1、 广东省佛山市南山镇三校联考广东省佛山市南山镇三校联考 2021-2022 学年度九年级上第一次月考试卷学年度九年级上第一次月考试卷 一、一、选选择择题题（每小题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1.下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是( ) A. +x=3 B. x 2+2x-3=0 C. 4x+3=x D. x2+x+1=x2-2x 2.小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别 是：西游记、施耐庵、安徒生童话、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好 是相对应的书名和作者姓名的概率是( ) A. B. C. D.
2、 3.下列命题是真命题的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分且相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是平行四边形 4.如图，已知在菱形 中， ，以点 为圆心，取大于 的长为半径，分别作弧 相交于 两点，作直线 交 边于点 （作图痕迹如图所示），连结 ，若 ， 则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 菱形 的面积为 D. 5.用配方法解方程 时，配方后得到的方程为( ) A. B. C. D. 6.如图，平面直角坐标系中，长方形 OABC，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 B（6，3），现将 OAB 沿 OB
3、翻折至 OAB 位置，OA交 BC 于点 P.则点 P 的坐标为（ ） A. （ ，3） B. （ ，3） C. （ ，3） D. （ ） 7.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O ， AC=8，BD=6，DEAB 于点 E ， 则 DE 的长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 9.6 D. 10 8.如图，把矩形 沿 对折，若 则 等于（ ） A. B. C. D. 9.如图，在矩形 OABC 中，点 B 的坐标是（2，5），则 A，C 两点间的距离是（ ） A. B. 3 C. D. 5 10.如图， 已知在正方形 中， 对角线 与 相交于点 ， ， 分别是 与 的平
4、分线， 的延长线与 相交于点 ， 则下列结论： ； ； ； 其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11.一元二次方程 x2=4x 的根是_ 12.在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的乒乓球共 15 个，这些球除颜色外都相同，小刚通过多次摸球实 验后发现，其中摸到黄色球的频率稳定在 60%，则布袋中白色球的个数很可能是_ 13.如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 BO、BC 的中点，若 AB=5，BC=12， 则 EF=_； 14.设 a，b 是方程 的两个实数根，则 的
5、值为_. 15.一个等腰三角形的底边长是 6， 腰长是一元二次方程 x2-7x+12=0 的一个根， 则此三角形的周长是_ 16.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 是 BC 边上的一点，连结 AE，把 ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落 在点 B处，当 CEB为直角三角形时，CE 的长为_. 17.如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为线段 上的个动点，过 点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，则 长的最小值为_. 三三、解答题、解答题（一）（每小题（一）（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18.解下列方程： （1）2（2x-1）2=8； （2
6、）x2-3x-2 =0 19.如图，从一块长 80 厘米，宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片 面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度. 20.为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法， 学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）对调查结 果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有_人，在扇形统计图中，m 的值是_； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学
