1、20212022 学年度第一学期九年级数学练习学年度第一学期九年级数学练习 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3分，满分分，满分 24 分每个小题只有一个选项是正确的，请把正分每个小题只有一个选项是正确的，请把正 确选项的字母涂在答题卡相应的位置）确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. 22 21xxx B. 2 0axbxc C. (1)(2)1xx D. 22 230 xxyy 2. 已知Oe的半径为 1，点P与圆心O的距离为d，且关于x的方程 2 20 xxd 无实数根，则点P在 Oe（ ） A. 内 B. 上
2、 C. 外 D. 无法确定 3. 一元二次方程 2 60 xxc 通过配方后为 2 ()16xb，则b，c的值分别为（ ） A. 3，7 B. 3，7 C. 3，7 D. 3，2 4. 三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11 或 13 D. 13 5. 给出下列命题：弦是直径；半圆是弧；长度相等的两段弧是等弧；圆上两点间的线段叫弧； 过圆心的线段是直径；直角三角形的三个顶点在同一个圆上其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他
3、同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有 x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. 11980 x x B. 11980 x x C. 1 11980 2 x x D. 1 11980 2 x x 7. 把一块长与宽之比为 2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为 10 厘米的小正方形，折起四边，可以做成一 个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是 1500 立方厘米，设铁皮的宽为 x 厘米，则正确的方程是（ ） A （2x20） （x20）=1500 B. 10（2x10） （x10）=1500 C 10（2x20） （x20）=1500 D. 10（x10） （x20）=1500
4、 8. 如果关于x的一元二次方程 2 2110kxkx 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 1 2 k B. 1 2 k 且0k C. 11 22 k且0k D. 11 22 k且0k 二、填空题（共二、填空题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分请把正确答案填在答题纸相应的横线上）分请把正确答案填在答题纸相应的横线上） 9. 若 2 120mxx 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_ 10. 如果关于x的一元二次方程 2 10 axbx的一个解是1x ，则2021 a b _ 11. 一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数的平方恰好
5、等于这个两位数，这个两位数是_ 12. 为了践行“绿水青山就是金山银山”我市计划经过两年的时间， 使得绿地面积增加 44%， 这两年平均每 年绿地面积的增长百分率为_ 13. 如图，Oe的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E， 且C E O B ， 已知78DOB， 则E 等于_ 14. 设m、n是方程 2 20220 xx的两个实数根，则 2 2mmn 的值为_ 15. 若 2 2222 334abab，则 22 ab的值是_ 16. 对于实数, a b，定义运算“”如下：ab 22 ()()abab若2m3m24，则m _ 17. 已知实数m，n满足 2 1mn，则代数式 22 241
6、mnm的最小值等于_ 18. 如图，Me的半径为 2，圆心M的坐标为 3,4，点P是Me上的任意一点，PA PB，且PA、PB 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 题，满分题，满分 96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要 文字说明、证明或演算步骤）文字说明、证明或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） 2 2320 xx； （2） 2 131xx 20. 先化简，再求值： 2 2 424 422 xx xxx ，其中 2 260 xx
7、 21. 如图，已知AB为Oe的弦，且ACDB，求证：OCDV 是等腰三角形 22. 已知关于 x 的一元二次方程 (m2)x22mxm-30 有两个不相等的实数根 (1)求 m的取值范围； (2)当 m取满足条件的最小整数时，求方程的根 23. 已知关于x一元二次方程( 3)(2)(1)xxp p . （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根 1 x， 2 x满足 222 1212 31xxx xp，求p的值. 24. 在等腰ABCV中，A、B 、C的对边分别是a、b、c； 已知3a ，b、c分别是方程 2 120 xxm 的两个根，试求ABCV的周长 25.
