1、微专题微专题(二十五二十五) 立体几何证明问题中的转化思想立体几何证明问题中的转化思想 例 如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB，CD，C1D1的中点 求证：(1)AN平面 A1MK； (2)平面 A1B1C平面 A1MK. 思维点拨 (1)要证线面平行，需证线线平行 (2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直 证明：(1)如图所示，连接 NK. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形， AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD. N，K 分别为 CD，C1D1的中点， DND1K
2、，DND1K， 四边形 DD1KN 为平行四边形 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN. 四边形 AA1KN 为平行四边形ANA1K. A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK， AN平面 A1MK. (2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1. M，K 分别为 AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K. 四边形 BC1KM 为平行四边形MKBC1. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中 A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B
3、1C. MKB1C. A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面 A1B1C. 又MK平面 A1MK， 平面 A1B1C平面 A1MK. 名师点评 1线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交 替使用平行、垂直的判定定理和性质定理 2线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论， 如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 变式练 2021 合肥高三质检如图，在多面体 ABCDPQ 中，平面 PAD平面
4、ABCD， ABCDPQ，ABAD，PAD 为正三角形，O 为 AD 的中点，且 ADAB2，CDPQ 1. (1)求证：平面 POB平面 PAC； (2)求多面体 ABCDPQ 的体积 微专题微专题(二十五二十五) 变式练 解析：(1)证明：由条件可知，RtADCRtBAO， DACABO，DACAOBABOAOB90 ，ACBO. PAPD，且 O 为 AD 的中点，POAD. 平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD， POAD， PO平面 PAD， PO 平面 ABCD. AC平面 ABCD，POAC. 又 BOPOO，AC平面 POB. AC平面 PAC，平面 POB平面 PAC. (2)取 AB 的中点为 E，连接 CE，QE. 由(1)可知，PO平面 ABCD.AB平面 ABCD，POAB. 又 ABAD，POADO，AB平面 PAD. V多面体ABCDPQV三棱柱PADQECV三棱锥QCEBSPAD AE1 3SCEB PO 3 4 2211 3 1 2 12 34 3 3 .