7、，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校 参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率 四四、解答题、解答题（二）（每小题（二）（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21.已知关于 的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值. 22.2020 年，受新冠肺炎疫情影响口罩紧缺，某网店以每袋 8 元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩， 二月份以一袋 14 元销售了 256 袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四 月份的销售量达到 400 袋
8、 （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2） 为回馈客户， 该网店决定五月降价促销 经调查发现， 在四月份销量的基础上， 该口罩每袋降价 1 元， 销售量就增加 40 袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利 1920 元？ 23.如图，在 中， 是 边上的中线，E 是 的中点，过点 A 作 交 的延长线 于点 F，连结 . （1）求证： . （2）当 时，求证：四边形 是矩形. 五五、解答题、解答题（三）（每小题（三）（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24.在菱形 中， ， 点 是射线 上一动点， 以 为边向右侧作等边 ， 连接 . （1）如图 1，当点 在边 上时，填
9、空： 与 的数量关系是_， 与 的位置关系是_； （2）如图 2，当点 在菱形 外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成 立，请说明理由. （3） 如图 3， 在点 的移动过程中， 连接 ， ， 若 ， ， 请直接写出四边形 的 面积值. 25.如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，四边形 是矩形，点 ， 的坐标为 、 ，点 为 的中点. （1）求点 的坐标； （2）求直线 的函数解析式； （3）点 从点 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 向点 运动，设运动时间为 ，当 为何 值时 是腰长为 5 的等腰三角形？ 答案解析部分答案解析部分 一、选一、选择择题题（每小题（
10、每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1.【答案】 B 【解析】【解答】解：A、 +x=3，此方程是分式方程，故 A 不符合题意； B、x2+2x-3=0，此方程是一元二次方程，故 B 不符合题意； C、4x+3=x 是一元一次方程，故 C 不符合题意； D、x2+x+1=x2-2 即 x+3=0，此方程是一元一次方程，故 D 不符合题意； 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数项的最高次数是 2 的整式方程是一元二次 方程，再对各选项逐一判断。 2.【答案】 D 【解析】【解答】解：根据题意画图如下， 共有 12 种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名
11、和作者姓名的有 2 种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是 ； 故答案为：D. 【分析】由题意可画出树状图，由树状图的信息可知：共有 12 种等情况，抽到的书签正好是相对应的书 名和作者姓名的有 2 种情况，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率可求解。 3.【答案】 C 【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原选项是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是是矩形，原选项是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原选项是真命题，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原选项是假命题，不符合题意； 故答案
12、为：C. 【分析】根据矩形、正方形、菱形及平行四边形的判定逐一判断即可. 4.【答案】 C 【解析】【解答】解：由作法知，MN 是线段 AB 的垂直平分线 BE=AE=2，故选项 B 正确 BE=AE，A=30 EBA=A=30 四边形 ABCD 是菱形 AB=AD ABD=ADB= (180A)=75 DBE=ABDEBA=45，故选项 A 正确 设 MN 交 AB 于点 F，如图 MNAB，A=30 EF= AE=1 由勾股定理得： AD=AB=2AF= ED=ADAE= 2 故选项 D 正确 如图，过点 D 作 DGAB 于点 G 在 Rt ADG 中，A=30，则 菱形 ， 故选项 C
