1、山东省淄博市高青县山东省淄博市高青县 2021 年年中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不得分）均不得分） 1某芯片的电子元件的直径为 0.0000034 米，数 0.0000034 用科学记数法表示为（ ） A0.3410 6 B3.410 6 C3410 5 D3.410 5 2如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） A （
2、a+b） （a2b）a22b2 B （a）2a2 C2a（3a1）6a2+a D （a2b）2a24ab+4b2 4如图，四边形 ABCD 内接于O，点 C 是的中点，A50，则CBD 的度数为（ ） A20 B25 C30 D35 5若一次函数 ykx+3（k 为常数且 k0）的图象经过点（2，0） ，则关于 x 的方程 k（x5）+30 的 解为（ ） Ax5 Bx3 Cx3 Dx5 6利用我们数学课本上的计算器计算sin52，正确的按键顺序是（ ） A B C D 7如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两 弧交于点 C，
3、画射线 OC，则 sinAOC 的值为（ ） A B C D 8九年级（1）班 25 名女同学进行排球垫球，每人只测一次，测试结果统计如表： 排球垫球 （次） 8 12 20 23 24 26 32 36 人数 1 1 2 4 7 6 3 1 这 25 名女同学排球垫 1 球次数的众数和中位数分别是（ ） A24，26 B36，23.5 C24，23.5 D24，24 9如图，ABCD，点 E 在 AC 上，若A110，D36，则AED 等于（ ） A70 B106 C110 D146 10如图，四边形 ABCD 是矩形，BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E，若 AD4，AE10，则 A
4、B 的 长为（ ） A4.2 B4.5 C5.2 D5.5 11一艘轮船在 A 处测得灯塔 S 在船的南偏东 60方向，轮船继续向正东航行 30 海里后到达 B 处，这时 测得灯塔 S 在船的南偏西 75方向，则灯塔 S 离观测点 A、B 的距离分别是（ ） A （1515）海里、15 海里 B （1515）海里、5 海里 C （1515）海里、15海里 D （1515）海里、15海里 12如图，ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 在 AB 的延长线上，且 BDAB，连接 DC 并延长， 作 AECD 于 E，若 AE4，则BCD 的面积为（ ） A8 B10 C8 D16 二、填空题（
5、共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （4 分）的立方根是 14 （4 分）分解因式：x2+3x10 15 （4 分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数 yk1x 的图象与反比例函数 y的图象一个交点的坐 标是（1，3） ，则它们另一个交点的坐标是 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，M 是 BC 的中点，N 是 AD 上一点若以点 D 为圆心， DN 为半径作圆D 与线段 AM 仅有一个公共点，则 DN 的长的取值范围是 17 （4 分）如图，一段抛物线：yx（x2） （0 x2）记为 C1，它与 x 轴交于两点
6、O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3；如此进行下去，直 至得到 C2021，若点 P 是第 2021 段抛物线 C2021的顶点，则点 P 的坐标是 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，共小题，共 70 分）分） 18解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 19如图，在四边形 ABCD 中，A90，ADBC，BCBD，CEBD，垂足为 E （1）求证：ABDECB； （2）若 AD4，CE3，求 CD 的长 20初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况
7、分 为 A、B、C、D 四类其中，A 类表示“非常了解” ，B 类表示“比较了解” ，C 类表示“基本了解” ，D 类表示“不太了解” ，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制 成了不完整的条形统计图和扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： （1）初三（1）班参加这次调查的学生有 人，扇形统计图中类别 C 所对应扇形的圆心角度数 为 ； （2）求出类别 B 的学生数，并补全条形统计图； （3）类别 A 的 4 名学生中有 2 名男生和 2 名女生，现从这 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校“垃 圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2
8、 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生 的概率 21如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 为 BC 边的中点，以 AD 为直径作O，分别与 AB，AC 交 于点 E，F，过点 E 作 EGBC 于 G （1）求证：EG 是O 的切线； （2）若 AF6，O 的半径为 5，求 BE 的长 22如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，顶点 D 在直线 yx 位于 第一象限的图象上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 D，交 BC 于点 E，AB4 （1）如果 BC6，求点 E 的坐标； （2）连接 DE，当 DEOD 时，求点 D 的坐标 23已知
