1、第第 5 5 章章 函数概念与性质函数概念与性质 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)1x1 x的定义域是( ) A.1，) B.(，0)(0，) C.1，0)(0，) D.R 答案 C 解析 由 1x0， x0， 解得1x0，故所求函数定义域为1，0)(0， )，故选 C. 2.下列函数中与函数 yx(x0)有相同图象的一个是( ) A.y x2 B.y( x)2 C.y 3 x3 D.y x2 x 答案 B 解析 y x2|x|， xR； y(
2、x)2x， x0； y 3 x3x， xR； y x2 x x， x0，所以选 B. 3.已知函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( ) A.(3，1)(1，4) B.(5，3)(1，1) C.(3，1)，(1，4) D.(5，3)，(1，1) 答案 C 解析 在某个区间上，若函数 yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是 下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1，4). 4.已知函数 f(x)x2mx1 是偶函数，则 yf(x)的单调增区间是( ) A.(1，) B.(0，) C.(1，) D.(2，) 答案 B 解析 因为函数 f(x)x2mx1
3、是偶函数，所以 yf(x)的图象关于 y 轴对称，所 以对称轴为直线 xm 20，解得 m0.所以 f(x)x 21，所以 yf(x)的单调增区 间是(0，). 5.已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)x2，则 f(x)( ) A.x1 B.2x1 C.x1 D.x1 或x1 答案 A 解析 设 f(x)kxb(k0)，则 f(f(x)k(kxb)bk2xkbbx2， k 21， kbb2， k1， b1，故选 A. 6.已知函数 f(x) x2ax7 （x1）， a x （x1） 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围 是( ) A.4，0) B.(，2 C.4，2 D.(，0) 答案
4、 C 解析 f(x)在 R 上为增函数， 需满足 a 21， af(a)，则 实数 a 的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，) D.(1，) 答案 B 解析 当 x0 时，f(x)x22x 是增函数，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)是 R 上的增函数，所以由 f(32a)f(a)得 32aa，解得 a1. 8.二次函数 f(x)ax22a(a0)是区间a，a2上的偶函数，又 g(x)f(x1)，则 g(0)，g 3 2 ，g(3)的大小关系为( ) A.g 3 2 g(0)g(3) B.g(0)g 3 2 g(3) C.g 3 2 g(3)g(0) D
5、.g(3)g 3 2 g(0) 答案 A 解析 由题意得 a0， aa2，解得 a1， 所以 f(x)x22， 所以 g(x)f(x1)(x1)22. 因为函数 g(x)的图象关于直线 x1 对称， 所以 g(0)g(2). 又因为函数 g(x)(x1)22 在区间1，)上单调递增， 所以 g 3 2 g(2)g(3)， 所以 g 3 2 g(0)g(3). 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有 选错的得 0 分) 9.下列说法中正确的有( ) A.若 x1，x2I
6、，对任意的 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则 yf(x)在 I 上是增函数 B.函数 yx2在 R 上是减函数 C.函数 y1 x在定义域上是增函数 D.y1 x的单调递减区间是(，0)和(0，) 答案 AD 解析 对于 B，在(，0上是减函数；对于 C，在整个定义域内不是增函数， 如3f(5)，故不正确；A，D 正确. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)xx2，则下列说法正 确的是( ) A.f(x)的最大值为1 4 B.f(x)在(1，0)上是增函数 C.f(x)0 的解集为(1，1) D.f(x)2x0 的解集为0，3 答案 AD 解析 x
7、0 时，f(x)xx2 x1 2 2 1 4，易求得 x0 时，f(x)xx 2 x1 2 2 1 4， f(x)的最大值为1 4，A 正确；f(x)在 1 2，0 上是减函数，B 错误；f(x)0 的解集 为(1，0)(0，1)，C 错误；x0 时，f(x)2x3xx20 的解集为0，3，x0 时，f(x)2xxx20 无解，故 D 正确.故选 AD. 11.已知奇函数 f(x)在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为 3，4，则在区间b，a上( ) A.有最大值 4 B.有最小值4 C.有最大值 3 D.有最小值3 答案 BC 解析 法一 根据题意作出 yf(x)的简图，由
8、图知，故选 BC. 法二 当 xb，a时，xa，b， 由题意得 f(b)f(x)f(a)， 即3f(x)4，4f(x)3， 即在区间b，a上 f(x)min4，f(x)max3， 故选 BC. 12.已知函数 f(x)x22x1 的定义域为(2，3)，则使函数 f(|x|)的单调递增的 区间是( ) A.(，1) B.(3，1) C.(0，1) D.(1，3) 答案 BC 解析 因为函数 f(x)x22x1 的定义域为(2，3)，对称轴为直线 x1，开 口向下， 所以函数 f(|x|)满足2|x|3，所以3x3. 又 f(|x|)x22|x|1 x 22x1，0 x3， x22x1，3x0 时
