1、 广东省佛山市高明区广东省佛山市高明区 2021-2022 学年度北师大版九年级上册学年度北师大版九年级上册 第四章图形的相似检测卷第四章图形的相似检测卷 一、选一、选择择题题（每小题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1.下列四组线段中，不能成比例的是（ ） A. a3，b6，c2，d4 B. a1，b3，c2，d6 C. a4，b6，c5，d10 D. a2，b5，c4，d10 2.如果 5x=6y，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3.如图， ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且 ，下列结论正确的是（ ） A. DE：BC1：2 B. ADE 与
2、ABC 的面积比为 1：3 C. ADE 与 ABC 的周长比为 1：2 D. DE BC 4.用一个 10 倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ） 三角形的每个角都扩大 10 倍；三角形的每条边都扩大 10 倍； 三角形的面积扩大 10 倍；三角形的周长扩大 10 倍. A. B. C. D. 5.如图，ABCD 中，EFAB，DEDA = 25，EF = 4，则 CD 的长为（ ） A. B.8 C.10 D.16 6.如图， 和 是位似三角形，位似中心为点 ， ，则 和 的位似比为（ ） A. B. C. D. 7.如图， 、 交于 点， ，则下列结论一定正确的是（ ） A
3、. B. C. D. 8.如图， ABC 是一张锐角三角形的纸片，AD 是边 BC 上的高，已知 BC=20cm，AD=15cm，从这张纸片上剪 一下一个矩形，使矩形的一边在 BC 上，另两个顶点分别在 AB、AC 上。则下列结论不正确的是（ ） A. 当 AHG 的面积等于矩形面积时，HE 的长为 5cm B. 当 HE 的长为 6cm 时，剪下的矩形的边 HG 是 HE 的 2 倍 C. 当矩形的边 HG 是 HE 的 2 倍时，矩形面积最大 D. 当矩形的面积最大时，HG 的长是 10cm 9.如图，在平行四边形 中，F 是 上一点，且 ，连结 并延长交 的延长线于 点 G ， 则 的值
4、为（ ） A. B. C. D. 10.如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 .以下四个结论： ； ； ； .其中正确的个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11.已知 ，则 _. 12.在某一时刻，测得一根高为 1.5 m 的竹竿的影长为 3 m，同时同地测得一栋楼的影长为 60 m，则这栋楼 的高度为_m 13.在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，在第三象限内作与 位似 的 ， 点 的对应点为点 ，
5、与 的位似比为 ， 则点 的坐标为_ 14.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC.BC2AD，若 S AOD1，则 S ABC_. 15.两个等边三角形 和 ，点 D 在 BC 上，AC 与 DE 交于点 F ， BD=4，CD=2，则 AF 的长为 _ 16.如图， 在 中， ， ， 点P是 边的中点， 点Q是 边上一动点， 若 与 相似，则 的长为_ 17.如图， 在平行四边形 中， 为 的中点， 为 上点， 交 于点 ， ， ， ，则 的长为_cm 三三、解答题、解答题（一）（每小题（一）（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18.已知 x：y2：3，求： （1） 的值； （2）
6、若 x+y15，求 x，y 的值. 19.已知：如图， ABCACD，CD 平分ACB，AD 2，BD 3，求 AC、DC 的长 20.如图，利用标杆 测量楼高，点 A，D，B 在同一直线上， ， ，垂足分别为 E， C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？ 四四、解答题、解答题（二）（每小题（二）（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21.如图所示，C90，BC8cm，cosA35，点 P 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 B、C 同时出发，过多少秒时，以 C、P、 Q
7、 为顶点的三角形恰与 ABC 相似？ 22.如图， 在 中， 点 、 分别在边 ， 上， ， 线段 分别交线段 ， 于点 ， ，且 （1）求证： ； （2）若 ，求 的值 23.如图， 已知矩形 的两条对角线相交于点 O ， 过点 作 分别交 、 于点 、 （1）求证： ； （2）连接 ，若 求证： 五五、解答题、解答题（三）（每小题（三）（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24.如图， （1）【推理】 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一动点，将正方形沿着 BE 折叠，点 C 落在点 F 处，连结 BE，CF， 延长 CF 交 AD 于点 G. 求证： . （2