9、 ABAC，DBDE，BACBDE （1）如图 1，60，探究线段 CE 与 AD 的数量关系，并加以证明； （2）如图 2，120，探究线段 CE 与 AD 的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，结合上面的活动经验探究线段 CE 与 AD 的数量关系为 （直接写出 答案） 24如图，二次函数 yax26ax16a（a0）的图象与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 左侧） ，与 y 轴正半轴交 于点 C，点 D 在抛物线上，CDx 轴，且 ODAB （1）求点 A，B 的坐标及 a 的值； （2）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一点 如图，若 OP 平分COD，OP 交 CD 于点 E，求点
10、 P 的坐标； 如图， 抛物线上一点 F 的横坐标为 2， 直线 CF 交 x 轴于点 G， 过点 P 作直线 CF 的垂线， 垂足为 Q， 若PCQBGC，求点 Q 的坐标 2021 年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不得分）均不得分） 1某芯片的电子元件的直径为 0.0000034 米，数 0.0000034 用科学记
11、数法表示为（ ） A0.3410 6 B3.410 6 C3410 5 D3.410 5 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000343.410 6 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 2如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所
12、得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正面看有 2 层，底层是三个小正方形，上层左边有两个正方形，故 D 符合题意， 故选：D 【点评】题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 3下列计算正确的是（ ） A （a+b） （a2b）a22b2 B （a）2a2 C2a（3a1）6a2+a D （a2b）2a24ab+4b2 【分析】根据多项式乘以多项式法则，完全平方公式，去括号法则分别求出每个式子的值，再逐个判断 即可 【解答】解：A （a+b） （a2b） a22ab+ab2b2 a2ab2b2，故本选项不符合题意； B （a）2a2a+，故本选项不
13、符合题意； C2a（3a1）6a2+2a，故本选项不符合题意； D （a2b）2a24ab+4b2，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，完全平方公式，去括号法则，整式的混合运算等知识点， 能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键 4如图，四边形 ABCD 内接于O，点 C 是的中点，A50，则CBD 的度数为（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】根据圆内接四边形的性质得到BCD180A18050130，根据等腰三角形的 性质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，A50， BCD180A18050130， 点 C 是的中点， ，
14、CDCB， CDBCBD（180130）25， 故选：B 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、 弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键 5若一次函数 ykx+3（k 为常数且 k0）的图象经过点（2，0） ，则关于 x 的方程 k（x5）+30 的 解为（ ） Ax5 Bx3 Cx3 Dx5 【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得 kx+30 的解是 x2，进而可得 x52，然后 可得 x 的值 【解答】解：一次函数 ykx+3（k 为常数且 k0）的图象经过点（2，0） ， kx+30 的解是 x2， x52， 则 x3， 故选
15、：C 【点评】 此题主要考查了一次函数与一元一次方程， 关键是掌握求一元一次方程 ax+b0 （a， b 为常数， a0）的解可以转化为：一次函数 yax+b 的函数值为 0 时，求相应的自变量的值从图象上看，相当 于已知直线 yax+b，确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 6利用我们数学课本上的计算器计算sin52，正确的按键顺序是（ ） A B C D 【分析】根据计算器的使用方法，可得答案 【解答】解：利用该型号计算器计sin52，按键顺序正确的是： ， 故选：B 【点评】本题主要考查了计算器三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键 顺序列出所要计算的式子借助计算器这
