1、第一节第一节 变化率与导数变化率与导数、导数的计算导数的计算 【知识重温】【知识重温】 一、必记 5 个知识点 1平均变化率及瞬时变化率 (1)f(x)从 x1到 x2的平均变化率是：y x_. (2)f(x)在 xx0处的瞬时变化率是：lim x0 y x_. 2导数的概念 (1)f(x)在 xx0处的导数就是 f(x)在 xx0处的_， 记作|0或 f(x0)， 即 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x . (2)当把上式中的 x0看作变量 x 时，f(x)即为 f(x)的导函数，简称导数，即 yf(x) _. 3导数的几何意义 函数 f(x)在 xx0处的导数就是_，即曲线 yf
2、(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 kf(x0)，切线方程为_. 4基本初等函数的导数公式 (1)C_(C 为常数) (2)(xn)_(nQ*) (3)(sin x)_，(cos x)_. (4)(ex)_，(ax)_. (5)(ln x)_，(logax)_. 5导数运算法则 (1)f(x) g(x)_. (2)f(x) g(x)_. (3) fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 二、必明 3 个易误点 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 2求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后 者包括了
3、前者 3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差 别 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x)与 f(x0)(x0为常数)表示的意义相同( ) (2)在曲线 yf(x)上某点处的切线与曲线 yf(x)过某点的切线意义是相同的( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( ) 二、教材改编 2已知函数 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)( ) Ae B1 C1 De 3曲线 y1 2 x2在点(1，1)处的切线方程为_ 三、易错易
4、混 4如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是 ( ) 5设 f(x)ln(32x)cos 2x，则 f(0)_. 四、走进高考 62020 全国卷设函数 f(x) ex xa.若 f(1) e 4，则 a_. 考点一 导数的运算自主练透型 12021 华中师范大学第一附中模拟设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)x3 f 2 3 x2 x，则 f(1)_. 2已知 f(x)cos x ex ，则 f(x)_. 3f(x)x(2 019ln x)，若 f(x0)2 020，则 x0_. 42021 山东省实验中学诊断性考试设 f(
5、x)aexbln x，且 f(1)e，f(1)1 e，则 ab_. 悟 技法 注意 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可 以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这 样可避免使用商的求导法则，减少运算量. 考点二 导数的几何意义分层深化型 考向一：已知切点的切线方程 例 1 2020 全国卷函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 考向二：未知切点的切线方程 例 2 (1)2021 武汉调研过点 P(1,1)作曲线 yx3的切线，则切线方程为 _
6、(2)2020 全国卷曲线 yln xx1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 _ 考点三 与切线有关的参数问题互动讲练型 例 3 2019 全国卷已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则 ( ) Aae，b1 Bae，b1 Cae 1，b1 Dae1，b1 悟 技法 导数几何意义的应用及解决 (1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0) (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k. (3)求过某点 M(x1， y1)的切线方程时， 需设出切点 A(x0， f(x0)， 则切线方程为 yf(x
7、0)f(x0)(x x0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0. (4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造 方程组求解 提醒 当切线方程中 x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点. 同类练(着眼于触类旁通) 12021 福州市高三毕业班适应性练习卷曲线 f(x)xsin x 在点(，0)处的切线方程为 _ 22021 郑州市高中毕业年级第一次质量预测曲线 yxex2x21 在点(0,1)处的切线方 程为_ 变式练(着眼于举一反三) 3 2021 黄冈中学， 华师附中等八校联考设曲线 y2axln(x1)在点(0,0)处
8、的切线方程 为 y2x，则 a_. 42021 惠州市高三调研考试试题函数 f(x)(xa)ex的图象在 x1 和 x1 处的切线 相互垂直，则 a( ) A1 B0 C1 D2 52021 洛阳市尖子生联考已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln x3x，则曲线 yf(x) 在点(1，3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于( ) A1 B. 3 4 C. 1 4 D. 1 2 6若点 P 是函数 yexe x3x 1 2x 1 2 图象上任意一点，且在点 P 处切线的倾斜角 为 ，则 的最小值是( ) A.5 6 B.3 4 C. 4 D. 6 第一节第一节 变化率与导数变化率与
9、导数、导数的计算导数的计算 【知识重温】【知识重温】 fx2fx1 x2x1 lim x0 fx0 xfx0 x 瞬时变化率 lim x0 fxxfx x 曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 yy0f(x0)(xx0) 0 nxn 1 cos x sin x ex axln a 1 x 1 xln a f(x) g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：f(x)2xf(1)ln x，f(x)2f(1)1 x， f(1)2f(1)1，f(1)1. 答案：C 3解析：y 2 x22，y|x 12.