8、我们知道： 2 22 669939xxxxx； 2 22 10102525525xxxxx ， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 2 4aa的最小值 （2） 应用： 如图 已知线段6AB，M是AB上的一个动点， 设AMx， 以AM为一边作正方形AMND， 再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存 在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由 26. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”例如 x2 4 和（x2） （x3）0 有且只有一个
9、相同的实数根 x2，所以这两个方程为“同伴方程” （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ； （只填写序号即可） （x1）29；x24x40；（x4） （x2）0 （2）关于 x一元二次方程 x22x0 与 x23xm10 为“同伴方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0（a0）同时满足 abc0 和 abc0，且与（x2） （x n）0 互为“同伴方程”，求 n 的值 27. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100千克，后来 经过市场调查发现，单价每降低 1元，则平均每天的销售可增加 10千克请
10、回答： （1）若该专卖店单价降 10 元，此时每天销售量为_千克； （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原 售价的几折出售？ （3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？ 28. 如图，在矩形ABCD中，6cmAB ，12cmBC ，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移 动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动 （1）几秒钟后DPQV的面积等于 2 28cm； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在， 求出运动时间；若不存在，
11、请说明理由 （3）在点P、Q的运动过程中，几秒后DPQV是直角三角形？请直接写出答案 20212022 学年度第一学期九年级数学练习学年度第一学期九年级数学练习 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3分，满分分，满分 24 分每个小题只有一个选项是正确的，请把正分每个小题只有一个选项是正确的，请把正 确选项的字母涂在答题卡相应的位置）确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. 22 21xxx B. 2 0axbxc C. (1)(2)1xx D. 22 230 xxyy 【答案】C 【解析】 【详解】只含有一个未知数（一
12、元） ，并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式为：ax2+bx+c=0（a0）.四个选项中只有选项 C符合一元二次方程的定义，故选 C. 2. 已知Oe的半径为 1，点P与圆心O的距离为d，且关于x的方程 2 20 xxd 无实数根，则点P在 Oe（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况，判断 d 的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关 系 【详解】解：关于x的方程 2 20 xxd 没有实根， 44d0，即 d1； 又O半径为 1，dr， 点P在Oe外 故选：C 【点睛】本题
13、考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与 圆的位置关系的方法是本题解题关键 3. 一元二次方程 2 60 xxc通过配方后为 2 ()16xb，则b，c的值分别为（ ） A. 3，7 B. 3，7 C. 3，7 D. 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程 2 60 xxc 通过配方后为 2 ()16xb，利用完全平方公式展开后，根据多 项式相等，各系数对应相等，得出b，c值 【详解】解：由 2 ()16xb，得 22 2160 xbxb Q一元二次方程 2 60 xxc通过配方后为 2 ()16xb， 26b， 2 16bc， 由解得，3
14、b，7c 故选：A 【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，先将方程二次项系数化为 1，常数 项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边互为完全平方式，右边为非负常 数，然后根据平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解 4. 三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x+8=0 的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11 或 13 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解法，求出方程的根， 然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形， 最后计算周长即可. 【详解】x26x
15、+8=0，即（x2） （x4）=0， x2=0 或 x4=0， 解得：x=2或 x=4， 若 x=2，则三角形的三边 2+36，构不成三角形，舍去； 当 x=4时，这个三角形的周长为 3+4+6=13， 故选 D 考点：1.解一元二次方程-因式分解法；3.三角形三边关系 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法以及三角形三边关系 5. 给出下列命题：弦是直径；半圆是弧；长度相等的两段弧是等弧；圆上两点间的线段叫弧； 过圆心的线段是直径；直角三角形的三个顶点在同一个圆上其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆中的基本定义进行逐项分析判
16、断即可 【详解】解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，错误； 圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，正确； 在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，错误； 圆上两点间的线段叫弦，错误； 过圆心的弦是直径，错误； 直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，正确； 正确的有两个， 故选：C 【点睛】本题考查圆中的基本概念和定义，理解并熟记基本定义是解题关键 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1980 张照片，如果全班有 x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. 11980 x x B. 11980 x x
17、 C. 1 11980 2 x x D. 1 11980 2 x x 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有 x名同学，那么每名同学要送出（x1）张，共有 x名学生，那么总共送的张数应该是 x（x1）张，即可列出方程 【详解】解：全班有 x名同学， 每名同学要送出（x1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x1）1980 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张 是解题关键 7. 把一块长与宽之比为 2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为 10 厘米的小正方形，折起四边，可以做成一 个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是 1500