16、样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴 趣 7如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两 弧交于点 C，画射线 OC，则 sinAOC 的值为（ ） A B C D 【分析】根据作图的方法得出OBC 是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案 【解答】解：连接 BC， 由题意可得：OBOCBC， 则OBC 是等边三角形， 故 sinAOCsin60 故选：D 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出OBC 是等边三角形是解题 关键 8九年级（1）班 25 名女同学进行排球垫球，每人只
17、测一次，测试结果统计如表： 排球垫球 （次） 8 12 20 23 24 26 32 36 人数 1 1 2 4 7 6 3 1 这 25 名女同学排球垫 1 球次数的众数和中位数分别是（ ） A24，26 B36，23.5 C24，23.5 D24，24 【分析】 中位数要把数据按从小到大的顺序排列， 位于最中间的一个数 （或两个数） 的平均数为中位数； 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 【解答】解：由表可知，24 出现次数最多，所以众数为 24； 由于一共测了 25 人， 所以中位数为排序后的第 13 人，即 24 故选：D 【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数
18、的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清 楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数 个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均 数 9如图，ABCD，点 E 在 AC 上，若A110，D36，则AED 等于（ ） A70 B106 C110 D146 【分析】直接利用平行线的性质得出C70，进而结合三角形外角的性质得出答案 【解答】解：ABCD， A+C180， A110， C70， D36， AED70+36106 故选：B 【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出C 度数是解题关
19、键 10如图，四边形 ABCD 是矩形，BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E，若 AD4，AE10，则 AB 的 长为（ ） A4.2 B4.5 C5.2 D5.5 【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知E12，则 BEBD，所以在直角ABD 中，利 用勾股定理求得 AB 的长度即可 【解答】解：如图，四边形 ABCD 是矩形， CDAB， 1E 又BDC 的平分线交 AB 的延长线于点 E， 12， 2E BEBD AE10， BDBE10AB 在直角ABD 中，AD4，BD10AB，则由勾股定理知：AB AB4.2 故选：A 【点评】本题主要考查了矩形的性质，此题难度不大，关键是
20、推出等式 BDBE10AB 11一艘轮船在 A 处测得灯塔 S 在船的南偏东 60方向，轮船继续向正东航行 30 海里后到达 B 处，这时 测得灯塔 S 在船的南偏西 75方向，则灯塔 S 离观测点 A、B 的距离分别是（ ） A （1515）海里、15 海里 B （1515）海里、5 海里 C （1515）海里、15海里 D （1515）海里、15海里 【分析】过 S 作 SCAB 于 C，在 AB 上截取 CDAC，根据线段垂直平分线的性质得到 ASDS，由等 腰三角形的性质得到CDSCAS30，求得 SDBD，设 CSx，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 S 作 SCAB 于 C
21、，在 AB 上截取 CDAC， ASDS， CDSCAS30， ABS15， DSB15， SDBD， 设 CSx， 在 RtASC 中，CAS30， ACx，ASDSBD2x， AB30 海里， x+x+2x30， 解得：x， AS（1515） （海里） ； BS15（海里） ， 灯塔 S 离观测点 A、B 的距离分别是（1515）海里、15海里， 故选：D 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的 问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 12如图，ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 在 AB 的延长线上，且 BDAB
22、，连接 DC 并延长， 作 AECD 于 E，若 AE4，则BCD 的面积为（ ） A8 B10 C8 D16 【分析】过点 B 作 BFCD 于 F，由“AAS”可证BFCCEA，可得 CFAE4，BFCE，由平行 线分线段成比例可求 EFDF，由三角形中位线定理可求 BFCE2，由三角形面积公式可求解 【解答】解：如图，过点 B 作 BFCD 于 F， BFCAEC90， BCF+FBC90， ACB90， BCF+ACE90， ACEFBC， 又BCAC， BFCCEA（AAS） ， CFAE4，BFCE， BFCD，AECD， BFAE， ， EFDF， 又ABBD， BFAE2， C
23、EBF2， EF4+26DF， BCD 的面积CDBF（6+4）210， 故选：B 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形 中位线定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （4 分）的立方根是 2 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答 【解答】解：8264， 8， 8， （2）38， 的立方根是2 故答案为：2 【点评】本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键 14 （4 分）分解因式
