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广东省佛山市高明区2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》检测卷(含答案解析)

1、 广东省佛山市高明区广东省佛山市高明区 2021-2022 学年度北师大版九年级上册学年度北师大版九年级上册 第四章图形的相似检测卷第四章图形的相似检测卷 一、选一、选择择题题(每小题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1.下列四组线段中,不能成比例的是( ) A. a3,b6,c2,d4 B. a1,b3,c2,d6 C. a4,b6,c5,d10 D. a2,b5,c4,d10 2.如果 5x=6y,那么下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 3.如图, ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且 ,下列结论正确的是( ) A. DE:BC1:2 B. ADE 与

2、ABC 的面积比为 1:3 C. ADE 与 ABC 的周长比为 1:2 D. DE BC 4.用一个 10 倍的放大镜去观察一个三角形,下列说法中正确的是( ) 三角形的每个角都扩大 10 倍;三角形的每条边都扩大 10 倍; 三角形的面积扩大 10 倍;三角形的周长扩大 10 倍. A. B. C. D. 5.如图,ABCD 中,EFAB,DEDA = 25,EF = 4,则 CD 的长为( ) A. B.8 C.10 D.16 6.如图, 和 是位似三角形,位似中心为点 , ,则 和 的位似比为( ) A. B. C. D. 7.如图, 、 交于 点, ,则下列结论一定正确的是( ) A

3、. B. C. D. 8.如图, ABC 是一张锐角三角形的纸片,AD 是边 BC 上的高,已知 BC=20cm,AD=15cm,从这张纸片上剪 一下一个矩形,使矩形的一边在 BC 上,另两个顶点分别在 AB、AC 上。则下列结论不正确的是( ) A. 当 AHG 的面积等于矩形面积时,HE 的长为 5cm B. 当 HE 的长为 6cm 时,剪下的矩形的边 HG 是 HE 的 2 倍 C. 当矩形的边 HG 是 HE 的 2 倍时,矩形面积最大 D. 当矩形的面积最大时,HG 的长是 10cm 9.如图,在平行四边形 中,F 是 上一点,且 ,连结 并延长交 的延长线于 点 G , 则 的值

4、为( ) A. B. C. D. 10.如图,正方形 中,点 是 边上一点,连接 ,以 为对角线作正方形 ,边 与正方形 的对角线 相交于点 ,连接 .以下四个结论: ; ; ; .其中正确的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题二、填空题(每小题(每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11.已知 ,则 _. 12.在某一时刻,测得一根高为 1.5 m 的竹竿的影长为 3 m,同时同地测得一栋楼的影长为 60 m,则这栋楼 的高度为_m 13.在平面直角坐标系中,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,在第三象限内作与 位似 的 , 点 的对应点为点 ,

5、与 的位似比为 , 则点 的坐标为_ 14.如图,在四边形 ABCD 中,ADBC.BC2AD,若 S AOD1,则 S ABC_. 15.两个等边三角形 和 ,点 D 在 BC 上,AC 与 DE 交于点 F , BD=4,CD=2,则 AF 的长为 _ 16.如图, 在 中, , , 点P是 边的中点, 点Q是 边上一动点, 若 与 相似,则 的长为_ 17.如图, 在平行四边形 中, 为 的中点, 为 上点, 交 于点 , , , ,则 的长为_cm 三三、解答题、解答题(一)(每小题(一)(每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18.已知 x:y2:3,求: (1) 的值; (2)

6、若 x+y15,求 x,y 的值. 19.已知:如图, ABCACD,CD 平分ACB,AD 2,BD 3,求 AC、DC 的长 20.如图,利用标杆 测量楼高,点 A,D,B 在同一直线上, , ,垂足分别为 E, C.若测得 , , ,楼高 是多少? 四四、解答题、解答题(二)(每小题(二)(每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21.如图所示,C90,BC8cm,cosA35,点 P 从点 B 出发,沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动,点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动,如果 P、Q 分别从 B、C 同时出发,过多少秒时,以 C、P、 Q

