1、第二节第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_. (2)商数关系：_. 2三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sin _ _ _ _ _ 余弦 cos _ _ _ _ _ 正切 tan _ _ _ 3.特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 90 120 150 180 角 的 弧度数 0 6 4 3 2 2 3 5 6 sin _ _ 2 2 _ 1 _ _ 0 cos 21_ 22_ 2 2 23_ 0 24_
2、 25_ 1 tan 26_ 27_ 1 28_ 29_ 30_ 0 二、必明 2 个易误点 1在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 2注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 ， 为锐角，则 sin2cos21.( ) (2)若 R，则 tan sin cos 恒成立( ) (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) 二、教材改编 2已知 sin(7 2 )3 5，则 cos ( ) A4 5 B 3 5 C. 3 5 D. 4 5 3化简 1sin 1s
3、in 1sin 1sin ( 为第二象限角)_. 三、易错易混 4已知 sin()2 3，且 ( 2，0)，则 tan(2)等于( ) A.2 5 5 B2 5 5 C. 5 2 D 5 2 5已知 sin cos 1 5，且 0，则 tan _. 四、走进高考 62019 全国卷tan 255 ( ) A2 3 B2 3 C2 3 D2 3 考点一 三角函数的诱导公式自主练透型 1sin(1 200 )cos 1 290 _. 2若 f(x)sin 2x 1，且 f(2 020)2，则 f(2 021)_. 3 2021 合肥检测在平面直角坐标系中， 若角 的终边经过点 P sin5 3 ，
4、cos5 3 ， 则 sin( )( ) A1 2 B 3 2 C.1 2 D. 3 2 悟 技法 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 2利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值. 考点二 同角三角函数关系式的应用 互动讲练型 考向一：公式的直接应用 例 1 (1)已知角 是第二象限角，且满足 sin 5 2 3cos()1，则 tan()等于 ( ) A. 3 B 3 C 3 3 D1 (2)2021 北京市适应性测试已知 是第四象限角，且 tan 3 4，则 sin ( )
5、A3 5 B. 3 5 C. 4 5 D 4 5 悟 技法 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切 互化 (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关 系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明 确时，要进行分类讨论. 考向二：已知 tan ，求关于 sin 与 cos 的齐次式的值 例 2 (1)若 tan 3，则sin cos sin cos 等于( ) A2 B2 C.1 2 D 1 2 (2)已知 tan 2，则
6、2sin 23cos2 4sin29cos2_. 悟 技法 已知角 的正切值，求由 sin 和 cos 构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式 或整式齐次式 (1)形如asin bcos csin dcos 的分式， 可将分子、 分母同时除以 cos ； 形如 asin2bsin cos ccos2 dsin2esin cos fcos2 的分式，可将分子、分母同时除以 cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值 (2)形如 asin2bsin cos ccos2 的式子，可将其看成分母为 1 的分式，再将 1 变形为 sin2 cos2，转化为形如asin 2bsin cos ccos
7、2 sin2cos2 的分式求解. 考向三：利用 sin cos 与 sin cos 之间的关系求值 例 3 已知 sin cos 1 5，0，则 sin cos 的值为_ 悟 技法 在同角三角函数的基本关系中，sin2cos21 可变换成(sin cos )22sin cos 1， 其中 sin cos 与 sin cos 很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系 若以 sin ， cos 为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题如本题中，易知 sin ，cos 是关于 x 的方程 x21 5x 12 250 的两个实数根，解方程可求出 sin 和 cos . 考向四：三角函
8、数式的化简 例 4 (1) 12sin 10 cos 10 sin 10 1sin210 ； (2) 1cos 1cos 1cos 1cos (180 270 ) 悟 技法 同角三角函数式化简过程中常用的方法： (1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的； (2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的； (3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造 sin2cos21，以降低次数，达 到化简的目的. 变式练(着眼于举一反三) 1已知 是第四象限角，sin 12 13，则 tan 等于( ) A 5 13 B. 5 13 C 12 5 D.12 5 2已知 tan
