1、思维特训(十四) 反比例函数的综合应用与反比例函数图象有关的探索问题主要体现在两个方面，一是探索存在性，二是探究图形的形状及数量关系等解决有关问题需要把反比例函数的图象及图形的性质等综合在一起，还有要注意一些数学思想的灵活应用类型一 存在性问题1如图 14S1，一次函数 yk 1xb(k 10)与反比例函数 y (k20)的图象相交k2x于点 A(1，2)，B(m，1)(1)求这两个函数的表达式(2)在 x 轴上是否存在点 P(n，0)( n0)，使ABP 为等腰三角形？若存在 ，求出 n 的值；若不存在，请说明理由图 14S12如图 14S2，一次函数 y x1 的图象与 x 轴、 y 轴分
2、别交于点 A，B，以33线段 AB 为边在第一象限作等边三角形 ABC.(1)若点 C 在反比例函数 y 的图象上，求该反比例函数的表达式kx(2)点 P(2 ，m)在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD 与OAB 相3似时，P 点是否在(1)中的反比例函数图象上？如果在，求出 P 点的坐标；如果不在，请加以说明图 14S232017牡丹江 已知：如图 14S3，直线 y xb 与 x 轴负半轴交于点 A，与 y12轴正半轴交于点 B，线段 OA 的长是方程 x27x80 的一个根 ，请解答下列问题：(1)求点 B 的坐标(2)双曲线 y (k0，x0)与直线 AB 交于
3、点 C，且 AC5 ，求 k 的值kx 5(3)在(2)的条件下，点 E 在线段 AB 上，AE ，直线 ly 轴，垂足为 P(0，7) ，点 M5在直线 l 上，坐标平面内是否存在点 N，使以点 C，E，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在 ，请说明理由图 14S3类型二 探索关系问题4如图 14S4，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y (x0)的图象与直线kxyx2 相交于点 A(3，m) (1)求 k，m 的值(2)已知点 P(n，n)(n0) ，过点 P 作平行于 x 轴的直线， 交直线 yx2 于点 M，过点P 作平行于 y 轴的直线 ，交函
4、数 y (x0)的图象于点 N.kx当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由；若 PNPM， 结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围图 14S452017德州 有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y x 与 y (k0)的图象的性质1k kx小明根据学习函数的经验，对函数 y x 与 y ，当 k0 时的图象性质进行了探究1k kx下面是小明的探究过程：(1)如图 14S5 所示，设函数 y x 与 y (k0)图象的交点为 A，B，已知点 A 的1k kx坐标为( k， 1)，则点 B 的坐标为_；(2)若 P 为第一象限内双曲线上不
5、同于点 B 的任意一点设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N.求证：PM PN .证明过程如下：设 P(m， )，直线 PA 的函数表达式为 yaxb( a0)km则 解得 ka b 1，ma b km， ) a ，b ， )直线 PA 的函数表达式为_请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明当 P 点坐标为(1，k)( k1)时，判断PAB 的形状，并用含 k 的式子表示出PAB 的面积图 14S5详解详析1解：(1)把 A(1，2)代入 y ，得到 k22，k2x反比例函数的表达式为 y .2x点 B(m，1)在反比例函数 y 的图象上，2xm2，由题意得点
6、 A(1，2)，B(2，1) 在一次函数 yk 1xb 的图象上， k1 b 2，2k1 b 1， )解得 k1 1，b1 1， )一次函数的表达式为 yx1.(2)A(1，2)，B(2 ，1)， AB 3 .2当 PAPB 时，(n1) 22 2( n2) 21，n0.n0，n0 不合题意，舍去；当 APAB 时，2 2(n1) 2(3 )2.2n0，n1 ；14当 BPBA 时，1 2(n2) 2(3 )2.2n0，n2 .17综上所述，n1 或 2 .14 172解：(1)在 y x1 中，令 y0 可得 x ，令 x0 可得 y1，A( ，0)，33 3 3B(0， 1)，BAO30.