7、 为顶点的三角形恰与 ABC 相似? 22.如图, 在 中, 点 、 分别在边 , 上, , 线段 分别交线段 , 于点 , ,且 (1)求证: ; (2)若 ,求 的值 23.如图, 已知矩形 的两条对角线相交于点 O , 过点 作 分别交 、 于点 、 (1)求证: ; (2)连接 ,若 求证: 五五、解答题、解答题(三)(每小题(三)(每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24.如图, (1)【推理】 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 是 CD 上一动点,将正方形沿着 BE 折叠,点 C 落在点 F 处,连结 BE,CF, 延长 CF 交 AD 于点 G. 求证: . (2

8、)【运用】 如图 2,在(推理)条件下,延长 BF 交 AD 于点 H.若 , ,求线段 DE 的长. (3)【拓展】 将正方形改成矩形, 同样沿着 BE 折叠, 连结 CF, 延长 CF, BF 交直线 AD 于 G, 两点, 若 , , 求 的值(用含 k 的代数式表示). 25.已知:如图,在矩形 ABCD 中,AB24cm,BC16cm,点 E 为边 CD 的中点,连接 BE , EFBE 交 AD 于点 F 点 P 从点 B 出发,沿 BE 方向匀速运动,速度为 2cm/s;同时,点 Q 从点 A 出发,沿 AB 方向匀 速运动,速度为 3cm/s当一个点停止运动时,另一个点也停止运

9、动设运动时间为 t(s)(0t8)解 答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上? (2)连接 PQ , 设五边形 AFEPQ 的面积为 y(cm2),求 y 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t , 使 S五边形AFEPQS矩形ABCD3364?若存在,求出 t 的值; 若不存在,请说明理由; (4)在运动过程中,是否存在某一时刻 t , 使点 Q 在AFE 的平分线上?若存在,求出 t 的值;若不存 在,请说明理由 答案解析部分答案解析部分 一、选一、选择择题题(每小题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1.【答案】 C

10、【解析】【解答】解:A、26=34,四组线段中能成比例;不符合题意; B、16=32,四组线段中能成比例;不符合题意; C、41056,四组线段中不能成比例;符合题意; D、210=410,四组线段中能成比例;不符合题意; 故答案为:C. 【分析】根据比例的性质验证四条线段是否两两乘积相等即可判断求解. 2.【答案】 A 【解析】【解答】A, 可以得出: 故答案为:A. 【分析】根据两内项之积等于两外项之积可判断求解. 3.【答案】 D 【解析】【解答】解: , AD:AB=AE:AC=1:3, A=A, ADEABC, DE:BC=1:3,故 A 错误; ADEABC, ADE 与 ABC

11、的面积比为 1:9,周长的比为 1:3,故 B 和 C 错误; ADEABC, ADE=B, DEBC.故 D 正确. 故答案为:D. 【分析】由已知条件可得 AD:AB=AE:AC=1:3,证明 ADEABC,由相似三角形的性质可判断 A、B、C; 由相似三角形对应角相等可得ADE=B,利用平行线的判定定理可判断 D. 4.【答案】 C 【解析】【解答】解:三角形的每个角不会变化,故错误; 三角形的每条边都扩大 10 倍,故正确; 三角形的面积会扩大 100 倍,故错误; 三角形的周长会扩大 10 倍,故正确. 故答案为:C. 【分析】由三角形的内角和等于 180可知,用一个 10 倍的放大

12、镜去观察一个三角形,三角形的每个角 不会变化; 三角形的每条边都扩大 10 倍; 根据 S = 底高可知,三角形的面积会扩大 100 倍; 三角形的周长会扩大 10 倍. 5.【答案】 C 【解析】【解答】EFAB DEFDAB AB=10 CD=AB=10 故答案为:C 【分析】先证明 DEFDAB,再求出 , 最后计算求解即可。 6.【答案】 D 【解析】【解答】解: , , 和 的位似比为 , 故答案为:D. 【分析】利用位似图形的性质即可求解. 7.【答案】 C 【解析】【解答】解: , , ,故 A 不符合题意, , , , ,故 B 不符合题意, , , , , ,故 C 符合题意

