1、2020-2021 学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. x2x3x5 B. （x2）3x5 C. x2+x3x5 D. x6 x2x3 2. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. （x+2） （2+x） B. （ 1 2 ab） （b 1 2 a） C. （m+n） （mn） D. （x2y） （x+y2） 3. 把多项式 a 4a 分解因式，结果正确的是【 】 A. a (a-4) B. (a+2)(a
2、-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a2 ) 4 4. 如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（ ） A CBCD B. BACDAC C. BCADCA D. 90BD 5. 如图：已知AOP=BOP=15 ，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD= （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 小明把一副含45，30角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中 90CF，45A ， 30D，则 等于（ ） A. 180 B. 210 C. 270 D. 360 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7.
3、在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为 0.00000078m，这个数据用科学记 数法表示为_m 8. 已知点 P（a，3） 、Q（2，b）关于 x 轴对称，则 a+b_ 9. 若关于 x 的二次三项式 2 1 xax 4 是完全平方式，则 a 的值是_. 10. 计算 11 1 m m （m21）的结果是_ 11. 当分式 1 1 x x 的值为0时，x的值为_ 12. 一个多边形的内角和与外角和之和为 2520 ，则这个多边形的边数为_ 13. 如图，BCEF，ACDF，若使ABCDEF，则需添加一个条件是_ 14. 如图，在 ABC中，AB=AC，A=80 ，E，F
4、，P 分别AB，AC，BC 边上一点，且 BE=BP，CP=CF， 则EPF=_度 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15. 计算： （2a+b） （ab）（8a3b4a2b2） 4ab 16 分解因式：x3y+4x2y24xy3 17. 解方程： 1 2x 3 1 2 x x 18. 先化简，再求值： 2 4512 (1)() 11 a a aaaa ，其中 a1 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19. ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 （1）作出ABC关于 y轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点
5、的坐标； （2）将ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标； （3）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴 20. 如图，已知ABC 中，ABAC，BC边上的垂直平分线 DE 交 BC于点 D，交 AC 于 E，若 AC9cm， ABE 的周长为 16cm，求 AB的长 21. （1）填空： （ab） （a+b） ， （ab） （a2+ab+b2） ， （ab） （a3+a2b+ab2+b3） （2）猜想： （ab） （an1+an2b+abn2+bn1） （其中，n为正整数，且 n2） 22. 如图，在
6、 ABC 和 ADE 中，BAC=DAE=90 ，AB=AC，AD=AE，点 C、D、E在同一直线上， 连接 BD （1）求证：BD=CE； （2）BD 与 CE有何位置关系？请证你的猜想 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23. 等边ABC 中，F为边 BC边上的点，作CBECAF，延长 AF与 BE交于点 D，截取 BEAD，连 接 CE. （1） 求证：CECD （2） 求证：DC平分ADE （3） 试判断CDE 的形状，并说明理由. 24 阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列等式： 11 1 1 22 ， 111 2 323 ， 111 3 43
7、4 将以上三个等式相加得： 11111111 1+ 1 22 33 422334 1 1 4 3 4 （1）猜想并写出 1 1n n ； （2）直接写出下列各式结果： 1111 1 22 33 42018 2019 L ； 1111 1 22 33 41n n L ； （3）探究并计算： 1111 2 44 66 82018 2020 L 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20分）分） 25. 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款型共用了 7800元，乙种款型共用了 6400元，甲 种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每
8、件的进价少 30 元 （1）甲、乙两种款型的 T恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高 60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款 型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完 这批 T恤衫商店共获利多少元？ 26. 如图， 在平面直角坐标系中， 点A的坐标为1,0， 以线段OA为边在第四象限内作等边三角形 AOB， 点C为x正半轴上一动点1OC ， 连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连 接DA并延长，交y轴于点E (1)求证：OBCABD； (2)在点C的运动过程中， CAD的度数是否会变化?如果不变，请求出CAD的度数；如果变化，请