13、 错误. 故答案为：C. 【分析】由作法知，MN 是线段 AB 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可求出 BE 的长，可对 B 作 出判断；利用等腰三角形的性质求出EBA 的度数，利用菱形的性质可得到 AB=AD，利用三角形的内角和 定理可求出ABD 的度数，由DBE=ABDEBA 可求出DBE 的度数，可对 A 作出判断；设 MN 交 AB 于点 F，利用直角三角形的性质求出 EF 的长，利用勾股定理求出 AF 的长，即可求出 ED 的长，可对 D 作出 判断；过点 D 作 DGAB 于点 G，可求出 DG 的长，然后利用菱形的面积公式求出此菱形的面积，可对 C 作 出判断. 5.【答案
14、】 D 【解析】【解答】解： ， 移项得： ， 方程两边同加 1，得： ， 即： ， 故答案为：D. 【分析】移项得，将常数项移到方程的右边， 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方 1，左边 利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得到答案. 6.【答案】 A 【解析】【解答】将 OAB 沿 OB 翻折至 OAB 位置，OA交 BC 于点 P， AOB=AOB， 四边形 OABC 是矩形， BCOA， OBC=AOB， OBC=AOB， OP=BP， 点 B 的坐标为（6，3）， AB=OC=3，OA=BC=6， 设 OP=BP=x，则 PC=6x， 在 Rt OCP 中，根据勾股定理
15、得，OC2+PC2=OP2 ， 32+（6x）2=x2 ， 解得：x= ， PC=6 = ， P（ ，3）， 故答案为：A. 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出 OP=BP，设 OP=BP=x，则 PC=6x，再用勾股定理建立方程 9+（6 x）2=x2 ， 求出 x 即可. 7.【答案】 A 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC=8，BD=6， ACBD，AO= AC=4，BO= BD=3， 在 Rt AOB 中，由勾股定理得： AB= ， DEAB， S菱形= BD AC=AB DE， 即 68=5 DE， 解得：DE= =4.8， 故答案为：A 【分析】 先由菱形的性质得
16、 ACBD， 再由勾股定理求得 AB 的长， 再利用菱形的面积公式即可求得 DE 的长 8.【答案】 B 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AEF+BFE=180， ， BFE=68， 1=180-2BFE=44. 故答案为：B. 【分析】根据矩形的对边平行可得 ADBC，二直线平行，同旁内角互补得出AEF+BFE=180，继而求得 BFE=68，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可. 9.【答案】 C 【解析】【解答】解：连接 OB，AC， 点 B 的坐标为（2，5）， BO= . 矩形 OABC， . 故答案为：C. 【分析】由点 B 的坐标，利用勾股定理求出 B
17、O 的长，再利用矩形的对角线相等，可得到 AC 的长. 10.【答案】 C 【解析】【解答】在正方形 中，对角线 与 相交于点 ， ACD=ADB=45，DOC=90，AB=AD， DF 为ODC 的平分线， ODF=CDF， ADB+ODF=ACD+CDF，即AFD=ADF， AD=AF， AG 为OAD 的平分线， AGDF，故正确， AG 为 DF 的垂直平分线， ED=EF， EFD=EDF， EFD=CDF， EF/CD， AB/CD， EF/AB，故正确， AD=AB，AD=AF， AB=AF，故正确， EF=ED，EF 为 Rt EOF 的斜边， EDOE， EF/CD， EF
18、不是 OCD 的中位线， CD2EF，即 AB2EF，故错误， 综上所述：正确的结论有， 故答案为：C 【分析】 由正方形的性质可得ACD=ADB=45，根据三角形外角性质及角平分线的定义可得AFD=ADF， 可证明AF=AD，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AGDF，可得AG为DF的垂直平分线，可判定正 确；根据垂直平分线的性质可得 EF=ED，可得EFD=EDF，即可证明EFD=FDC，可得 EF/CD，即可证 明 EF/AB，可判定正确；根据正方形的性质可得 AB=AD，即可证明 AB=AF，可判定正确，由 EF=ED， EF 为 Rt EOF的斜边，可得 EDOE，即可得出 EF
