1、第四章第四章 对数运算与对数函数对数运算与对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若 logx7yz，则( ) A.y7xz B.yx7z C.y7xz D.yz7x 答案 B 解析 由 logx7yz，得 xz7y， 7 y 7 (xz)7，则 yx7z. 2.已知函数 f(x)lg1x 1x，若 f(a)b，则 f(a)( ) A.b B.b C.1 b D.1 b 答案 B 解析 f(x)lg1x 1xlg( 1x 1x) 1lg1x 1xf(x)，
2、 则 f(x)为奇函数，故 f(a)f(a)b. 3.若 lg 2a，lg 3b，则 log524 等于( ) A.3ab 1a B.a3b 1a C.3ab 1a D.a3b 1a 答案 C 解析 log524lg 24 lg 5 lg（32 3） lg10 2 3lg 2lg 3 lg 10lg 2 3ab 1a .故选 C. 4.函数 f(x)axloga(x1)在0，1上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为 ( ) A.1 4 B.1 2 C.2 D.4 答案 B 解析 函数 f(x)axloga(x1)， 令 y1ax，y2loga(x1)， y1ax与 y2loga(x1)在
3、0，1上同增或同减. 因而f(x)maxf(x)minf(1)f(0) aloga210a，解得 a1 2. 5.设 alog34，blog43，clog3(log43)，则( ) A.cba B.acb C.bca D. cab 答案 A 解析 blog43(0，1)，clog3(log43)1，cba，故选 A. 6.若函数 f(x)loga(xb)的图象如图，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)axb 的 图象大致是( ) 答案 D 解析 由函数 f(x)loga(xb)的图象可知， 函数 f(x)loga(xb)在(b，)上是减函数. 所以 0a1，1b0，故 0b1. 因为 0a1
4、，所以 g(x)axb 在 R 上是减函数，故排除 A，B. 因为 0b0，即 ex 1 ex， e2x1，解得 x0； 所以函数 f(x)的定义域为(0，)；定义域不关于原点对称，所以函数 f(x)是非 奇非偶函数； 因为 yex，ye x1 ex是增函数，所以 y exe x 2 是增函数，又 ylg x 是增 函数，所以函数 f(x)lge xex 2 在定义域(0，)上单调递增.故选 A. 8.已知函数 f(x)|lg x|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 a2b 的取值范围是( ) A.(2 2，) B.2 2，) C.(3，) D.3，) 答案 C 解析 画出函数 f(x)|
5、lg x|的图象如图所示. 0ab，f(a)f(b)，0a1，b1， lg a0，lg b0. 又 f(a)f(b)，lg alg b，ab1， b1 a，a2ba 2 a， 又 0a1，函数 ta2 a在(0，1)上是减函数， a2 a1 2 13，即 a2b3. 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.下面给出的四个式子中(a0，a1，x0，y0，xy)错误的是( ) A.logaxlogayloga(xy) B.logax logayloga(
6、xy) C.logax yloga(xy) D.loga(xy)logax logay 答案 BCD 解析 A 选项：由对数的运算性质：当 a0，a1，x0，y0 时，logaxlogay loga(xy)成立，故 A 选项正确； B 选项： 当 x2， y1 时， x0， y0， xy 成立， logax logay0loga(xy)loga3， 故 B 选项错误； C 选项：当 x2，y1 时，x0，y0，xy 成立，logax yloga2loga(xy)0， 故 C 选项错误； D 选项：当 x2，y1 时，x0，y0，xy 成立，logax logay loga2 0 无意义，故 D
7、 选 项错误. 故选：BCD. 10.在一次社会实践活动中，某数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂 5 年来 某种产品的总产量 y 与时间 x(年)的函数图象(如图)， 则下面给出的关于该产品生 产状况的判断中，正确的有( ) A.前三年的年产量逐步增加 B.前三年的年产量逐步减少 C.后两年的年产量与第三年的年产量相同 D.后两年均没有生产 答案 BD 解析 由该厂 5 年来某种产品的总产量 y 与时间 x(年)的函数图象可知前三年的 年产量逐步减少，故 A 错误，B 正确；后两年均没有生产，故 C 错误，D 正确. 11.已知函数 f(x)log2|x|x22，若 f(a)f(b)，a、b
8、 不为零，则下列不等式成立 的是( ) A.a3b3 B.(ab)(ab)0 C.ea b1 D.ln a b 0 答案 BD 解析 因为 f(x)log2|x|(x)22log2|x|x22f(x)， 所以 f(x)是偶函数. 当x0时， f(x)log2xx22为增函数， 所以当xf(b)， 且 a，b 不为零，可知|a|b|0. 当 a2，b1 时，a3b3，ea be30|a|b|0，故 B 选项正确. D 选项，ln a b 0 a b 1| |a| |b0，故 D 选项正确.故选 BD. 12.已知函数 f(x)loga(x23ax)对任意的 x1，x2 1 2， ，x1x2 时都
9、满足 f（x2）f（x1） x2x1 0，则实数 a 可取的值可能是( ) A.1 6 B.1 7 C.1 8 D.1 9 答案 BCD 解析 因为f（x 2）f（x1） x2x1 0 对任意的 x1，x2 1 2， ，x1x2 满足，所以 f(x)是减函数，所以 ux23ax 在 1 2， 上一定是增函数，所以 f(u)logau 在 定义域上是减函数，所以 3 2a 1 2， 0a1， u 1 2 1 4 3a 2 0， 解得 0a1 6，即 a 0，1 6 .故选 BCD. 三、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 0ab1c，mlogac，nlogb