9、说明 理由 (3)当点C运动到什么位置时，以 ,A E C为顶点的三角形是等腰三角形? 2020-2021 学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷学年吉林省松原市乾安县八年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 2 分，共分，共 12 分）分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. x2x3x5 B. （x2）3x5 C. x2+x3x5 D. x6 x2x3 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐个判断即可 【详解】解：Ax2x3x5，故本选项符合题意； B （x2）3x6，故本选项不符合题意；
10、 Cx2和 x3不能合并，故本选项不符合题意； Dx6 x2x4，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点， 能熟记知识点是解此题的关键 2. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. （x+2） （2+x） B. （ 1 2 ab） （b 1 2 a） C. （m+n） （mn） D. （x2y） （x+y2） 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式运算法则逐一判断即可 【详解】A.（x+2） （2+x）（x+2）2x2+4x+4，故该选项不符合题意， B（
11、 1 2 ab） （b 1 2 a）b2 1 4 a2，故该选项符合题意， C.（m+n） （mn）（mn）2m2+2mnn2，故该选项不符合题意； D.（x2y） （x+y2）x3+x2y2xyy3，故该选项不符合题意 故选：B 【点评】此题考查了平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题 的关键 3. 把多项式 a 4a 分解因式，结果正确的是【 】 A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a2 ) 4 【答案】A 【解析】 【详解】直接提取公因式 a 即可：a24a=a（a4） 故选 A 4. 如图，已知A
12、BAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（ ） A. CBCD B. BACDAC C. BCADCA D. 90BD 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知 AC=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可 【详解】解：在ABC 和ADC中 AB=AD，AC=AC， A、添加CBCD，根据SSS，能判定ABC ADC，故 A选项不符合题意； B、添加BACDAC，根据SAS能判定 ABCADC，故 B 选项不符合题意； C添加BCADCA时，不能判定ABC ADC，故 C 选项符合题意； D、添加 90BD ，根据HL，能判定ABCADC，故 D选项不符合题意； 故选：
13、C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即 SSS、SAS、ASA、 AAS和 HL 5. 如图：已知AOP=BOP=15 ，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD= （ ） A. 4 B. 3 C 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】作 PEOB 于 E，根据角平分线的性质可得 PE=PD，根据平行线的性质可得BCP=AOB=30 ， 由直角三角形中 30 的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 PE，即可求得 PD 【详解】作 PEOB 于 E， AOP=BOP，PDOA，PEOB， PE=PD， PCOA， BCP=AOB=2BOP=30
14、在 RtPCE中，PE= 1 2 PC= 1 2 4=2， 故选 C. 【点睛】本题考查角平分线的性质、含 30度角的直角三角形和三角形的外角性质，解题的关键是掌握角平 分线的性质、含 30 度角的直角三角形和三角形的外角性质. 6. 小明把一副含45，30角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中 90CF，45A ， 30D，则 等于（ ） A. 180 B. 210 C. 270 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到B=45 ，E=60 ，根据三角形的外角的性质计算即可 【详解】解：C=F=90 ，A=45 ，D=30 ， B=45 ，E=60 ， 2+3=
15、120 ， 1=2，4=3， +=A+1+4+B=A+B+2+3=90 +120 =210 ， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和是解题的关键 二二.填空题（每小题填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 7. 在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的直径为 0.00000078m，这个数据用科学记 数法表示为_m 【答案】 7 7.8 10 【解析】 【详解】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位
