1、第第 8 8 章章 函数应用函数应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项符合题目要求) 1.函数 f(x)xln x1 的零点为( ) A.(1，0) B. 1 C. e D.1 e 答案 B 解析 根据零点的定义，代入即可得零点为 x1，故选 B. 2.用二分法研究函数 f(x)x32x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0， 可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_，以上横线应填的内容依次为 ( ) A.(0，0.5)，f(0.25) B.(0，1)，f(0.25) C.(0.5，1
2、)，f(0.75) D.(0，0.5)，f(0.125) 答案 A 解析 f(0)0，且函数的图象在区间(0，0.5)上不间断，可得其中一个 零点 x0(0，0.5)，使得 f(x0)0，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算 f(0.25). 3.若函数 f(x)3kx1 在(1，1)上存在零点，则实数 k 的取值范围是( ) A. 1 3， 1 3 B. ，1 3 C. 1 3， D. ，1 3 1 3， 答案 D 解析 当 k0 时，f(x)1，不存在零点； 当 k0 时，f(x)是一次函数，必然单调， 故只需f(1)f(1)0即可， 即(3k1)(3k1)0， 解得k ，1 3 1
3、3， . 4.用二分法求方程的近似解， 求得 f(x)x32x9 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f(x) 6 3 2.625 1.459 0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确到 0.1 时，方程 x32x90 的近似解可取为( ) A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 答案 C 解析 根据表中数据可知 f(1.75)0.140，由近似解精 确到 0.1 可知 1.751.8，1.812 51.8，故方程的一个近似解为 1.8，选 C. 5.某企业生产 A，B 两种型号的产品，每年的产量分别为 10 万
4、支和 40 万支，为了 扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 A，B 两种 产品的年产量的增长率分别为 50%和 20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年 产量会超过 B 产品的年产量(取 lg 20.301 0)( ) A.6 年 B.7 年 C.8 年 D.9 年 答案 B 解析 依题意经过 x 年后，A 产品的年产量为 10 11 2 x 10 3 2 x ，B 产品的年产 量为 40 11 5 x 40 6 5 x .若 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量， 则10 3 2 x 40 6 5 x 化简得5x4x 1， 即xlg 5(x1)lg 4， 所以
5、x 2lg 2 13lg 2， 又lg 20.301 0，则 2lg 2 13lg 26.206 2，所以至少经过 7 年 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产 量.故选 B. 6.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将 水加热到 100 ， 水温 y()与时间 t(min)近似满足一次函 数关系； 用开水将热饮冲泡后在室温下放置， 温度 y() 与时间 t(min)近似满足函数的关系式为 y80 1 2 ta 10b(a， b 为常数).通常这种热饮在 40 时口感最佳，某天室温为 20 时， 冲泡热饮的部分数据如图所示， 那么按上述流程 冲泡一杯热饮并在口感最佳时饮用，最少需要的
6、时间为 ( ) A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min 答案 C 解析 由题意，当 0t5 时，函数图象是一个线段， 当 t5 时，函数的解析式为 y80 1 2 ta 10b， 点(5，100)和点(15，60)，代入解析式， 有 10080 1 2 5a 10b， 6080 1 2 15a 10b， 解得 a5，b20， 故函数的解析式为 y80 1 2 t5 1020，t5. 令 y40，解得 t25，最少需要的时间为 25 min.故选 C. 7.国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场调查，得到猪 肉价格在近四个月的市场平均价 f(x
7、)(单位： 元/斤)与时间 x(单位： 月)的数据如下： x 8 9 10 11 f(x) 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：f(x)bxa，f(x)ax2bxc，f(x) 1 2 xa，找出你认为最 适合的函数模型，并估计 12 月份的猪肉市场平均价(单位：元/斤)为( ) A.28 B.25 C.23 D.21 答案 A 解析 第二组数据近似为(9，34)，第四组数据近似为(11，34)，根据四组数据(8， 28)，(9，34)，(10，36)，(11，34)，可得 f(x)先增后减，而 f(x)bxa 和 f(x) 1 2 xa 都是单调函数， 故不符合要
8、求， 所以选 f(x)ax2bxc.由第二组数据(9， 34) 和第四组数据(11，34)，可得 f(x)的图象关于 x10 对称，故 x12 时，f(12)f(8) 28. 故选 A. 8.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a， b上的两个函数， 若函数 yf(x)g(x)在 xa， b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是关联函数，a，b称为关联 区间，若 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0，3上是关联函数，则实数 m 的取 值范围是( ) A. 9 4， B. 9 4，2 C.(，2 D.1，0 答案 B 解析 f(x)x23x4 与 g(x)2xm