8、）【运用】 如图 2，在（推理）条件下，延长 BF 交 AD 于点 H.若 ， ，求线段 DE 的长. （3）【拓展】 将正方形改成矩形， 同样沿着 BE 折叠， 连结 CF， 延长 CF， BF 交直线 AD 于 G， 两点， 若 ， ， 求 的值（用含 k 的代数式表示）. 25.已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB24cm，BC16cm，点 E 为边 CD 的中点，连接 BE ， EFBE 交 AD 于点 F 点 P 从点 B 出发，沿 BE 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 AB 方向匀 速运动，速度为 3cm/s当一个点停止运动时，另一个点也停止运
9、动设运动时间为 t（s）（0t8）解 答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上？ （2）连接 PQ ， 设五边形 AFEPQ 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ， 使 S五边形AFEPQS矩形ABCD3364？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ， 使点 Q 在AFE 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存 在，请说明理由 答案解析部分答案解析部分 一、选一、选择择题题（每小题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1.【答案】 C
10、【解析】【解答】解：A、26=34，四组线段中能成比例；不符合题意； B、16=32，四组线段中能成比例；不符合题意； C、41056，四组线段中不能成比例；符合题意； D、210=410，四组线段中能成比例；不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据比例的性质验证四条线段是否两两乘积相等即可判断求解. 2.【答案】 A 【解析】【解答】A， 可以得出： 故答案为：A. 【分析】根据两内项之积等于两外项之积可判断求解. 3.【答案】 D 【解析】【解答】解： ， AD：AB=AE：AC=1：3， A=A， ADEABC， DE：BC=1：3，故 A 错误； ADEABC， ADE 与 ABC
11、的面积比为 1：9，周长的比为 1：3，故 B 和 C 错误； ADEABC， ADE=B， DEBC.故 D 正确. 故答案为：D. 【分析】由已知条件可得 AD:AB=AE:AC=1:3，证明 ADEABC，由相似三角形的性质可判断 A、B、C； 由相似三角形对应角相等可得ADE=B，利用平行线的判定定理可判断 D. 4.【答案】 C 【解析】【解答】解：三角形的每个角不会变化，故错误； 三角形的每条边都扩大 10 倍，故正确； 三角形的面积会扩大 100 倍，故错误； 三角形的周长会扩大 10 倍，故正确. 故答案为：C. 【分析】由三角形的内角和等于 180可知，用一个 10 倍的放大
12、镜去观察一个三角形，三角形的每个角 不会变化； 三角形的每条边都扩大 10 倍； 根据 S = 底高可知，三角形的面积会扩大 100 倍； 三角形的周长会扩大 10 倍. 5.【答案】 C 【解析】【解答】EFAB DEFDAB AB=10 CD=AB=10 故答案为：C 【分析】先证明 DEFDAB，再求出 ， 最后计算求解即可。 6.【答案】 D 【解析】【解答】解： ， ， 和 的位似比为 ， 故答案为：D. 【分析】利用位似图形的性质即可求解. 7.【答案】 C 【解析】【解答】解： ， ， ，故 A 不符合题意， ， ， ， ，故 B 不符合题意， ， ， ， ， ，故 C 符合题意
13、， ， ， ， ，故 D 不符合题意 故答案为：C 【分析】先求出 AEO ABC，再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。 8.【答案】 C 【解析】【解答】解：A. AHG 的面积等于矩形面积， HG AP=HG PD， AP=PD， （15-PD）=PD， HE=PD=5（cm）， 故 A 正确； B.AHGABC， ， ， HG=12=2HE， 故 B 正确； C. AHGABC， ， ， 解得：HG=20- HE， S矩形=HG HE=（20- HE） HE=- HE 2+20HE=- （HE- ）2+75， 当 HE=- 时， S矩形最大， HG=20- HE=10（cm
14、）， 故 C 不正确，D 正确. 故答案为：C. 【分析】A.根据三角形的面积和矩形的面积公式列出等式，得出 （15-PD）=PD，求出 PD 的长，即可求出 HE 的长，从而判断 A 正确； B.先证出 AEFABC，列出比例式，得出 ， 求出 HG 的长，即可判断 B 正确； CD.根据 AHGABC， 得出 ， 得出 HG=20- HE， 进而得出矩形 EFHG 的面积为- （HE- ） 2+75， 利用二次函数的性质得出当 HE=- 时， S矩形最大，再求出 HG 的长，即可判断 C 不正确，D 正确. 9.【答案】 C 【解析】【解答】解：根据题意， 四边形 是平行四边形， ABCD