13、, , , , ,故 D 不符合题意 故答案为:C 【分析】先求出 AEO ABC,再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。 8.【答案】 C 【解析】【解答】解:A. AHG 的面积等于矩形面积, HG AP=HG PD, AP=PD, (15-PD)=PD, HE=PD=5(cm), 故 A 正确; B.AHGABC, , , HG=12=2HE, 故 B 正确; C. AHGABC, , , 解得:HG=20- HE, S矩形=HG HE=(20- HE) HE=- HE 2+20HE=- (HE- )2+75, 当 HE=- 时, S矩形最大, HG=20- HE=10(cm

14、), 故 C 不正确,D 正确. 故答案为:C. 【分析】A.根据三角形的面积和矩形的面积公式列出等式,得出 (15-PD)=PD,求出 PD 的长,即可求出 HE 的长,从而判断 A 正确; B.先证出 AEFABC,列出比例式,得出 , 求出 HG 的长,即可判断 B 正确; CD.根据 AHGABC, 得出 , 得出 HG=20- HE, 进而得出矩形 EFHG 的面积为- (HE- ) 2+75, 利用二次函数的性质得出当 HE=- 时, S矩形最大,再求出 HG 的长,即可判断 C 不正确,D 正确. 9.【答案】 C 【解析】【解答】解:根据题意, 四边形 是平行四边形, ABCD

15、 , ABFDGF , , , , , ABCD , ABECGE, ; 故答案为:C 【分析】由四边形 是平行四边形,可证出 ABFDGF , 再利用平行线分线段成比例的了即可 解决问题。 10.【答案】 D 【解析】【解答】解:四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形 EAG=BAD=90 又EAB=90-BAG,GAD=90-BAG EAB=GAD 正确四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形 AD=DC,AG=FG AC= AD,AF= AG , 即 又DAG+GAC=FAC+GAC DAG=CAF 正确四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形,AF、AC 为对

16、角线 AFH=ACF=45 又FAH=CAF HAFFAC 即 又AF= AE 正确由知 又四边形 ABCD 为正方形, AC 为对角线 ADG=ACF=45 DG 在正方形另外一条对角线上 DGAC 正确 故答案为:D. 【分析】根据正方形的性质可得EAG=BAD=90,利用同角的余角相等可得EAB=GAD,据此判断; 根据两组对边成比例且夹角相等, 可证 , 据此判断; 先证 HAFFAC, 可得 , 可得 , 由 AF= AE,即得 , 据此判断;由 , 可 得ADG=ACF=45,从而求出AND=90,据此判断. 二、填空题二、填空题(每小题(每小题 4 分,共分,共 28 分)分)

17、11.【答案】 【解析】【解答】解: 设 =k,则 a=2k,b=5k . 故填 . 【分析】 12.【答案】 30 【解析】【解答】解:设这栋楼的高度为 hm, 在某一时刻,测得一根高为 1.5m 的竹竿的影长为 3m,同时测得一栋楼的影长为 60m, , 解得 h30 故答案为:30 【分析】先求出 ,再解方程即可。 13.【答案】 - - 【解析】【解答】解: 与 位似,点 的对应点为点 , 与 的位似 比为 , 点 的坐标为 ,点 在第三象限内, 点 的横纵坐标分别为: - - , - - ; 点 的坐标为 - - ; 故答案为: - - ; 【分析】根据相似和点 C 所在的象限求解即

18、可。 14.【答案】 6 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 中,AD/BC. AODCOB. AD = 2BC. AD:BC=1:2, OD:OB=AD:BC=1:2,S BOC=4 S AOD=4 S AOD:S AOB =1:2,即 S AOB =2 S ABCS BOC+ S AOB =4+2=6. 故填 6. 【分析】 15.【答案】 【解析】【解答】 和 都是等边三角形,BD=4,CD=2, AB=AC=BC=6,B=C=ADF=60, ADB+BAD=ADB+CDF=120, BAD=CDF, , ,即 , 解得 , , 故答案为: 【分析】先求出BAD=CDF,再求出 , 最