16、，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当 原数的绝对值1 时，n 是负数将 0.00000078m 用科学记数法表示为 7 7.8 10 m 8. 已知点 P（a，3） 、Q（2，b）关于 x 轴对称，则 a+b_ 【答案】-5 【解析】 【分析】根据关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果 【详解】解：点 P（a，3）与点 Q（2，b）关于 x轴对称， a2，b3， a+b235 故答案：5 【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，难度适中 9. 若关于 x 的二次三项式 2 1 xax 4 是完全平方式，则
17、 a 的值是_. 【答案】 1 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 a的值 【详解】解：这里首末两项是 x 和 1 2 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去 x 和 1 2 积的 2 倍，故 a= 1，求解得 a= 1， 故答案为： 1 10. 计算 11 1 m m （m21）的结果是_ 【答案】m2+2m1 【解析】 【分析】从左向右计算即可，把除法转化为乘法，并把 m 1 因式分解，再进行约分计算 【详解】解：原式11 1 m m （m+1） （m1）m2+2m1 故答案是m2+2m1 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意因式分解、乘除法的转化 1
18、1. 当分式 1 1 x x 的值为0时，x的值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子=0； （2）分母0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以 解答本题 【详解】解： 1 1 x x =0， 则|x|-1=0，即 x= 1， 且 x+10，即 x-1 故 x=1 故若分式 1 1 x x 的值为零，则 x的值为 1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为 0 这个条件，所以常以这个知 识点来命题 12. 一个多边形的内角和与外角和之和为 2520 ，则这个多边形的边数为_ 【答案】14 【解析】 【分析】依据多边形
19、的内角和公式列方程求解即可 【详解】解：设这个多边形的边数为 n 根据题意得： （n2） 180 +360 2520 解得：n14 故这个多边形的边数为 14 故答案为：14 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解题的关键 13. 如图，BCEF，ACDF，若使ABCDEF，则需添加一个条件是_ 【答案】ABDE或 BCEF 或 ACDF 或 ADBE（只需添加一个即可） 【解析】 分析】本题要判定ABCDEF，易证AEDF，ABCE，故添加 ABDE、BCEF或 AC DF 根据 ASA、AAS即可解题 【详解】解：BCEF， ABCE， ACDF， AEDF，
20、 在ABC和DEF中， AEDF ABDE ABCE ， ABCDEF（ASA） ， 同理，BCEF 或 ACDF 也可证ABCDEF 故答案为：ABDE 或 BCEF或 ACDF或 ADBE（只需添加一个即可） 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键 14. 如图，在 ABC 中，AB=AC，A=80 ，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上一点，且 BE=BP，CP=CF， 则EPF=_度 【答案】50 【解析】 【分析】 【详解】解：在ABC中，AB=AC，A=80 ， B=C=50 ， BE=BP， BEP=EPB=65 ， 同理，FPC=6
21、5 ， EPF=180 -65 -65 =50 故答案为 50 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 15. 计算： （2a+b） （ab）（8a3b4a2b2） 4ab 【答案】b2 【解析】 【分析】直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则化简得出答案 【详解】解：原式2a22ab+abb2（8a3b 4ab4a2b2 4ab） 2a2abb2（2a2ab） 2a2abb22a2+ab b2 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 16. 分解因式：x3y+4x2y24xy3 【答案】xy（x2y）2 【解析】 【分析】直
22、接提取公因式 xy，再利用完全平方公式分解因式即可 【详解】解：原式xy（x24xy+4y2） xy（x2y）2 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键 17. 解方程： 1 2x 3 1 2 x x 【答案】x3 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式 方程的解 【详解】解：方程两边同乘 x2，得 13（x2）（x1） ，即 13x+6x+1， 整理得：2x6， 解得：x3， 检验，当 x3时，x20， 则原方程的解为 x3 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程
23、时注意要检验 18. 先化简，再求值： 2 4512 (1)() 11 a a aaaa ，其中 a1 【答案】a（a2） ，3 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简 结果，将 a 的值代入计算即可求出值 【详解】解：原式 (1)(1)452 1(1) aaaa aa a 2 (2)(1) 12 aa a aa a（a2） ， 当 a1 时， 原式1 （3）3 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 19. ABC 在平面直角坐标系