15、 ， ABFDGF ， ， ， ， ， ABCD ， ABECGE， ； 故答案为：C 【分析】由四边形 是平行四边形，可证出 ABFDGF ， 再利用平行线分线段成比例的了即可 解决问题。 10.【答案】 D 【解析】【解答】解：四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形 EAG=BAD=90 又EAB=90-BAG，GAD=90-BAG EAB=GAD 正确四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形 AD=DC，AG=FG AC= AD，AF= AG ， 即 又DAG+GAC=FAC+GAC DAG=CAF 正确四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，AF、AC 为对
16、角线 AFH=ACF=45 又FAH=CAF HAFFAC 即 又AF= AE 正确由知 又四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线 ADG=ACF=45 DG 在正方形另外一条对角线上 DGAC 正确 故答案为：D. 【分析】根据正方形的性质可得EAG=BAD=90,利用同角的余角相等可得EAB=GAD，据此判断； 根据两组对边成比例且夹角相等， 可证 ， 据此判断； 先证 HAFFAC， 可得 ， 可得 ， 由 AF= AE，即得 ， 据此判断；由 ， 可 得ADG=ACF=45，从而求出AND=90，据此判断. 二、填空题二、填空题（每小题（每小题 4 分，共分，共 28 分）分）
17、11.【答案】 【解析】【解答】解： 设 =k，则 a=2k，b=5k . 故填 . 【分析】 12.【答案】 30 【解析】【解答】解：设这栋楼的高度为 hm， 在某一时刻，测得一根高为 1.5m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 60m， ， 解得 h30 故答案为：30 【分析】先求出 ，再解方程即可。 13.【答案】 - - 【解析】【解答】解： 与 位似，点 的对应点为点 ， 与 的位似 比为 ， 点 的坐标为 ，点 在第三象限内， 点 的横纵坐标分别为： - - ， - - ； 点 的坐标为 - - ； 故答案为： - - ； 【分析】根据相似和点 C 所在的象限求解即
18、可。 14.【答案】 6 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 中，AD/BC. AODCOB. AD = 2BC. AD：BC=1：2， OD：OB=AD：BC=1：2，S BOC=4 S AOD=4 S AOD：S AOB =1：2，即 S AOB =2 S ABCS BOC+ S AOB =4+2=6. 故填 6. 【分析】 15.【答案】 【解析】【解答】 和 都是等边三角形，BD=4，CD=2， AB=AC=BC=6，B=C=ADF=60， ADB+BAD=ADB+CDF=120， BAD=CDF， ， ，即 ， 解得 ， ， 故答案为： 【分析】先求出BAD=CDF，再求出 ， 最
19、后计算求解即可。 16.【答案】 5 或 【解析】【解答】 ， ，点 P 是 边的中点 当 时 即 解得： 当 时 即 解得： 或 故答案为： 或 【分析】利用 或者 ，分别得出答案。 17.【答案】 7.5 【解析】【解答】过点 E 作 ，交 AC 于点 H，如下图： 又 又四边形 是平行四边形， 且 为 的中点， ， ， ， ， ， cm 故答案为：7.5 【分析】 过点 E 做 EH/AD， 构造相似三角形， 由相似性质得对应线段成比例 ,因为 且 为 的中点，由中位线推论得：EH 是 ABC 的中位线，因此 。已知 AF=1,DF=2，所以 ,因此 ,综合看 ,因此， ， 所以 ， A
20、C=2AH= 三三、解答题、解答题（一）（每小题（一）（每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18.【答案】 （1）解： 2 （2）解：x+y15， 2k+3k15， 解得：k3， x6，y9 【解析】【分析】（1）由已知的比例式可设 x=2k，y=3k；（1）把 x、y 的值代入代数式计算即可求解； （2）把 x、y 的值代入等式 x+y=15 可得关于 k 的方程，解方程可求得 k 的值，则 x、y 的值可求解. 19.【答案】 证明： 如图 ABCACD， 1=B， 又CD 是平分ACB， 1=2， 2=B， BD=DC BD=3， DC=3； 又AD =2，BD =3， AB=5
21、由 得 即 =25=10 【解析】【分析】利用相似三角形的性质得到 1=B， ，把已知数据代入比例式求解即可得到 AC 的长；再结合角平分线的性质、等腰三角形的判定可求出 DC 的长。 20.【答案】 解： ， ， m， ， ， ， ADEABC， ， ， ， ； 楼高 是 9 米. 【解析】 【分析】由 ， ， 可得 ， 可证 ADEABC，可得 ， 代 入相应数据，即可求出 BC. 四四、解答题、解答题（二）（每小题（二）（每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21.【答案】 解：C90，cosA35， ， BC8cm， ， ， 点 P 从点 B 出发， 沿 BC 向点 C 以 2cm
22、/s 的速度移动， 点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动， 设运动时间为 t 秒，则有： ， ， 当 时，则 ， ，即 ， 解得： ， 当 时，则 ， ，即 ， 解得： ； 综上所述：当运动时间为 s 或 s 时，以 C、P、Q 为顶点的三角形恰与 ABC 相似. 【解析】【分析】由题意可求出 sinA= ， 然后根据正弦函数的概念以及 BC 的值可得 AB 的值，进而求 得 AC 的值，然后表示出 BP、CQ、PC，分PQC=A；PQC=B，结合相似三角形对应边成比例求 解即可. 五、综合题 22.【答案】 （1）证明： ， ， ， 又 ， ； （2）解： ，
