1、第第 2 2 章章 常用逻辑用语常用逻辑用语 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项符合题目要求) 1.设命题 p：nN，n22n，则 p 的否定为( ) A.nN，n22n B.nN，n22n C.nN，n22n D.nN，n22n 答案 C 解析 p 为存在量词命题，其否定为全称量词命题. 2.设 a， b， c 分别是ABC 的三条边长， 且 abc， 则“a2b2c2”是“ABC 为直角三角形”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充
2、分也不必要条件 答案 C 解析 abc，a2b2c2ABC 为直角三角形，故选 C. 3.已知集合 A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的( ) A.充要条件 B.充分条件但不是必要条件 C.必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 a3AB，而 ABa3，“a3”是“AB”的充分条件但不是 必要条件. 4.设 x0，yR，则“xy”是“x|y|”的( ) A.充要条件 B.充分条件但不是必要条件 C.必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 令 x1，y2，满足 xy，但不满足 x|y|；由 x|y|得xyy 成 立，故“xy”是“x|
3、y|”的必要条件但不是充分条件. 5.下列命题中的假命题是( ) A.xR， x210 B.xR， x2x C.xR，|x|0 恒成立，故是真命题；B 中命题 是全称量词命题，当 x0 时， x2|x|x，故是假命题；C 中命题是存在量词 命题，当 x0 时，|x|01，故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当 x 1 时， 1 |x|12，故是真命题. 6.“命题xR，使 x2ax4a0 为假命题”是“16a0”的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 依题意得“xR，x2ax4a0”是真命题，故a216a0，解
4、得 16a0，故选 C. 7.命题 p：ax22x10 有实数根，若 p 的否定是假命题，则实数 a 的取值范围 为( ) A.a|a1 D.a|a1 答案 B 解析 因为 p 的否定是假命题，所以 p 为真命题，即方程 ax22x10 有实数 根. 当 a0 时，方程为 2x10，x1 2，满足题意；当 a0 时，若使方程 ax 2 2x10 有实数根，则 44a0，即 a1 且 a0.综上知 a1. 8.下列全称量词命题中真命题的个数为( ) 对于任意实数 x，都有 x2x； 对任意的实数 a，b，都有若|a|b|，则 a2b2成立； 二次函数 yx2ax1 与 x 轴恒有交点； xR，y
5、R，都有 x2|y|0. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 为真命题；当 xy0 时，x2|y|0，为假命题. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不 得分) 9.对任意实数 a，b，c，下列命题中的假命题是( ) A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件 答案 ACD 解析 acbcab 且 abacbc，故 A，C 都错；abab0(ab)c
6、 0acbc，但 acbcab，acbc 是 ab 的必要条件，故 B 正确，D 错 误. 10.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有( ) A.xR，x2x1 43”的否定是_. 答案 存在 xR，使得|x2|x4|3 解析 由定义知命题的否定为“存在 xR，使得|x2|x4|3”. 15.已知命题 p：xR，x2xm0，若 p 的否定为真命题，则实数 m 的取值范 围为_. 答案 m|m1 4 解析 因为 p 的否定为真命题，所以命题 p：xR，x2xm0 为假命题，则 方程 x2xm0 的判别式 14m0，即 m1 4.故实数 m 的取值范围为 m|m1 4 . 16.线段 y3
7、xm，x1，1在 x 轴下方的一个充分条件但不是必要条件是 _. 答案 m(，4)(答案不唯一) 解析 结合一次函数图象知，要使线段在 x 轴下方， 需 3（1）m0， 31m0， m3， m3， m3. m0，假命题. (4)xR，x22x30，真命题. 19.(本小题满分 12 分)已知命题 p：1x3，都有 mx，命题 q：1x3，使 mx，若命题 p 为真命题，q 的否定为假命题，求实数 m 的取值范围. 解 由题意知命题 p，q 都是真命题. 由1x3，都有 mx 成立，只需 m 大于或等于 x 的最大值，即 m3. 由1x3，使 mx 成立，只需 m 大于或等于 x 的最小值，即
8、m1，因为两者 同时成立， 故实数 m 的取值范围为m|m3m|m1m|m3. 20.(本小题满分 12 分)证明：a2b2c2abbcca 的充要条件是ABC 为等边 三角形，其中 a，b，c 是ABC 的三边长. 证明 充分性：如果ABC 为等边三角形， 那么 abc，则(ab)2(bc)2(ca)20， 所以 a2b2c2abbcac0，即 a2b2c2abbcca. 必要性：如果 a2b2c2abbcca， 那么 a2b2c2abbcca0， 所以(ab)2(bc)2(ca)20， 所以 ab，bc，ca，即 abc. 综上知 a2b2c2abbcca 的充要条件是ABC 为等边三角形
9、. 21.(本小题满分 12 分)若 p：2a0，0b1；q：关于 x 的方程 x2axb0 有 两个小于 1 的不等正根，则 p 是 q 的什么条件？ 解 若 a1，b1 2，则 a 24b0，关于 x 的方程 x2axb0 无实根，故 pq. 若关于 x 的方程 x2axb0 有两个小于 1 的不等正根，不妨设这两个根为 x1， x2， 且 0 x1x21， 则 x1x2a，x1x2b. 于是 0a2，0b1， 即2a0，0b1，故 qp. 所以 p 是 q 的必要条件但不是充分条件. 22.(本小题满分 12 分)已知非空集合 Px|a1x2a1，Qx|2x5. (1)若 a3，求(RP)Q； (2)若“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件，求实数 a 的取值范围. 解 因为集合 P 是非空集合，所以 2a1a1，即 a0. (1)当 a3 时，Px|4x7， RPx|x7， 又 Qx|2x5， 所以(RP)Qx|2x4. (2)若“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件，则 PQ， 即 a12， 2a15， a0， 且 a12 和 2a15 的等号不能同时取得，解得 0a2， 即实数 a 的取值范围为a|0a2.