24、中的位置如图所示 （1）作出ABC关于 y轴对称A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标； （2）将ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标； （3）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴 【答案】 （1）图见解析； （0，4） 、 （2，2） 、 （1，1） （2）图见解析； （6，4） 、 （4，2） 、 （5，1） （3）关 于直线 x=3轴对称；图见解析 【解析】 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作出 A，B，C的对应点 A2，B2，C2即可 （
25、3）根据轴对称图形的性质解决问题即可 【详解】 （1）如图所示， A1B1C1各顶点的坐标分别为（0，4） 、 （2，2） 、 （1，1） ； （2）如图所示，A2B2C2各顶点的坐标分别为（6，4） 、 （4，2） 、 （5，1） ； （3）A1B1C1和A2B2C2关于直线 x=3 轴对称，如图直线 l即为所求作 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解 决问题，属于中考常考题型 20. 如图，已知ABC 中，ABAC，BC边上的垂直平分线 DE 交 BC于点 D，交 AC 于 E，若 AC9cm， ABE 的周长为 16cm，求 A
26、B的长 【答案】7cm 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出 BE+AE 的长，再根据 ABE 的周长为 16cm，即可求出 AB 的 长 【详解】解：ED是线段 BC的垂直平分线， BECE， BE+AECE+AEAC9cm， ABE的周长为 16cm， AB16（BE+AE）1697cm 【点睛】本题比较简单，应用的知识点为：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 21. （1）填空： （ab） （a+b） ， （ab） （a2+ab+b2） ， （ab） （a3+a2b+ab2+b3） （2）猜想： （ab） （an1+an2b+abn2+bn1） （其中，n为正整数，且
27、n2） 【答案】 （1）a2b2，a3b3，a4b4； （2）anbn 【解析】 【分析】 （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果 【详解】解： （1） （ab） （a+b）a2b2； （ab） （a2+ab+b2）a3+a2b+ab2a2bab2b3a3b3； （ab） （a3+a2b+ab2+b3）a4+a3b+a2b2+ab3a3ba2b2ab3b4a4b4； 故答案为：a2b2，a3b3，a4b4； （2）由（1）的规律可得： （ab） （an1+an2b+abn2+bn1）anbn（其中 n为正整数，且 n2） 故答案为：anbn
28、【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要 找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方 22. 如图，在 ABC 和 ADE 中，BAC=DAE=90 ，AB=AC，AD=AE，点 C、D、E在同一直线上， 连接 BD （1）求证：BD=CE； （2）BD 与 CE有何位置关系？请证你的猜想 【答案】 （1）证明见解析；(2) BD 垂直于 CE,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据同角的余角相等得出BAD=CAE，结合已知条件得出 BAD 和CAE 全等，从而得出 答案；(2)根据全等得出ADB=AED，然后根据直角三角形的
29、性质以及等量代换得出BDE=90 ，从而得 出垂直 【详解】(1)BAC=DAE=90 ， BAD+CAD=CAE+CAD， 即BAD=CAE， 在BAD和CAE 中，ABAC，BADCAE，ADAE， BADCAE（SAS）， BD=CE； (2)BADCAE， ADB=AED， ADE+AED=90 ， ADE+ADB=90 ， 即BDE=90 ，则 BDCE 【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，找到旋转模型中的全等三角形是关键. 五五、解答题（每小题、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 23. 等边ABC 中，F为边 BC边上的点，作CBECAF，延长 AF与 BE交于点
30、 D，截取 BEAD，连 接 CE. （1） 求证：CECD （2） 求证：DC平分ADE （3） 试判断CDE 的形状，并说明理由. 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）证明ADCBECVV，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据ADCBECVV，可证得 ADCE ，CECD，然后根据等边对等角即可证得； （3） 根据ADCBECVV， 证得ACDBCE ， 得到60DCEACB， 然后根据有一个角是60 度的等腰三角形是等边三角形，即可证得. 【详解】（1）在ADCV和BEC中， ACBC CADCBE ADBE ， ADCBECV
31、V（SAS）， CE CD； （2）QADCBECVV， ADCE ，CE CD， QCE CD， CDEE， ADCCDE， DC平分 ADE； （3）DCEV为等边三角形， Q ADCBECVV， ACDBCE， 60DCEACB， 又QCECD， DCEV为等边三角形. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定方法，正确证得 60DCEACB，是关键. 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 观察下列等式： 11 1 1 22 ， 111 2 323 ， 111 3 434 将以上三个等式相加得： 11111111 1+ 1 22 33 422334 1 1 4 3