9、在0，3上是“关联函数”，故函数 y h(x)f(x)g(x)x25x4m 在0，3上有两个不同的零点， 故有 h（0）0， h（3）0， h 5 2 0， 4m0， 2m0， 25 4 25 2 4m0， 9 4m2，故选 B. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不 得分) 9.若函数 f(x)的图象在 R 上连续不断，且满足 f(0)0，f(2)0，则下列说法 正确的是( ) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点
10、C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 答案 AC 解析 因为 f(0)0，f(2)0，所以 f(0)f(1)0，因此无法判断 f(x)在区间()1，2 上是否有零点.故选 AC. 10.已知狄利克雷函数 f(x)满足：当 x 取有理数时，f(x)1；当 x 取无理数时，f(x) 0.则下列选项成立的是( ) A.f(x)0 B.f(x)1 C.f(x)x30 有 1 个实数根 D.f(x)x30 有 2 个实数根 答案 ABC 解析 因为 f(x)的值域为0，1 ，故 A，B 成立.当 x 取有理数时，f(x)x30 只 有一个根 1，故 C 成立
11、.故选 ABC. 11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你 选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间， 纵轴为每天的回报). 根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是 ( ) A.投资 3 天以内(含 3 天)，采用方案一 B.投资 4 天，不采用方案三 C.投资 8 天，采用方案二 D.投资 12 天，采用方案二 答案 ABC 解析 若投资 3 天以内(含 3 天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采 用方案一； 投资 4 天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案； 投资 8 天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到 方案一的总回报
12、为 320；方案二的总回报为 1020304050607080 360，故采用方案二；投资 12 天时，采用方案三.故选 A、B、C. 12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可 应用到有限维空间， 并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷 兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E. J. Brouwer)， 简单的讲就是对于满足一定条件的图 象不间断的函数 f(x)，存在一个点 x0，使得 f(x0)x0，那么我们称该函数为“不动 点”函数.下列为“不动点”函数的是( ) A.f(x)2xx B.g(x)x2x3 C.f(x) 2x 21，x1 |2x
13、，x1 D.f(x)1 xx 答案 BCD 解析 根据定义可知，若 f(x)有不动点，则 f(x)x 有解. A 中，令 2xxx，所以 2x0，此时无解，故 f(x)不是“不动点”函数； B 中，令 x2x3x，所以 x3 或 x1，所以 f(x)是“不动点”函数； C 中，当 x1 时，令 2x21x，所以 x1 2或 x1，所以 f(x)是“不动点”函 数； D 中，令1 xxx，所以 x 2 2 ，所以 f(x)是“不动点”函数. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13.若函数 f(x)lnx1 xa 在区间(1，e)上存在零点，则
14、常数 a 的取值范围为 _. 答案 1 e1，1 解析 函数 f(x)ln x1 xa 在区间(1，e)上为增函数，故若 f(x)在区间(1，e)上存 在零点，则 f(1)ln 11a0，可得 1 e1a1. 14.若方程 2x0.2 的解在区间k，k1 (kZ)内，则 k 的值是_. 答案 3 解析 令 f(x)2x0.2，f(3)2 30.20，k3. 15.某在校大学生提前创业， 想开一家服装专卖店， 经过预算， 店面装修费为 10 000 元，每天需要房租、水、电等费用 100 元，受营销方法、经营信誉度等因素的影 响 ， 专 卖 店 销 售 总 收 入P与 店 面 经 营 天 数x的
15、 关 系 是P(x) 300 x1 2x 2，0 x300， 45 000，x300， 则总利润最大时店面经营天数是_. 答案 200 解析 设总利润为 L(x)， 则 L(x) 1 2x 2200 x10 000，0 x300， 100 x35 000，x300， 则 L(x) 1 2（x200） 210 000，0 x300， 100 x35 000，x300， 当 0 x”，“”或“ 解析 (1)由题意，将第 n 次测量得到的物体温度记为 tn，则两次的物体温度变化 为 tn1tn， 又由物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为 k)，所以 tn1tn k(30tn)， (2
16、)当物体温度从 5 升到 10 所需时间为 a min，可得 105k(305)，可得 k 5 25 1 5；当物体温度从 10 上升到 15 所需时间为 b min，可得 1510k(30 10)，可得 k1 4； 当物体温度从 15 上升到 20 所需时间为 c min，可得 2015k(3015)，可 得 k1 3. 可得 a1 5m，b 1 4m，c 1 3m，m0， 又由a b b c acb2 bc 1 5m 1 3m 1 4m 2 1 4m 1 3m 1 15m 21 16m 2 1 12m 2 1 15 1 16 1 12 0， a b与 b c的大小关系是 a b b c.
