1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.若直线过点(1，2)，(4，2 3)，则此直线的倾斜角 是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 A 解析 利用斜率公式得 k2 32 41 3 3 tan ，又 0 180 ，可得倾斜角 为 30 . 2.如果直线 ax2y20 与直线 3xy20 平行，则系数 a 为( ) A.3 B.6 C.3 2 D.2 3 答案 B 解析 当两直线平行时有a 3 2 1 2 2，
2、可求得 a6. 3.已知圆 C：x2y22x6y90，过 x 轴上的点 P(1，0)向圆 C 引切线，则切线长为( ) A.3 B.2 2 C.2 3 D.3 2 答案 B 解析 圆 x2y22x6y90 即(x1)2(y3)21， 其圆心为 C(1，3)，半径 R1. |PC|（11）2（30）23， 故切线长为 32122 2，故选 B. 4.若直线 3x4y120 与两坐标轴的交点为 A，B，则以 AB 为直径的圆的方程是( ) A.x2y24x3y0 B.x2y24x3y0 C.x2y24x3y40 D.x2y24x3y80 答案 A 解析 在 3x4y120 中，由 x0 得 y3，
3、由 y0 得 x4， A(4，0)，B(0，3)， 以 AB 为直径的圆的圆心是 2，3 2 ，半径 r1 2 1695 2， 以 AB 为直径的圆的方程是(x2)2 y3 2 2 25 4 ， 即 x2y24x3y0.故选 A. 5.若直线 l 经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2，则直线 l 的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 设直线 l 的截距式方程为x a y b1， 直线 l 经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2， 1 a 1 b1， 1 2|ab|2， 解得 ab2 或 a22 2， b22 2，或 a22 2，
4、b22 2. 故直线 l 的条数为 3.故选 C. 6.已知直线 l1：ax4y20 与直线 l2：2x5yb0 互相垂直，垂足为(1，c)，则 abc 的值为( ) A.4 B.20 C.0 D.24 答案 A 解析 l1l2，故a 4 2 51， a10.l1：10 x4y20. 将(1，c)代入，得 104c20，c2； 将(1，2)代入 l2：得 25(2)b0，b12. 则 abc10(12)(2)4. 7.若圆 O1：(x3)2(y4)225 和圆 O2：(x2)2(y8)2r2(5r10)相切，则 r 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 圆 O1：(x3)
5、2(y4)225 的圆心为 O1(3，4)、半径为 5； 圆 O2：(x2)2(y8)2r2的圆心为 O2(2，8)、半径为 r. 若它们相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值， 即 （32）2（48）2|r5|，求得 r18 或8，不满足 5rr 即 7k0，解得：3k0). (1)当 m2 时，求经过原点且与圆 C 相切的直线 l 的方程； (2)若圆 C 与圆 E：(x3)2y216 内切，求实数 m 的值. 解 (1)当 m2 时，C：(x2)2(y4)24，其圆心为 C(2，4)，r2. 当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x0，符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方
6、程为 ykx， 由题意得 d |2k4| k212， k3 4，l 的方程为 y 3 4x. 综上直线 l 的方程为 y3 4x 或 x0. (2)圆 C：(xm)2(y2m)2m2的圆心为 C(m，2m)，半径为 m， 圆 E：(x3)2y216 的圆心为 E(3，0)，半径为 4， 由题意得|4m|（m3）2（2m）2，两边平方解得 m 291 4 (负值舍去). 21.(12 分)已知圆 A：x2y22x2y20，圆 B：x2y22ax2bya210，且圆 B 始终 平分圆 A 的周长. (1)求动圆 B 的圆心的轨迹方程； (2)当圆 B 的半径最小时，求圆 B 的标准方程. 解 (1
7、)把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线 l 的方程为 2(a1)x2(b1)ya210， 由题意知直线 l 经过圆 A 的圆心(1，1)，因而 a22a2b50. 设动圆 B 的圆心为(x，y)，则由圆 B 的方程：x2y22ax2bya210 可得 B(a，b)，即 x a，yb，则所求轨迹方程为 x22x2y50. (2)圆 B 的方程可化为(xa)2(yb)21b2，其半径为 1b2. 由(1)知 a22a2b50，故 2b4(a1)20， 所以 b2，因而 1b2 5，即 b2 时，圆 B 的半径最小，此时 a1. 故所求圆 B 的标准方程为(x1)2(y2)25. 22.(12 分
8、)已知一个动点 P 在圆 x2y236 上移动，它与定点 Q(4，0)所连线段的中点为 M. (1)求点 M 的轨迹方程； (2)过定点(0， 3)的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)且满足x1 x2 x2 x1 21 2 ， 求直线 l 的方程. 解 (1)设 M(x，y)，动点 P(x1，y1)， 则由中点坐标公式，得 x4x1 2 ， yy1 2， 解得 x12x4，y12y， 又由 x21y2136，得(2x4)2(2y)236， 即(x2)2y29， 点 M 的轨迹方程是(x2)2y29. (2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x
9、0，与圆 M 交于 A(0， 5)，B(0， 5)，此时 x1x2 0，不合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：ykx3，则由 ykx3， （x2）2y29，消去 y，得(1k 2)x2 (46k)x40，则 (46k)244(1k2)0，x1x246k 1k2，x1x2 4 1k2. 由x1 x2 x2 x1 21 2 ，得 x21x2221 2 x1x2， 即(x1x2)225 2 x1x2， 46k 1k2 2 25 2 4 1k2，整理，得 7k 224k170， k1，k17 7 ，经检验 0.此时直线 l 的方程为 xy30 或 17x7y210. 综上：直线 l 的方程为 xy30 或 17x7y210.