19、不是 OCD 的中位线，可得 CD2EF，根据 AB=CD即可判 定错误；综上即可得答案 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11.【答案】 ， 【解析】【解答】解：移项得， ， x(x-4)=0，解得 x=0 或 4， 故答案为 ， . 【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可。 12.【答案】 【解析】【解答】设黄球的个数为 x， 共有黄色、白色的乒乓球 15 个，黄球的频率稳定在 60%， ， 解得， ， 布袋中白色球的个数很可能是 15-9=6 个 故答案为：6 【分析】根据频数：总数=频率，进行解答即可； 13.【答案】 【解析】【解答】解：四边形
20、 ABCD 是矩形， BAD=90，OC= AC，AD=BC=12， AC= =13， OC= ， 点 E、F 分别是 BO、BC 的中点， EF 是 BOC 的中位线， EF= OC= ， 故答案为： . 【分析】利用勾股定理求出 AC 的长，由此可求出 OC 的值；再证明 EF 是 BOC 的中位线，利用三角形的 中位线定理可求出 EF 的长. 14.【答案】 2019 【解析】【解答】解：a 是方程 x2-x-2020=0 的实数根， a2-a-2020=0，即 a2-a=2020， a2-2a-b=a2-a-a-b=2020-(a+b)， a，b 是方程 x2-x-2020=0 的两个
21、实数根， a+b=1， a2-2a-b=2020-(a+b)=2020-1=2019. 故答案为：2019. 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2-a-2020=0，即 a2-a=2020，则原式变形为 2020-（a+b），再 根据根与系数的关系得 a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可. 15.【答案】 14 【解析】【解答】解：解方程 x2-7x+12=0 得：x=3 或 4， 当腰为 3 时，三角形的三边为 3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为 4 时，三角形的三边为 4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为 4+4+6=
22、14， 故答案为:14 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系分情况求解即可。 16.【答案】 2 或 5 【解析】【解答】解：当 CEB为直角三角形时，有两种情况： 当点 B落在矩形内部时，如图所示， 连结 AC， 在 Rt ABC 中，AB6，BC8， AC 10， B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B处， ABEB90， 当 CEB为直角三角形时，只能得到EBC90， 点 A、B、C 共线，即B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处，如图， EBEB，ABAB6， CB1064， 设 BEx，则 EBx，CE8x， 在 Rt CEB中， EB2CB2CE2
23、 ， x242（8x）2 ， 解得 x3， BE3， CE=8-3=5； 当点 B落在 AD 边上时，如图所示， 此时 ABEB为正方形， BEAB6， CE=8-6=2； 综上所述，CE 的长为 2 或 5. 故答案为：2 或 5. 【分析】 当 CEB为直角三角形时，有两种情况： 当点 B落在矩形内部时，如答图 1 所示 连结 AC，先利用勾股定理求出 AC 的值，根据折叠的性质得ABEB90，而当 CEB为直角三角形 时，只能得到EBC90，所以点 A、B、C 共线，即B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B处， 则 EBEB，ABAB，可计算出 CB的值，设 BEx，
24、则 EBx，CE8x，然后在 Rt CEB中用勾股定理可 求解； 当点 B落在 AD 边上时，如答图 2 所示此时四边形 ABEB为正方形，由正方形的性质即可求解 17.【答案】 【解析】【解答】解：在一次函数 中，令 x0，则 y4，令 y0，则 x ， A（0，4），B（ ，0）. PEy 轴于点 E，PFx 轴于点 F， PEO=PFO=90， EOF=90， 四边形 PEOF 是矩形， EFOP， 当 OPAB 时，OP 取得最小值，此时 EF 最小， A（0，4），点 B 坐标为（ ，0）， OA4，O B ， 由勾股定理得：AB ， ABOP OAOB， OP . 故答案为： 【分
25、析】分别令一次函数解析式中的 x=0、y=0，求出 y、x 的值，进而得到点 A、B 的坐标，求出 OA、OB 的值，由垂直的概念可得PEO=PFO=90，推出四边形 PEOF 是矩形，则 EFOP，由垂线段最短的性质可 得当 OPAB 时，OP 取得最小值，接下来由勾股定理可得 AB，然后根据三角形的面积公式就可求得 OP. 三三、解答题、解答题（一）（每小题（一）（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18.【答案】 （1）解：方程两边除以 2，得 ， 两边开平方，得 ， 即 或 ， ， （2）解： ， 即 ， 【解析】【分析】（1）利用直接开平方进行解方程即可； （2）利用公式法进行
