1、 立体几何中的高考热点求解策略 授课提示：对应学生用书第 162 页 （一）空间几何体中的动态问题 1“动态”中研究“特定静态”问题 例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，点 P 是体对角线 AC1上的动点（点 P 与 A，C1不重合） ，则下面结论中错误的是（ ） A存在点 P，使得平面 A1DP平面 B1CD1 B存在点 P，使得 AC1平面 A1DP C S1， S2分别是A1DP 在平面 A1B1C1D1， 平面 BB1C1C 上的正投影图形的面积， 对任意点 P， S1S2 D对任意点 P，A1DP 的面积都不等于 2 6 解析 连接 A1B， BD
2、（图略） 对于 A 选项， 当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时成立 因 为 BDB1D1，BD 平面 B1CD1，B1D1平面 B1CD1，所以 BD平面 B1CD1同理 A1B平面 B1CD1，又 BDA1BB，BD平面 A1DP，A1B平面 A1DP，所以平面 A1DP平面 B1CD1 对于 B 选项，当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时成立连接 AD1，则 A1DAD1，又 C1D1平面 ADD1A1，A1D平面 ADD1A1，所以 A1DC1D1，又 C1D1AD1D1，所以 A1D 平面 AC1D1，所以 AC1A1D同理 AC1A1B，又 A1DA1B
3、A1，A1D平面 A1DP，A1B 平面 A1DP，所以 AC1平面 A1DP 对于选项 C，在点 P 从 AC1的中点向点 A 运动的过程中，S1从1 4减小且逐渐趋向于 0，S2从 0 增大且逐渐趋向于1 2，在此过程中，必有某个点 P 使得 S1S2 对于选项 D，易知A1APDAP，所以 DPA1P，即三角形 A1PD 是等腰三角形，所以当 P 到 A1D 中点的距离最小时，三角形 A1DP 的面积最小，设 E 为 A1D 的中点，连接 PE，又 P 在 AC1上，A1D 和 AC1异面，所以当 PE 是两异面直线的公垂线段时，P 到 A1D 中点的距离最短， 此时 PE 6 6 ，而
4、 A1D 2，所以A1DP 的面积的最小值为 Smin1 2 6 6 2 3 6 ，所以对 任意点 P，A1DP 的面积都不等于 2 6 答案 C 本题通过 P 在体对角线 AC1上的“动”考查了面面平行、线面垂直、投影图形的面积等问题， 实现了一题多考 2“动态”中研究“轨迹”问题 例 2 （2021 蚌埠模拟）如图所示，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别为 AA1， AB 的中点，M 点是正方形 ABB1A1内的动点，若 C1M平面 CD1EF，则 M 点的轨迹长度为 _ 解析 如图所示，取 A1B1的中点 H，B1B 的中点 G，连接 GH，C1H，C1G，E
5、G，HF，可得 四边形 EGC1D1是平行四边形，所以 C1GD1E同理可得 C1HCF 因为 C1HC1GC1，所以平面 C1GH平面 CD1EF 由 M 点是正方形 ABB1A1内的动点可知，若 C1M平面 CD1EF，则点 M 在线段 GH 上，所以 M 点的轨迹长度 GH 1212 2 答案 2 本题通过对点的轨迹的探索，考查了线面平行，实现了解析几何问题与立体几何的交汇解 决此类问题的方法一般是将空间问题平面化，同时要结合常见曲线的定义，探索轨迹类型 对点训练 （2021 北京朝阳区模拟）在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别为线段 CD 和 A1B1上
6、的动点，且满足 CEA1F，则四边形 D1FBE（如图中阴影部分所示）在该正方体有公 共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ） A有最小值3 2 B有最大值5 2 C为定值 3 D为定值 2 解析：分别在后、上、左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可 依题意，设四边形 D1FBE 的四个顶点在后面、上面、左面的投影点分别为 D，F，B，E， 则四边形 D1FBE 在上面、后面、左面的投影分别如上图 所以在后面的投影的面积为 S后111， 在上面的投影面积 S上 DE1DE1DE， 在左面的投影面积 S左 BE1CE1CE， 所以四边形 D1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该
7、正方体有公共顶点的三个面 上的正投影的面积之和 SS后S上S左1DECE1CD2 答案：D （二）空间几何体中的最值（范围问题） 1目标函数法求最值 例 3 在四面体 ABCD 中， 若 ADDBACCB1， 则四面体 ABCD 体积的最大值是 （ ） A2 3 27 B1 3 C2 3 9 D 3 3 解析 如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，DE， 设 AB2x（0 x1） ，则 CEDE 1x2， 所以当平面 ABC平面 ABD 时，四面体 ABCD 的体积最大， 此时，四面体 ABCD 的体积 V1 3 1 22x 1x 2 1x21 3x 1 3x 3 所以 V1 3x 2令 V
8、0，得 x 3 3 当 x 0， 3 3 时，V 单调递增，当 x 3 3 ，1 时，V 单调递减，则当 x 3 3 时，V 有最大值， Vmax1 3 3 3 1 3 3 3 3 2 3 27 答案 A 该题中四面体 ABCD 的体积等于锥体 B- CED 和锥体 A- CED 的体积之和，而 AB 与平面 CED 垂直，设CED，则 VVA- CEDVB- CED1 3SCEDAB 1 3 1 2CEEDABsin ，显然当 90 时，V 取得最大值，而CED 就是二面角 C- AB- D 的平面角，故当 CE 与 DE 垂直，即平 面 ABC平面 ABD 的时候，四面体的体积取得最大值
