1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 高考大题规范解答系列(二)三角函数 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点一 三角函数的综合问题 例 1 已知向量a(2 sin 2x，2 cos 2x)，b(cos ，sin )(| 2)，若f(x)a b，且函数f(x)的图象关于直线x 6对称 (1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间； (2)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(A)2，且 b5，c2 3，求ABC外接圆的面积 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、
2、数系的扩充与复数的引入 分析 (1)看到求f(x)的解析式，想到对a b进行化简；看到求f(x)的 单调减区间，想到ysin x的单调减区间； (2)看到求ABC外接圆的面积，想到求半径r和正弦定理 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)f(x)a b 2sin 2xcos 2cos 2xsin 2sin(2x)， 2分得分点 函数f(x)的图象关于直线x 6对称， 2 6k 2，kZ，k 6，kZ， 又| 2， 6. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 f(x) 2sin 2x 6
3、 . 4分得分点 由2k 22x 62k 3 2 ，kZ， 得k 6xk 2 3 ，kZ. f(x)的单调递减区间为 k 6，k 2 3 ，kZ. 6分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)f(A) 2sin 2A 6 2，sin 2A 6 1. A(0，)，2A 6 6， 13 6 ， 2A 6 2，A 6. 8分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2512 252 3cos 67，a 7. 10分得分点 由正弦定理得 a sin A2R 7 1
4、 2 2 7，R 7， ABC外接圆的面积SR27. 12分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 评分细则 正确化简求出f(x)的解析式得2分 正确利用三角函数的对称轴求对的值，得2分 正确利用ysin x的单调减区间，求出f(x)的减区间，得2分 正确利用特殊角的三角函数值求对角A，得2分 正确利用余弦定理求对a的值，得2分 正确利用正弦定理求对半径r和圆的面积得2分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 名师点评 1核心素养： 三角函数问题是高考的必考问题，三角求值与求三角函数的最值、 周期、单调区间是高考的常
5、见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式 进行三角变换的能力，以及“数学运算”素养的达成度 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2解题技巧： (1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题f(x) 2sin 2x 6 必须求对 (2)要清晰呈现求角A的过程以及用正、余弦定理求出外接圆半径r. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练1 (2021 石家庄模拟)已知向量a(sin x，cos x)，b( 3cos x，cos x)，f(x)a b. (1)求函数f(x)a b的最小正周期； (2)在ABC中
6、，BC 7，sin B3sin C，若f(A)1，求ABC的周 长 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)f(x) 3sin xcos xcos2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2， f(x)sin 2x 6 1 2， 所以f(x)的最小正周期T2 2 . 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由题意可得sin 2A 6 1 2， 又0A，所以 62A 6 13 6 ， 所以2A 6 5 6 ，故A 3. 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2b2c22bccos A. 所以a2b2
7、c2bc7， 又sin B3sin C，所以b3c. 故79c2c23c2，解得c1. 所以b3，ABC的周长为4 7. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点二 解三角形问题 例 2 (2021 山东省青岛市高三模拟检测)ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知bcos A 3 3 ac. (1)求cos B； (2)如图，D为ABC外一点，若在平面四边形 ABCD中，D2B，且AD1，CD3，BC 6， 求AB的长 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 分析 (1)看到求cos B想到在三角形中利用边化
8、为三角函数求解 (2)看到求AB的长想到将AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求 解 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 【标准答案】规范答题 步步得分 (1)在ABC中，由正弦定理得 sin Bcos A 3 3 sin Asin C， 2分得分点 又C(AB)，所以sin Bcos A 3 3 sin Asin(AB)， 故sin Bcos A 3 3 sin Asin Acos Bcos Asin B， 4分得分点 所以sin Acos B 3 3 sin A， 又A(0，)，所以sin A0，故cos B 3 3 . 6分得分点 高考一轮总复习 数
9、学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)D2B，cos D2cos2B11 3， 7分得分点 又在ACD中，AD1，CD3， 由余弦定理可得AC2AD2CD22AD CD cos D 1923(1 3)12， AC2 3， 9分得分点 在ABC中，BC 6，AC2 3，cos B 3 3 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 由余弦定理可得AC2AB2BC22AB BCcos B， 即12AB262 AB 6 3 3 ，解得AB3 2. 故AB的长为3 2. 12分得分点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充
10、与复数的引入 评分细则 正确利用正弦定理化边为三角函数，得2分 正确利用两角和与差的正弦公式，得2分 正确化角求对cos B，得2分 正确利用倍角公式求对cos D，得1分 正确利用余弦定理求对AC，得2分 正确利用余弦定理求对AB，得2分 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 名师点评 1核心素养： 解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高 考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决 问题的能力 2解题技巧： 要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中正 弦定理 a sin A b sin B c s
11、in C 2R；(2)中利用余弦定理分别在ADC和 ABC中求出AC、AB. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练2 (2020 全国，17)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知cos2 2A cos A 5 4. (1)求A； (2)若bc 3 3 a，证明：ABC是直角三角形 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定 理 (1)解：由已知得sin2Acos A 5 4 ，即cos2Acos A 1 4 0.所以 cos A1 2 20，cos A1 2.由于0A，故A 3. 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin Bsin C 3 3 sin A. 由(1)知BC2 3 ，所以sin Bsin 2 3 B 3 3 sin 3. 即1 2sin B 3 2 cos B1 2，sin B 3 1 2. 由于0B2 3 ，故B 2.从而ABC是直角三角形 谢谢观看