18、 立方厘米，设铁皮的宽为 x 厘米，则正确的方程是（ ） A. （2x20） （x20）=1500 B. 10（2x10） （x10）=1500 C. 10（2x20） （x20）=1500 D. 10（x10） （x20）=1500 【答案】C 【解析】 【分析】如果设铁皮的宽为 x厘米，那么铁皮的长为 2x 厘米，根据“这个盒子的容积是 1500立方厘米”，可 列出方程 【详解】解：设铁皮的宽为 x厘米， 那么铁皮的长为 2x 厘米， 依题意得 10（2x20） （x20）=1500 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为 10 厘米，然后利用体
19、积 公式列出方程 8. 如果关于x的一元二次方程 2 2110kxkx 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 1 2 k B. 1 2 k 且0k C. 11 22 k且0k D. 11 22 k且0k 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则 0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于 k 的不等 式，然后就可以求出 k的取值范围 【详解】解：由题意知：2k10，k0，2k14k0， 1 2 k 1 2 ，且 k0 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式 b24ac当 0，方程有两 个不相等的实数根；当 0，方程有两个
20、相等的实数根；当 0，方程没有实数根同时考查了一元一次 不等式的解法二次根式有意义的条件 二、填空题（共二、填空题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分请把正确答案填在答题纸相应的横线上）分请把正确答案填在答题纸相应的横线上） 9. 若 2 120mxx 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_ 【答案】1m 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义建立不等式求解即可 【详解】解： 2 120mxx 是关于x的一元二次方程， 10m ，解得：1m， 故答案为：1m 【点睛】本题考查一元二次方程定义，理解基本定义是解题关键 10. 如果关于x的一元二次方程 2 1
21、0 axbx的一个解是1x ，则2021 a b _ 【答案】2020 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到1ab，然后把2021 a b 变形为2021ab，再利用整 体代入的方法计算 【详解】把1x 代入方程 2 10 axbx得：10ab ， 1ab， 2021 a b 20212021 12020ab 故答案为：2020 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解 11. 一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是_ 【答案】25或 36 【解析】 【分析】设个位数字为 x，那么十位
22、数字是（x-3） ，这个两位数是10（x-3）+x，然后根据个位数字的平方 刚好等于这个两位数即可列出方程求解 【详解】解：设个位数字为 x，那么十位数字是（x-3） ，这个两位数是 10（x-3）+x， 依题意得： 2 103,xxx 2 11300,xx 12 5,6,xx x-3=2或 3 答：这个两位数是 25或 36 故答案为：25或 36 【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是 解题的关键 12. 为了践行“绿水青山就是金山银山”我市计划经过两年的时间， 使得绿地面积增加 44%， 这两年平均每 年绿地面积的增长百分率为_ 【答
23、案】20% 【解析】 【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率为 x，根据经过两年时间绿地面积增加 44%，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为 x， 依题意，得： （1x）2144%， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：这两年平均每年绿地面积的增长率是 20%， 故答案为：20% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 13. 如图，Oe的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E， 且C E O B ， 已知78DOB， 则E 等于_ 【答案】26 【解
24、析】 【分析】根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于 E的方程，解方程即可求得答案 【详解】解：如图，连接 CO， CEOBCO=OD， E1，2D， D=2E+12E， 3E+DE+2E3E， 由78DOB，得 3E78 ， 解得E26 ， 故答案为：26 【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，能利用圆的半径相等得出等腰 三角形是解题关键 14. 设m、n是方程 2 20220 xx的两个实数根，则 2 2mmn 的值为_ 【答案】2021 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，即可得出 2 2022mm+=，1mn的
25、值，然后代入计算，即可得到答 案 【详解】解：根据题意， m、n是方程 2 20220 xx的两个实数根， 2 20220mm，1mn， 2 2022mm+=， 22 2()()2022( 1)2021mmnmmmn ； 故答案为：2021 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握 12 b xx a 是解题的关键 15. 若 2 2222 334abab，则 22 ab的值是_ 【答案】4 【解析】 【分析】利用整体思想和换元思想，将 22 ab看做一个整体，令 22 abx，将原方程进行变形处理，然 后利用因式分解法求出x的值，并根据非负性讨论即可 【详解】解：令 22
26、 abx， 原方程变形得： 2 340 xx， 因式分解为：410 xx， 可得40 x 或10 x ， 解得：4x 或1x， 22 0 xab ， 4x 即： 22 ab的值是 4， 故答案为：4 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键 16. 对于实数, a b，定义运算“”如下：ab 22 ()()abab若2m3m24，则m _ 【答案】-3 或 4 【解析】 【分析】利用新定义得到 22 (2)(3)(2)(3)24mmmm，整理得到 2 (21)490m，然 后利用因式分解法解方程 【详解】根据题意得， 22 (2)(3)(2)(3)24mm
27、mm， 2 (21)490m， (2 m-1+7)(2 m-1-7)=0， 2 m-1+7=0或2 m-1-7=0， 所以 12 3,4mm 故答案为3或4 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 17. 已知实数m，n满足 2 1mn，则代数式 22 241mnm的最小值等于_ 【答案】4 【解析】 【分析】 把m-n2=1变形为n2=m-1， 利用非负数的性质可得出m的取值范围， 再将令y= 2 2141mmm 将代数式转化为只含字母 m的函数，通过函数的增减性即可得出结果 【详解】解：mn
28、2=1， 即 n2=m-10， m1， 令 y= 2 22 2141=6 -3=+3-12mmmmmm 该二次函数开口向上，对称轴为直线 m=-3 m-3 时，y随着 m的增大而增大 m1， 当 m=1时，y取得最小值： 2 1 3-124y 代数式 22 241mnm有最小值：4 故答案为：4 【点睛】 本题主要考查非负数的性质、 配方法和二次函数最值等相关知识在求解过程中， 重点是要将条件 m n2=1，转化为 n2=m-1，即利用非负数的性质得出 m的取值范围，又可将后面代数式中的 n2 用含 m的式子 进行替换，此时就可以用配方法并结合 m的取值以及函数关系式就可得求出最小值 18.