17、四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x) x22x. (1)求 f(0)及 f()f（1） 的值； (2)若关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围. 解 (1)f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x， 所以 f(0)0，f()f( ) 1 f(1)f(1)1. (2)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，故关于 x 的方程 f(x)m0 有四个不同的实 数解， 只需 x0 时，f(x
18、)m 有两个解. 当 x0 时，f(x)x22x(x1)21， 所以1m0，即 m 的取值范围为(1，0). 18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x) 2x2，x1，）， x22x，x（，1），求函数 g(x)f(x) 1 4的零点. 解 求函数 g(x)f(x)1 4的零点，即求方程 f(x) 1 40 的根. 当 x1 时，由 2x21 40 得 x 9 8； 当 x0，若对任意的 x1，2，不等式 2xf(x)恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)若函数 yf(x)x 有唯一的零点，等价于 ax22xa10 有唯一实根； 若 a0，则方程为 2x10，方程根为1 2，满足题意
19、； 若 a0，则 224a(a1)4a24a40，得 a1 5 2 ； 综上，a0 或 a1 5 2 ； (2)设 a0，若对任意的 x1，2，不等式 2xf(x)恒成立等价于 ax2xa10 恒成立， 设 g(x)ax2xa1， 若 1 2a1，即 a 1 2，则 g(x)在1，2上递增， 所以 g(x)ming(1)2a0a1 2； 若 1 1 2a2，即 1 4a 1 2，则 g(x)在 1， 1 2a 上递减，在 1 2a，2 上递增， 所以 g(x)ming 1 2a 01 4a0， b1)，试从以上函数模型中选择模型近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y(万 吨)与年份 x 的函数
20、关系，并直接写出所选函数模型解析式； (2)若不加以控制任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将 超过 40 万吨？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1) 解 (1)依题意知函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型符合， 设 ya bx 2 016，将 x2 016，y4 和 x2 017，y6 代入得 4a b2 016 2 016， 6a b2 017 2 016，解 得 a4， b3 2. 故函数模型解析式为 y4 3 2 x2 016. 经检验，当 x2 018 和 x2 019 时也符合. 综上，y4 3 2 x2 016. (2)令 4 3 2
21、 x2 01640，得 3 2 x2 01610，两边同时取对数得 lg 3 2 x2 016lg 10， (x2 016)lg 3 2 1， (x2 016) 1 lg 3 2 1 lg 3lg 2， x 1 lg 3lg 22 0162 021.7. 综上，从 2022 年开始该城市的包装垃圾将超过 40 万吨. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax3x2(a0，a1)的图象过点 1，5 2 ， g(x)ln x.若函数 F(x)在定义域内存在实数 t， 使得 F(t1)F(t)F(1)成立， 则称 函数 F(x)具有性质 M. (1)求实数 a 的值； (2)判断函数 g
22、(x)是否具有性质 M？并说明理由； (3)证明：函数 f(x)具有性质 M. (1)解 由题意，函数 f(x)ax3x2(a0，a1)的图象过点 1，5 2 ， 所以 f(1)a 13(1)25 2，解得 a2. (2)解 函数 g(x)不具有性质 M.证明如下： 函数 g(x)ln x 的定义域为(0，)， 方程 g(t1)g(t)g(1)ln(t1)ln tln 1ln(t1)ln tt1t， 而方程 t1t 无解，所以不存在实数 t(0，)，使得 g(t1)g(t)g(1)成 立， 所以函数 g(x)不具有性质 M. (3)证明 由(1)知 f(x)2x3x2，定义域为 R，方程 f(t1)f(t)f(1)2t 13(t 1)22t3t2232t6t20. 设 G(t)2t6t2，则 G(0)20210，即 G(1)G(0)0， 又函数 G(t)的图象连续， 所以函数 G(t)在区间(1，0)存在零点， 所以存在实数 t 使得 f(t1)f(t)f(1)成立， 所以函数 f(x)具有性质 M.