9、，f(x)x22，则函数 f(x) _，f(4)_(本题第一空 3 分，第二空 2 分). 答案 x 22，x0， 0，x0， x22，x0 18 解析 令 x0，x0 时，f(x)x22， f(x)(x)22x22， 又 f(x)为定义在 R 上的奇函数， f(x)f(x)x22. 当 x0 时，f(x)0. f(x) x 22，x0， 0，x0， x22，xf(m1)，则实数 m 的取值范围是_. 答案 1 3，1 解析 由题意知 22m2， 2m1m1， 解得1 3m1， 4a 2 x1，x1.若 f(x)是 R 上的增函数， 则实数 a 的取值范 围为_. 答案 4，8) 解析 当 x
10、1 时，f(x)x2是增函数，若 f(x)是 R 上的增函数，则 f(x) 4a 2 x 1 在(，1上是增函数，且满足 4a 2 1112，因此 4a 20， 4a 211， 解得 4a8. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x) 2x2，x1，0， 1 2x，x（0，2）， 3，x2，）. (1)求 f(1)，f 3 2 ，f(4)的值； (2)求函数的定义域、值域. 解 (1)易知 f(1)0，f 3 2 1 2 3 2 3 4，f(4)3. (2)作出图象如图所示.利用数形结合易知 f(
11、x)的定义域为1， )，值域为(1，23. 18.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R 上是单调递减的一次函数，且 f(f(x)9x2. (1)求 f(x)； (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1，a上的最大值. 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0)， 由于 f(f(x)9x2，则 k2xkbb9x2， 故 k 29， kbb2，解得 k3， b1， 故 f(x)3x1. (2)由(1)知，函数 y3x1x2xx24x1(x2)23， 故函数 yx24x1 的图象开口向上，对称轴为 x2， 当15 时，y 的最大值是 f(a)a24a1， 综上，ymax 6 （15）. 1
12、9.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数)，F(x) f（x），x0， f（x），x0， b24a0， 解得 a1， b2， 则 F(x) x 22x1，x0， x22x1，x0 恒成立，试求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 2时，f(x) x22x1 2 x x 1 2x2. 设任意 x1，x21，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) x1 1 2x12 x2 1 2x22 （x1x2）（2x1x21） 2x1x2 ， 因为 x1，x21，)，x11，2x1x210，x1x20， 所以（x 1x2）（2x1x21） 2x1x2 0，即 f(x
13、1)0 在1，)上恒成立， 所以 x22xa0 在1，)上恒成立. 记 yx22xa，x1，)， 所以 y(x1)2a1 在1，)上单调递增，故当 x1 时，y 取得最小值，最 小值为 3a. 所以当 3a0，即 a3 时，f(x)0 恒成立， 所以实数 a 的取值范围为(3，). 21.(本小题满分 12 分)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数， 且当 x0 时， f(x) x22x. (1)如图已画出函数 yf(x)在 y 轴左侧的图象，请补充完整函数 yf(x)的图象，并 根据图象写出函数 yf(x)的增区间； (2)写出函数 yf(x)的解析式和值域； (3)若函数 yf(x
14、)在a，b(a0，则x0. 值域为y|y1. (3)若 f(x)3，则 x3 或 x3. 又 f(1)f(1)1， 结合图象可知，当 a3，1b3 时， 函数值域为1，3.此时 2ba6. 当 b3，3a1 时，函数值域为1，3. 此时，2ba6，综上 2ba6， 即 ba 的取值范围为2，6. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)axb 1x2是定义在(1，1)上的奇函数，且 f 1 2 2 5. (1)确定函数 f(x)的解析式； (2)用定义证明 f(x)在(1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t1)f(t)0. (1)解 由题意，得 f（0）0， f 1 2 2 5，
15、 a1， b0 (经检验符合题意)，故 f(x) x 1x2. (2)证明 任取 x1，x2(1，1)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) x1 1x21 x2 1x22 （x 1x2）（1x1x2） （1x21）（1x22） .1x1x21， x1x20，1x220. 又1x1x20. （x 1x2）（1x1x2） （1x21）（1x22） 0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在(1，1)上是增函数. (3)解 由(2)知 f(x)在(1，1)上是增函数，又 f(x)在(1，1)上为奇函数，f(t 1)f(t)f(t)， 1t1， 1t11， t1t， 解得 0t1 2. 不等式的解集为 t|0t1 2 .