32、4 （1）猜想并写出 1 1n n ； （2）直接写出下列各式的结果： 1111 1 22 33 42018 2019 L ； 1111 1 22 33 41n n L ； （3）探究并计算： 1111 2 44 66 82018 2020 L 【答案】 （1） 11 1nn ； （2） 2018 2019 ； 1 n n ； （3） 1009 4040 【解析】 【分析】 （1）观察所给式子，找出规律写出答案即可； （2）根据（1）中总结的规律，裂项求解即可； （3）根据（1）中总结的规律，裂项求解即可； 【详解】 （1） 11 1 1 22 ， 111 2 323 ， 111 3 434
33、111 = (1)1n nnn ； （2）原式=1- 111 223 +- 1 4 + 11 20182019 =1- 12018 = 20192019 ； 原式=1- 111 223 +- 1 4 + 11 1nn = 1 1= 11nn n ； （3）原式= 111111111 . 224466820182020 = 111 222020 = 1009 4040 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是 关键 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20分）分） 25. 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种
34、款型共用了 7800元，乙种款型共用了 6400元，甲 种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30 元 （1）甲、乙两种款型的 T恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高 60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款 型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完 这批 T恤衫商店共获利多少元？ 【答案】 （1）甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T 恤衫购进 40 件； （2）售完这批 T 恤衫商店共获 利 5960 元 【解析】 【分析】 （1）可设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤
35、衫购进 15x 件，根据题意列出方程求 解即可； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解 【详解】（1） 设乙种款型的T恤衫购进x件， 则甲种款型的T恤衫购进1.5x件， 依题意有： 78006400 30 1.5xx ， 解得 x=40，经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，1.5x=60 答：甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T恤衫购进 40 件； （2） 6400 x =160，16030=130（元） ， 130 60% 60+160 60% （40 2）160 1（1+60%） 0.5 （40 2）=4680+192
36、0640=5960（元） 答：售完这批 T恤衫商店共获利 5960元 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据等量关系建立方程是关键，注意分式方程需要验根. 26. 如图， 在平面直角坐标系中， 点A的坐标为1,0， 以线段OA为边在第四象限内作等边三角形 AOB， 点C为x正半轴上一动点1OC ， 连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连 接DA并延长，交y轴于点E (1)求证：OBCABD； (2)在点C的运动过程中， CAD的度数是否会变化?如果不变，请求出CAD的度数；如果变化，请说明 理由 (3)当点C运动到什么位置时，以 ,A E C为顶点的三角形是等腰三角形? 【答
37、案】 1详见解析； 2CAD的度数不会变化，60CAD； 3当点C运动到3,0时 【解析】 【分析】（1） 根据等边三角形的性质可得 BO=BA， BC=BD， OBA=CBD=60 ， 进而可利用 SAS证明OBC ABD； （2）设 BC、DE交于点 F，如图 1，根据全等三角形的性质可得1=2，根据三角形的内角和定理可得 CAD=CBD，进而可得结论； （3）易求得EAC120，OEA30 ，即得以 A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和 AC是 腰，然后根据 30角的直角三角形的性质可得 AE的长，进而可得 AC、OC 的长，即可得出点 C 的位置 【详解】解： （1）证明：A
38、OB、BCD是等边三角形， BO=BA，BC=BD，OBA=CBD=60 ， OBC=ABD， OBCABD（SAS） ； （2）设 BC、DE交于点 F，如图 1， OBCABD，1=2， AFC=BFD，CAD=CBD=60 ， CAD的度数不会变化，且60CAD； （3）60CAD，EAC120 ，OAE60 ，OEA30 ， 以 A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和 AC是腰， 在 RtAOE中，OA1，OEA30 ，AE2， ACAE2，OC1+23， 当点 C 的坐标为（3，0）时，以 A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形 【点睛】本题以直角坐标系为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的 内角和定理和 30 角的直角三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键