19、后计算求解即可。 16.【答案】 5 或 【解析】【解答】 , ,点 P 是 边的中点 当 时 即 解得: 当 时 即 解得: 或 故答案为: 或 【分析】利用 或者 ,分别得出答案。 17.【答案】 7.5 【解析】【解答】过点 E 作 ,交 AC 于点 H,如下图: 又 又四边形 是平行四边形, 且 为 的中点, , , , , , cm 故答案为:7.5 【分析】 过点 E 做 EH/AD, 构造相似三角形, 由相似性质得对应线段成比例 ,因为 且 为 的中点,由中位线推论得:EH 是 ABC 的中位线,因此 。已知 AF=1,DF=2,所以 ,因此 ,综合看 ,因此, , 所以 , A

20、C=2AH= 三三、解答题、解答题(一)(每小题(一)(每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18.【答案】 (1)解: 2 (2)解:x+y15, 2k+3k15, 解得:k3, x6,y9 【解析】【分析】(1)由已知的比例式可设 x=2k,y=3k;(1)把 x、y 的值代入代数式计算即可求解; (2)把 x、y 的值代入等式 x+y=15 可得关于 k 的方程,解方程可求得 k 的值,则 x、y 的值可求解. 19.【答案】 证明: 如图 ABCACD, 1=B, 又CD 是平分ACB, 1=2, 2=B, BD=DC BD=3, DC=3; 又AD =2,BD =3, AB=5

21、由 得 即 =25=10 【解析】【分析】利用相似三角形的性质得到 1=B, ,把已知数据代入比例式求解即可得到 AC 的长;再结合角平分线的性质、等腰三角形的判定可求出 DC 的长。 20.【答案】 解: , , m, , , , ADEABC, , , , ; 楼高 是 9 米. 【解析】 【分析】由 , , 可得 , 可证 ADEABC,可得 , 代 入相应数据,即可求出 BC. 四四、解答题、解答题(二)(每小题(二)(每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21.【答案】 解:C90,cosA35, , BC8cm, , , 点 P 从点 B 出发, 沿 BC 向点 C 以 2cm

22、/s 的速度移动, 点 Q 从点 C 出发沿 CA 向点 A 以 1cm/s 的速度移动, 设运动时间为 t 秒,则有: , , 当 时,则 , ,即 , 解得: , 当 时,则 , ,即 , 解得: ; 综上所述:当运动时间为 s 或 s 时,以 C、P、Q 为顶点的三角形恰与 ABC 相似. 【解析】【分析】由题意可求出 sinA= , 然后根据正弦函数的概念以及 BC 的值可得 AB 的值,进而求 得 AC 的值,然后表示出 BP、CQ、PC,分PQC=A;PQC=B,结合相似三角形对应边成比例求 解即可. 五、综合题 22.【答案】 (1)证明: , , , 又 , ; (2)解: ,

23、 , , , 【解析】【分析】(1)先求出ADF=C,再证明三角形相似求解即可; (2)根据相似三角形的性质计算求解即可。 23.【答案】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形 ABE=90 ABG+EBG=90 ABG+BAG=90 EBG=BAG Rt BEGRt AEB (2)证明:由(1)有: BE=CE CEG=AEC CEGAEC CGE=ACE 四边形 ABCD 是矩形 AC=BD OB=OC DBC=ACE 【解析】【分析】(1)先求出 EBG=BAG ,再求出 Rt BEGRt AEB ,最后证明求解即可; (2)先求出 CGE=ACE ,再求出 DBC=ACE ,最后证明求