24、：x2+3x10 （x2） （x+5） 【分析】原式利用十字相乘法分解即可 【解答】解：原式（x2） （x+5） ， 故答案为： （x2） （x+5） 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键 15 （4 分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数 yk1x 的图象与反比例函数 y的图象一个交点的坐 标是（1，3） ，则它们另一个交点的坐标是 （1，3） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称 【解答】解：根据题意，直线 yk1x 经过原点与双曲线 y相交于两点， 又由于双曲线 y与直线 yk1x 均关于原点对称 则两
25、点关于原点对称，一个交点的坐标为（1，3） ， 则另一个交点的坐标为（1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，M 是 BC 的中点，N 是 AD 上一点若以点 D 为圆心， DN 为半径作圆D 与线段 AM 仅有一个公共点，则 DN 的长的取值范围是 DN或 5DN6 【分析】因为D 与线段 AM 仅有一个公共点，所以分两种情况进行解答，第一种D 与线段 AM 相 切，第二种，D 与线段 AM 相交，且只有一个公共点，分别画出相应的图形，借助切线的性质，直角 三角形的边角关系进
26、行解答即可 【解答】解： （1）当D 与线段 AM 相切时，如图 1， 设切点为 Q，则 DQAM， M 是 AB 的中点，AB6， BMMC3，在 RtABM 中， AM5， ABCD 是矩形， ADBC，B90， AMBDAQ， 又BDQA90， ABMDQA， ， 即， DQDN， 即 DN时，D 与线段 AM 相切，D 与线段 AM 仅有一个公共点； （2）当D 过线段 AM 的端点 M 时，如图 2， 此时D 与线段 AM 有两个公共点的最小临界值， DNDMAM5， 当D 过线段 AM 的端点 A 时，如图 3，此时D 与线段 AM 有一个公共点的最大临界值， 此时，DNDA6，
27、因此 5DN6 时，D 与直线 AM 相交，而与线段 AM 仅有一个公共点， 综上所述，当 DN或 5DN6 时，D 与线段 AM 仅有一个公共点， 故答案为：DN或 5DN6 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，直角 三角形的边角关系是解决问题的前提，画出相应情况的图形是解决问题的关键 17 （4 分）如图，一段抛物线：yx（x2） （0 x2）记为 C1，它与 x 轴交于两点 O，A1；将 C1绕 A1旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180得到 C3，交 x 轴于 A3；如此进行下去，直 至得到 C2021
28、，若点 P 是第 2021 段抛物线 C2021的顶点，则点 P 的坐标是 （4041，1） 【分析】根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律 【解答】解：由题意可知： 第 1 段抛物线的顶点坐标为： （1，1） ， 第 2 段抛物线的顶点坐标为： （3，1） ， 第 3 段抛物线的顶点坐标为： （5，1） ， 第 4 段抛物线的顶点坐标为： （7，1） ， 故第 2021 段抛物线的顶点为： （4041，1） ， 故答案为： （4041，1） 【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是正确找出抛物线顶点的规律，本题属于中等题型 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，共小题，共
29、70 分）分） 18解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】分别解两个不等式得到 x2 和 x3，再利用数轴表示解集，然后根据大小小大中间找确定 不等式组的解集 【解答】解： 解不等式得 x2， 解不等式得 x3， 数轴表示解集为： 所以不等式组的解集是2x3 【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再 求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到 19如图，在四边形 ABCD 中，A90，ADBC，BCBD，CEBD，垂足为 E （1）求证：ABDECB；
30、（2）若 AD4，CE3，求 CD 的长 【分析】 （1）由 ADBC 得ADBEBC，由 CEBD 得ABEC90，根据 AAS 可证ABD ECB； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可 【解答】证明： （1）ADBC， ADBEBC， CEBD，A90， ABEC90， 在ABD 和ECB 中， ， ABDECB（AAS） ； （2）ABDECB， ABCE3， AD4， 在 RtABD 中，由勾股定理可得：BD5， ABDECB， ADBE4， DEBDBE1， 在 RtCDE 中，由勾股定理得：CD 【点评】本题主要考查梯形、全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，根据已知条
