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 解析 由于z1 z2 2ai 12i （2ai）（12i） （12i）（12i） 22a（4a）i 5 为纯虚数，则 a 1，所以 z12i，则|z1| 5，故选 D. 答案 D 6.已知复数 z1 2 3 2 i，则z |z|( ) A.1 2 3 2 i B.1 2 3 2 i C.1 2 3 2 i D.1 2 3 2 i 解析 因为 z1 2 3 2 i，所以z |z|1 2 3 2 i 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 i. 答案 D 7.复数 2i 与复数 1 3i在复平面上的对应点
4、分别是 A，B，若 O 为坐标原点，则 AOB 等于( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析 1 3i 3i （3i）（3i） 3 10 i 10， 它在复平面上的对应点为 B 3 10， 1 10 ， 而复数 2i 在复平面上的对应点是 A(2，1)， 显然 AO 5，BO 10 10 ，AB 410 10 . 由余弦定理得 cos AOBAO 2BO2AB2 2AO BO 2 2 ， AOB 4.故选 B. 答案 B 8.定义复数的一种运算 z1*z2|z 1|z2| 2 (等式右边为普通运算)，若复数 zabi， 且正实数 a，b 满足 ab3，则 z*z 的最小值为( )
5、A.9 2 B.3 2 2 C.3 2 D.9 4 解析 z*z |z|z | 2 2 a 2b2 2 a2b2 （ab）22ab. 又ab ab 2 2 9 4，ab 9 4， z*z 929 4 9 2 3 2 2 . 答案 B 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.设 z(2t25t3)(t22t2)i，tR，则以下结论错误的是( ) A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D.z 一定为实数 解析 2t
6、25t3 可正、可负，也可为 0，故 A 项结论错误；又t22t2 (t1)210，z 对应的点在实轴的上方.又z 与z 对应的点关于实轴对称.C 项结论正确，B，D 项结论错误. 答案 ABD 10.已知 i 为虚数单位， 复数 z1a2i， z22i， 且|z1|z2|， 则实数 a 的值为( ) A.0 B. 1 C.1 D.2 解析 因为复数 z1a2i，z22i，且|z1|z2|， 所以 a2441，解得 a 1，故选 BC. 答案 BC 11.若复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A.z 的虚部为1 B.|z| 2 C.z2为纯虚数 D.z 的共轭复
7、数为1i 解析 由题可知 z 2 1i1i，对于 A，z1i 的虚部为1；对于 B，|z|1 i| 2；对于 C，z2(1i)212i12i，为纯虚数；对于 D，z1i 的共轭复数为z 1i，故选 ABC. 答案 ABC 12.已知 i 是虚数单位，z 是复数，则下列叙述错误的是( ) A.zz 为纯虚数 B.z2n0(nZ) C.对于任意的 zC，|z|z | D.满足1 zz 的 z 仅有一个 解析 当 z0 时，zz 0R，所以选项 A 错误；当 zi，n1 时，z2ni2 10，所以选项 B 错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|z |，所以选项 C 正确；当 zi 或i 时均满足
8、1 zz，故选项 D 错误. 答案 ABD 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13.计算：12i 34i_. 解析 12i 34i （12i）（34i） （34i）（34i） 386i4i 3242 112i 25 11 25 2 25i. 答案 11 25 2 25i 14.i 是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数 a 的值为_. 解析 由(12i)(ai)(a2)(12a)i 是纯虚数可得 a20，12a0，解 得 a2. 答案 2 15.设复数 abi(a，bR)的模为 3，则(abi)(abi)_. 解析 |abi|a2
9、b2 3， (abi)(abi)a2b23. 答案 3 16.设复数 z 1i 1i 2 020 2i 1 2i 2 019 ，其中 i 为虚数单位，则z 的虚部是 _，|z|_(本题第一空 3 分，第二空 2 分). 解析 易知1i 1ii， 2i 1 2ii， 所以 z 1i 1i 2 020 2i 1 2i 2 019 (i)2 020i2 019i4i31i， z 1i，则z 的虚部是 1，| |z 2. 答案 1 2 四、 解答题(本题共 6 小题， 共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知复数 z 满足|34i|z13i. (1)z ； (2
10、)求（1i） 2（43i） 2z 的值. 解 (1)因为|34i|5，所以 z13i543i，所以z 43i. (2)（1i） 2（43i） 2z 2i（43i） 2（43i）i. 18.(12 分)已知复数 z12i，z1z255i(i 为虚数单位). (1)求复数 z2； (2)若复数 z3(3z2)(m22m3)(m1)i在复平面内所对应的点在第四象限， 求实数 m 的取值范围. 解 (1)z1z255i， z255i z1 55i 2i （55i）（2i） （2i）（2i） 3i. (2)z3(3z2)(m22m3)(m1)ii(m22m3)(m1)i (m1)(m22m3)i， z3
11、在复平面内所对应的点在第四象限， （m1）0， m22m30， 解得1m1， 故实数 m 的取值范围是(1，1). 19.(12 分)已知复数 z(2m23m2)(m23m2)i. (1)当实数 m 取什么值时，复数 z 是：实数；纯虚数？ (2)当 m0 时，化简 z2 z52i. 解 (1)当 m23m20 时，即 m1 或 m2 时，复数 z 为实数. 若 z 为纯虚数，则 2m 23m20， m23m20， 解得 m1 2或m2， m1且m2， m1 2. 即 m1 2时，复数 z 为纯虚数. (2)当 m0 时，z22i， z2 z52i 8i 34i 8i（34i） 25 32 2
12、5 24 25i. 20.(12 分)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，|z|1，且 zz 1， 求 z； (2)已知复数 z 5m2 12i(15i)m3(2i)为纯虚数，求实数 m 的值. 解 (1)设 zabi(a，bR)， 由题意得 a 2b21， 2a1. 解得 a1 2，b 3 2 . 复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，b 3 2 . z1 2 3 2 i. (2)z 5m2 12i(15i)m3(2i) 5m2（12i） （12i）（12i）(15i)m3(2i)(m 2 m6)(2m25m3)i，依题意，m2m60，解得 m3 或2. 又2m25m30，m
13、3. m2. 21.(12 分)已知复数 z（13i）（1i）（13i） i ， zai(aR)， 当 z 2时，求 a 的取值范围. 解 z（13i）（1i）（13i） i 1i i 1i， |z| 2.又 z | |z| 2，|2. 而 zai(1i)ai1(a1)i(aR)， 则 12（a1）22，(a1)23， 3a1 3，1 3a1 3. 故 a 的取值范围为1 3，1 3. 22.(12 分)设虚数 z 满足|2z15| 3|z 10|. (1)求|z|； (2)若z a a z是实数，求实数 a 的值. 解 (1)设 zxyi(x，yR，y0)， 代入|2z15| 3|z 10|，得|2x2yi15| 3|xyi10|， （2x15）2（2y）2 3 （x10）2（y）2， 整理得 x2y275，故|z| x2y25 3. (2)z a a z xyi a a xyi x a ax x2y2 y a ay x2y2 i. z a a z为实数， y a ay x2y20. y0，1 a a x2y20， a2x2y275，故 a 5 3.