26、解方程即可. 四、解答题 19.【答案】 解：设长方框的宽度为 x 厘米，则减去小长方形的长为（802x）厘米，宽为（602x）厘米， 依题意，得：（802x）（602x） 8060， 整理，得：x270 x+6000， 解得：x110，x260（不合题意，舍去）. 答：长方框的宽度为 10 厘米. 【解析】 【分析】设长方框的宽度为 x 厘米，则减去小长方形的长为（802x）厘米，宽为（602x）厘米， 根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半， 即可得出关于 x 的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论. 20.【答案】 （1）50；30% （2）5020%=10
27、（人），5010%=5（人），如图所示： （3）52=3（名）， 选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学， 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 （男 1 男 2） 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 男 3 （男 1 男 3） 男 2 男 3 女 1 男 3 女 2 男 3 女 1 （男 1，女 1） 男 2 女 1 男 3 女 1 女 2 女 1 女 2 （男 1 女 2） 男 2 女 2 男 3 女 2 女 1 女 2 所有等可能的情况有 20 种，其中抽取的 2 名同学恰好是
28、 1 名男同学和 1 名女同学的情况有 12 种， 则 P（一男一女）= = 【解析】【解答】解：（1）2040%=50（人），1550=30%； 故答案为：50；30%； 【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中 m 的值；（2）求出 绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的 情况数，即可求出所求概率 五、综合题 四四、解答题、解答题（二）（每小题（二）（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21.【答案】 （1）解：由题意可得： 解得： 即实数 m 的取值范围是 （2）解：由 可得： ； 解得：
29、或 即 的值为-2 【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则 b2-4ac0；由此可得到关于 m 的不等式，然后求 出不等式的解集. （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出 x1+x2和 x1 x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21 x2=12， 再整体代入可得到关于 m 的方程，解方程求出符合题意的 m 的值. 22.【答案】 （1）解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为 ， 依题意，得： ， 解得： ， （不合题意，舍去） 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为 25% （2）解：设口罩每袋降价 元，则五月份的销售量为 袋， 依题意，得： ， 化简，得： ，
30、 解得： ， （不合题意，舍去） 答：当口罩每袋降价 2 元时，五月份可获利 1920 元 【解析】 【分析】 （1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为 ， 根据二月份销售量（1+增长率） 2= 四月份的销售量，列出方程，解之并检验即可； （2）设口罩每袋降价 元，则五月份的销售量为 袋，根据一袋的利润月份的销售量 =五月 份的利润 1920，列出方程，解之并检验即可. 23.【答案】 （1）证明： 是 AD 中点， ， ， ， 在 与 中， ， （AAS） （2）证明： ， ， 是 BF 中点， 又 是 BC 中点， ， 即 ， 又 ， 四边形 ADCF 是平行四边形， ，AD 是 BC
31、 边上的中线， （三线合一）， ， 四边形 ADCF 是矩形. 【解析】【分析】（1）由线段中点的概念可得 AE=DE，由平行线的性质可得AFE=DBE，然后利用全等 三角形的判定定理进行证明； （2）由全等三角形的性质可得 BE=EF，由三角形中位线的性质可得 ADCF，推出四边形 ADCF 为平行四边 形，由等腰三角形的性质可得ADC=90，据此证明. 五五、解答题、解答题（三）（每小题（三）（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24.【答案】 （1） BP=CE；CEAD （2）解：结论仍然成立. 理由：、当点 P 在线段 BD 上时，如图 2， 连接 AC 交 BD 于 O，设