9、例 4 已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（ ） A 3 B 2 C 3 3 D 2 2 解析 根据三视图知，圆锥内部被挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为 h，底面半径为 r， 则 3h 3 r 2，所以 h 3 3 2 r 故圆柱的侧面积 S侧2rh2r 3 3 2 r 3r（2r） 3（r1）21， 当 r1 时，S侧取得最大值，为 3 答案 A 根据条件设出变量，求出几何体的体积或面积表达式，然后转化为函数最值问题求解即可 题组突破 1 如图所示， 菱形 ABCD 的边长为 2， 现将ACD 沿对角线 AC 折起使平面 ACD平面 ACB， 则此时空间四面
10、体 ABCD体积的最大值为（ ） A16 3 27 B5 3 9 C1 D 3 4 解析：取 AC 中点 O，连接 DO（图略） 设ABC，则 （0，） ，所以 DOADcos 22cos 2，SABC 1 222sin 2sin 因为 DO平面 ABC，所以 V四面体ABCD1 3SABCDO 4 3sin cos 2 8 3sin 2cos 2 2 8 3sin 2 1sin2 2 0 2 2 设 tsin 2，则 0t1，V 四面体ABCD8 3（tt 3） 设 f（t）8 3（tt 3） ，0t1，则 f（t）8 3（13t 2） ，0t1 所以当 0t 3 3 时，f（t）0，f（t
11、）单调递增；当 3 3 t1 时，f（t）0，f（t）单调递 减 所以当 t 3 3 时，f（t）取得最大值16 3 27 所以四面体 ABCD体积的最大值为16 3 27 答案：A 2 （2021 惠州调研）在三棱锥 A- BCD 中，底面 BCD 是直角三角形且 BCCD，斜边 BD 上 的高为 1， 三棱锥 A- BCD 的外接球的直径是 AB， 若该外接球的表面积为 16， 则三棱锥 A- BCD 体积的最大值为_ 解析：如图，过点 C 作 CHBD 于 H由外接球的表面积为 16，可得外接球的半径为 2，则 AB4因为 AB 为外接球的直径，所以BDA90 ，BCA90 ，即 BDA
12、D，BCCA， 又 BCCD，CACDC，所以 BC平面 ACD，所以 BCAD，又 BCBDB，所以 AD 平面BCD， 所以平面ABD平面BCD， 又平面ABD平面BCDBD， 所以CH平面ABD 设 ADx（0 x4） ，则 BD 16x2在BCD 中，BD 边上的高 CH1，所以 V三棱锥A- BCD V三棱锥C- ABD1 3 1 2x 16x 211 6 x416x2，当 x28 时，V三棱锥A- BCD有最大值，故三 棱锥 A- BCD 体积的最大值为4 3 答案：4 3 2几何法求最值 例 5 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，顶点 P 在底面的投影 O 恰为正方形 ABCD
13、 的中心，且 AB 2，设点 M，N 分别为线段 PD，PO 上的动点，已知当 ANMN 取最小值时，动点 M 恰为 PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A9 2 B16 3 C25 4 D64 9 解析 如图，在 PC 上取点 M，使得 PMPM，连接 NM，则 MNMN，ANMNANMN， 则当 A，N，M三点共线时，ANMN 最小，为 AM，当 AMPC 时，AM取得最小值，即 ANNM的最小值 因为此时 M 恰为 PD 的中点，所以 M为 PC 的中点，所以 PAAC2，因此 PO PA2AO2 3易知外接球的球心在四棱锥内部， 设外接球的半径为 r，则 r2（ 3r）2
14、1，解得 r2 3 3 ， 因此外接球的表面积 S4r216 3 答案 B 根据几何体的结构特征，先确定体积表达式中的常量与变量，然后利用几何知识，直接判断 变量取值的最值，从而确定体积的最值 题组突破 1 （2021 广州模拟）如图所示，在三棱锥 A- PBC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且 APAB AC 2若点 D，E 分别在棱 PB，PC 上运动（都不含端点） ，则 ADDEEA 的最小值为 _ 解析：由 AP，AB，AC 两两垂直，且 APABAC 2， 得 PBPCBC2，APBAPC45 如图所示，将棱 PA，AB，AC 剪开，将平面 APB 与平面 APC 翻折到平面 PB
15、C 上，连接 AA， 与 PB 交于点 D，与 PC 交于点 E，易知此时 ADDEEA的值最小，即 ADDEEA 的 值最小， 则 ADDEEA 的最小值为 AA（ 2）2（ 2）22 2 2cos 150 42 3 1 3 答案：1 3 2正四面体 ABCD 中，E 是 AD 的中点，P 是棱 AC 上一动点，BPPE 的最小值为 14，则 该四面体内切球的体积为_ 解析：如图甲所示，在正方体中作出一个正四面体 ABCD， 将正三角形 ABC 沿 AC 边翻折，使平面 ABC 与平面 ACD 在同一平面内，示意图如图乙 要使得 BPPE 最小，则 B，P，E 三点共线，此时 BE 14 设正四面体的棱长为 x， 在三角形 ABE 中， 由余弦定理可得 （ 14） 2x2 x 2 2 2 x x 2 cos 2 3 ， 解得 x2 2 所以正方体的棱长为 2，正四面体的体积 VV正方体41 3 1 2222 8 3 设正四面体内切球的半径为 r，由等体积法可得 V正四面体41 3SABCr， 整理得8 34 1 3r 1 2（2 2） 2sin 3，解得 r 3 3 所以该四面体内切球的体积 V4 3r 34 3 3 3 3 4 3 27 答案：4 3 27