29、如图，Me的半径为 2，圆心M的坐标为 3,4，点P是Me上的任意一点，PA PB，且PA、PB 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为_ 【答案】( ) 3,0- 【解析】 【分析】 连接 OP， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得到 OP= 1 2 AB， 当 OP最短时， AB最短， 连接 OM交M 于点 P，则此时 OP最短，且 OP=OMPM，计算即可得到结论 【详解】解：如图所示，连接 OP PAPB，OA=OB， OP= 1 2 AB，当 OP最短时，AB 最短 连接 OM交M 于点 P，则此时 OP最短，且 OP=OMPM=
30、 22 342 =3， AB 的最小值为 2OP=6 点A、点B关于原点对称， OA=OB=3， 点 A的坐标为( ) 3,0-， 故答案为：( ) 3,0- 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式解题的关键是利用直角三角形 斜边上中线等于斜边的一半把 AB 的长转化为 2OP 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 题，满分题，满分 96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要 文字说明、证明或演算步骤）文字说明、证明或演算步骤） 19. 解下列方程： （1） 2 2320 xx； （2） 2 131x
31、x 【答案】 （1）x1= 1 2 ，x2=2； （2）x1=-1，x2=2 【解析】 【分析】 （1）利用十字相乘法分解等号左边，得一元一次方程，求解即可； （2）先把31x移项，用因式分解法求解比较简便 【详解】解： （1） （2x+1） （x-2）=0， 2x+1=0或 x-2=0 x1= 1 2 ，x2=2 （2） 2 1310 xx 11 30 xx 120 xx x1=-1，x2=2 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握二次三项式的十字相乘法是解决本题的关键 20. 先化简，再求值： 2 2 424 422 xx xxx ，其中 2 260 xx 【答案】 2 2 2
32、xx ； 1 3 【解析】 【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可 【详解】解：原式 2244 22222 xx x xxxxx 4242 224 xx xxx x 2 42 224 xx xxx x 2 2x x 2 2 2xx 2 260 xx， 2 26xx， 原式 21 63 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键 21. 如图，已知AB为Oe的弦，且ACDB，求证：OCDV 是等腰三角形 【答案】见解析 【解析】 【分析】从 O向 AB引垂线，交点为 E，则根据垂径定理可知 AEBE，从而求出 OE是
33、CD 的垂直平分线， 所以 OCOD 【详解】证明：从 O向 AB 引垂线，交点为 E， 则根据垂径定理可知 AEBE ACBD， CEDE OE是 CD 的垂直平分线 所以 OCOD OCD为等腰三角形 【点睛】本题主要考查了垂径定理及垂直平分线的性质的应用，关键是添加辅助线，掌握垂径定理 22. 已知关于 x 的一元二次方程 (m2)x22mxm-30 有两个不相等的实数根 (1)求 m的取值范围； (2)当 m取满足条件的最小整数时，求方程的根 【答案】 （1） 6 5 m 且2m； （2） 12 0,6xx 【解析】 【分析】 （1）由0得到关于 m的不等式，解之得到 m的范围，根据一
34、元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知 m=3，还原方程，利用因式分解法求解可得 【详解】解： （1）由题意得： 2 (2 )4(2)(3)0mmm， 20240m， 解得： 6 5 m ， 20m, 2m， m的取值范围是： 6 5 m 且2m； （2） 6 5 m 且2m， m最小整数为 3， 此时方程为： 2 60 xx 解得： 12 0,6xx ； 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别 式的值之间的关系 23. 已知关于x的一元二次方程( 3)(2)(1)xxp p . （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2
35、）若原方程的两根 1 x， 2 x满足 222 1212 31xxx xp，求p的值. 【答案】 （1）证明见解析； （2）-2. 【解析】 【详解】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=（2p+1）20， 由此即可证出：无论 p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出 p 值 详解： （1）证明：原方程可变形为 x2-5x+6-p2-p=0 =（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）20， 无论