31、件推得能证全等 的条件是关键 20初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知晓情况分 为 A、B、C、D 四类其中，A 类表示“非常了解” ，B 类表示“比较了解” ，C 类表示“基本了解” ，D 类表示“不太了解” ，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制 成了不完整的条形统计图和扇形统计图 根据以上信息解决下列问题： （1）初三（1）班参加这次调查的学生有 40 人，扇形统计图中类别 C 所对应扇形的圆心角度数为 144 ； （2）求出类别 B 的学生数，并补全条形统计图； （3）类别 A 的 4 名学生中有 2 名
32、男生和 2 名女生，现从这 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校“垃 圾分类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生 的概率 【分析】 （1）由 A 类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用 360乘以 C 类别人数所占比例即 可得； （2）根据各类别人数之和等于总人数求出 B 类别人数即可得出答案； （3）应用列表法的方法，求出恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率是多少即可 【解答】解： （1）初三（1）班参加这次调查的学生有 410%40（人） ， 扇形统计图中类别 C 所对应扇形的圆心角度数为 360144， 故答案为：4
33、0、144； （2）B 类学生人数为 40（4+16+2）18（人） ， 补全条形图如下： （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1 名男生、1 名女生”有 8 种 可能 所以所选取的 2 名学生中恰好有 1 名男生、1 名女生的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重
34、复不遗漏的列出所有可能的结果， 适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是 不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21如图，在 RtABC 中，BAC90，点 D 为 BC 边的中点，以 AD 为直径作O，分别与 AB，AC 交 于点 E，F，过点 E 作 EGBC 于 G （1）求证：EG 是O 的切线； （2）若 AF6，O 的半径为 5，求 BE 的长 【分析】 （1）先判断出 EF 是O 的直径，进而判断出 OEBC，即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出 AE，再判断出 BEAE，即可得出结论 【解答】 （1）证明：
35、如图，连接 EF， BAC90， EF 是O 的直径， OAOE， BADAEO， 点 D 是 RtABC 的斜边 BC 的中点， ADBD， BBAD， AEOB， OEBC， EGBC， OEEG， 点 E 在O 上， EG 是O 的切线； （2）O 的半径为 5， EF2OE10， 在 RtAEF 中，AF6， 根据勾股定理得，AE8， 由（1）知 OEBC， OAOD， BEAE8 【点评】 此题主要考查了圆的有关性质， 切线的判定， 直角三角形斜边的中线是斜边的一半， 勾股定理， 判断出 EFBC 是解本题的关键 22如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x
36、轴的正半轴上，顶点 D 在直线 yx 位于 第一象限的图象上，反比例函数 y（x0）的图象经过点 D，交 BC 于点 E，AB4 （1）如果 BC6，求点 E 的坐标； （2）连接 DE，当 DEOD 时，求点 D 的坐标 【分析】 （1）求出点 D（4，6） ，将点 D 的坐标代入反比例函数表达式，进而求解； （2）证明OADECD，求出 CE和点 E（2a+4，3a） ，将点 D、E 的坐标代入反比例函数表 达式，即可求解 【解答】解： （1）BC6，则 ADBC6， 当 y6 时，yx6，解得：x4，故点 D（4，6） ， 将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：k4624， 故反比例函
37、数表达式为：y， OBOA+AB8，即点 E 的横坐标为 8，则 y3， 故点 E（8，3） ； （2）设点 D（2a，3a） （a0） ， 四边形 ABCD 为矩形，故DAOADC90， DEOD，ODAEDC， 又OADEDC90， OADECD， ，即，解得：CE， 故点 E（2a+4，3a） ， 点 D、E 都在反比例函数图象上， 2a3a（2a+4） （3a） ，解得：a， 故点 D（，） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了 方程思想，综合性较强 23已知 ABAC，DBDE，BACBDE （1）如图 1，60，探究线段 CE
38、与 AD 的数量关系，并加以证明； （2）如图 2，120，探究线段 CE 与 AD 的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，结合上面的活动经验探究线段 CE 与 AD 的数量关系为 CE2ADsin （直接写出答 案） 【分析】 （1）CEAD，理由为：连接 BC，BE，如图 1 所示，当 60，由题意得到三角形 ABC 与三 角形 DBE 都为等边三角形，可得出 ABBC，DBBE，ABCDBE60，利用等式的性质得到一 对角相等，利用 SAS 得出三角形 ABD 与三角形 CBE 全等，由全等三角形的对应边相等可得证； （2）CEAD，理由为：连接 BE，BC，过 A 作 AF 垂直于