7、ABC 是等边三角形，BAC 60，CAO90.在 Rt BOA 中，由勾股定理可得 AB2，AC2，C( ，2)3点 C 在反比例函数 y 的图象上，k2 2 ， 反比例函数的表达式为 ykx 3 3.23x(2)点 P(2 ，m)在第一象限，ADODOA 2 ，PD m.3 3 3 3当ADPAOB 时，则有 ，即 ，解得 m1，此时 P 点坐标为(2 ，1) ；PDOB ADOA m1 33 3当PDAAOB 时，则有 ，PDOA ADOB即 ，解得 m3，m3 31此时 P 点坐标为(2 ，3)3把 P(2 ，3) 代入 y 可得 3 ，点 P(2 ，3)不在反比例函数图象上；323x
8、 2323 3把 P(2 ，1) 代入 y 可得 1 ，点 P(2 ，1)在反比例函数图象上32 3x 2323 3综上可知，P 点坐标为(2 ，1)33解：(1)解方程 x27x80 得 x8 或 x1.线段 OA 的长是方程 x27x80 的一个根，OA8，A(8，0) 将 A(8，0) 代入 y xb，得4b0，12b4，B(0，4) (2)在 RtAOB 中，OA8，OB4，AB4 .5如图，过点 C 作 CHx 轴于点 H，则 CHOB，AOBAHC， ，即 ，OBCH ABAC OAAH 4CH 4555 8AH解得 CH5，AH10，OH1082，C(2，5)双曲线 y (k0，
9、x 0)经过点 C，kxk2510.(3)存在，分两种情况：当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的一边时，过点 E 作 EGx 轴于点 G，作 EMAC 交直线 l 于点 M，如图所示，EG OB，AGEAOB， ，EGOB AGAO AEAB 545 14EG OB1，AG AO2，14 14OG826，E(6，1) EMAC， 设直线 EM 的函数表达式为 y2xc ， 把 E(6，1)代入，得12c1，解得 c11，直线 EM 的函数表达式为 y2x11，当 y7 时，72x11， x 9，M(9，7) C(2，5)，点 N 的坐标为(1，11) ；当 CE 为以点 C，E，M
10、，N 为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点 N 的坐标为( 7，3)；当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的对角线时， 分别过点 E，C 作 EGl 于点 G，CH l 于点 H，如图 所示，则EGMMHC90，EG7 16，CH75 2.四边形 EMCN 是矩形， EMC90，由角的互余关系得GEMHMC，EGMMHC， ，GMCH EGMHGM MH CHEG2612.又GM MH628， GM2，MH6，点 M 的坐标为(4，7) E(6，1) ， C(2，5)，N(0，1)；当 CE 为以点 C，E，M，N 为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点 N的坐标
11、为( 4，1)综上所述，存在点 N，使以点 C，E，M ，N 为顶点的四边形是矩形 ，点 N 的坐标为(1，11)或( 7，3)或(4，1) 或(0，1)4解：(1)将 A(3，m)代入 yx2，得 m321，A(3，1)将 A(3，1)代入y ，得 k313.kx(2)PMPN.理由：当 n1 时，P (1，1)，把 y1 代入 yx2，得x21，x3，M(3，1)，PM 2.把 x1 代入 y ，得 y3，3xN(1，3)，PN2，PMPN.P(n，n)，点 P 在直线 yx 上，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点M，M(n2，n)，PM2.同理可得 PN| n|.PN
12、PM，即 PN2，即|3 n 2|2n，3n即 或3 n2 2n，3 n2 0， ) n2 3 2n，n2 3 0， )解得 0n1 或 n3.5解：(1)由正、反比例函数图象的对称性可知，点 A， B 关于原点 O 对称，点 A 的坐标为(k，1)，点 B 的坐标为(k，1)(2)证明过程如下，设 P(m， )，直线 PA 的函数表达式为 yaxb(a0)km则 解得 ka b 1，ma b km， ) a 1m，b km 1， )直线 PA 的函数表达式为 y x 1.1m km当 y0 时，xmk，点 M 的坐标为(mk，0)过点 P 作 PH x 轴于点 H， 如图所示，点 P 的坐标
13、为(m， )，点 H 的坐标为km(m，0)，MH xHx Mm (mk) k.同理可得 HNk，PM PN.由可知，在PMN 中，PMPN，PMN 为等腰三角形，且 MHHNk.当 P 点坐标为(1，k)时，PHk，MHHNPH，PMHMPH 45，PNHNPH45，MPN90，即APB90，PAB 为直角三角形当 k1 时，如图，S PAB S PMN S OBN S OAM MNPH ONyB OM|yA| 2kk (k1)1 (k1)1k 21；12 12 12 12 12 12当 0k1 时，如图，S PAB S OBN S PMN S OAM ONyBk 2 OM|yA| (k1) 1k 2 (1k) 11k 2.12 12 12 12