36、p取何值此方程总有两个实数根； （2）原方程的两根为 x1、x2， x1+x2=5，x1x2=6-p2-p 又x12+x22-x1x2=3p2+1， （x1+x2）2-3x1x2=3p2+1， 52-3（6-p2-p）=3p2+1， 25-18+3p2+3p=3p2+1， 3p=-6， p=-2 点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有两个实数 根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，求出 p值 24. 在等腰ABCV中，A、B 、C的对边分别是a、b、c； 已知3a ，b、c分别是方程 2 120 xxm 的
37、两个根，试求ABCV的周长 【答案】15 【解析】 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系得12bc ， 分情况讨论： 当 a=3 为其腰时， 则 b=a 或 c=a， 得三角形三边为 3，3，9，因为3 39 ，所以不能构成三角形；当 a=3 为其底时，b=c，得6bc，则 周长为 15；即可得ABCV的周长为 15 【详解】解：b、c 是关于 x的方程 2 120 xxm的两个实数根， 12bc ，bcm， 当 a=3 为其腰时，则 b=a或 c=a， 此时三角形三边为 3，3，9， 3 39 ， 不能构成三角形； 当 a=3 为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根， 6bc， 此时
38、三角形三边为 6，6，3，周长为6 6 3 15 ， 综上，ABCV的周长为 15 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和一 元二次方程 25. 我们知道： 2 22 669939xxxxx； 2 22 10102525525xxxxx ， 这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 2 4aa的最小值 （2） 应用： 如图 已知线段6AB，M是AB上的一个动点， 设AMx， 以AM为一边作正方形AMND， 再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否
39、存 在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由 【答案】 （1）当2a时，代数式 2 4aa存在最小值为-4； （2）3x 时，长方形MBCN的面积存在最大 值，最大值为 9 【解析】 【分析】 （1）仿照题干，配方后利用非负数的性质确定出结果即可； （2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意列出 S 与 x 的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结 果 【详解】解： （1） 2 22 4444244aaaaa ， 当2a时，代数式 2 4aa存在最小值为-4； （2）设长方形MBCN的面积为S， 根据题意得： 2 2 66399Sxxxxx ， 则3x 时，S存在最大值，最大值9
40、【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 26. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”例如 x2 4 和（x2） （x3）0 有且只有一个相同的实数根 x2，所以这两个方程为“同伴方程” （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ； （只填写序号即可） （x1）29；x24x40；（x4） （x2）0 （2）关于 x 的一元二次方程 x22x0 与 x23xm10 为“同伴方程”，求 m 的值； （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0（a0）同时满足 abc0 和 abc0，且与（x2） （x n）0 互
41、为“同伴方程”，求 n 的值 【答案】 （1）； （2）1 或9； （3） 1 【解析】 【分析】 （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； （3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出n的值 【详解】解： （1） 2 (1)9x 解得： 1 4x ， 2 2x ， 2 440 xx， 解得： 12 2xx ， (4)(2)0 xx， 解得 1 4x ， 2 2x 所以，属于“同伴方程”的有 故答案是：； （2）一元二次方程 2 20 xx的解为 1 0 x ， 2 2x ， 当相同的根是0 x时，则10m ，解得1m；
42、 当相同的根是2x时，则4610m ，解得9m； 综上，m的值为 1 或9； （3）Q关于x的一元二次方程 2 0(a0)axbxc同时满足0a b c 和0a bc ， 关于x的一元二次方程 2 0(a0)axbxc的两个根是 2 1x ， 2 1x ； (2)()0 xxnQ 的两个根是 1 2x ， 2 xn， Q关于x的一元二次方程 2 0(a0)axbxc与( 2)()0 xxn 互为“同伴方程”， 1n 或1 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，熟练掌握新定义是解题的关键 27. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 1