9、 3，则 sin 2 cos 2 的值为( ) A. 3 10 B 3 10 C. 3 5 D 3 5 32021 吉林部分名校 3 月联考若 sin cos 4 3，且 3 4， ，则 sin()cos( )( ) A 2 3 B. 2 3 C4 3 D. 4 3 4已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos 2sin cos 的值是( ) A.3 5 B 3 5 C3 D3 第二节第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 【知识重温】【知识重温】 sin2cos21 tan sin cos sin sin sin cos cos cos cos
10、cos sin sin tan tan tan 0 1 2 3 2 3 2 1 2 211 22 3 2 23 1 2 241 2 25 3 2 260 27 3 3 283 29 3 30 3 3 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) 2解析：sin(7 2 )sin2( 2)sin( 2)cos 3 5，cos 3 5，故 选 B. 答案：B 3解析： 为第二象限角， 原式 1sin 2 1sin 1sin 1sin 2 1sin 1sin 1sin 2 cos2 1sin 2 cos2 1sin cos 1sin cos 2tan . 答案：2tan 4解析：sin(
11、)2 3，sin 2 3， 又( 2，0)，cos 5 3 ，则 tan 2 5 5 ， tan(2)tan ，tan 2 5 5 . 答案：A 5解析：00， 又sin cos 1 5，则 cos 1 5sin 代入 cos 2sin21 得 sin 3 5，cos 4 5，tan 3 4. 答案：3 4 6解析：tan 255 tan(180 75 )tan 75 tan(45 30 ) tan 45 tan 30 1tan 45 tan 30 1 3 3 1 3 3 2 3.故选 D. 答案：D 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：原式sin 1 200 cos 1 290 sin
12、(3360 120 )cos(3360 210 ) sin 120 cos 210 sin(180 60 )cos(180 30 ) sin 60 cos 30 3 2 3 2 3 4. 答案：3 4 2解析：因为 f(2 020)sin 22 020 1sin(1 010)1sin 12， 所以 sin 1，cos 0. 所以 f(2 021)sin 22 021 1sin 1 010 2 1cos 11. 答案：1 3解析：因为 sin5 3 sin 3 3 2 ，cos5 3 cos 3 1 2，所以点 P 为 3 2 ，1 2 ，角 的 终边在第二象限，根据任意角的三角函数的定义可得
13、sin 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2，所以 sin( )sin 1 2，选 A. 答案：A 考点二 例 1 解析：(1)由 sin 5 2 3cos()1， 得 cos 3cos 1，cos 1 2， 角 是第二象限角，sin 3 2 ， tan()tan sin cos 3. (2)因为 tan sin cos 3 4，所以 cos 4 3 sin ，sin 2cos21 ，由得 sin2 9 25，又 是第四象限角，所以 sin 0，则 sin 3 5，故选 A. 答案：(1)B (2)A 例 2 解析：(1)因为 tan 3，所以sin cos sin cos tan 1 ta
14、n 1 31 312. (2)原式2tan 23 4tan29，又 tan 2， 原式243 449 5 7. 答案：(1)A (2)5 7 例 3 解析：sin cos 1 5，(sin cos ) 21 25， 解得 sin cos12 25， (sin cos )212sin cos 49 25， 0 且 sin cos 0，cos 0，sin cos 7 5. 答案：7 5 例 4 解析：(1)原式 cos 10 sin 10 2 sin 10 cos210 |cos 10 sin 10 | sin 10 cos 10 cos 10 sin 10 sin 10 cos 10 1. (2
15、) 原式 1cos 2 1cos 1cos 1cos 2 1cos 1cos 1cos |sin | 1cos |sin | 2 |sin |. 180 270 ，sin 0，原式 2 sin . 变式练 1解析：因为 是第四象限角，sin 12 13， 所以 cos 1sin2 5 13， 故 tan sin cos 12 5 . 答案：C 2解析：通解 依题意，sin 2 cos 2 cos sin cos sin cos2sin2 tan 1tan2 3 10，故选 B. 优解 因为 tan 3，所以 sin 3cos ，又 sin2cos21，所以 cos2 1 10.而 sin 2 cos 2 cos sin 3cos 23 10.故选 B. 答案：B 3解析：由 sin cos 4 3得 12sin cos 16 9 ，即 2sin cos 7 9， (sin cos )212sin cos 2 9，又 3 4， ， sin cos 0，sin cos 2 3 ，则 sin()cos() sin cos 2 3 ，故选 A. 答案：A 4解析：因为sin 3cos 3cos sin 5，所以 tan 3 3tan 5，解得 tan 2，所以 cos 2sin cos cos 2sin cos sin2cos2 1tan tan21 12 221 3 5. 答案：A