10、c，则 m 与 n 的大小关系是_. 答案 mn 解析 m0，n0，m nlogac logcblogablogaa1，mn. 14.计算： （log25）24log254log21 5_. 答案 2 解析 （log25）24log254log21 5 （log252） 2log21 5 log252log21 5log2122. 15.设 f(x)log1 2 1bx 12x是定义在区间(a，a)上的奇函数，且为单调函数，则 b a 的取值范围是_. 答案 (1， 2 解析 f(x)log1 2 1bx 12x是定义在区间(a，a)上的奇函数， f(x)f(x)0，即 log1 2 1bx
11、12xlog 1 2 1bx 12x0， 1bx 12x 1bx 12x1 得 b 24， 又f(x)为单调函数，b2，f(x)log1 2 12x 12x，令 12x 12x0 即(12x)(12x)0， 则1 2x 1 2， 010， 其次，原方程可化为 lg x 3lg 5 x10， x 3 5 x10，即 x 210 x750. 解得 x15 或 x5(舍去)， 经检验，x15 是原方程的解. x15. (2)首先，x0 且 x 1 10， 其次，原方程可化为 lg x 2lg x 1lg x2，即 lg 2xlg x20. 令 tlg x，则 t2t20， 解得 t1 或 t2，即
12、lg x1 或 lg x2， x10 或 x 1 100. 经检验 x10，x 1 100都是原方程的解. x10 或 1 100. (3)首先，x210 且 x211， 即 x1 或 x0，得 x1. 综上，x1 或 x1 或 x1 且 x 2，x2. 经检验 x2 是原方程的解. x2. 19.(本小题满分 12 分)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物.患者单次服 用指定规格的该药物后，其体内的药物浓度 c(mg/L)随时间 t(h)的变化情况(如图 所示)： 当 0t1 时， c 与 t 的函数关系式为 cm(2t1)(m 为常数)； 当 t1 时， c 与 t 的函数关系式为 c
13、k 1 2 t (k 为常数).服药 2 h 后， 患者体内的药物浓度为 10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过 最低中毒浓度，患者就会有危险. (1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？ (2)首次服药 1 h 后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？ (参考数据：lg 20.3，lg 30.477) 解 (1)当 t1 时，ck 1 2 t ，函数图象过点(2，10)， 所以 k 1 2 2 10，解得 k40. 所以当 t1 时，c40 1 2 1 20. 所以当 0t1 时，cm(2t1)，由题图知，其图象过点(1，20)， 所以 m20，所以
14、 c20 2t20. 由 20 2t2010 得 2t3 2，所以 tlog2 3 2 lg 3lg 2 lg 2 0.4770.3 0.3 0.59， 则首次服药后，药物有疗效的时间为 20.591.41(h). (2)设再次服用同等规格的药物 x 小时后的药物浓度为 y. 当 0 x1 时，y40 1 2 x 40 1 2 x1 60 1 2 x 30. 因为 300， 0b10， a b x k. k0，a1b0，xloga bk，于是由条件 f(x)定义域为(0，)得 log a bk0，即 k1，从而 f(x)lg(axbx). 若存在满足题设的 a，b 则 f(3)lg(a3b3)
15、lg 4，且 lg(axbx)0 的解集为(1，). f(x)在(1，)上递增，f(1)0，即 ab1. 联立 a3b34，及 a1b0， 解得 a1 5 2 ，b 51 2 . 故存在 a1 5 2 ，b 51 2 满足题意. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)log2x，x2，8，函数 g(x)f2(x)2af(x) 3 的最小值为 h(a). (1)求 h(a)； (2)是否存在实数 m，n，同时满足以下条件：mn3；当 h(a)的定义域为n， m时，值域为n2，m2，若存在，求出 m，n 的值；若不存在，说明理由. 解 (1)因为 x2，8，所以 log2x1，3. 设
16、log2xt，t1，3， 则 g(t)t22at3(ta)23a2 当 a3 时，yming(3)126a. 所以 h(a) 42a （a3）. (2)因为 mn3， h(a)126a 在(3，)上为减函数， 又 h(a)的定义域为n，m，值域为n2，m2， 所以 126mn2， 126nm2， 两式相减得 6(mn)(mn)(mn)， 所以 mn6，但这与“mn3”矛盾， 故满足条件的实数 m，n 不存在. 22.(本小题满分 12 分)在f(x)f(x)0，f(x)f(x)0，f(2)f(2) 这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答. 已知函数 f(x)log2( x2ax)(
17、aR)满足_. (1)求 a 的值； (2)若函数 g(x)2f( x)1 x21，证明：g(x2x)5 4. 解 若选择f(x)f(x)0， (1)因为 f(x)f(x)0，所以 log2( x2ax)log2(x2ax)0， 所以 log2（ x2ax）（ x2ax） 0， 所以 x2ax21，解得 a1. (2)证明 由(1)知，f(x)log2( x21x)， f(x)log2( x21x)， 所以 g(x)2log2( x21x)1 x21 x21x1 x21x1， 所以 g(x2x)(x2x)1x2x1 (x1 2) 25 4 5 4. 若选择f(x)f(x)0， 因为 f(x)f(x)0， 所以 log2( x2ax)log2( x2ax)0， 所以 x2ax x2ax，所以 x0，a0，此时求不出 a 的具体值，所以 选不成立； 若选择f(2)f(2)， (1)因为 f(2)f(2)， 所以 log2( 4a2)log2( 4a2)， 所以( 4a2)( 4a2)1， 所以 4a41，所以 a1. (2)证明 由(1)知，f(x)log2( x21x)， f(x)log2( x21x)， 所以 g(x)2log2( x21x)1 x21 x21x1 x21x1， 所以 g(x2x)(x2x)1x2x1 x1 2 2 5 4 5 4.