10、所求切线方程为 2xy10. 答案：2xy10 4解析：由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切 线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C；又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图 象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B， 故选 D. 答案：D 5解析：因为 f(x) 2 32x2sin 2x，所以 f(0) 2 3. 答案：2 3 6解析：由于 f(x)e xxaex xa2 ，故 f(1) ea 1a2 e 4，解得 a1. 答案：1 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：因为
11、f(x)x3 f 2 3 x2x， 所以 f(x)3x22 f 2 3 x1. 所以 f 2 3 3 2 3 22 f 2 3 2 31. 解得 f 2 3 1. 所以 f(x)3x22x1，所以 f(1)0. 答案：0 2解析：f(x) cos x ex cos xe xcos xex ex2 sin xcos x ex . 答案：sin xcos x ex 3 解析： f(x)2 019ln xx 1 x2 020ln x， 由 f(x0)2 020， 得 2 020ln x02 020， x01. 答案：1 4解析：f(x)aexb x， f1aebe f1ae 1b1 e ，解得 a1
12、， b0， ab1. 答案：1 考点二 例 1 解析：f(x)4x36x2，则 f(1)2，易知 f(1)1，由点斜式可得函数 f(x) 的图象在(1，f(1)处的切线方程为 y(1)2(x1)，即 y2x1.故选 B. 答案：B 例 2 解析：(1)设切点坐标为(x0，y0)，由 yx3，得 y3x2，所以切线的斜率 ky|x x03x20，则切线方程为 yy03x20(xx0)又点(x0，y0)在曲线 yx3上，且点 P(1,1)在切线 上， 所以 1y03x201x0， y0 x30， 解得 x01， y01 或 x01 2， y01 8， 所以切线方程为 y13(x1) 或 y1 8
13、3 4 x1 2 ，即 y3x2 或 y3 4x 1 4. (2)设切点坐标为(x0，ln x0 x01)由题意得 y1 x1，则该切线的斜率 k 1 x1 x x0 1 x012，解得 x01，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为 y22(x1)，即 y2x. 答案：(1)y3x2 或 y3 4x 1 4 (2)y2x 考点三 例 3 解析：因为 yaexln x1，所以 y|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切 线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1，所以 ae12， b1， 解得 ae 1 b1. 答案：D 同类练 1解析：因为 f(x)sin xxcos
14、 x，所以 f()sin cos ，所以曲线 f(x)在点 (，0)处的切线方程为 y(x)，即 xy20. 答案：xy20 2解析：由题意得 y(x1)ex4x，则曲线 yxex2x21 在点(0,1)处的切线的斜率 为 ky|x01，所以所求的切线方程为 yx1，即 xy10. 答案：xy10 3解析：由已知得 y2a 1 x1(x1)，所以 y|x 02a12，解得 a3 2. 答案：3 2 4解析：f(x)(xa1)ex，故 f(1)(a2)e，f(1)a e.由题意可得 f(1) f( 1)1，即(a2)e a e1，解得 a1，选 A. 答案：A 5解析：当 x0 时，f(x)1 x3，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)是奇函数，故在(1， 3)处切线的斜率 kf(1)f(1)2，所以切线方程为 y32(x1)，该切线与 x 轴， y 轴的交点分别为 1 2，0 ，(0，1)，所以该切线与两坐标轴围成图形的面积等于 1 2 1 21 1 4， 故选 C. 答案：C 6解析：由题意知 yexe x3231，当且仅当 x0 时等号成立，即 tan 1，又1 2x 1 2，所以 ye xex3 e1 e30，所以1tan 0，又 0， 所以 的最小值是3 4 . 答案：B