43、00千克，后来 经过市场调查发现，单价每降低 1元，则平均每天的销售可增加 10千克请回答： （1）若该专卖店单价降 10 元，此时每天的销售量为_千克； （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原 售价的几折出售？ （3）该专卖店销售这种核桃每天能获得最大利润是多少？此时应降价多少元？ 【答案】 （1）200； （2）九折； （3）2250元；降价 5元 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由单价每降低 1 元，则平均每天的销售可增加 10 千克，即可得到答案； （2）设每千克核桃降价 x元，利用销售量 每件利润=2240元列出方程求
44、解；为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折 （3）根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可 【详解】解： （1）根据题意，则 单价每降低 1 元，则平均每天的销售可增加 10 千克， 该专卖店单价降 10元，此时每天的销售量为：10010 10200（千克） ； 故答案为：200 （2）解：设每千克核桃应降价 x 元 根据题意，得 （60-x-40） （100+x 10）=2240 化简，得 x2- -10 x+24=0， 解得：x1=4，x2=6 每千克核桃可降价 4元或 6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6
45、元 此时，售价为：60- -6=54（元） ， 54 60 100%=90% 该店应按原售价的九折出售 （3）每天总利润 y与降价 x 元的函数关系式为： y=（60- -x- -40） （100+x 10） =- -10 x2+100 x+2000 =- -10（x2- -10 x）+2000 =- -10（x- -5）2+2250， 当 x=5时，y 最大， 最大利润为：2250元； 故为了使每天的利润最大，应降价 5 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出 方程和函数关系式 28. 如图，在矩形ABCD中，6cmAB ，12cmB
46、C ，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移 动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动 （1）几秒钟后DPQV的面积等于 2 28cm； （2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上？若存在， 求出运动时间；若不存在，请说明理由 （3）在点P、Q的运动过程中，几秒后DPQV是直角三角形？请直接写出答案 【答案】 （1）2 秒或 4秒； （2）存在，时间为6 1318秒； （3）0 秒或 3 2 秒或 6 秒 【解析】 【分析】 （1）设a秒后，DPQV的面积等于 2 28cm，利用割补法表示 DPQADPPBQDQCABCD S
47、SSSS VVVV矩形 ，建立方程求解即可； （2）点D恰好落在以点Q为圆心，PQ为半径的圆上， 即为 PQ=QD， 即 PQ2=QD2，根据勾股定理将 PQ2、 QD2分别用 x 表示出来，列方程求出 x的值即可； （3）分别表示出 2 DP， 2 PQ， 2 DQ，然后结合勾股定理进行分类讨论即可 【详解】解： （1）设a秒后，DPQV的面积等于 2 28cm， 则由题意，a秒后，APa，2BQa，122CQBCBQa， DPQADPPBQDQCABCD SSSSS VVVV矩形 ， 6 1272 ABCD SAB BCg 矩形 ， 11 126 22 ADP SAP ADaa V g，
48、2 11 626 22 PBQ SPB BQaaaa V gg， 11 1226366 22 DQC SQC CDaa V g， 2 287266366aaaa ， 整理得： 2 680aa， 解得：2a或4a， 经过 2秒或 4秒后，DPQV的面积等于 2 28cm； （2）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QPQD， 22222 (6)(2 )QPPBBQxx， 22222 (122 )6QDQCCDx， 2222 (122 )6(6)(2 )xxx， 整理得： 2 361440 xx， 解得：186 13 x， 06 13 186， 运动开始后第6 1318秒时，点D恰好落在以点Q为
49、圆心，PQ为半径的圆上 （3）设t秒后，满足条件，其中06t ， 则 222 12DPt， 2 22 64PQtt， 2 2 12236DQt， 若PQD=90 ，则 222 PQDQDP， 即： 22 222 641223612tttt， 整理得： 2 215180tt， 解得： 3 2 t 或6t ； 若PDQ=90 ，则 222 DQDPPQ， 即： 22 222 12236 1264tttt， 解得：8t ，不合题意，舍去； 若DPQ=90 ，则 222 DPPQDQ， 即： 22 222 126412236tttt， 整理得： 2 180tt， 解得：0t 或18t （不符合题意，舍去） ； 综上，当0t 或 3 2 t 或6t 时满足DPQV为直角三角形 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知 数，找出等量关系，列方程求解