24、解即可。 五五、解答题、解答题(三)(每小题(三)(每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24.【答案】 (1)证明:如图 1, 由 折叠得到, , . 又 四边形 ABCD 是正方形, , , , 又 正方形 , (2)解:如图,连接 , 由(1)得 , , 由折叠得 , , . 四边形 是正方形, , , 又 , , . , , , . , , ( 舍去) (3)解:如图,连结 HE, 由已知 可设 , ,可令 , 当点 H 在 D 点左边时,如图, 同(2)可得, , , 由折叠得 , , 又 , , , 又 , , , , , , . , , , ( 舍去). 当点 在 点右边时

25、,如图, 同理得 , , 同理可得 , 可得 , , , , ( 舍去). 【解析】【分析】(1)利用折叠的性质可证得 BECF,利用正方形的性质可得到 BC=CD,D=BCE,利 用余角的性质可得到BEC=CGD;然后利用 AAS 可证得结论. (2) 利用全等三角形的性质可求出 DG 的长, 利用折叠的性质可得到 BC=BF, CE=EF=9; 再证明HFG=HGF, 利用等角对等边可证得 HF=HG,结合已知条件可求出 HD,HF 的长;再利用勾股定理建立关于 DE 的方程, 解方程求出 DE 的长. (3) 连结 HE, 设 DH=4m, HG=5m, , 当点 H 在 D 点左边时,

26、 同理可证得 HF=HG, 可得到 DG=9, 利用折叠的性质及余角的性质可推出BEC=CGD,利用有两组对应角相等的两三角形相似,可证得 CDGBCE,利用相似三角形的性质,可表示出 CE 的长,即可得到 DE 的长;然后利用勾股定理,可求 出 x 的值,即可得到 DE 与 EC 的比值;当点 在 点右边时,如图,同理可证得 CDGBCE,利 用相似三角形的性质,可表示出 CE 的长,即可得到 DE 的长;然后利用勾股定理,可求出 x 的值,即可得 到 DE 与 EC 的比值. 25.【答案】 (1)解:AB24cm,BC16cm,点 E 为边 CD 的中点, CE12cm, 在 Rt EC

27、B 中,根据勾股定理,得 BE 20(cm), 过 P 作 PGQB 于 G, 若点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上, 则 PQPB,GB BQ (243t), CPGB90, CDAB, PBGBEC, PBGBEC, ,即 , t , 当 t 时,点 P 在线段 BQ 的垂直平分线上; (2)解:四边形 ABCD 是矩形,AB24cm,BC16cm,点 E 为边 CD 的中点, DECE12,CD90,DEFDFE90, EFBE, DEFCEB90, DFECEB, DFECEB, ,即 , DF9, 由(1)知, PBGBEC, ,即 , PG , 五边形 AFEPQ 的面积 yS矩

28、形ABCDS BECS DEFS PBQ 2416 1216 129 (243t) , y 与 t 的函数关系式为:y ; (3)解:S五边形AFEPQS矩形ABCD3364, 2416,即 t 28t150, 解得:t13,t25, 存在,t 的值为 3 或 5 (4)解:过 Q 作 QMEF 于 M,若点 Q 在AFE 的平分线上,则 QMQA,分别延长 EF、BA 相交于点 O, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD, OAFEDF, , OA , OBABOA24 , QMEF,EFBE, QMBE, ,即 , QM , , 解得:t 答:存在,t 的值是 【解析】【分析】(1) 在R

29、t ECB中, 根据勾股定理, 得BE=20, 过P作PGQB于G, 证明 PBGBEC, 根据相似三角形的性质求解即可; (2) 证明 DFECEB,可得 , 据此求出 DF,由(1)知 PBGBEC,可得 , 据此求出 PG,利用五边形 AFEPQ 的面积 yS矩形ABCDS BECS DEFS PBQ,即可求出关系式; (3)由 S五边形AFEPQS矩形ABCD3364,建立方程,求出 t 值即可; (4)过 Q 作 QMEF 于 M ,根据角平分线的性质得出 QM=QA, 分别延长 EF、BA 相交于点 O, 证明 OAFEDF, 利用相似三角形的性质求出 OA,从而求出 OB,由 QMBE,可得 , 从而求 出 QM , 从而得出 , 解出 t 值即可.