39、 BC 于 F 点，如图 2 所示，由题意得到三 角形 ABC 与三角形 DBE 都为等腰三角形，且两三角形相似，可得出两三角形的底角相等，且得出比例 式，由底角相等利用等式的性质得到一对角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得 出三角形 ABD 与三角形 CBE 相似， 由相似得出比例式， 再由直角三角形 ABF 中三角形 ABC 的底角度数 求出BAF 的度数， 利用锐角三角形函数定义表示出 sin60， 利用特殊角的三角函数值及得出的比例式， 变形后即可得证； （3）由（1） （2）得出的结论，以此类推，即可得到线段 CE 与 AD 的数量关系 【解答】 （1）CEAD，理
40、由为： 证明：连接 BC，BE，如图 1 所示， ABAC，DBDE，BACBDE60， ABC 与BDE 都为等边三角形， ABCDBE60，ABBC，DBBE， ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE， 在ABD 与CBE 中， ， ABDCBE（SAS） ， CEAD； （2）CEAD，理由为： 连接 BC、BE，过点 A 作 AFBC，垂足为点 F，如图 2 所示， ABAC，DBDE，BACBDE120， ABC 与DBE 为相似的等腰三角形，即ABCDBE30， ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，且， ABDCBE， ， 在 RtABF 中，由ABF30，得到BAF60，
41、 2sin60， ，即 CEAD； （3）CE2ADsin理由为： 连接 BC、BE，过点 A 作 AFBC，垂足为点 F，如图 3 所示， ABAC，DBDE，BACBDE， ABC 与DBE 为相似的等腰三角形，即ABCDBE90， ABCDBCDBEDBC，即ABDCBE，且， ABDCBE， ， 在 RtABF 中，由ABF90，得到BAF， 2sin， 2sin，即 CE2ADsin 故答案为：CE2ADsin 【点评】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，灵活运用相似三
42、角形的判 定与性质是解本题的关键 24如图，二次函数 yax26ax16a（a0）的图象与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 左侧） ，与 y 轴正半轴交 于点 C，点 D 在抛物线上，CDx 轴，且 ODAB （1）求点 A，B 的坐标及 a 的值； （2）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一点 如图，若 OP 平分COD，OP 交 CD 于点 E，求点 P 的坐标； 如图， 抛物线上一点 F 的横坐标为 2， 直线 CF 交 x 轴于点 G， 过点 P 作直线 CF 的垂线， 垂足为 Q， 若PCQBGC，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法求出 A，B 的坐标，利用对称轴求出 C
43、D 的长，用勾股定理求出 OC，可得 点 C 的坐标，中粮鸿云待定系数法求出 a 的值即可 （2）如图中，过点 E 作 EGOD 于 G想办法求出直线 OP 的解析式，构建方程组确定交点坐标 分两种情形： （）若点 Q 在点 C 的上方，如图中，过点 Q 作 QMx 轴交 y 轴于 M （）若点 Q 在点 C 的下方时，如图中，过点 Q 作 AMy 轴交 DC 的延长线于 M，过点 P 作 PNMQ 交 MQ 的延 长线于 N，交轴于 K分别构建方程求解即可 【解答】解： （1）令 y0，a（x+2） （x8）0， x2 或 8， A（2，0） ，B（8，0） ， AB10，抛物线的对称轴 x
44、3， ODAB10，CD6， CDx 轴， OCD90， OC8， 点 C（0，8） ， 16a8， a （2）如图中，过点 E 作 EGOD 于 G OP 平分COD，ECOC，EGOD， ECEG，设 ECEGx， sinCDO， ， x， E（，8） ， 设直线 OP 的解析式为 ykx（k0） ，把 E（，8）代入，得到 k3， 直线 OP 的解析式为 y3x， a， 二次函数的解析式为 yx2+3x+8， 由，解得或（舍弃） ， P（4，12） 当 x2 时，y12， F（2，12） ， 设直线 CF 的解析式为 ymx+n（m0） ， 把 C（0，8） ，F（2，12）代入，得到，
45、解得， 直线 CF 的解析式为 y2x+8， 点 G（4，0） ， OG4， PCQBGC， tanPCQtanBGC， 2 （）若点 Q 在点 C 的上方，如图中，过点 Q 作 QMx 轴交 y 轴于 M PCQBGC， CPx 轴， CDx 轴， 点 P 与点 D 重合，MQCP， MQCQCP， tanMQCtanQCP2， 设 MQk，CM2k， MQx 轴， QMC90， CQk，PQ2k， PQCF， CQ2+PQ2PC2， （k）2+（2k）236， k或（舍弃） ， MQ， 把 x代入 y2x+8 得，y， Q（，） （）若点 Q 在点 C 的下方时，如图中，过点 Q 作 AM
46、y 轴交 DC 的延长线于 M，过点 P 作 PN MQ 交 MQ 的延长线于 N，交轴于 K MNMCK90， 四边形 CMNK 是矩形， KNCM， CDx 轴， MCQBGC， tanMCQtanBGCtanPCQ2， 可以假设 CMk，MQ2k， MCQ+MQC90，MQC+NQP90， MCQNQP， MN90， CMQQNP， 2， QN2k，PN4k， PK3k，OK4k8， P（3k，84K） ， 把点 P 坐标代入 yx2+3x+8，得，84k9k2+9k+8， 解得 k或 0（舍弃） ， 把 x代入 y2x+8，得到，y， Q（，） 综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（，）或（，） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，相似三角 形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴 题