32、 CE 交 AD 于 H. 四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ABC， ACD 都是等边三角形，ABDCBD30， ABAC，BAC60， APE 是等边三角形， APAE，PAE60， BAPCAE， 在 BAP 和 CAE 中， ， BAPCAE（SAS）， BPCE，PBAACE30， CAH60， CAHACH90， AHC90， 即 CEAD. 、当点 P 在 BD 的延长线上时，如图 3， 连接 AC 交 BD 于 O，设 CE 交 AD 于 H. 四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ABC， ACD 都是等边三角形，ABDCBD30， ABAC，BAC60， APE 是
33、等边三角形， APAE，PAE60， BAPCAE. 在 BAP 和 CAE 中， ， BAPCAE（SAS）， BPCE，ABPACE30， CAH60， CAHACH90， AHC90， 即 CEAD （3）解：由（2）知，BDAC，AOB90 BD 是菱形 ABCD 的对角线， BD2OB， ， 在 Rt AOB 中，AB2， OA1，OB ， BD2 ， 四边形 ABCD 是菱形， ADAB2， 、当点 P 在线段 BD 上时，如图 4， DP1， BPBDDP2 1， 由（2）知，CEBP， CE2 1， S四边形ACDES ACES DCE CEAH CEDH CE（AHDH） C
34、EAD （2 1）22 1； 、当点 P 在线段 BD 的延长线上时，如图 5， DP1， BPBDDP2 1， 由（2）知，CEBP， CE2 1， S四边形ACDES ACES DCE CEAH CEDH CE（AHDH） CEAD （2 1）22 1， 即四边形 ACDE 的面积为 2 1 或 2 1. 【解析】【解答】解：（1）如图 1，连接 连接 AC，在菱形 ABCD 中，ABCB， ABC60， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60， 四边形 ABCD 是菱形， BCAD， BADABC180， BAD180ABC120， PAE 是等边三角形，且点 E 在边 AD 上，
35、 APAE，DAP60， BAPBADDAP60BAC， 点 P 在 AC 上， 在 ABP 和 ACE 中， ， ABPACE（SAS）， BPCE， 故答案为：BPCE； 连接 AC，如图 1，由知，点 P 在 AC 上， BD，AC 是菱形 ABCD 的对角线， ACBD， APB90， 由知， ABPACE， AECAPB90， CEAD， 故答案为 CEAD； 【分析】（1）连接 AC，先判断点 P 在 AC 上，可证 ABPACE（SAS），可得 BPCE； 先判断APB90，进而判断出AECAPB90，即得结论； （2）成立. 理由：分两种情况：、当点 P 在线段 BD 上时，如
36、图 2， 证明 BAPCAE（SAS）， 可得 BPCE，PBAACE30， 从而求出AHC90， 即得结论 ； 、当点 P 在 BD 的延长线 上时，如图 3 同方法证明即可； （3）先求出 BD 的长， 分两种情况、当点 P 在线段 BD 上时，如图 4；、当点 P 在线段 BD 的延长 线上时，如图 5， 分别求出 BP，进而求出 CE，最后根据 S四边形ACDES ACES DCE即可求解. 25.【答案】 （1）解：四边形 是矩形， ， ， ， 点 的坐标是 （2）解：设直线 的解析式为 ， 由题可知点 的坐标为 ， 把点 ，点 代入 ，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 （3）解：
37、当 时，即 OP 和 PD 是等腰三角形的腰时， 过点 P 作 PEOD 于点 E，则 ，如图， 可得四边形 是矩形， 在 Rt 中， 不合题意，舍去； 当 ，即 OD 和 OP 是等腰三角形的腰时，过点 P 作 PMOD，交 OD 于点 M，如图， 由题可知，四边形 OMPC 为矩形， 在 Rt 中， ， （秒）； 时， 即 OD 和 PD 是等腰三角形的腰时， 有 2 个点 满足题意， 过点 D 作 DFBC 于点 F， 则 关于点 F 对称，如图， 第一种情况： 在线段 AF 上， 由题可知四边形 ODFC 为矩形， 在 Rt 中， ； 第二种情况：点 在线段 BF 上时， 由对称可知，
38、 ， 综上所述，当 等于 2，3，8， 是腰长为 5 的等腰三角形. 【解析】 【分析】 （1） 根据矩形的性质即可得到 ， ， ， 进而即可求解； （2）设直线 的解析式为 ， 再运用待定系数法即可求解； （3）根据题意进行分类讨论：当 时，即 OP 和 PD 是等腰三角形的腰时，过点 P 作 PEOD 于点 E，则 ， 根据即可得到四边形 是矩形，进而即可得到 再运用勾股 定理即可求出 OP 的值，进而即可得到不符合题意；当 ， 即 OD 和 OP 是等腰三角 形的腰时， 过点P作PMOD， 交OD于点M， 再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出t； 时， 即 OD 和 PD 是等腰三角形的腰时，有 2 个点 满足题意，过点 D 作 DFBC 于点 F，则 关于点 F 对称，第一种情况， 在线段 AF 上，根据矩形的性质结合勾股定理即可得到 P1F 的值，进而即可求出 t；第二种情况，根据对称即可得到 进而求出 CP2即可求出 t