23、 ， ， ， 【解析】【分析】（1）先求出ADF=C，再证明三角形相似求解即可； （2）根据相似三角形的性质计算求解即可。 23.【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形 ABE=90 ABG+EBG=90 ABG+BAG=90 EBG=BAG Rt BEGRt AEB （2）证明：由（1）有： BE=CE CEG=AEC CEGAEC CGE=ACE 四边形 ABCD 是矩形 AC=BD OB=OC DBC=ACE 【解析】【分析】（1）先求出 EBG=BAG ，再求出 Rt BEGRt AEB ，最后证明求解即可； （2）先求出 CGE=ACE ，再求出 DBC=ACE ，最后证明求
24、解即可。 五五、解答题、解答题（三）（每小题（三）（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24.【答案】 （1）证明：如图 1， 由 折叠得到， ， . 又 四边形 ABCD 是正方形， ， ， ， 又 正方形 ， （2）解：如图，连接 ， 由（1）得 ， ， 由折叠得 ， ， . 四边形 是正方形， ， ， 又 ， ， . ， ， ， . ， ， （ 舍去） （3）解：如图，连结 HE， 由已知 可设 ， ，可令 ， 当点 H 在 D 点左边时，如图， 同（2）可得， ， ， 由折叠得 ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， . ， ， ， （ 舍去）. 当点 在 点右边时
25、，如图， 同理得 ， ， 同理可得 ， 可得 ， ， ， ， （ 舍去）. 【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得 BECF，利用正方形的性质可得到 BC=CD，D=BCE，利 用余角的性质可得到BEC=CGD；然后利用 AAS 可证得结论. （2） 利用全等三角形的性质可求出 DG 的长， 利用折叠的性质可得到 BC=BF， CE=EF=9； 再证明HFG=HGF， 利用等角对等边可证得 HF=HG，结合已知条件可求出 HD，HF 的长；再利用勾股定理建立关于 DE 的方程， 解方程求出 DE 的长. （3） 连结 HE， 设 DH=4m， HG=5m， ， 当点 H 在 D 点左边时，
26、 同理可证得 HF=HG， 可得到 DG=9， 利用折叠的性质及余角的性质可推出BEC=CGD，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得 CDGBCE，利用相似三角形的性质，可表示出 CE 的长，即可得到 DE 的长；然后利用勾股定理，可求 出 x 的值，即可得到 DE 与 EC 的比值；当点 在 点右边时，如图，同理可证得 CDGBCE，利 用相似三角形的性质，可表示出 CE 的长，即可得到 DE 的长；然后利用勾股定理，可求出 x 的值，即可得 到 DE 与 EC 的比值. 25.【答案】 （1）解：AB24cm，BC16cm，点 E 为边 CD 的中点， CE12cm， 在 Rt EC
27、B 中，根据勾股定理，得 BE 20（cm）， 过 P 作 PGQB 于 G， 若点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上， 则 PQPB，GB BQ （243t）， CPGB90， CDAB， PBGBEC， PBGBEC， ，即 ， t ， 当 t 时，点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上； （2）解：四边形 ABCD 是矩形，AB24cm，BC16cm，点 E 为边 CD 的中点， DECE12，CD90，DEFDFE90， EFBE， DEFCEB90， DFECEB， DFECEB， ，即 ， DF9， 由（1）知， PBGBEC， ，即 ， PG ， 五边形 AFEPQ 的面积 yS矩
28、形ABCDS BECS DEFS PBQ 2416 1216 129 （243t） ， y 与 t 的函数关系式为：y ； （3）解：S五边形AFEPQS矩形ABCD3364， 2416，即 t 28t150， 解得：t13，t25， 存在，t 的值为 3 或 5 （4）解：过 Q 作 QMEF 于 M，若点 Q 在AFE 的平分线上，则 QMQA，分别延长 EF、BA 相交于点 O， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， OAFEDF， ， OA ， OBABOA24 ， QMEF，EFBE， QMBE， ，即 ， QM ， ， 解得：t 答：存在，t 的值是 【解析】【分析】（1） 在R
29、t ECB中， 根据勾股定理， 得BE=20， 过P作PGQB于G， 证明 PBGBEC， 根据相似三角形的性质求解即可； （2） 证明 DFECEB，可得 ， 据此求出 DF，由（1）知 PBGBEC，可得 ， 据此求出 PG，利用五边形 AFEPQ 的面积 yS矩形ABCDS BECS DEFS PBQ，即可求出关系式； （3）由 S五边形AFEPQS矩形ABCD3364，建立方程，求出 t 值即可； （4）过 Q 作 QMEF 于 M ，根据角平分线的性质得出 QM=QA， 分别延长 EF、BA 相交于点 O， 证明 OAFEDF， 利用相似三角形的性质求出 OA，从而求出 OB，由 QMBE，可得 ， 从而求 出 QM ， 从而得出 ， 解出 t 值即可.
